概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案

【经典例题】

【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A ．1- 2π

B ． 12 - 1π

C ． 2π

D ． 1π

【答案】A

【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 1

2 为扇形面积减去三

角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π

4 ，选A ．

【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的体，切割为125个同样大小的小体，经过搅拌后，从中随机取一个小体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )

A.

126125 B. 65 C. 168125 D. 7

5

【答案】B

【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27

125＋

1×

54125＋2×36125＋3×8125＝6

5

，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

A. 14

B. 12

C. 34

D. 78

【答案】C

【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意⎩

⎨⎧0≤x≤4，

0≤y≤4，满足条件的关系式

为－2≤x －y≤2.

根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34.

【例4】（2009）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2 【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 【例5】（2013）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．

【答案】20

63

【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为20

63.

【例6】（2013）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 【答案】13

【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝1

3

.

【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【答案】213；12

13；3月5日

【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，13)．

根据题意，P(Ai)＝1

13

，且Ai ∩Aj ＝(i≠j)．

（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2

13.

（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 P(X ＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) ＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413

， P(X ＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4

13， P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝5

13.

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

513

413

413

故X 的期望E(X)＝0×513＋1×13＋2×13＝13.

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

【例8】（2013）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2

3，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为2

5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖

与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【答案】11

15；方案甲．

【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2

5，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，

因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝11

15，

即这两人的累计得分X≤3的概率为11

15.

（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)． 由已知可得，X1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X2～B ⎝⎛⎭⎫2，25， 所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝4

5， 从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝12

5

.

因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2

5，且两人中奖与否互不影响．

记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，

则事件A 包含有“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件，

因为P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15，P(X ＝2)＝2

3×⎝⎛⎭⎫1－25＝25，P(X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215， 所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝11

15，

即这两人的累计得分X≤3的概率为11

15.

（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

X1 0 2 4 P

19

49

49