第十三讲常微分方程初值问题数值解法优秀课件
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常微分方程初值问题的数值解法
3 要求 Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h ) ，则必须有：
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
y( x0 ) y0 yk 1 yk h f ( xk , yk 1 )
, k 0,1,...
隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行.
yi 1 yi hf ( xi , yi 1 )
变换为
y
( k 1) i 1
yi hf ( xi , y )
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
§2 Runge-Kutta Method
1 1 2 1 , 2 p 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 2 1 就是改进的欧拉法。
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phf x ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O( h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
d f ( x, y) dx 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有 2阶 dy 精度，即在 yi y( xi ) 的前提假设下，使得 f x ( x, y) f y ( x, y) dx Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) f x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) y( x )
y( x0 ) y0 yk 1 yk h f ( xk , yk 1 )
, k 0,1,...
隐式欧拉法的求解: 利用迭代的思路进行.
yi 1 yi hf ( xi , yi 1 )
变换为
y
( k 1) i 1
yi hf ( xi , y )
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
步长一定是一个h 吗？
§2 Runge-Kutta Method
常微分方程初值问题数值解法
根据微分方程的性质和初始条件，常 微分方程初值问题可以分为多种类型， 如一阶、高阶、线性、非线性等。
数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题，解析解难以求得或不存在，因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法，以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术，提高计算效率，处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法，根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法（如欧拉方法）得到一个 初步解，然后使用校正方法（如龙格-库塔方法） 对初步解进行修正，以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高，且计算量相 对较小，适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中，步长是一个重要的参数，它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节，它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值，方便快捷，适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪，科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展，数值 解法在20世纪取得了重要进展， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前，常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战，如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题，解析解难以求得或不存在，因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法，以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术，提高计算效率，处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法，根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法（如欧拉方法）得到一个 初步解，然后使用校正方法（如龙格-库塔方法） 对初步解进行修正，以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高，且计算量相 对较小，适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中，步长是一个重要的参数，它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节，它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值，方便快捷，适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪，科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展，数值 解法在20世纪取得了重要进展， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前，常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战，如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
第六章常微分方程初值问题的数值解法n-PPT课件
第6章 常微分方程初值问题 的数值解法
引言
在实际问题中，常需要求解微分方程(如发电机运动方程)。
只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在
实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
f(x y ,y ) axb y ( a )y 0
f( y x ,y ,y ) a x b y ( a )y ( a ) 0, y
题（1）存在唯一解。 f(x y ,y ) axb 要求它的数值解 对于问题(1) y ( a )y 0 （通常采用等距节点）
a x x x x b 0 1 2 n
就是求未知函数 y (x ) 在区间 [ a ,b ] 上的一系列离散
上函数值 y ( x ) 的近似值 y ( k 1 , 2 , , n ) k k
2、化导数为差商的求解方法思路： 若在点 x k处的导数用差商来近似代替，如向前差商
y x y x k 1 k y x k h 则微分方程初值问题化为
'
y x y x ' k 1 k k y x k 0 , 1 , , n 1 h y a y 0 将近似号改为等号，精确解 yxk 改为近似解 y k ，得
x1
一般形式
y y h f ( x , y ) ( k 0 , ... , n 1 ) k 1 k k k
欧拉公式几何意义 用一条通过初始点的折线 近似表示解曲线 ,亦称为欧拉 折线法 ，或称为矩形法。
局部截断误差和阶数 定义 在假设 yk = y(xk)，即第 k 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Rk = y(xk+1) yk+1 称为局部截断误差 。 定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1) ，则称该算法有 p 阶精度。
引言
在实际问题中，常需要求解微分方程(如发电机运动方程)。
只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在
实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
f(x y ,y ) axb y ( a )y 0
f( y x ,y ,y ) a x b y ( a )y ( a ) 0, y
题（1）存在唯一解。 f(x y ,y ) axb 要求它的数值解 对于问题(1) y ( a )y 0 （通常采用等距节点）
a x x x x b 0 1 2 n
就是求未知函数 y (x ) 在区间 [ a ,b ] 上的一系列离散
上函数值 y ( x ) 的近似值 y ( k 1 , 2 , , n ) k k
2、化导数为差商的求解方法思路： 若在点 x k处的导数用差商来近似代替，如向前差商
y x y x k 1 k y x k h 则微分方程初值问题化为
'
y x y x ' k 1 k k y x k 0 , 1 , , n 1 h y a y 0 将近似号改为等号，精确解 yxk 改为近似解 y k ，得
x1
一般形式
y y h f ( x , y ) ( k 0 , ... , n 1 ) k 1 k k k
欧拉公式几何意义 用一条通过初始点的折线 近似表示解曲线 ,亦称为欧拉 折线法 ，或称为矩形法。
局部截断误差和阶数 定义 在假设 yk = y(xk)，即第 k 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Rk = y(xk+1) yk+1 称为局部截断误差 。 定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1) ，则称该算法有 p 阶精度。
常微分方程初值问题数值解法
0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6733
0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321
7
初值问题（2.2）有解 y ，1按2这x 个解析式子
算出的准确值 y(x同n )近似值 一y起n 列在表9-1中，两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差.
