求形心主惯性矩
惯性矩的计算方法
第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关.而口与构件截面的几何形状和尺寸有关.如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面而积A ,计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I?等.A、1?等是从不同角度反映了截而的几何特性，因此称它们为截而图形的几何性质.4.1静矩和形心设有一任意截而图形如图4 一1所示，其面积为A .选収直角坐标系yoz ,在坐标为（y,z）处取一微小而积dA ,定义微而积dA乘以到y轴的距离z ,沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S?,其数学表达式(4 -la )同理，图形对z轴的静矩为□4-1图41截面静矩与坐标轴的选取有关•它随坐标轴y、z的不同而不同.所以静矩的数值可能足正，也可能足负或定零.静矩的虽纲为长度的三次方.确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）:A (4-2b)第1页共30页式中T、"为截而图形形心的坐标值.若把式（4-2）改写成心"•儿，為"•乙（4 3）性质：・若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.・若坐标轴通过截而形心，则截而对此轴的静矩必为零.・山于截而图形的对称轴必定通过截而形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是山若干简单图形（如矩形、圆形等）组合g而成的.对于这样的组合截而图形，计算静矩（S»‘ r）与形心坐标（y*、z '）时，可用以下公式1-1 2-1式中A— y i , z i分别表示第，个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积.组合截面图形有时还可以认为是山一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4J己知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.i-1 i-1 (4-5)图4-2解：(1)选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴,(2)将图形分成I 、口两个矩形，则= 20 x 100加朋 S 右=(10 + 140)^^34 = 2Q X 14%/,22 二注型(3)代入公式(4・5)20x100x150+20x140x70 20x100 + 20x140此=°4.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形(图4-3),其而积为A ・选取直角坐标系yoz ,在坐标为(y 、z)处取一微小面积dA ,定义此微2面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方Q ,沿整个截面积分，为截而图形的极惯性矩I?.做而积dA 乘以到坐标轴y 的2距离的平方2 ,沿整个截而积分为截面图形对y 轴的惯性矩I 》•极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.j.l ~2Z4数学表达式为打=f p^dA极惯性矩“俎（4-6）对y轴惯性矩图4-3山图4-3看到“ =y +Z 9所以有打=\A^dA= £cy2 +/）曲二必+加必即；? （4-8）式（4-8）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。
由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。
即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。
求图示平面图形的形心位置及形心主惯性矩
σ x +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
) 2 + τ xy 2
j
= 2v A ， kd = 1 + 1 +
2H
j
= 1+ 1+
H vA
σ max = ⎨
min
⎧130MPa ⎩30MPa
σ d max = kd i2σ B max
vd = kd
⎛ H⎞ = 2 ⎜1 + 1 + ⎟ σ B max ⎜ vA ⎟ ⎝ ⎠
(δ B )水平
M ∂M 1 = [∫ ds ]Pf =0 = s EI ∂P EI f
∫
π
2 0
PR 3 PR cos ϕ i R(1 − sin ϕ )i Rdϕ = 2 EI
共 10 页；第 8 页
共 10 页；第 7 页
六、图示传动轴。直径为 d，轮 C、轮 E 直径均为 D。轮 C 受铅垂力 P。轮 E 受水平力 P。试求：⑴作轴的扭矩图，弯矩图。⑵指出危险截面的位置。⑶ 用第三强度理论写出校核该轴强度的相当应力表达式。 10 分） （
δ 22 =
1 ⎛l ⎞ 3l ⎜ × 1 + l × 1⎟ = EI ⎝ 2 ⎠ 2 EI
