平面向量线性运算教案

即a＝(－7||，10)＝ .
又B(1||，0)||，设A点坐标为(x||，y)||，则 ＝(1－x||，0－y)＝(－7||，10)||，
∴ ⇒
即A点坐标为(8||，－10)．
1．已知 ＝(－2||，4)||，则下面说法正确的是()
A．A点的坐标是(－2||，4)
B．B点的坐标是(－2||，4)
C．当B是原点时||，A点的坐标是(－2||，4)
教学重点
向量的加减法的运算。
教学难点
向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题||，一般难度不大||，属于简单题。
（1）向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”||，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点||，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
(1)点P在第一、三象限角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】设点P的坐标为(x||，y)||，
则 ＝(x||，y)－(2||，3)＝(x－2||，y－3)||，
＋λ ＝(5－2||，4－3)＋λ[(7||，10)－(2||，3)]＝(3＋5λ||，1＋7λ)．
∵ ＝ ＋λ (λ∈R)||，
(2)已知向量a||，b的坐标分别是(－1||，2)||，(3||，－5)||，求a＋b||，a－b||，3a||，2a＋3b的坐标．
【规范解答】（1）∵A(2||，－1)||，B(3||，4)||，C(－2||，0)||，
∴ ＝(1||，5)||， ＝(4||，－1)||，
＝(－5||，－4)．
∴3 ＋2 ＝3(1||，5)＋2(4||，－1)
（2）平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量A.B为邻边作平行四边形||，则以O为起点的对角线 就是 与 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
由于方向反转两次仍回到原来的方向||，因此 和 互为相反向量。
于是 。
我们规定||，零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量||，即 。
【解析】∵A(2||，－1)||，B(4||，2)||，C(1||，5)||，
∴ ＝(2||，3)||， ＝(－3||，3)．
∴ ＋2 ＝(2||，3)＋2(－3||，3)＝(2||，3)＋(－6||，6)＝(－4||，9)．
1.已知点A(2||，3)||，B(5||，4)||，C(7||，10)||，若 ＝ ＋λ (λ∈R)||，试求λ为何值时||，
【规范解答】（1）∵a＝(－1||，2)||，b＝(1||，－1)||，c＝(3||，－2)||，
∴pa＋qb＝p(－1||，2)＋q(1||，－1)＝(－p＋q||，2p－q)．
∵c＝pa＋qb||，
∴ 解得
故所求p||，q的值分别为1||，4.
（2）由A(－2||，4)||，B(3||，－1)||，C(－3||，－4)||，
∴四边形ABCD为平行四边形．
2.【答案】2
【解析】| ＋ ＋ |＝| ＋ |＝2| |
＝2 ＝2 .
3.【答案】
【解析】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
1．已知A(－1||，－2)||，B(2||，3)||，C(－2||，0)||，D(x||，y)||，且 ＝2 ||，则x＋y＝________.
2．若向量a＝(x＋3||，x2－3x－4)与 相等||，其中A(1||，2)||，B(3||，2)||，则x＝________.
＝(3＋8||，15－2)
＝(11||，13)．
－2 ＝(－5||，－4)－2(1||，5)
＝(－5－2||，－4－10)
＝(－7||，－14)．
（2）a＋b＝(－1||，2)＋(3||，－5)＝(2||，－3)||，
a－b＝(－1||，2)－(3||，－5)＝(－4||，7)||，
3a＝3(－1||，2)＝(－3||，6)||，
【规范解答】由题知B、D分别是30°||，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1||，y1)||，D(x2||，y2)．
由三角函数的定义||，得
x1＝cos 30°＝ ||，y1＝sin 30°＝ ||，∴B .
x2＝cos 120°＝－ ||，y2＝sin 120°＝ ||，
∴D .
∴ ＝ ||， ＝ .
1.已知O是坐标原点||，点A在第一象限||，| |＝4 ||，∠xOA＝60°||，
(1)求向量 的坐标||；
(2)若B( ||，－1)||，求 的坐标．
2．若向量 ＝(2||，3)||， ＝(4||，7)||，则 ＝()
A．(－2||，－4)B．(3||，4)
C．(6||，10)D．(－6||，－10)
2a＋3b＝2(－1||，2)＋3(3||，－5)
＝(－2||，4)＋(9||，－15)
＝(7||，－11)．
在进行平面向量的坐标运算时||，应先将平面向量用坐标的形式表示出来||，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差||，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)．
∴ 解得
∴x＋y＝ .
2.【答案】-1
【解析】∵A(1||，2)||，B(3||，2)||，
∴ ＝(2||，0)．
又∵a＝ ||，它们的坐标一定相等．
∴(x＋3||，x2－3x－4)＝(2||，0)．
∴
∴x＝－1.
3.【答案】(1||，－1)
【解析】函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的顶点坐标为(－1||，1)||，函数y＝x2的顶点坐标为(0||，0)||，则a＝(0||，0)－(－1||，1)＝(1||，－1)．
适用学科
高中数学
适用年级
高一
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课时时长（分钟）
2课时
知识点
向量的加法||；向量的减法||；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究||，掌握向量加法概念||，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则||，并能作出已知两向量的和向量。通过探究活动||，掌握向量减法概念||，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行||，掌握相反向量。
D．当A是原点时||，B点的坐标是(－2||，4)
2．设平面向量a＝(3||，5)||，b＝(－2||，1)||，则a－2b＝()
A．(6||，3)B．(7||，3)
C．(2||，1)D．(7||，2)
3.若A(2||，－1)||，B(4||，2)||，C(1||，5)||，则 ＋2 ＝________.
