高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

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不等式的几种证明方法

不等式的几种证明方法

不等式证明的几种常用方法一、比较法(1)差值比较法要证明a >b ,只要证明a -b >0。

①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变 形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。

应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

【例一】求证:233x x +>证明:()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数,要证明a >b ,只要证明a/b >1 ①作商:将左右两端作商; ②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。

应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。

【例二】已知a,b>0,求证a b b a a b a b ≥证明: =∵a,b>0+,当a >b 时,>1,a-b >0,>1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。

其逻辑关系为:A-B1- B2- B3… Bn -B ,即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。

重点:基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数,求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)>6abc .证明: 222a b ab +≥ ,222a c ac +≥,222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥,()222b acabc +≥,()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)>6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。

高中数学不等式的证明方法有哪些?

高中数学不等式的证明方法有哪些?

高中数学不等式的证明方法有哪些?高中数学不等式的证明方法有哪些?导语:不定式常见考法:在阶段考中,一般以解答题的形式考查比较法、分析法、综合法、数学归纳法这四种基本方法证明不等式,属于难题。

下面是小编为大家整理的,数学知识,更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!1不等式考试要求在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明。

不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中。

诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

(1)理解不等式的性质及其证明。

(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用。

(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的`不等式。

(4)掌握简单不等式的解法。

(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

2不等式证明方法1、比较法包括比差和比商两种方法。

2、综合法证明不等式时,从命题的已知条件出发,利用公理、定理、法则等,逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法,它是由因导果的方法。

3、分析法证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法。

4、放缩法证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法。

5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式,要注意两步一结论。

在证明第二步时,一般多用到比较法、放缩法和分析法。

6、反证法证明不等式时,首先假设要证明的命题的反面成立,把它作为条件和其他条件结合在一起,利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设的结论不成立,从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

高中数学:不等式题目的七种证明方法

高中数学:不等式题目的七种证明方法

高中数学:不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目,每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

我就来总结一下不等式的证明方法。

01比较法所谓比较法,就是通过两个实数a与b的差或商的符号(范围)确定a与b大小关系的方法,即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法,后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广;作商法再用时注意符号问题,如果同为正的话是没有问题的,同为负的话记得改变不等式的符号。

02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题,已知如果要用综合法或者分析法的话,对于过程上需要写明,即证,所以要证,也就是说,即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用,因为分析完条件,分析结论,两个一起分析做题速度更快一些呢。

03反证法从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的,正难则反,但是要注意用反证法证明不等式时,必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到,不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤:1)假定命题的结论不成立;2)进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;3)由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;4)肯定原来命题的结论是正确的。

04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

放缩法的目的性强,必须恰到好处,。

同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及,灵活性很大。

高考数学复习-不等式证明的六种方法

高考数学复习-不等式证明的六种方法
不等式证明的六种方法
一、比较法
以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要 求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式
新疆 王新 敞
奎屯
一、复习引入: 1.重要不等式:
如果 a,b ∈ R, 那么a 2 + b2 ≥ 2ab(当且仅当a = b时取"="号)
2.定理:如果 a,b 是正数,那么 a + b ≥ ab (当且仅当a = b时取"="号). 2
新疆 王新 敞
奎屯
用综合法证明不等式的逻辑关系是: A ⇒ B1 ⇒ B2 ⇒ " ⇒ Bn ⇒ B
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质 和公式,推出结论的一种证明方法
a
b
c
ab ac bc
≥ 3+2+2+2=9
2°∵ a + b + b + c + c + a ≥ 3 3 (a + b)(b + c)(c + a) 2 2 22
1 + 1 + 1 ≥ 33
1
两式相乘即得
a + b b + c c + a (a + b)(b + c)(c + a)
3°由上题: (a + b + c)( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9 a+b b+c c+a 2
6.推论:如果 a, b, c ∈ R + ,那么 a + b + c ≥ 3 abc (当且仅当 a = b = c 时取“=”) 3

