排列组合之分堆问题
10.2排列组合中的分组分配问题
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
(1) (2) (3) 2 2 C6C4 1 2 C6C5 2 C2 3 C3 3 A3 (4) (5)
3 3 3 9 3 6
种．
3 ⑤先分3件为一堆有 C9 种方法，然后6件平均分配应有
3 2 2 2 C C C C C C C 9 6 4 2 1260 种． 种方法，故共有 3 A3 A
2 6
2 4 3 3
2 2
三：部分均分有分配对象的问题 例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
3 4 5 3 C 12 C 9 C 5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5
12! 8! 4!· 8! 4!· 4!
1 3!
5775
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中
选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长． 5 5 C10 C5 分组有 种方法， 2 A2
每组中选正、副组长都有 A 种方法． 由分步计数原理共有
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
2 5
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
排列组合问题
排列组合问题，首先要弄清什么叫做完成事情，这件事是“分类”还是“分步”完成，要考虑“有序”或“无序”，即分清是排列还是组合，并掌握一些典型例题和特定的方法。
1．特元特位法：优先解决有特殊要求的元素或者位置，如组数问题中最高位的限制或者排队问题中有特殊要求的元素2．捆绑法：也称“大元法”，是相邻问题的常用方法，将相邻元素视为一个元素与其余元素进行排列，注意内部的顺序。
3．插空法：解决不相邻问题的常用方法，排列时让没有要求的元素先排列，然后不相邻的元素再插空。
4．隔板法：分相同元素的一种特殊方法，n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从n-1空中选m-1个空放入m-1板使之隔成m段，有种方法.5．间接法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.6．分类讨论法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
两种特殊的排列组合问题1．分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；2．错位排列：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,时的错位数各为1,2,9. 本周例题：1．已知是集合到集合的映射（1）不同的映射有多少个？（2）若要求则不同的映射有多少个？（3）满足的映射有多少个？分析：（1）确定一个映射，需要确定的像（2）的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算（3）用间接法相对方便一些。
解：（1）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有个不同映射（2）根据对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）（3）由（1）知所有的81个映射中，象集中没有“0”元素有个，所以象集中含有“0”的共有81-16=65个。
排列组合的题型与方法
（二）分组分配问题 5.限制条件的分配问题分类法: 例6.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西 部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不 到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
A 60 种。 A
5 5 2 2
（一）排序问题 4.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位 置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例4.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念， 若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有 A1 种 ,
3
种，4名同学在其余4个位置上有 A4 种方法； 4
解析、(1)先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中 选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务， 2 1 1 不同的选法共有 C10 C8C7 2520 种
（二）分组分配问题 2.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若 干组，可用逐步下量分组法.
例3、(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的 调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( A )
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少 一本，不同的分法种数为( B ) A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
2 4 C5 A4 240
（二）分组分配问题
4.名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法): 例5：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少 一个名额，有多少种不同分配方案？
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
顿悟排列组合80题
求 2 号白球与 4 号红球排在一起,一共有_____种不同的排法. 30、有红，黄，蓝三种颜色的球各 7 个，每种颜色的 7 个球分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7，从 中任取 3 个标号不同的球，这 3 个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数是 多少？
3 3 4
（E） 8!C6 4!
4
19、 A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排 法种数有 A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 E、28 20、1 名老师和 4 名同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有____种 21、有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 个人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 (A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363 （E）280 22、电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求 首尾必须播放公益广告，则共有______种不同的播放方式. 23、不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能 排在一起，则不同的排法种数共有 A、12 B、20 C、24 D、48 E、28 24、有 6 个座位连成一排，安排 3 人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 A、36 B、48 C、72 D、96 E、38 25、5 人站成一排，其中 A 不在左端也不和 B 相邻的排法种数为 A、48 B、54 C、60 D、66 E、38 26、由数字 0，1，2，3，4，5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 A、72 B、60 C、48 D、52 E、38 27、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4 相 邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不 相邻，这样的八位数共有 个. ． A、182 B、146 C、196 D、576 E、380 28、有 8 个不同元素排成两排，每排 4 个元素，其中 a、b 不可以相邻和相对，有多少种排 法？ 29、标号为 1,2,3,4 的红球与标号为 1,2 的白球排成一排,要求每个白球的两边都有红球,且要