应用卡氏定理
将以上系数代入式（1） ，经简化可得
l Pl 1 ⎫ X1 − X 2 + = 0⎪ ⎪ 3 2 8 ⎬ 5Pl lX 1 − 3 X 2 + =0⎪ ⎪ 8 ⎭ X1 = − P 8 X2 = P Pl H A = HB = 6 8 RA = RB = P 2 MA = MB = Pl 24
2 3 2 2 2
∂M = R cos ϕ ∂P (δ B )竖直 M ∂M 1 =∫ ds = s EI ∂P EI
惯性矩的计算方法
I等． I等是从不同角度反映了截S，其数学表达式(4 -1a )(4-1b)(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：•若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．•若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．•由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．、两个矩形，则设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩 (4-6)对 y 轴惯性矩 (4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
在任一截面图形中 ( 图 4 —3) ，取微面积 dA 与它的坐标 z 、 y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对 y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为(4-9)惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方． I,I,I恒为正值．而惯性积 I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或称主形心惯轴 ) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) ．例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．工程应用中 ( 如压杆稳定中 ) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即,或写成, （ 4-10 ）式中 i分别称为截面图形对 y 轴、 z 轴的惯性半径．其量纲为长度的一次方．例 4-2 已知矩形截面的尺寸 b,h( 图 4-5) ，试求它的形心主惯性矩．解：取形心主惯性轴 ( 即对称轴 )y,z ，及 dA=dy，代入公式 (I— 7a ,) 得同理：例 4-3 设圆的直径为 D( 图 4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值．解： (1) 求惯性矩因为图形对称， y,z 为对称轴，所以 I＝ I这是较简单的解法．本例也可取出图 4-6 上的微面积 dA ，按积分法来求得。
截面的静矩和形心位及惯性矩的计算
y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20 1403
20 140
(8046.7)2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
120 103 152 120 10
1 12
703
10
(25)2
70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
形心 惯性矩
y
x
dA y x
3、极惯性矩： 它是图形面积对极点的二次矩。
I P 2dA
A
2 x 2 y 2 I P ( x 2 y 2 )dA I y I x
A
IP Ix I y
图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
1.转轴公式:
当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴公式给 出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系. z
y1 y cos a z sin a z1 z cos a y sin a
z1 y1
y
z
I z1 y12 dA ( y cosa z sin a ) 2 dA
I y1 I Z1 I y IZ 2 I y IZ 2 2 I y IZ 2 I y IZ 2 cos 2a I yz sin 2a cos 2a I yz sin 2a
I Y 1Z 1
I y IZ
sin 2a I yz cos 2a
3.主轴及主惯性矩:
ydm 均质 m
A
等于形心坐标
A
ydA A
Sx A
x
dA
xC
y
yC
x
xCi Ai xC A (正负面积法公式) y yCi Ai C A
S yC A xC
SxC A yC
S y AxC Ai xCi xdA
A