不等式证明的常用方法

不等式证明的常用方法

不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容,它几乎涉及整个高中数学的各个部分,因此,通过不等式这条纽带,可把中学数学的各部分内容有机地联系起来.而不等式的证明是高中数学的一个难点,加之题型广泛、方法灵活、涉及面广,常受各类考试命题者的青睐,亦成为历届高考中的热点问题.本节通过一些实例,归纳一下不等式证明的常用方法和技巧. 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类,基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较,或其商再与 l 比较.当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时,常采用作商比较法.【例1】若,0,0>>b a 证明:2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 (作差比较) 左边-右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 (作商比较)右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立.点评 用比较法证明不等式,一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方;此外,在变形过程中,也可利用基本不等式放缩,如证法二.用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式,这样有利于判断符号. 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=,证明:|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一(作商比较)若||||b a =时,|||)()(|0b a b f a f -≤-=,当且仅当b a =时取等号. 若||||b a ≠时,∵0|)()(|>-b f a f ,0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况,得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号.证法二(作差比较))2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号.点评 作商比较通常在两正数之间进行.本题若直接作差,则表达式复杂很难变形.由于不等式两边均非负,所以先平方去掉绝对值符号后再作差.不论是作差比较还是作商比较,“变形整理”都是关键. 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(当且仅当b a =时取等号);② 若+∈R b a ,,则ab ba 22≥+(当且仅当b a =时取等号); ③ 若b a ,同号,则2≥+baa b (当且仅当b a =时取等号);④ 若R b a ∈,,则≥+222b a 2)2(b a +(当且仅当b a =时取等号); ⑤ 若+∈R c b a ,,,则abc c b a 3333≥++(当且仅当c b a ==时取等号);⑥ 若+∈R c b a ,,,则33abc cb a ≥++(当且仅当c b a ==时取等号);⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121(其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 )及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121,na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121,nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 ( 2004 年湖南省高考题)设0,0>>b a ,则以下不等式中不恒成立的是( )A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解:∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时,b a b a -≥-||,显然D 成立;当b a >时,b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

【技巧题型】不等式题目的七种证明方法

【技巧题型】不等式题目的七种证明方法

【技巧题型】不等式题目的七种证明方法高考的题目中,有80%都是中低档难度,也就是说,要想脱颖而出成为佼佼者,压轴题是无论如何都要攻克的难关!压轴题目一般是开放型的题目,每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

今天,我就来总结一下不等式的证明方法。

1比较法所谓比较法,就是通过两个实数a与b的差或商的符号(范围)确定a与b大小关系的方法,即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法,后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广;作商法再用时注意符号问题,如果同为正的话是没有问题的,同为负的话记得改变不等式的符号。

2分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题,已知如果要用综合法或者分析法的话,对于过程上需要写明,即证,所以要证,也就是说,即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用,因为分析完条件,分析结论,两个一起分析做题速度更快一些呢。

3反证法从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的,正难则反,但是要注意用反证法证明不等式时,必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到,不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤:1)假定命题的结论不成立;2)进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;3)由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的; 4)肯定原来命题的结论是正确的。

4放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件,直接推导出要证明的不等式。

例如,要证明a+b≥2√ab,我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式,再通过数学运算的方式得出结论。

2.反证法反证法是常用的证明方法之一,尤其适用于不等式证明。

该方法是先假设要证明的不等式为假,然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论,从而证明所假设的不等式为真。

例如,要证明3√ab≥2(a+b)不成立,我们可以先假设不等式成立,然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。

由此可知,不等式不成立。

3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式,即对于其中一自然数n,当n=1时不等式成立,且当n=k时不等式成立,则当n=k+1时不等式也成立。

通过反证法证明。

例如,要证明n^2<2^n,首先当n=1时,不等式成立。

假设当n=k时,不等式也成立,即k^2<2^k成立。

我们需要证明当n=k+1时,不等式也成立,即(k+1)^2<2^(k+1)成立。

通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果,即可证明不等式成立。

4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。

例如,要证明a^2+b^2≥2ab,可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。

通过建立几何模型,可以直观地看出不等式成立的原因。

例如,可以将两个正方形的面积进行比较,或者使用勾股定理来解决问题。

5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。

例如,要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca,可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式,然后通过对函数进行研究来得出结论。

以上是几种常见的不等式证明方法,其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。

在实际应用中,根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。

不等式证明的常见方法

不等式证明的常见方法

不等式证明的常见方法
一般地,用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小
于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不
等式,或称广义不等式。

总的来说,用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.在
不等式的证明问题中,发现一类证法原理一样的不等式,现呈现如下:
比较不等式①、②发现其形式与证法都是类似的,不等式①、②的形式左边、右边都
是几个的和,左边是分式的形式,且分子的次数比分母高一次;然后是证法都是通过添加
项多次利用基本不等式,得到最终想要的结果。

由这样的规律,可把上述不等式推广到更
一般的形式有:
以上述形式相似,证法一样的题目除了很多,下面再握一个例子:
从上述的例子,我们可以看到,在运用基本不等式证明不等式时,有这样一类不等式,就是把不等式左边的所有项通过添加项运用基本不等式,再用不等式加法性质把所有式子
相加,而得到最终要证明的不等式。