高中数学分堆分配问题
高中数学分堆分配问题篇一：高中数学排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.22分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是C26C4C2=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A3所以分法是3，222C6C4C2=15(种)。
(2)先分A3323组，方法是C1那么还要不要除以A3由于每组的书的本数是不一样的，6C5C3，3？我们发现，23因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种) 分法。
11(3)分组方法是C46C2C1=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，CC2C1=15(种)。
排列组合相关问题
排列组合专题类型一、有关的运算例1．若33210n n A A =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．10【详解】∵33210n n A A =，∴2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，化简可得42510n n -=-，则8n =.故选：B例2．899091100⨯⨯⨯⨯可以表示为( )．A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A【详解】899091100⨯⨯⨯⨯＝12100A ，故选：C ﹒例3．a ∈N *，且a <27，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于（ ）A ．827a A -B ．2734aa A --C ．734a A - D ．834a A -【详解】从27－a 到34－a 共有34－a －(27－a )＋1＝8个数，∴(27－a )(28－a )…(34－a )＝834a A -. 故选：D.例4．若37C C n n =，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【详解】因为37C C n n =，则由组合数的性质有37n +=，即10n =，所以n 的值为10. 故选：D例5．3101297100100A C C +等于（ ）A ．16B ．101C ．1107D ．6【详解】333310110110132972100100100100310316A A A A C C C C C ====++. 故选：D.例6．计算34C ＋35C ＋36C ＋＋32015C 的值为（ ）A ．42015CB ．32015CC ．42016C －1 D ．52015C －1【详解】33334333344562015445620154C C C C C C C C C C ++++=+++++-4333455620154C C C C C =++++-434420152015420161C C C C =+-=-.故选：C.类型二、位置分析法例7．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A ．24种 B ．6种 C ．4种 D ．12种【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面， 则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有333216A =⨯⨯=，故选：B ．例8．某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A 组不是第一个演讲的方法数为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．18【详解】由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有44A 种情况 其中A 组是第一个演讲的方法数为33A故A组不是第一个演讲的方法数为434324618A A-=-=故选：D例9．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（）种A．144B．192C．216D．324【详解】①先排3个音乐节目有33A种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共336A=种排法；③再排3个曲艺节目，共336A=种排法；∴由分步乘法记数原理有666216⨯⨯=种排法．故选：C．类型三、相邻问题捆绑法例10．3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）．【详解】根据题意，分3步进行分析：①将3个老师分成2组，有23C种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有2232C A种情况；②将剩余的3个学生全排列，有33A种排法，排好后，有4个空位；③在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有24A种方法，则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有22323234432C A A A=种.故答案为：432.例11．春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种．【详解】解：将A ，B 捆绑，先确定A ，B 的位置，有223A 种可能，再将剩余节目排序，有44A 种可能，所以不同的排序方式有24243144A A =（种）．故答案为：144.例12．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有______种. 【详解】解：因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有22A 种排法，再将其看作一个元素，和其他两位男生一起排列，有33A 种排法，所以共有232312A A =种排法.故答案为：12类型四、不相邻问题插空法例13．用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）. 【详解】先排3,4，形成3个空位，然后将1,2排入，所以符合题意的四位数的个数为222312A A =.故答案为：12例14．新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示） 【详解】先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有55A 种排法，其中有6个空插入2个唱歌节目，有26A 种排法，故共有52563600A A =. 故答案为：3600.例15．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有______种．（用排列数回答） 【详解】先把4个商业广告排好顺序，共有44A 种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分步乘法计数原理，共有4245A A 种方法．故答案为：4245A A类型五、定序问题例16．,,,,A B C D E 共五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边，那么不同的排法有___________种. 【详解】1、将C 、D 、E 排成一列，有336A =种， 2、把,A B 作为整体插入4个空中，有14C 4=种，或,A B 分别插入4个空中的2个空中，有246C =种，所以共有312344()60A C C +=种. 故答案为：60.例17．7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法. 【详解】根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有47A 840=种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况， 则共有8401840⨯=种不同的排法； 故答案为：840.例18．6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．（用数字作答） 【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有222A =种排法，把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列，有4424A =种排法，所以，总共有22448⨯=种排法故答案为：48类型六、分组分配问题例19．甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有______种． 【详解】甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案种数为2223642333C C C ×A 90A =. 故答案为：90.例20．北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 【详解】若5个人分为3,1,1，则安排方法数有335360C A =种，若5个人分为2,2,1，则安排方法数有2235332290C C A A ⋅=种，故不同的方法数有6090150+=种. 故答案为：150例21．为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种. 【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为1326C C 种；2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为13226222C C A A ⋅种.所以不同的分配方法共有1322622240C C A A ⋅=种.故答案为：40类型七、隔板法例22．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有25=10C 种方法， 故答案为：10例23．方程11x y z ++=的非负整数解共有___________组． 【详解】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有21378C =种方法，所以方程11x y z ++=的非负整数解共有78组. 故答案为：78例24．6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____． 【详解】根据题意，先将6个小球排成一列，不含两端有5个空位．原问题可以转化为在5个空位中，任取2个插入挡板，有种方法.类型八、分堆问题 例25．已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ （3）分给甲､乙､丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？ 【详解】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C C A =. （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C =（3）在（2）的分堆中，甲､乙､丙三人任取一堆，不同的分配方法的种数为3360360A =. 例26．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球． （1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答） 【详解】解：（1）7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有33223322144A A A A =种方法；（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有13762270C CA =种分法；（3）当取出2个红球，1个的白球，1个的黑球时，211223147C C C p C =； 当取出1个红球，2个白球，1个黑球时，121223247C C C p C =；当取出1个红球，1个白球，2个黑球时，112223347C C C p C =； 211121112223223223123472435C C C C C C C C C p p p p C ++=++==. 故各种颜色的球都必须取到的概率为2435．。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合中的分堆问题最新版
例2：（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、 乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
例2：（1）6本不同的书按 2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个 人，有多少种不同的分法？
一：均分不安排工作的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
14 2 C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
12 2 C
120C82
C
6 6
A
3 3
二：分堆安排工作的问题
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
练习3
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条 件，各有多少 种不同的分法？
排列组合中的分堆与分配问题
排列组合中的分堆与分配问题作者：陈学帅来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2015年第13期摘要：介绍了排列、组合中比较困难的分堆与分配问题的解决方法。
从分给的对象和被分的元素是否相同（即有无差别）两个方面分别进行了研究。
分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同是分堆问题，当各堆的元素数不同时是非平均分堆，一堆一堆的拿开即可；当各堆（或部分堆）的元素数相同时是平均分堆，按堆拿开后，若有k堆元素数相等，再除以；分给的对象不同（即有差别）是分配问题，给不同的对象逐次拿开或先分堆再分配。
关键词：排列组合分堆分配解决方法排列、组合中的分堆与分配问题是近几年高考中的一个热点问题，同时也是学生学习中的一个难点，本文就从被分的元素和分给的对象两端这两个方面来探讨一下此类问题的解决方法。
在将某些元素进行分配的问题中，我们按分给的对象是否相同（即有无差别）分为分堆问题与分配问题。
一、分堆问题分堆是研究将元素所分给的对象相同（即无差别）但被分的元素不相同的一类问题。
当各堆（或部分堆）分得的元素数相同时，称为平均分堆；当每堆分得的元素数各不相同时，称为非平均分堆。
1.非平均分堆例：将6名运动员分成三组，其中有一组1人的，一组2人的，一组3人的，有多少种不同的分法？解：本题中由于分给的对象无差别，并且每组的人数各不相同，所以这是一个非平均分堆问题，按题设要求逐堆随机拿开即可。
二、分配问题将元素所分给的对象不相同（即有差别）时的问题叫做分配问题。
分配问题按被分的元素是否相同又分为被分的元素相同（无差别）的分配问题与被分的元素不相同（即有差别）的分配问题两类：（一）被分的元素相同（无差别）的分配问题此类分配问题中，由于被分的元素无差别，因此在分配中，若将若干个元素平均分给几个对象，则只有一种分法；若几个对象所得元素数各不相同，则存在不同的分法。
例2．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每个班至少出1人，共有多少种不同的选法？分析：本例其实就是将10个参加数学竞赛的名额分给7个班的分配问题，被分的名额是无差别的，但分给的对象即7个班是不同的。
排列组合常用方法
解决排列组合问题的常用方法一、特殊元素法例：用1，2，3，4，5，6组成无重复的四位数，求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 排除法⑶有三张卡片，正面分别写着1，2，3三个数字，反面分别写着0，5，6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？分析：先排列三张卡片，然后再计算组成的三位数的个数，其算式为4022A 222A 2233=⨯⨯-⨯⨯⨯；也可回归到分步计数原理，则是40245=⨯⨯二、相邻问题-----捆绑法:1.⑴6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有几种？2402255=⋅A A⑵4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576不相邻问题-----插空法：2.⑴要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不相邻，问有多少不同的排法？4766A A ⋅ ⑵在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