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时图形对此轴的惯性积为零反之若图形对坐标系的惯性积为零时此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴
惯性矩的计算
Iyz 称为截面面积对y轴和z轴的惯性积。 iy 、 iz分别称为截面对y轴和z轴的惯性半径。
常见截面的惯性矩和惯性半径：
y
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
z
h
iz
h 23
iy
b 23
b
Wz
bh2 6
Wy
hb2 6
Wz
Iz ymax
Wz 抗弯截面系数
常见截面的惯性矩和惯性半径：
419mm例3中已算出截面对于水平形心轴mm10mm10mm1010322itg2101012580mm10354mm1060若图形具有三根或三根以上对称轴则通过图形形心的所有轴都是形心主惯性轴且图形对任一形心轴的惯性矩即形心主惯性矩都相同
附录 截面几何性质
附 §1 静矩和形心 录
截 §2 惯性矩、惯性积和惯性半径 面 几 §3 平行移轴公式 何 性 §4 主惯性轴、形心主惯性轴 质
z1 z cos y sin
I z dA y1
2 A1
Iy Iz Iy Iz cos 2 Iyz sin 2
2
2
同样可得：
I z1
A y12dA
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
cos 2
Iyz sin
2
I y1z1
A y1z1dA
Iy
SZ 0
yC 0
SY 0
zC 0
结论：若图形对某一轴的静距等于零，
则该轴必然通过图形的形心；
若某一轴通过图形的形心，
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
求图示平面图形的形心位置及形心主惯性矩
=
−
l2 2EI
δ 22
=
1 EI
⎛ ⎜⎝
l 2
×1+ l ×1⎞⎟⎠
=
3l 2EI
将以上系数代入式（1），经简化可得
l 3
X1
−
1 2
lX1 − 3X
X2 2+
+
0
⎪ ⎪⎭
X1
=
−
P 8
X2
=
Pl 6
HA
= HB
=
P 8
RA
=
RB
=
P 2
MA
=
MB
=
Pl 24
六、图示传动轴。直径为 d，轮 C、轮 E 直径均为 D。轮 C 受铅垂力 P。轮 E 受水平力 P。试求：⑴作轴的扭矩图，弯矩图。⑵指出危险截面的位置。⑶ 用第三强度理论写出校核该轴强度的相当应力表达式。（10 分）
七、图示细长压杆，两端球形铰支，材料弹性模量 E ，试对下面两种情况计 算其临界压力 Plj 。①圆截面，直径 d ，杆长 l 。②矩形截面， h = 2b ，长 l 。 （10 分）
班级：
解：
τ = Q = P / 2 = 2P A πd2 /4 πd2
， σ jy max
=
Pjy A
=
P 2
dt
=
P 2dt
共 10 页；第 1 页
共 10 页；第 2 页
5、图示悬臂梁 AB 。已知当自由端受静载 P 时，自由端的挠度为 vA ，固定端 的最大正应力为σ Bmax 。现有重为 2P 的物体自 H 高度自由落体冲击于自由端， 求此时 A 端的挠度 vd 和梁内最大正应力σ d max 。
求形心主惯性矩
I y 2.01106 mm4
I z 2.0 10 mm
附录Ⅰ 截面的几何性质 主惯性轴 一、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1、主惯性轴和主惯性矩： 惯性矩称为主惯性矩。 2、形心主轴和形心主惯性矩
I x0 y0 0
则对应的坐标轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之
主轴过形心时，称其为形心主轴。
C1
x y
C2
xc
ci
i
A
xc1 A1 xc 2 A2 A1 A2
35 10 110 20.3 10 110 80 10
图（a）
60 10 110 yc 34.7 10 110 80 10
附录Ⅰ 截面的几何性质 Ⅰ.2 惯性矩、惯性半径、惯性积 一、惯性矩：（类似于转动惯量）
附录Ⅰ 截面的几何性质
同理：
I y I yC a A
2
I xy I xC yC abA I p I pC (a b) A
2
注意！C点必须为截面形心。
附录Ⅰ 截面的几何性质 y 例 Ⅰ-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安 定义直接积分；二是用平行移轴 x O A B 公式求。 建立形心坐标如图,求图形对形心轴 的惯性矩。 d4 Ip I x I y 2I x 32
d
Ix Iy
2
d4
64
I AB
4 4 4 d d d 5 d Ix A 64 16 64 2
附录Ⅰ 截面的几何性质 二、组合截面的惯性矩和惯性积
I x I xi
I y I yi
I xy I xyi
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
力学附录I_平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心
1．静矩 2．形心
注意
Sz
A
ydA
Sy
zdA
A
yd A
解： I y
