必备数学第一部分第三章第3节

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初中七年级数学上册,第三章第三节第一课时,《解一元一次方程,--去括号》,新课教学课件

根据往返路程相等，列方程得去括号，得移项及合并，得
2(x+3)=2.5(x-3) 2x+6=2.5x-7.5 0.5x=13.5 X=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时。
------------强化训练-------------某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
答：应安排18人去挖土，30人去运土，
正好能使挖出的土及时运走。
------------强化训练-------------某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 1、你能找出题中的等量关系吗？生产出的甲、乙两种零件恰好能配套
去括号法则： ⑴括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。 ⑵括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号
去括号得：移项得：
合并同类项得：系数化为1得：
6x+6x-12000=150000 6x+6x=150000+12000
12x=162000 x=13500
------------强化训练-------------解方程 3x-7(x-1)=3-2(x+3)
解: 去括号得：移项得：
3x-7x+7=3-2x-6 3x-7x+2x=3-6-7
合并同类项得：－2x = －10 系数化为1得：
X=5

人教B版高中数学必修一《第三章基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_13

幂函数一、教材分析了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.二、教学目标1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.三、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律．难点：幂函数的图象与性质的简单应用重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣. 2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.四、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。

北师大版高中数学必修一课件《3.3.3指数函数的图像与性质(2)》

高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域（1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5；（5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝；（3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝；（5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .

高等数学-高教版第五版-侯风波第3章第3节

第三节微分及其在近似计算中的应用
一、两个实例二、微分的概念三、微分的几何意义四、微分的运算法则五、微分在近似计算中的应用
学习本节，解决以下问题：
1、从两个实例我们知道什么？如何从微小的局部运动找到运动的规律？ 2、微分的概念是什么？ 3、如何利用微分概念求解自变量的增量引起函数的变化量？例3、例4 4、微分的几何意义是什么？ 5、微分的基本公式有哪些？微分运算法则有哪些？ 6、微分在近似计算中的应用有哪些？
高等数学
（第五版）高等教育出版社
公共基础部 2019年9月
第三章导数与微分
第一节第二节第三节
导数的概念求导法则微分及其在近似计算中的应用
复习第一节导数的概念
一、两个实例二、导数的概念三、可导与连续四、求导举例
复习导数的概念
1.导数的定义
2 .平面曲线的切线斜的应用 x0 x
一、两个实例
A x02
x 2
x x0
x0
x
x0 x
x 2
x
A x02
x0
x0
x
二、微分的概念
定义若函数y=ƒ(x)在点x处的增量∆y=ƒ(x+∆x)-ƒ(x)可以表示成 ∆y=A∆x+o(∆x)
三、微分的几何意义
y
y f (x)
M T
M0
L
N

o
AB x
而比值
2．左、右导数
3.导数的几何意义
4.变化率模型
三、可导与连续
复习第二节求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数的求导法则四、初等函数的求导公式五、三个求导方法六、高阶导数

人教B版,必修1第3章第3节幂函数

3.3幂函数教学设计一、教学内容分析幂函数是人教B 版，必修1第3章第3节的内容。

是继指数函数和对数函数后研究的又一基本初等函数。

幂函数在实际生活中有着广泛的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，要让学生体会其实际应用。

学生在初中已经了解21,,y x y x y x -===三个简单的幂函数；前面也学习了指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。

因此，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型并能用系统的眼光看待以前接触的函数，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，再次体会利用信息技术来探索函数及性质的便利。

因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。

二、学生学习情况分析：学生学过了一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，知道了他们的图象和性质；对于用函数图象的性质解决一些数学问题有一定的基础。

