概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案
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【经典例题】
【例1】(2012)如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
A .1- 2π
B . 12 - 1π
C . 2π
D . 1π
【答案】A
【解析】令OA=1,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为S 1,围成OC 为S 2,作对称轴OD ,则过C 点.S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 .在扇形OAD 中 S 1
2 为扇形面积减去三
角形OAC 面积和 S 22 , S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ,S 1+S 2= π-24 ,扇形OAB 面积S= π
4 ,选A .
【例2】(2013)如图所示,将一个各面都涂了油漆的体,切割为125个同样大小的小体,经过搅拌后,从中随机取一个小体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E(X)=( )
A.
126125 B. 65 C. 168125 D. 7
5
【答案】B
【解析】X 的取值为0,1,2,3且P(X =0)=27125,P(X =1)=54125,P(X =2)=36125,P(X =3)=8125,故E(X)=0×27
125+
1×
54125+2×36125+3×8125=6
5
,选B. 【例3】(2012)节日前夕,小在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. 14
B. 12
C. 34
D. 78
【答案】C
【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮,第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮,由题意⎩
⎨⎧0≤x≤4,
0≤y≤4,满足条件的关系式
为-2≤x -y≤2.
根据几何概型可知,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位,故概率为1216=34.
【例4】(2009)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2 【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2 【例5】(2013)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为________.
【答案】20
63
【解析】基本事件共有7×9=63种,m 可以取1,3,5,7,n 可以取1,3,5,7,9.所以m ,n 都取到奇数共有20种,故所求概率为20
63.
【例6】(2013)在区间[-3,3]上随机取一个数x ,使得|x +1|-|x -2|≥1成立的概率为________. 【答案】13
【解析】当x<-1时,不等式化为-x -1+x -2≥1,此时无解;当-1≤x≤2时,不等式化为x +1+x -2≥1,解之得x≥1;当x>2时,不等式化为x +1-x +2≥1,此时恒成立,∴|x +1|-|x -2|≥1的解集为[)1,+∞.在[]-3,3上使不等式有解的区间为[]1,3,由几何概型的概率公式得P =3-13-(-3)=1
3
.
【例7】(2013北京)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 【答案】213;12
13;3月5日
【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i =1,2,…,13).
根据题意,P(Ai)=1
13
,且Ai ∩Aj =(i≠j).
(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B =A5∪A8. 所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=2
13.
(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且 P(X =1)=P(A3∪A6∪A7∪A11) =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413
, P(X =2)=P(A1∪A2∪A12∪A13) =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=4
13, P(X =0)=1-P(X =1)-P(X =2)=5
13.
所以X 的分布列为
X 0 1 2 P
513
413
413
故X 的期望E(X)=0×513+1×13+2×13=13.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
【例8】(2013)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为2
3,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为2
5,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖
与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【答案】11
15;方案甲.
【解析】方法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为2
5,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A , 则事件A 的对立事件为“X =5”,
因为P(X =5)=23×25=415,所以P(A)=1-P(X =5)=11
15,
即这两人的累计得分X≤3的概率为11
15.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2). 由已知可得,X1~B ⎝⎛⎭⎫2,23,X2~B ⎝⎛⎭⎫2,25, 所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=2×25=4
5, 从而E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=12
5
.
因为E(2X1)>E(3X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
方法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为2
5,且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ,
则事件A 包含有“X =0”“X =2”“X =3”三个两两互斥的事件,
因为P(X =0)=⎝⎛⎭⎫1-23×⎝⎛⎭⎫1-25=15,P(X =2)=2
3×⎝⎛⎭⎫1-25=25,P(X =3)=⎝⎛⎭⎫1-23×25=215, 所以P(A)=P(X =0)+P(X =2)+P(X =3)=11
15,
即这两人的累计得分X≤3的概率为11
15.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:
X1 0 2 4 P
19
49
49