z 2 dA
A
h/2
z2bdz
h / 2
bh 3
12
dz
z
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-2-2：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32
Iy Iz Ip
Iy Iz
Iy
Iz
1 2
Ip
d 4
64
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
yC zC
• •
A A
可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距
离大小。
当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图
形，其静矩和形心坐标分别为
S z
n
Szi
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
n
Ai yCi
i 1
S
y
n
Syi
i 1
n
Ai zCi
i 1
组合图形对某一轴的静矩等于各 组成部分对同一轴静矩的代数和
19.7mm
zC
Sy A
10120 60 70105 1200 700
39.7mm
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
型心计算公式
80 aⅡ
（2）求对自身形心轴的惯性矩。
I xc1 、 I yc1 , I xc 2 、 I yc 2
10
Ⅱ
（3）由平行移轴公式求整个截面的 I xc 、 I yc 、 I xc yc
10
xc0
10
y C
120
（4）由转轴公式得
40 20
bⅠ
aⅠ C =113.8°
Ⅰ
tan 2 0
xC
2 I xc y c I xc I yc
惯性矩和惯性积的转轴公式任意面元da在旧坐标系oxy和新坐标系oxsincossincosda22cossinsincoscossin上式表明截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数并等于截面对该坐标原点的极惯性矩?将前两式相加得24由惯性积的转轴公式可知当坐标轴旋转时惯性积将随着角作周期性变化且有正有负
I y A x d A
2 2
I x A y d A
2
y
由于 y x
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 d A ( y 2 x 2 ) d A I x I y 所以 I p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
A
A
y
A
yd A A
x
xd A
A
A
y
A
yd A A
3. 静矩与形心坐标的关系
Sy A x
Sx A y
结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。
4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
组合截面形心和形心主惯性矩的编程计算
I y = I yc + b 2 A
I zy = I zc yc + abA
工程中截面的形状大多数是规则的和简单的或是由它们组合而成的， 对于那些简单 的图形的截面性质我们很容易得到，像矩形，三角形，梯形，圆形的形心坐标，形心惯 ［1］ 性矩的大小都可以通过查表获得 ，
三、程序流程
程序流程图如下所示:
1 1 1 2
一、 引 言
在求梁的弯曲切应力、弯曲正应力时，需要先求出惯性矩。而工程结构的截面多为矩形、圆形等 基本形状构成的组合截面，其形心位置、惯性矩的计算非常繁锁。本文将用 C 语言编程来计算组合复 杂图形的形心及惯性矩，并对几种复杂图形进行了计算，其计算结果和手算结果一致，从而验证了程 序的准确性。
组合截面形心和形心主惯性矩的编程计算＊
刘达林 张轲 张刘君 宇慧平 （1 北京工业大学机电学院大二学生,2 北京工业大学机电学院教师，100022）
摘要：梁的弯曲应力与横截面的形心位置、形心主惯性矩有关。而工程结构的截面多为矩 形、圆形等基本形状构成的组合截面，其形心位置、惯性矩的计算非常繁锁，本文通过计 算机编程来计算截面的形心的位置和形心主惯性矩，效果很好。 关键词：形心，惯性矩，编程
＊
北京工业大学教育教学研究项目（001000514120）资助
- 143 -
开始
自定义各简单图形形心坐标公式及形 心惯性矩计算公式函数。
建立坐标系
选择要输入
输入简单图形坐标
得出简单图形形心坐标
计算得出总形心坐标
再次选择所需简单图形 0 表示结束
根据用户输入的坐标计算出各简单图形的形心惯性矩
计算出总惯性矩
二、 理论基础
在编程中用到的理论公式有： （1）组合截面的形心坐标计算