学生已经具备了从特殊到一般的逻辑推理能力，有了一定的团队合作能力，小组合作使学生积极性和主动性有所提高，学习兴趣浓度高。

这为学习幂函数作好了准备，让学生对幂函数的学习感到不会太难。

三、设计思想本节课的设计以破案为思路，时刻抓住基本函数的思想,由名侦探柯南入新课题。

运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握幂函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标了解幂函数的概念，明确其图象的形状，理解其性质并简单应用.五、教学重点与难点学习重点：幂函数的概念,图象,性质. 学习难点：幂函数的图象和性质.六、教学过程设计第一阶段：创设情景-探索发现【学生活动】：学生观察树状图，说出破案思路【设计意图】由名侦探柯南引出重大案件：基本初等函数，用类比方法引出幂函数的三部曲定义、图像、性质第二阶段：合作探究-获得新知【第一关】幂函数的定义用三个线索的共同特征引出幂函数的定义【学生活动】：学生小组讨论，说出幂函数的定义[定义] 幂函数：一般地，我们把形如_____的函数称为幂函数，其中_____是常数.【设计意图】培养学生自学能力，语言表达能力[过关检测1]判断下列函数是不是幂函数(1)4y x = (2)21y x = (3) 2x y = (4) 12y x = (5)22y x = (6) 32y x =+ (7) 0y x =【学生活动】：学生回答，师生交流。

2024年人教版数学九年级上册必备书序第一部分第三章第4节-课件

x1=-1，x2=3； ③3a+c＞0;
④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3;
⑤当x＜0时，y随x增大而增大.
的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象;
②当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D. 由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A,B，
然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.
方法规律
1. 二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
值越大，开口越小.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+
bx+c的对称轴是直线
故：①b=0时，对称轴为y轴；
②
（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；③
（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.（口诀:“左同右异”）

（3）c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
C. 对称轴是直线x=-1，最小值是2
D. 对称轴是直线x=-1，最大值是2
2. (2016达州)如图1-3-4-1，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象与x轴交于点A(-1，0)，与y轴的交点B在(0，-2)和(0，
-1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1. 下列结论：
①abc＞0 ;②4a+2b+c＞0; ③4ac-b2＜8a;
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+ bx+c）.

高考数学一轮总复习教学课件第三章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值

(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+

sin 2x,则f(x)的最小值是
.

解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.

必修一数学第三四章知识点

必修一数学第三四章知识点
必修一数学的第三和第四章的知识点主要包括以下几个部分：
第三章：
函数的概念：函数是一种特殊的关系，它描述了两个变量之间的依赖关系。

函数的性质：包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

基本初等函数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

第四章：
指数函数：介绍了指数函数的定义、性质、图像以及应用。

对数函数：介绍了对数函数的定义、性质、图像以及应用。

指数函数和对数函数的转换：介绍了如何将指数函数转换为对数函数，以及如何将对数函数转换为指数函数。

高中数学必修一第3章 3.1 3.1.2 第2课时分段函数

第2课时分段函数学习目标核心素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．[答案] [0，＋∞)3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.8 [∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，∴f (7)＝f (f (12))＝f (9)＝f (f (14))＝f (11)＝8.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2； (2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式如下：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时， f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．把本例条件改为“f (x )＝|x |－2”，再求本例的3个问题． [解] (1)f (x )＝|x |－2＝⎩⎨⎧x －2，x ≥0，－x －2，x <0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的值域为[－2，＋∞)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )[答案] (1)× (2)√2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2[当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。