等可能问题------缩倍法3.A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在 A 的右边（ A 、B 可以不相邻），那么有多少种排法？60/2255=A A枚举法4.将数字1、2、3、4填在标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填上一个数字，且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有几种？分析：此题的背景是同学们所不熟悉的错排问题，不好利用计数原理解之。
关于排列组合中的分组排队问题
关于排列组合中的分组排队问题类型Ⅰ 分组问题例1有6本不同的书，计算以下情况的各种可能？①将其平均分给甲乙丙三人 ②将其平均分成三堆③将其分成三堆，一堆1本，一堆2本, 一堆3本 ④将其分成三堆，两堆1本，一堆4本⑤将其分给甲乙丙三人,甲得1本,乙得2本 丙得3本 ⑥分给甲乙丙三人,一人得1本,一人得2本,一人得3本. ⑦分给甲乙丙三人每人至少一本答案：①90222426=C C C ②15/33222426=A C C C ③60332516=C C C④4622441516C A C C C = ⑤60332516=C C C ⑥36033332516=A C C C ⑦该问题可以转化三种类型ⅰ: 222型 90222426=C C Cⅱ： 123型 36033332516=A C C Cⅲ： 114型 33463322441516A C A A C C C = 小试牛刀：已知集合(}4.3,2,1=A ，集合{}2,1--=B .设映射B A f →: 且集合B 中元素在集合A 中都有原象，那么这样的映射有__________种 类型Ⅱ 排队问题 例2七人排队① 共有多少种排法？② 7名同学站成2排（前3后4） ③ 甲在中间 ④ 甲不在中间 ⑤ 甲乙在两端 ⑥ 甲乙不相邻⑦ 甲乙不在排首排尾 ⑧ 甲乙中间夹一人⑨ 甲乙中间至少两人 ⑩ 甲乙丙顺序一定 ⑪ 甲乙两人之间恰有3人 ⑫ 甲乙不在两端且与丙不相邻答案：⑪504077=A ⑫504077=A ⑬ 72066=A⑭43206616=A C ⑮2405522=A A ⑯36002655=A A⑰2400245566775525=+-=A A A A A ⑱1200552215=A A C⑲552215226677A A C A A A -- ⑳3377A A⑴232235A A A ⑵1080332223222224442412=⎩⎨⎧⨯+A A A A A A A A C 甲乙不相邻甲乙相邻 类型Ⅲ 隔板问题例3：12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有___________种。
解决排列组合问题的常用方法
按分类计数原理有 种
2、在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
第一类办法从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C C 个；第二类办法从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C 个；第三类办法从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C 个由加法原理共有N=C C +C C +C C 个三角形
【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
解（1）分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；
分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；
插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，
捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法
点评：以上问题归纳为
分给人（有序）
分成堆（无序）
非均匀
均匀
顿悟排列组合80题(精华)
顿悟排列组合８０题【分堆(分组)与分配】1、8本不同的书，按照以下要求分配，各有多少种不同的分法?⑴一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；⑵甲得1本,乙得2本,丙得5本；⑶三人，一人1本, 一人2本, 一人5本；⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；⑺给三人一人4本, 一人2本, 一人2本。
2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法种数共有______3、6名旅客安排在3个房间，每个房间至少安排一名旅客，则不同的安排方法种数共____4、把A、B、C、D四个小球平均分成两组，有_________种分法5、七个人参加义务劳动，按下列方法分组有______种不同的分法（1）分成三组，分别为1人、2人、4人；（2）选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。
6、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有_____种7、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（A）480 （B）240 （C）120 （D）96 （E）808、将9个(含甲、乙)平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为A．70 B．140 C．280 D．840 E. 809、将9个(含甲、乙)平均分成三组，甲、乙分在不同组，则不同分组方法的种数为A．220 B．240 C．420 D．210 E. 18010、从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有A．300 B．240 C．144 D．96 E. 28011、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有＿＿＿种．(A)480 (B)600 (C)430 (D)500 （E）48012、将9本不同的书分成3堆，问：（1）每堆3本，有多少种不同的分法？若分给三人，每人3本，又有多少种不同分法？（2）一堆5本，其余两堆各2本，有多少种不同的分法？若分给甲，乙，丙3人，①每人拿一堆，有多少种不同的分法？②若甲得5本，乙与丙各得2本，又有多少种分法？（3）如果一堆4本，一堆3本，一堆2本，又有多少种的分法？【排队、排座位（元素--位置）：相邻捆绑与相间插空】13、6人排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有______种不同的排法14、n 个人围圆桌而坐，一共有_________种不同的排法15、7人照相，要求排成一排，甲乙两人相邻但不排在两端，不同的排法共有______种。
排列组合中的分堆问题
P(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的 阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1。
组合
组合的定义
01
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序，称为从
n个不同元素中取出m个元素的组合。
组合的计算公式
02
C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]，其中C(n,m)表示从n个不同元素中取出
分堆问题的变种研究
不同限制条件下的分堆问 题
例如，限制每堆中元素的数量、种类或顺序 ，研究这些限制条件对分堆问题解法的影响 。
分堆问题的加权变种
在分堆过程中，给每个元素赋予不同的权重，研究 如何根据权重进行最优分堆。
分堆问题的动态规划解法
研究如何使用动态规划算法解决分堆问题， 以及如何优化动态规划算法的效率。
动态规划法
动态规划法是一种通过将问题分解为 重叠的子问题并存储子问题的解来避 免重复计算的算法。在分堆问题中， 动态规划法可以用来解决具有重叠子 问题和最优子结构的问题。
VS
动态规划法的优点是能够处理具有重 叠子问题和最优子结构的问题，并且 可以避免重复计算。但是，对于一些 问题，动态规划法的空间复杂度可能 会很高。
分堆问题在现实生活中的应用前景
分堆问题在资源分配中的应用
研究如何利用分堆问题解决资源分配问题，例如，将有限的资源分配给不同的项目或任务 。
分堆问题在物流与供应链管理中的应用
研究如何利用分堆问题优化物流和供应链管理中的分拣、打包等问题。
分堆问题在计算机科学中的应用
研究如何利用分堆问题解决计算机科学中的算法设计和数据结构问题。
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关于分组（堆）问题的六个模型及求法
引例 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本；
⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.
