离散数学2联结词(否定、合取)

联结词

----否定、合取

复合命题是用“联结词”将原子命题联结起来构成的.

归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词：

(1)否定“⌝”

(2)合取“∧”

(3) 析取“∨”和异或“”

∨

(4) 条件（蕴涵）“→”

(5)双条件（等价）“∆”或记做“↔”

一. 否定“⌝”

表示：“…不成立”，“不…”.

用于：对一个命题P的否定，写成⌝P，并读成“非P”.

⌝P的真值：与P真值相反.

例 P：2是素数.

⌝P：2不是素数. P ¬P F T T F

例1. P: 天津是一个城市.

Q: 3是偶数.

于是: ⌝ P: 天津不是一个城市.

⌝ Q: 3不是偶数.

例2. P:济宁学院处处清洁.

Q:这些都是男同学.

(注意,不是处处不清洁)⌝ P:济宁学院不处处清洁.

⌝ Q:这些不都是男同学.

二. 合取“∧”

表示：“并且”、“不但…而且...”、“既…又...” “尽管…还…”.

例 P：小王能唱歌.

Q：小王能跳舞.

P∧Q：小王能歌善舞. P∧Q读成P合取Q.

P∧Q的真值为真，当且仅当P和Q的真值均为真.P Q P∧Q F F F F T F T F F T T T

例3. 将下列命题符号化:

(1)李平既聪明又用功.

(2)李平虽然聪明, 但不用功.

(3)李平不但聪明,而且用功.

(4)李平不是不聪明,而是不用功.

解: 设P:李平聪明. Q:李平用功.

则 (1) P∧Q (2) P∧⌝ Q

(3) P∧Q (4) ⌝(⌝ P)∧⌝ Q

例4. 翻译下列命题的合取.

(1) P: 我们在C403教室. Q: 今天是星期二.

(2) S：李平在吃饭. R：张明在吃饭.

解: (1) P∧Q :我们在C403教室且今天是星期二.

(2) S∧R:李平与张明在吃饭.

“∧”与日常语言中“与”“和”的不同之处：

（1）逻辑学中允许两个相互独立无关，甚至相反的原子命题生成一个新命题.

（2）自然语言中有时在不同意义时可以同时使用“与”“和”，但是不能都用“∧”翻译.（如：我和你是好朋友.李敏和李华是姐妹.）

说明：“∧”属于二元运算符.

合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，运算结果才为真，否则为假.自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一面…”、“…和…”、“…与…”等都可以符号化为∧.