【初中数学精品辅导资料】第三章第3节解一元一次方程(二)——去括号与去分母

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（3x－2）－1 （3x－2）＋2 例 3. 解方程（3x－2）－＝2－． 2 3 思路分析： 1）题意分析：这个方程较为复杂，但有一个特点，（3x－2）是以一个整体出现的，除此之外不含未知数。 2）解题思路：解这个方程可以把 3x－2 作为一个整体，看成一个未知数，不妨设为 y， y－1 y＋2 把原方程转化为 y－＝2－。解出 y，再求 x。 2 3 解答过程：设 3x－2＝y，则原方程可化为： y－1 y＋2 y－＝2－。 2 3 解这个方程，得 y＝1。当 y＝1 时，3x－2＝1，解得 x＝1。所以原方程的解是 x＝1。解题后的思考：上述解方程的方法可以称作换元法，这种方法可以把复杂的方程简单化，是一种非常好的数学方法．但应注意使用条件，并不是所有方程都能用这种方法。 3（x－1） 0.4－2x 例 4. 解方程：－2.5＝－7.5． 0.2 0.5 思路分析： 1）题意分析：这个方程中有很多小数，应先把小数进行转化。 2）解题思路：本题有两种思路，一是把小数都化为分数，再整理；二是根据分数的性 3（x－1） 0.4－2x 质把和中的分母化为整数，再去分母。 0.2 0.5 30（x－1） 4－20x 解答过程：把分母中的小数化为整数，得－2.5＝－7.5， 2 5 去分母，得 150（x－1）－25＝2（4－20x）－75，去括号，得 150x－150－25＝8－40x－75，移项，得 150x＋40x＝8－75＋150＋25，合并同类项，得 190x＝108， 54 系数化为 1，得 x＝。 95 解题后的思考：当分母是小数时，一般利用分数的基本性质，将分子、分母都扩大适当的倍数，使分母变为整数，这时应注意与解方程时的去分母区分开。小结：去括号解一元一次方程时，注意括号前面是负因数时要变号；去分母解一元一次方程时，注意不含分母的项也要乘所有分母的最小公倍数。

2024年北师大版七年级上册数学同步课件第三章第3节第2课时数字游戏

新知导入
情境导入
老师连续旅游了七天，这七天的日期数之和等于63，知道老师是几号出发的吗？ 6号老师连续旅游了七天，这七天的日期数之和再加上当月的月份数等于63，你知道老师是几月几号出发的吗？ 7月5号
猜牌游戏
游戏导入
从一副扑克牌中任取一张牌，然后进行如下操作：
第一步：把抽到的牌面数字减去2得_______；
2．请小组代表到台前叙述自己的游戏步骤，班里其他同学配合做这个游戏。
3．之后小组代表讲解自己如何设计这个游戏以及揭示游戏的规律。
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？来自知识讲解知识点：借助运算解释规律和现象(重难点) 1．基本方法：分析——表示——验证。 2．数学思想：特殊——一般——特殊。
典例精讲
思想方法？ (2)通过这节课的学习你最大的收获是什么？
学生自主发言
课堂小结
自主探究
1．请同学们阅读教材97－98页，思考下列问题。在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再把所得的和乘5，最后把得到的数加原两位数的个位数字，把得到的结果告诉你，你知道我心里想的两位数是几吗？
(1)想几个两位数，按上述方法分别得出结果，比较结果与原数之间的关系，你发现有什么规律？略
道理如下表，设张数为a，则
第一步第二步第三步第四步
结果
左 a a－3 a－3 2(a－3) —
中 a a＋3 a＋3＋4 (a＋7)－(a－3) 10
右 a a a－4 a－4 —
小组讨论
1．请小组设计一个含有一定数学规律的游戏如猜年龄、身高、成绩等(想好一个代数式，设计一个生活情境)，记录员将游戏规则要点写在纸上。
【用数学的思维思考】 (1)如果乙同学抽出的卡片A上的数字为3，卡片B上的数字为6，他

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第三章函数第3节反比例函数

十年真题精选
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重难考点突破
-12-
3.3 反比例函数
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≠0
待定系数
反
比
例
函
数
相交
原点
减小
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3.3 反比例函数
反
比
例
函
数

|k|

2|k|
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3.3 反比例函数
重难考点突破

数y＝的图象都经过点A(m,2).

(1)求k,m的值;
(2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象,
并根据图象,写出正比例函数值大于反比
例函数值时x的取值范围.
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3.3 反比例函数

解:(1)因为反比例函数y＝的图象经过点(, ), 所以＝ ,

解得m＝3,
于是点A的坐标为(3,2).
又因为正比例函数y＝kx(k≠0)的图象也经过点A(3,2),所以2＝

3k,解得k＝ ,故k＝ ,m＝3.