17
所以，局部截断误差可理解为用方法（2.10）计算一步的 误差，也即公式（2.10）中用准确解y(x代) 替数值解产生
的公式误差.
根据定义，显然欧拉法的局部截断误差
Tn1 y( xn1) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y(xn h) y(xn ) hy(xn )
y(2) n1
yn
hf
( xn1,
y (1) n1
).
11
如此反复进行，得
y (k 1) n1
yn
hf
( xn1,
y(k) n1
),
(k 0,1, ).
（2.6）
由于 f (x,对y) 满足y 利普希茨条件（1.3）. 由（2.6）减 （2.5）得
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k) n 1
积分曲线上一点 (x的, y切)线斜率等于函数 值.
的f (x, y)
如果按函数 f (在x, y) 平x面y上建立一个方向场，那 么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方 向相一致.
基于上述几何解释，从初始点 P0 (x出0 ,发y0，) 先依 方向场在该点的方向推进到 x 上x1一点 ，P然1 后再从 P1 依方向场的方向推进到 x 上x2一点 ，循P2此前进做出
常微分方程初值问题数值解法 ppt课件
5
数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就 是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节
点
处的函数值 a x0 x1 xn1 xn b y( x0 ), y( x1 ),, y( xn ) 的近似值 y0 , y1 , , yn .
( k 0,1,2)
当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有 y(0.4) y2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613
2017/7/23
4
从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分 方程初值问题
y f ( x , y ) ( 9.1 ) y ( x ) y 0 0 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 可以证明,如果函数在带形区域 R:{ a≤x≤b,
yn1 yn hf ( xn , yn )
2017/7/23 16
Euler 格式用数值微分方法得到。 将方程 y f ( x , y )的两端在区间 xi , xi 1 上积分得，
xi 1
xi
ydx
xi 1 xi
xi 1
xi
f ( x, y )dx
xi 1 xi
中的导数 y 进行不同的离散化处理。
2017/7/23 7
对于初值问题
y f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就 是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节
点
处的函数值 a x0 x1 xn1 xn b y( x0 ), y( x1 ),, y( xn ) 的近似值 y0 , y1 , , yn .
( k 0,1,2)
当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有 y(0.4) y2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613
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从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主 要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分 方程初值问题
y f ( x , y ) ( 9.1 ) y ( x ) y 0 0 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 可以证明,如果函数在带形区域 R:{ a≤x≤b,
yn1 yn hf ( xn , yn )
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Euler 格式用数值微分方法得到。 将方程 y f ( x , y )的两端在区间 xi , xi 1 上积分得，
xi 1
xi
ydx
xi 1 xi
xi 1
xi
f ( x, y )dx
xi 1 xi
中的导数 y 进行不同的离散化处理。
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对于初值问题
y f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
《微分方程的数值解》课件
积分法：将微分方程离散化为积分方 程，然后求解
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等
常微分方程数值解法ppt课件
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
|f( x ,y 1 ) f( x ,y 2 ) | L |y 1 y 2 | ( 1 .3 )
使 得 对 任 意 的 x [ a , b ] 及 y 1 ,y 2 都 成 立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
节点 x i a i h i , 一 般 取 h i h ( ( b a ) / n ) 即 等 距
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
ax 0x 1x nb
处的近似值 y y(x ) i 完整版PPT课件i
16
yf(x,y) axb (1 .1 )
y(x 0) y0
(1 .2 )
对微分方程(1.1)两端从 xn到 xn1 进行积分
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数
求解数值解
很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！
重要手段。
完整版PPT课件
7
5.常微分方程数值解法的特点 常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法 通过计算机
数值解法得到的近似 解(含误差)是一个 离散的函数表.
