第7章 点的合成运动

·75·第7章 点的合成运动一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。

( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。

( × ) 3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。

( √ )4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。

( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。

( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。

( √ ) 7．在图7.19中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。

( √ ) 二、填空题1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。

2．在图7.20中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图7.20(a)中直杆的角速度=1ωθθωcos sin 2，图7.20(b)中直杆的角速度=1ω2ω。

图7.19 图7.203．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。

4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。

牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。

5．如图7.21所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。

则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ϕ= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。

·76·图7.216．当点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹都是曲线时，牵连运动是直线平动时的加速度合成定理表达式是a e r =+a a a ；牵连运动是曲线平动时的加速度合成定理表达式是 a e r =+a a a ；牵连运动是转动时的加速度合成定理表达式是a e r k =++a a a a 。

三、选择题1．点的速度合成定理a e r =+v v v 适用的条件是 C 。

(A) 牵连运动只能是平动 (B) 牵连运动只能是转动 (C) 各种牵连运动都适用(D) 牵连运动为02．如图7.22所示，半径为R 的圆轮以匀角速度ω做纯滚动，带动杆AB 作定轴转动，D 是轮与杆的接触点。

若取轮心C 为动点，杆BA 为动坐标，则动点的牵连速度为 C 。

(A) e AB v BD ω=⋅，方向垂直AB (B)e v R ω=⋅，方向垂直EB(C) e AB v BC ω=⋅，方向垂直BC(D)e v R ω=⋅，方向平行BA3．在如图7.23所示的平面机构中，r OO 21=，OA 长r ，以匀角速度0ω转动。

若取滑块A 为动点，1O B 为动坐标，则当=ϕ B 时，动点的牵连法向加速度为零。

(A) 0︒(B) 30° (C) 60° (D) 90°图7.22 图7.234．图7.24中直角弯管OAB 在平面内以匀角速度ω绕点O 转动，动点M 以相对速度rv 沿弯管运动，图示瞬时OA ＝AM ＝b ，则动点的牵连加速度e a =B ，科氏加速度k a =C 。

(A) 2b ω(B)2ω(C) r 2v ω (D) r 4v ω5．如图7.25所示，小车以速度v 沿直线运动，车上一轮以角速度ω转动，若以轮缘上一点M 为动点，车厢为动坐标，则M 点的科氏加速度的大小为 A 。

(A) 2v ω(B) 2cos v ωα(C) 0(D)v ωB·77·A图7.24 图7.256．在点的合成运动中，r 为动点的绝对矢径，则在任一瞬时下述说法正确的是 C 。

(A) 若0r ≠、e 0v =，则必有k 0a =(B) 若0r ≠、e 0a =，则必有k 0a = (C) 若e 0ω≠、r 0v =，则必有k 0a = (D) 若e 0ω≠、r 0v ≠，则必有k 0a ≠四、 计算题7-1如图7.26所示，记录笔M 固定沿y 轴运动，运动方程为y acos(kt )ϕ=+，xy 平面内的记录纸以等速度v 沿x 轴负向运动，求记录笔M 在记录纸上所画出的墨迹形状。

解：记录笔M 相对于记录纸的运动方程为vt x =，y acos(kt )ϕ=+ 消去参数t ，可得记录笔M 在记录纸上所画出的墨迹形状为 ky acos(x )vϕ=+ 7-2 如图7.27所示，半径为R 的大圆环，在自身平面中以等角速度ω绕A 轴转动，并带动一小环M 沿固定的直杆A 滑动，试求图示位置小环M 的速度。

解：选小环M 为动点，大圆环为动系，由a e r =+v v v 作M 的速度合成图如图所示。

由图可知ϕtan e a v v =其中ϕωωcos 2R AMv e =⋅=，代入上式，可得小环M 的速度ϕωsin 2R v a =方向水平向左。

图7.26 图7.27·78·7-3 如图7.28所示的两种滑道摇杆机构，已知两平行轴距离1220cm O O =，在某瞬时20θ=︒,30ϕ=︒, s rad 61/=ω，分别求两种机构中的角速度2ω。