分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. ②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.
解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：①学生甲从6本中取3 本有36C 种取法，②学生乙从余下的3本中取2本有23C 种取法，③学生丙从余下的1本中取1本有1
1C 种取法. 所以方法数为321631C C C ＝60；
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有36C 种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C 种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C 种取法，④
将三堆依次分给甲乙丙三人有33P 种分法. 所以方法数为33112336P C C C ＝360； ⑶是指定人应得数量的均匀问题：①学生甲从6本中取2本有2
6C 种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C 种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C 种取法. 所以方法数为222642C C C ＝90； ⑷是分堆的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有36C 种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C 种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有1
1C 种取法. 所以方法数为321631C C C ＝60； ⑸是分堆的均匀问题：相当于①学生甲从6本中取2本有2
6C 种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C 种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C 种取法.方法数为222642C C C ＝90.
然后再取消甲乙丙的分配顺序，故方法数为22236423C C C A ÷＝15； ⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为4113621322
C C C P A ⨯＝90； ⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为41162122
C C C A ＝15. 以上问题归纳为：
分组（堆）问题有六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.
例1 ( 2006年重庆卷理（8）) 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）
（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种
分析：这是一个有序局部等分问题. 根据题意应先将5名实习教师按（2～2～1）分为三组，然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习.
解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12254222
15C C C A ⋅⋅=种方法，再将3组依次分到3个班有336A =种分法. 根据分步计数原理，共有15690⨯=种不同的分配方案，故选
B.
点评：没有明确安排各学校的教师分配数量时，要先将教师分成堆（组）再将各堆依次分配到学校，简称为“先分组，后到位”；对于局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.
例2（2007陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 210 种.（用数字作答）
分析：根据题意应先将3名支教老师按（1～1～1）分为三组或按（2～1）分为两组，然后再将这组依次安排到学校.
解：①将3名支教老师按（1～1～1）分为三组有11132133
1C C C A =种分法，再将三组依次分
到学校有3
6120
A=中分法，根据分步计数原理，共有1×120＝120种不同的分配方案；
②将3名支教老师按（2～1）分为两组有21
313
C C=种分法，再将两组依次分到学校有
2 630
A=中分法，根据分步计数原理，共有3×30＝90种不同的分配方案.
再由分步计数原理，共有120+90＝210种不同的分配方案. 故填210.
点评：分类讨论问题是今年考试的热点. 本题是将分类与分组问题巧妙的融合在了一起，同时达到考察分类计数原理和分步计数原理的目的.
例3（2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）分析：5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，说明必有某一个工厂安排了两个班，其余的3个工厂各有一个班，由于到一个工厂的两个班的“地位”是等同的（无序），不能出现谁先进入谁后进入的局面，也就是说这两个班要同时进入（无序）到这个工厂才可以. 因此应该先分组后到班.
解：由题意，先将5个班分为四组（2～1～1～1）有
2111
5321
3
3
10
C C C C
A
=种分法；再将这
四组依次分配到4个工厂有4
424
A=种分配方法. 根据分步计数原理，共有10×24＝240种不同的进行社会实践分配方案. 故填240.
点评：本题极易出错的解法是：先给4个工厂各分1个班有4
5120
A=种分法，再将余
下的一个班分配到4个工厂之一有1
44
A=种方法. 最后根据分步计数原理，共有120×4＝
480种不同的进行社会实践分配方案. 恰是正确答案240的2倍. 请读者说明出现这种情况的原因.
一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：①明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；②非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；③均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；④局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.。