专题三 培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式

培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式

对于一个函数f (x )，我们把满足f (m )＝m 的值x ＝m 称为函数f (x )的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．

例 (1)在数列{a n }中，a 1＝1, a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解 设f (x )＝1

2

x ＋1， 令f (x )＝x ，即12

x ＋1＝x ，得x ＝2， ∴x ＝2是函数f (x )＝12

x ＋1的不动点， ∴a n ＋1－2＝12

(a n －2)， ∴数列{a n －2}是以－1为首项，以12

为公比的等比数列， ∴a n －2＝－1×⎝⎛⎭⎫12n －1，

∴a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，n ∈N *.

(2)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4

，求该数列的通项公式． 解 由方程x ＝7x －2x ＋4

，得数列{a n }的不动点为1和2， a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4

－2＝7a n －2－(a n ＋4)7a n －2－2(a n ＋4)＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2

＝2·⎝⎛⎭⎫65n －1， 解得a n ＝1

2·⎝⎛⎭⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －1

2·6n －1－5n －1，n ∈N *.

(1)若f (x )＝ax ＋b (a ≠0,1)，p 是f (x )的不动点．数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，则a n ＋1－p ＝a (a n －

p )，即{a n －p }是公比为a 的等比数列．

(2)设f (x )＝ax ＋b cx ＋d

(c ≠0，ad －bc ≠0)，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1≠f (a 1)．若f (x )有两个相异的不动点p ，q ，则a n ＋1－p a n ＋1－q ＝k ·a n －p a n －q ⎝

⎛⎭⎪⎫此处k ＝a －pc a －qc .

1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－13a n －2，a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 解 设f (x )＝－13x －2，由f (x )＝x ，得x ＝－32

. ∴a n ＋1＋32＝－13⎝

⎛⎭⎫a n ＋32， 又a 1＝4，

∴⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n ＋32是以112为首项，以－13为公比的等比数列， ∴a n ＋32＝112×⎝⎛⎭

⎫－13n －1， ∴a n ＝－32＋112·⎝⎛⎭

⎫－13n －1，n ∈N *. 2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n －1＋22a n －1＋1

(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解 解方程x ＝x ＋2

2x ＋1， 化简得2x 2－2＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，

令a n ＋1－1a n ＋1＋1＝c ·a n －1a n ＋1

， 由a 1＝2，得a 2＝45，可得c ＝－13， ∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n －1a n ＋1是以a 1－1a 1＋1＝13为首项，以－13为公比的等比数列，∴a n －1a n ＋1＝13·⎝⎛⎭⎫－13n －1， ∴a n ＝3n －(－1)n

3n ＋(－1)n

.

3．设数列{a n }满足8a n ＋1a n －16a n ＋1＋2a n ＋5＝0(n ≥1)，且a 1＝1，记b n ＝1a n －12

(n ≥1)．求数列{b n }的通项公式．

解 由已知得a n ＋1＝2a n ＋5

16－8a n

， 由方程x ＝2x ＋516－8x

，得不动点x 1＝12，x 2＝54. 所以a n ＋1－12a n ＋1－54＝2a n ＋516－8a n －122a n ＋516－8a n －54＝12·a n －12a n －54， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12a n －54是首项为－2，公比为12的等比数列， 所以a n －12a n －54

＝－2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－42n

， 解得a n ＝2n －1＋52n ＋4.故b n ＝1a n －12＝2n ＋43，n ∈N *.