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 yydAdSx xdA dS y == x dA 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==A Ay ydA Sx xdA S （I-1） 0 A y 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0A S y x = ， AS x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========n i n i ii xi x n i ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===n i i n i i iAx A x 11， ∑∑===n i in i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
10 150yC x1
x
由于对称知： xC=0
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-2 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
Iz
y 2 d A,
A
Iy
z2dA
A
工程中常把惯性矩表示为平面图 形的面积与某一长度平方的乘积， 即
Iy A iy2
或
iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
1.5d
(2d )3
3d 2 (0.177 d )2
d 4
[
d 2
(0.5d
0.177 d )2 ]
0.685 d 4
A
dA
zdy
h1
y2 b2
dy
dz
z
yC C y
O b
A
y
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
z
h yC C z O y dy
b
Sz
y
ydA
A
b 0
yh1
y2 b2
dy
b2h 4
yC
Sz A
3b 8
z
dz
z
yC C y
y
O b
Sy
4bh2 15
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件
数值模拟与优化
利用数值模拟技术，如有限元方法、边界元方法等，可以更精确地计算 截面的静矩和形心位置及惯性矩，并在此基础上进行结构优化设计。
03
多学科交叉
未来研究可以结合多个学科领域，如物理学、化学、生物学等，以更全
面地理解截面的静矩和形心位置及惯性矩的本质和规律，推动相关领域
的发展。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
对于任意形状截面，其静矩可以通过对截面进行微分， 然后计算每个微元面积与微元重心到截面边缘的距离乘 积，最后对所有微元的静矩进行积分得到。形心位置可 以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积与微 元重心坐标的平均值得到。惯性矩可以通过对截面进行 微分，然后计算每个微元的面积、微元重心到截面边缘 的距离以及微元的转动惯量，最后对所有微元的转动惯 量进行积分得到。
矩值。
通过公式计算其半径和 圆周率，得出惯性矩值。
通过公式计算其长轴、 短轴和圆周率，得出惯
性矩值。
不规则截面
需采用数值分析方法进 行近似计算或通过实验
测量得出。
03
截面几何特性的应用
结构强度分析
静矩
静矩是截面内力的一个重要参数，用于计算截面在受力时的稳定性。静矩的计算公式为 ∫(y*dA)，其中y为截面各点到截面中心的距离，dA为面积微元。
形心位置
形心是截面的几何中心，其位置决定了截面的质量分布和转动惯量。形心位置可以通过积分 计算得到，公式为∫dA/A∫dxdy，其中A为截面面积。
惯性矩
惯性矩是衡量截面抗弯能力的重要参数，其计算公式为∫y^2dA，其中y为截面各点到形心距 离，dA为面积微元。
结构稳定性分析
结构失稳
当结构受到的外部载荷超 过其承载能力时，结构会 发生失稳，导致结构变形 甚至破坏。
惯性矩计算公式
惯性矩计算公式(总1页)
--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--
--内页可以根据需求调整合适字体及大小--
惯性矩计算公式：
矩形：b*h^3/12
三角形：b*h^3/36
圆形：π*d^4/64
环形：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D
^3表示3次
截面抵抗矩（W）就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比值1）找出达到极限弯矩时截面的中和轴。
它是与弯矩主轴平行的截面面积平行线，该中和轴两边的面积相等。
在双轴对称截面中，这条轴是主轴。
2）分别求两侧面积对中和轴的面积矩，面积矩之和即为塑性截面模量。
矩形截面抵抗矩W=bh^2/6 圆形截面的抵抗矩W=^3/32 圆环截面抵抗矩：W=π(R4-
r4)/(32R)
2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC b2 A
附录Ⅰ 截面的几何性质
同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a b)2 A
注意！C点必须为截面形心。
附录Ⅰ 截面的几何性质
y
例 Ⅰ-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.