便捷地实现
欧拉方法的导出把区间ab分为n个小区间步长为要计算出解函数yx在一系列节点iiyyx?iiixaihhhban?????一般取即等距节点处的近似值01naxxxb?????1iiihxx??nn等分001112yfxyaxbyxy????????对微分方程11两端从1nnxx?到进行积分11nnnnxxxxydxfxyxdx??????11nnxnnxyxyxfxyxdx?????右端积分用左矩形数值求积公式22baggxdxbagaba???????gxfxyx?令11nnnnxxnnfxyxnnyyfxyxh??????得x0x11nnnnnnyxyxhyxyhfxy??????1
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
常微分方程初值问题的数值解法
就得到初值问题(7.1),(7.2)的解y(t )的解析表达式。然而
在实际问题和科学研究中所遇到的微分方程往往很复
杂，很多情况下不可能求出它的解析解。有时侯即使
能求出解析解，也会由于很难从解析解中计算函数y(t )
的值而不实用。
例如，容易求出初值问题
y' 1 y cos t,0 t T
注意：这是“折
线法”而非“切
yN
线法”除第一个
点是曲线切线外，
其他点不是切线
而是折线(如右 图所示)。
y2 yy10
t0 a t1 t2
tN b x
§7.2.1 显式单步法的一般形式 显式单步法的一般形式是
yn1 yn h (tn , yn , h), n 0,1, , M 1 (7.2.4)
普希兹)条件。常数L称为函数f 在D0中的Lipschitz常数。
例1 函数f (t, y) t y 在区域D0 (t, y) | 1 t 2, 3 y 4
关于y满足Lipschitz条件，相应的Lipschitz常数可取为L 2
3 存在性定理 定理1 设函数f (t, y)在凸集D R2中有定义，若存在常数
(7.4)
若k 2,则数值解法(7.3)统称为多步法，或具体称 为k步法。
显示法、隐式法与截断误差 若在差分方程(7.3)中，ynk能表示为tn , yn, yn1, , ynk-1, h 的显函数，即
ynk G(tn , yn , yn1, , ynk-1, h), n 0,1, , M - k (7.5)
y0 yn1
Hale Waihona Puke y(t0 yn)
第九章常微分方程初值问题的数值解法ppt课件
y ( xi 1 )
y(
xi ) hf
hr f r!
(
xi
,
y(
xi
))
h2 2
(r1) (xi , y(xi ))
f (xi ,
O(h r 1
y(
)
xi
))
yi1
yi
hf
(xi ,
yi )
h2 2
f (xi , yi )
hr r!
f
(r1) (xi , yi )
式中的 f (r1) (xi , yi ) 可利用原有关系 y(x) f (x, y) ，
例 1 用欧拉方法和改进的欧拉方法对初值问
题
y y(0)
y 1
2x y
，取
h
0.1，在区间
0,1
上计算。
解 首先节点为 xi 0 ih 0.1i （i 0,1,2, ,10 ），其中
h
1 0 10
0.1 ，由欧拉方法的公式得
因为假定 f (x, y) 充分光滑，所以它满足李普希兹 条件，即存在正常数 L 使
f (xm, y(xm)) f (xm, ym) L y(xm) ym
并记 em y(xm ) ym ，这样就得到
em1 Rm (1 hL) em (9.13)
把截断误差 em y(xm ) ym 就称为第 m 步的整体截断 误差。
令
i1
yi1
y* i 1
(9.17)
其中,
y* i1
是
yi
1
的近似值，若
i
1
不大，则
y* i1
可以
作为 y(xi1) 的近似值，若 i1很大，yi*1 就不能用。
【推荐】数值计算方法：第六章 常微分方程初值问题的数值解法.ppt
8
计算结果见表6.1
9
6.1.3 改进欧拉公式
这称为改进欧拉公式
10
例6.2 仍取步长h = 0.2，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的
常微分方程初值问题。 解 这时改进欧拉公式为
(计算结果见表6-2)
11
6.1.4 计算公式的误差分析
定义6.1
为该方法的整体截断误差. 如果 则称该方法是收敛的.