解：分别选滑块A 为动点，杆B O 1和B O 2为动系。

由a e r =+v v v 分别作A 的速度合成图如图所示。

（a ） 由速度合成图，可知)s i n ()s i n (11ϕθωϕθ+⋅=+=A O v v e a由三角形A O O 21，有)90sin()90sin(sin 2211ϕϕθθ+=--=AO O O A O ，即 θϕθsin )cos(211+=O O A O ，ϕϕθcos )cos(212+=O O A O这样，绝对速度可表示为)cos()sin(sin 121ϕθϕθωθ++⋅=O O v a而杆A O 2的角速度2ω为s rad A O v a /09.3630cos 50sin 20sin cos )sin(sin oo o122=⨯=+==ωϕϕθθω （b ） 由速度合成图，可知)sin()cos(sin )sin()sin(12111ϕθϕθωθϕθωϕθ++⋅=+⋅=+=O O A O v v a e而杆A O 2的角速度2ω为s rad A O v e /82.150sin 630cos 20sin )sin(cos sin o o122=⨯=+==ϕθωϕθω(a)(b)图7.287-4 如图7.29所示的机构，推杆AB 以速度v 向右运动，借套筒B 使OC 绕O 点转动。

已知60ϕ=︒，l OC =，试求当机构在图示位置时，(1) 杆OC 的角速度和杆OC 端点C 的速度大小； (2) 动点B 的科氏加速度。

解：(1) 选套筒B 为动点，杆OC 为动系，由a e r =+v v v 分别作B 的速度合成图如图所·79·示。

由图可知ϕϕsin sin v v v a e ==，ϕϕcos cos v v v a r == 杆OC 转动的角速度为bv b v b v OB v e OC 4360sin sin /sin o 2====ϕϕω 杆OC 端点C 的速度为blvl v OC C 43=⋅=ω (2) 动点B 的科氏加速度为bv v b v v a r OC k 4360cos 43222o=⨯⨯==ω7-5 如图7.30所示的曲柄滑道机构中，曲柄长10cm OA =，以匀角速20rad s /ω=绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BCE (BC ⊥DE )做往复运动。

求当曲柄与水平线的交角分别为0ϕ=︒，30︒，90︒时杆BCE 的速度和加速度。

an ae图7.29 图7.30解：选套筒A 为动点，杆BCE 为动系，由a e r =+v v v 和r e na a a a +=分别作A 的速度和加速度合成图如图所示。

由图可知ϕωϕsin sin ⋅==OA v v a e ，ϕωϕcos cos 2⋅==OA a a n a e （1）当0ϕ=︒时，有00sin 201.0sin o =⨯=⋅=ϕωOA v e 2o 22/400cos 201.0cos s m OA a e =⨯=⋅=ϕω （2）当30ϕ=︒时，有s m OA v e /130sin 201.0sin o =⨯=⋅=ϕω2o 22/6.3430cos 201.0cos s m OA a e =⨯=⋅=ϕω （3）当90ϕ=︒时，有s m OA v e /290sin 201.0sin o =⨯=⋅=ϕω090cos 201.0cos o 22=⨯=⋅=ϕωOA a e7-6 如图7.31所示，具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道BC 获得间隙的往复运动。

已知曲柄以120r min n /=转速匀速转动，已知OA =r =l00mm ；求当30ϕ=︒时滑道BC 的速度和加速度。

·80·解：选套筒A 为动点，滑道BC 为动系，由a e r =+v v v 和τr nr e n a a a a a ++=分别作A 的速度和加速度合成图如图所示。

由图可知BC 的速度为s m OA v v v a e BC /26.16012021.0=⨯⨯=⋅===πω相对速度r v 为s m OA v v a r /26.16012021.0=⨯⨯=⋅==πω 由加速度图，列n r a 方向的投影方程，有n re n a a a a +-=-o o 30cos 60cos 其中：222/79.15)4(1.0s m OA a n a =⨯=⋅=πω，22/79.15s m rv a rnr ==，代入上式，可得BC 的加速度为)/(4.2730cos 60cos 2o s m a a a a n rn a e BC =+==图7.317-7 如图7.32所示的铰接四边形机构中，O 1A =O 2B =100mm ，O 1O 2=AB ，且杆O 1A 以匀角速度2rad s /ω=绕O 轴转动。

杆AB 上有一个套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构中的各部件都在同一铅垂面内。

求当60ϕ=︒时杆CD 的速度和加速度。

图7.32ωω·81·解：选套筒C 为动点，杆AB 为动系。