y
1、将某一简单图形的形心轴取为坐标轴，
C1（0，0） 图形分割及坐标如图（a）
C2 C2（-35，60）
C1
x
xc
xci Ai xc1A1 xc2 A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
yc
60 10 110 10110 8010
xc
A xdA Sy AA
yc
A ydA Sx AA
在还上可式 改中写为xc：，yc 分别为截面图形形心的坐标值。上式
Sx yc A
Sy xc A
因此已知形心位置，就可以求得某截面对于坐标轴的
静矩。
附录Ⅰ 截面的几何性质 三、形心位置与静矩之间的关系特征
1、截面对形心轴的静矩为零
一、截面的静矩（类似于力矩）
dSx dA y
dSy dA x
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
附录Ⅰ 截面的几何性质 二、形心位置
确定截面图形的形心位置时，我们借助理论力学中 等厚均质薄片重心的概念，当薄片的形状与我们所研 究的截面图形形状相同，且薄片厚度取得非常小时， 薄片的重心就是该截面图形的形心。即
则对应的坐标轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之 惯性矩称为主惯性矩。
2、形心主轴和形心主惯性矩 主轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。
附录Ⅰ 截面的几何性质 3、求截面形心主惯性矩的方法
Ix Ixi
I y I yi
Ixy Ixyi
例 Ⅰ-3-2 计算图示箱式截面对水平形心轴 z 的惯性矩I z 。
500
C· z
(mm)
50
50
附录Ⅰ 截面的几何性质 500 z'
C ···CC12
yC yC外 400
z
yC内 425
y
50
50
解：选参考系 yz 确定 形心位置：
附录Ⅰ 截面的几何性质
例 Ⅰ-2-1 求矩形截面的惯性积I xy 及两轴惯性矩I x 和I y
y
解：平行X轴取一窄长条，则
h
dy
2 h
y
x
Ix
y2dA
A
h
2 h
y2
bdy
2
bh3
12
2
bb 22
同理，可得：
Iy
hb3 12
又因x、y轴皆为对称轴，故 I xy 0
2、截面对某轴静矩为零，则该轴为形心轴
四、组合截面图形的形心
工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复 杂的截面形状看成是由若干简单图形（如矩形、圆形等） 组合而成的。对于这样的组合截面图形，计算其对某一轴 的静矩就应该为此截面各组成部分对于某一轴的静矩之代 数和。即静矩公式为：
n
Sx Ai yci i 1
解 ：求解此题有两种方法：一是安
d O
A
x B
定义直接积分；二是用平行移轴 公式求。
建立形心坐标如图,求图形对形心轴 的惯性矩。
Ip
d4
32
Ix
Iy
2Ix
Ix
Iy
d4
64
I AB
Ix
d 2 A 2
d 4
64
d 4
16
5d 4
64
附录Ⅰ 截面的几何性质 二、组合截面的惯性矩和惯性积
组合 I z I z外 I z内
I y I y外 I y内
代入 D=80mm, d=20mm
得： I y 2.01106 mm4
I z 2.0106 mm 4
附录Ⅰ 截面的几何性质 主惯性轴 一、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1、主惯性轴和主惯性矩： I x0 y0 0
yC
500800 400 400550 425 500800 400550
369.44
mm
Iz外
500 800 3 12
500 800
yC外 yC
2
附录Ⅰ 截面的几何性质
I
z内
400
550 12
3
4面的几何性质 Ⅰ.3 平行移轴公式
一、平行移轴公式
以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图
yc
xc
C yc a
b
SxC AyC 0
x
y
a b
xc yc
Ix
y 2dA
A
xc
(b
A
yC
)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
2
Iz Iz外 Iz内 1.541010 mm4
附录Ⅰ 截面的几何性质
例 Ⅰ-3-3 求图示带圆孔的圆形截面I y 和I z D=80mm，d=20m。
zz
解：
I y外
I z外
D 4
64
d
y
I
y内
d4
64
D
I z内
d4
64
d2
4
d 2
2
(mm)
34.7
附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ.2 惯性矩、惯性半径、惯性积
一、惯性矩：（类似于转动惯量）
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
IP 2dA Ix I y
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则：Ixy =0
附录Ⅰ 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ.1 静矩和形心 Ⅰ.2 极惯性矩、惯性矩和惯性积 Ⅰ.3 平行移轴公式
附录Ⅰ 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质 Ⅰ.1 静矩和形心
max
FN m ax A
;
T GI P
;
max
Tm ax WP
n
Sy Ai xci i 1
附录Ⅰ 截面的几何性质 同时我们也可求出组合图形的形心位置为：
n
Ai xci
xc
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yci
yc
i 1 n
Ai
i 1
附录Ⅰ 截面的几何性质 例 Ⅰ-1-1 试确定下图的形心。
解 ： 用组合图形求形心的公式来解。