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3.3 反比例函数
(2)图象如图所示,由图知x的取值范围是－3＜x＜0或x＞3.
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∴＝, 解得＝ .根据题意设直线l对应的函数表达式为y＝ x＋b.

∵点B(2,0)在直线l上,∴0＝2×

高等数学-第三章第3节泰勒公式

7
余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x) (称为余项) , 则有 Rn (x0) Rn (x0) Rn(n) (x0) 0
Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1 x0 )n
( 1在 x0与 x 之间)
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f
(x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
Rn (1) Rn (x0) (n 1)(1 x0 )n
0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0 )n1
( 2在 x0与 1之间)
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) Rn(n1) ( )
(n 1) 2(n x0 ) 0 (n 1) !
( 在 x0与xn
之间) 8
Rn (x) f (x) pn (x)
(x 0).
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
1
1
(1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
3! 2 2 2
(1
x) 1 x1(2x1)xx822116(1(
1(x 11) (x2! xn2) (1(x x)0)n1 x
x)1)52 x(3(0n1)

初一数学(上下册)目录

初一数学（上下册）目录第一章有理数
第一节有理数的加减法
第二节有理数的乘除法
第三节有理数的乘方
1 乘方
2 科学记数法
3 近似数
第二章整式的加减
第一节整式
第二节整式的加减
第三章一元一次方程
第一节从算式到方程
1 一远一次方程
2 等式的性质
第二节解一元一次方程
1合并同类项与移项
2 去括号与分母
3 实际问题与一元一次方程
第四章图形
第一节几何图形点线面体
第二节直线射线线段
第三节角
1 角
2 角的比较与运算
3 余角与补角
第五章相交线与平行线
第一节1 相交线
2垂线
3同位角内错角同旁内角第二节平行线及其判定
1 平行线
2 平行线的性质
3 命题定理
4 平移
第六章平面直角坐标系
第一节平面直角坐标系
第二节坐标方法的简单应用
第七章三角形
第一节与三角形有关的线段
1 三角形的高线中线和角平分线
2 三角形的稳定性
第二节与三角形有关的角
1 三角形的外角
第二节多边形及其内角和
第八章二元一次方程组
第一节二元一次方程组
第二节消元—二元一次方程组的饿接法第九章不等式与不等式组
第一节不等式
第二节实际问题与一元一次不等式
第三节一元有次不等式组
第十章数据的收集整理与描述
第一节统计调查
第二节直方图。

高等数学第三章第3节高阶导数(中央财经大学)

( k −1)
n −k ′ ) = n ( n − 1)( n − 2) ⋯ ( n − k + 1) x
(1 ≤ k ≤ n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) = n (n − 1) (n − 2) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅1 = n ! 从而, 当 k ≥ n + 1 时, ( x n ) ( k ) = 0 .
d f ( x) d d f ( x) = , n n−1 dx dx dx
n−1
一个函数的导函数不一定再可导 , 也不一定连续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导
数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f ( x ) ∈ C n ( I ) 或 f ( x ) ∈ C n . 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
x (n)
x 的任何阶导数仍为 ex y = ex
=e
x
(n ∈ N )
例
求 y = ax 的各阶导数 .
解
y ' = a ln a
x x 2 ′ ′ ′ y ' ' = ( y ) = (a ln a ) = a (ln a )
x
⋯⋯⋯
y ( k ) = a x (ln a ) k
运用数学归纳法可得 (a )
π 79π 1 = C x sin ( x + 80 ⋅ ) + C80 ( 2 x ) sin ( x + ) 2 2 π 2 + C80 ⋅ 2 ⋅ sin ( x + 78 ⋅ ) 2

《高中数学必修一第三章》指数函数教案

《高中数学必修一第三章》——3.1.2指数函数及其性质临朐第七中学叶付国刘召武一、教材分析学生已经学习了函数的知识，，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。

本节课是指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

这节课应力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

二、教学方法：启发式、讨论式、诱思探究的教学方法三、教学目标：1、理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

2、通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

四、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

五、教学过程：（一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗？学生回答: y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。

问题2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。