七年级数学思维探究(2)聚焦绝对值(含答案)

祖冲之，中国古代著名的数学家和天文学家，于公元429年出生于建康（今江苏南京），祖冲之从小就对天文、数学知识产生浓厚的兴趣，“专攻数术，搜炼古今”，他在数学方面的成就，首推圆周率的计算，计算圆周率精确到小数点以后7位，是当时世界上最杰出的成就；在天文学方面，他编写了新的历法——大明历，这是当时最好的一部历法． 2．聚焦绝对值 解读课标

绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面： 1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法． 2．恰当地运用绝对值的几何意义

从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；a b -表示数a 、数b 的两点间的距离． 3．灵活运用绝对值的基本性质

①0a ≥；②222

a a a ==；③a

b a b =⋅；④()0a a b b b =≠．

问题解决

例1 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中020b <<，20b x ≤≤，那么y 的最小值为_______． 试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号．

例2 式子a b ab

a b ab ++的所有可能的值有（ ）．

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．无数个

试一试 根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键．

例3 （1）已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111

112220062006ab a b a b a b +

+++++++++的值． （2）设a 、b 、c 为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值．

试一试 对于（1），由非负数的性质先导出a 、b 的值；对于（2），1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解（2）的突破口． 例4 阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道()()()

0000x x x x x x >⎧⎪

==⎨⎪

-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式

12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x =（称1-，2分别为1x +与2x -的

零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）1x <-；（2）12x -<≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情况： （1）当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+； （2）当12x -<≤时，原式()123x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-．

综上讨论，原式()()()

211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪

-⎩≤≥， 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-．

试一试 在阅读理解的基础上化简求值．

例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，52x -+有最大值？这个最大值是多少？

（3）求45x x -+-的最小值．

（4）求789x x x -+-+-的最小值．

分析 对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几

何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小．

解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2． 对于（3），给出另一种解法：

当4x ≤时，原式()()4592x x x =---=-，最小值为1； 当45x <≤时，原式()451x x =---=，最小值为1；

当5x >时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求讲

例6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程足：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由． 分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值．

解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥，20x ≥时，12x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥，30x ≥，则123x x x --不超过1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ，

2x ，…，1991x ．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P 的值1991≤．

另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x +++的奇偶性相同．

但121991121991x x x +++=+++=偶数，于是断定1990P ≤．我们证明P 可以取到1990． 对1，2，3，4，按如下次序：13420---=，

()()()414344420k k k k +-+-+-+=，对于0k =，1，2，…均成立．

因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990． 数学冲浪 知识技能广场

1．数a 在数轴上的位置如图所示

1

a

，且12a +=，则37a +=______．

2．已知5a =，3b =，且a b b a -=-，那么a b +=_______．

3．化简

11111111

20042003200320022002200120012004-+-+---=________． 4．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示：-1

c

b

a

，

1c a c a b -+-+-化简后的结果是________．

5．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为（ ）．

A ．1005-

B ．1006-

C ．1007-

D ．2012- 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ） A ．1- B ．1 C ．23a - D ．32a - 7．若m 是有理数，则m m -一定是（ ）． A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数