第六章 常微分方程 初值问题的数值解法
6.1 欧拉方法 6.2 龙格－库塔方法
1
6.1 欧拉方法 6.1.1 引言
问题的提出
数值求解方法
2
6.1.1 欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式 算法：
3
选择不同的数值积分公式来求 近似值就得到初值问题的各种数值解法
1.欧拉公式
这称为欧拉公式
4
2.后退欧拉公式
12
设单步显式公式的一般形式为 一般地, 微分方程初值问题精确解不满足(6.1.15), 即
定义6.2
称
13
截断误差的估计 设 y(x)C 3 [x0 , b] , 则 （1）对欧拉公式，有局部截断误差
因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
14
（2）对后退欧拉公式，有如下分析： 对(6.1.16)中的积分,用习题五第2题中的右矩形公式, 得 其中
18
定义6.4 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法 的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该 方法为 p阶方法。
由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯 形法与改进欧拉方法为二阶精度。
19
6.2 龙格-库塔方法
由中值定理，有
计算结果见表6.1
9
6.1.3 改进欧拉公式
这称为改进欧拉公式
10
例6.2 仍取步长h = 0.2，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的
常微分方程初值问题。 解 这时改进欧拉公式为
(计算结果见表6-2)
11
6.1.4 计算公式的误差分析
定义6.1
为该方法的整体截断误差. 如果 则称该方法是收敛的.
第六章 常微分方程 初值问题的数值解法
6.1 欧拉方法 6.2 龙格－库塔方法
1
6.1 欧拉方法 6.1.1 引言
问题的提出
数值求解方法
2
6.1.1 欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式 算法：
3
选择不同的数值积分公式来求 近似值就得到初值问题的各种数值解法
1.欧拉公式
这称为欧拉公式
4
2.后退欧拉公式
12
设单步显式公式的一般形式为 一般地, 微分方程初值问题精确解不满足(6.1.15), 即
定义6.2
称
13
截断误差的估计 设 y(x)C 3 [x0 , b] , 则 （1）对欧拉公式，有局部截断误差
因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
14
（2）对后退欧拉公式，有如下分析： 对(6.1.16)中的积分,用习题五第2题中的右矩形公式, 得 其中
18
定义6.4 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法 的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该 方法为 p阶方法。
由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯 形法与改进欧拉方法为二阶精度。
19
6.2 龙格-库塔方法
由中值定理，有
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y f ( x, y),
y(
x0
)
y0 .
x [x0 , b],
(1.1) (1.2)
如果存在实数L>0，使得
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 , y1, y2 R. (1.3)
则称f关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件，L称为y的
利普希茨常数(简称Lips.常数).
定理1 设f在区域D={(x, y)|axb,yR}上连续, 关 于y满足利普希茨条件，则对任意x0[a, b], y0R，常 微分方程初值问题(1.1)式和(1.2)式当x[a, b]时存在唯 一的连续可微解y(x) .
解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基本内 容，也是数值方法的出发点，此外还要考虑方程的解 对扰动的敏感性，它有以下结论.
y1 y0 hf (x0, y0 ),
y2 y1 hf (x1, y1),
例1 用欧拉公式求解初值问题
y
y
2x y
(0 x 1),
y(0) 1.