(1)有一个为零向量||；(2)两个都为零向量||；
(3)同向且模相等||；(4)同向且模不等||；
(5)反向且模相等||；(6)反向且模不等。
数与向量的积仍是一个向量||，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定||，大小由 确定。它的几何意义是把向量 沿 的方向或 的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的||，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点||；而向量的平行既包含没有交点的情况||，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量 ||，以及任意实数 ||，恒有
所以||，如果 是互为相反的向量||，那么 。
设 为实数||，那么
(1) ||；
(2) ||；
(3) .
特别地||，我们有 ||， 。
向量共线的等价条件是：如果 与 共线||，那么有且只有一个实数 ||，使 。
类型一平面向量的坐标表示
已知边长为1的正方形ABCD中||，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和 与 的坐标．
1．在四边形ABCD中||， ＝ ＋ ||，则四边形ABCD的形状一定是________．
2．已知在矩形ABCD中||，AB＝2||，BC＝3||，则| ＋ ＋ |＝________.
3.如图所示||，在平行四边形ABCD中||， ＋ ＋ ＝________.
答案与解析
1.【答案】平行四边形
【解析】∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ||，∴ ＝ .
3．函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图象的解析式为y＝x2||，则向量a的坐标是
________．
答案与解析
1.【答案】
【解析】∵ ＝(－2||，0)－(－1||，－2)＝(－1||，2)||，
＝(x||，y)－(2||，3)＝(x－2||，y－3)||，
又2 ＝ ||，即(2x－4||，2y－6)＝(－1||，2)||，
类型三由向量相等求坐标
(1)若 ＝(－1||，2)||， =(1||，－1)||， ＝(3||，－2)||，且 ＝p ＋q ||，则p＝________||，q＝________.
(2)已知A(－2||，4)||，B(3||，－1)||，C(－3||，－4)||，且 ＝3 ||， ＝2 ||，求M||，N及 的坐标．
答案与解析
1.【答案】{(1||，1)}.
【解析】设a＝(x||，y)||，则P＝ ||，
∴集合P是直线x＝1上的点的集合．
＝(x2＋3||，y2＋4)＝(12||，6)||，x2＝9||，y2＝2||，
所以M(0||，20)||，N(9||，2)||，
＝(9||，2)－(0||，20)＝(9||，－18)．
【总结与反思】
(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等||；对应坐标相等的向量是相等向量．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件||，可以建立相等关系||，由此可求某些参数的值．
(2) ＝(2 ||，6)－( ||，－1)＝( ||，7).
2.【答案】
【解析】 ＝ － ＝(2||，3)－(4||，7)＝(－2||，－4).
3.【答案】(8||，－10)
【解析】∵b＝(－3||，4)||，c＝(－1||，1)||，
∴3b－2c＝3(－3||，4)－2(－1||，1)＝(－9||，12)－(－2||，2)＝(－7||，10)||，
1.已知P＝{a|a＝(1||，0)＋m(0||，1)||，m∈R}||，Q＝{b|b＝(1||，1)＋n(－1||，1)||，n∈R}是两个向量集合||，则P∩Q＝________.
2.如图所示||，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F||，E||，使BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
可得 ＝(－2||，4)－(－3||，－4)＝(1||，8)||，
＝(3||，－1)－(－3||，－4)＝(6||，3)||，
所以 ＝3 ＝3(1||，8)＝(3||，24)||，
＝2 ＝2(6||，3)＝(12||，6)．
设M(x1||，y1)||，N(x2||，y2)||，
则 ＝(x1＋3||，y1＋4)＝(3||，24)||，x1＝0||，y1＝20||；
答案与解析
1.【答案】
【解析】由任一向量的坐标的定义可知．当A点是原点时||，B点的坐标是(－2||，4)．
2.【答案】
【解析】∵a＝(3||，5)||，b＝(－2||，1)||，
∴a－2b＝(3||，5)－2(－2||，1)＝(3||，5)－(－4||，2)＝(7||，3)．
3.【答案】(－4||，9)
∴(x－2||，y－3)＝(3＋5λ||，1＋7λ)||，
∴
∴ ∴P(5＋5λ||，4＋7λ)．
(1)若点P在第一、三象限角平分线上||，
则5＋5λ＝4＋7λ||，故λ＝ .
(2)若点P在第三象限内||，则
解得
故λ<－1||，即只要λ<－1||，点P在第三象限内．
课程小结
共线向量可能有以下几种情况：
3．已知a＝ ||，B点坐标为(1||，0)||，b＝(－3||，4)||，c＝(－1||，1)||，且a＝3b－2c||，求点A的坐标．
答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】设点A(x||，y)||，则x＝4 cos 60°＝2 ||，
y＝4 sin 60°＝6||，即A(2 ||，6)||， ＝(2 ||，6)．
【总结与反思】
(1)在求一个向量时||，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标||，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(2)求一个点的坐标||，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
类型二平面向量坐标运算
(1)已知三点A(2||，－1)||，B(3||，4)||，C(－2||，0)||，则向量3 ＋2 ＝________||， －2 ＝________.