(2.2)
解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为
yn1
yn
h( yn
2xn yn
)
其中xn=nh=0.1n (n=0,1,,10), 已知y0 =1, 由此式可得
它表明f满足利普希茨条件，且L的大小反映了右端函 数f关于y变化的快慢，刻画了初值问(1.1)式和(1.2)式 是否为好条件. 这在数值求解中也是很重要的.
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但
解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问
题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.
所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点
定理2 设f在区域D (如定理1所定义) 上连续, 且 关于y满足利普希茨条件，设初值问题
y( x) f ( x, y), y( x0 ) s.
的解为y(x, s)，则
y( x, s1 ) y( x, s2 ) e L xx0 s1 s2 .
这个定理表明解对初值依赖的敏感性，它与右端
函数f有关，当f的Lips.常数L比较小时，解对初值和
y1
y0
h(
y0
2 x0 y0
)
1
0.1
1.1
y2
y1
h( y1
2 x1 y1
)
1.1
0.1(1.1
0.2 ) 1.1
1.191818
依次计算下去，部分计算结果见下表.
xn 欧拉公式数值解yn 准确解y(xn)
0.2 1.191818
1.183216
0.4 1.358213
1.341641
0.6 1.508966
1.483240
0.8 1.649783
1.612452
1.0 1.784770
1.732051
误差 0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
与准确解 y 1 2x相比，可看出欧拉公式的计算结
果精度很差.
9.2 简单的数值方法
9.2.1 欧拉法与后退欧拉法 我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解
y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x, y)的切 线斜率等于函数f(x, y)的值. 如果按f(x, y)在xy平面上 建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线 方向均与方向场在该点的方向相一致.
点Pn,Pn+1的坐标有关系
yn1 yn xn1 xn
yn1 h
yn
f ( xn, yn )
y( xn )
f ( xn , y( xn )),
即
yn1 yn 名的(显式)欧拉(Euler)公式. 若初值y0已知， 则依公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.
本章首先要对常微分方程(1.1)离散化，建立求解 数值解的递推公式. 一类是计算yn+1时只用到前一点的 值yn，称为单步法. 另一类是用到yn+1前面 k 点的值 yn,yn-1,, yn-k+1，称为k步法. 其次，要研究公式的局部 截断误差和阶，数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及 收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.
基于上述几何解释，我们从初始点P0(x0, y0)出发, 先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后 再从P1点依方向场在该点的方向推进到 x=x2 上一点 P2 , 循环前进做出一条折线P0 P1 P2.
一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn, yn)依
方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1, yn+1)，显然两个顶
右端函数相对不敏感，可视为好条件. 若L较大则可
认为坏条件，即病态问题.
如果右端函数可导，由中值定理有
f ( x, y1 )
f (x, y2 )
f ( x, )
y
y1
y2 , 在y1, y2之间.
若假定
f
( x, y
y)
在域D内有界,
设
f ( x, y) y
L, 则
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 .
x1 x2 xn xn1
上的近似值 y1,y2,,yn,yn+1,. 相邻两个节点的间距 hn=xn+1-xn称为步长. 今后如不特别说明，总是假定 hi=h(i=1,2,)为常数, 这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,) (等距节点).
初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采取 “步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一 步地向前推进. 描述这类算法，只要给出用已知信息 yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.
第十三讲常微分方 程初值问题数值解
法
9.1 引 言
科学技术中很多问题都可用微分方程的定解问题
来描述，主要有初值问题与边值问题两大类，本章只
考虑初值问题. 常微分方程初值问题中最简单的例子
是人口模型，设某特定区域在t0时刻人口为y(t0)=y0已
知的，该区域的人口自然增长率为，人口增长与人
口总数成正比，所以t时刻的人口总数y(t)满足以下微
分方程
y y(t),
y(
t
0
)
y0 .
很多物理系统与时间有关，从卫星运行轨道到单
摆运动，从化学反应到物种竞争都是随时间的延续而
不断变化的. 解常微分方程是描述连续变化的数学语
言，微分方程的求解就是确定满足给定方程的可微函
数y(t)，研究它的数值方法是本章的主要目的. 考虑一
阶常微分方程的初值问题