这类不等式的证明在添加项的时候,添加什么样的项
需要一定的技巧。

因此,我们在平时需多进行练习,去熟悉基本不等式,并且能熟练的运
用基本不等式。

不等式的几种证明方法及其应用

不等式的几种证明方法及其应用

不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样,常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等,高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法.本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结,并以例题的形式展示这些方法的应用.1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中,为完成从条件向结论的转化,利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统,找到解决原问题的具体方法.利用构造思想方法不是直接解决原问题,而是构造与原问题相关或等价的新问题.”)52](1[P 在证明不等式的问题中,构造思想方法常有以下几种形式:1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征,巧妙地构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式.1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中,若根据题中所给的条件,能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的,都可考虑使用判别式法.例1 设R z y x ∈,,,证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立. 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数. 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆,所以0)(≥x f . 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立.对于某些不等式,若能根据题设条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2+(x a 2-22)b +…+2)(n n b x a -,由0)(≥x f 得出0≤∆,从而即可得出所需证的不等式.例2 设+∈R d c b a ,,,,且1=+++d c b a ,求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P .证明 令)(x f =(x a 14+-1)2+(114-+x b )2+)114(-+x c 2+)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a ).由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a .所以62414141414<≤+++++++d c b a .1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围,可考虑利用函数的有界性来证明,具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数.例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P . 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数. 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ,0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f .即∀)1,1(-∈x ,恒有0)(>x f .又因为)1,1(-∈b ,所以0)(>b f , 即01>+++ca bc ab . 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中,若各种式子出现统一的结构,这时可根据这种结构构造函数,把各种式子看作同一函数在不同点的函数值,再由函数的单调性使问题得到解决.例4 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P .分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1,于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x .证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x . 因为0)1(1)(2'>+=x x f , 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增.令n a a a x +++= 211,n a a a x +++= 212. 因为21x x ≤,所以)()(21x f x f ≤. 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 .1.1.4 利用函数奇偶性 例5 求证221xx x <-)0(≠x .证明 设)(x f 221x x x --=,对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=, )(x f -=)21(2)21(xx x ---+-=)12(2)12(-+-x x x =)21(2)21(x x x -+=)(x f , 所以)(x f 是偶函数.当0>x 时,12>x ,所以021<-x,所以0)(<x f . 由偶函数的图象关于y 轴对称知,当0<x 时,0)(<x f . 即 当0≠x 时,恒有0)(<x f ,即221xx x <- )0(≠x . 注意 由以上几种情况可以看出,如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键.1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形,就是把题中的元素用一些点或线来取代,使题中的各种数量关系得以在图中表现出来,然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答.一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义,或可以通过某种方式与几何形(体)建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效,它体现了数形结合的优越性.下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径:1.2.1 构造三角形)1](3[P例6 已知z y x ,,为正数,求证22y xy x +++22z xz x ++>22z yz y ++.分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ,于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边,夹角为︒120的三角形的第三边,由此,易得出下面的证明:证 如图1 ,在BC A ∆内取一点O ,分别连接OC OB OA ,,,使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ,z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=,22z xz x AC ++=,22z yz y BC ++=.由BC AC AB >+, 即得所要证明的不等式.注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数,πα<<0,πβ<<0,πγ<<0,且πγβα2=++,求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ,令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式.例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++. 证明 如图2,构造边长为p 的正三角形ABC ,在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,.因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++, 即2p cm bk an <++. 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数,求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+.分析 观察不等式的左边各式,易联想到用勾股定理,每个式子代表一直角三角形的一斜边,且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+,所以可构造边长为x 的正方形.证明 如图3,构造边长为x 的正方形ABCD ,在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,,b DHc x GD =-=,,b x HA -=.则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+.由三角形两边之和大于第三边知,四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长, 从而命题得证.1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数,证明))((z y y x yz xy ++≤+.分析 两个数的乘积,可看作以这两个数为边长的矩形的面积,也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍.证明 如图4 ,造矩形ABCD ,使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED .由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++. 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+.因为1sin 0≤<α,所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时,等号成立).1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P .分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ,可以表示以y x ,为边, 夹角为︒60的三角形的第三边,同理22z yz y +-,22x zx z +-也有类似意义.证明 如图5,构造顶点为O 的四面体ABC O -,使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ,z OC y OB x OA ===,,,则有22y xy x AB +-=,22z yz y BC +-=,22x xz z AC +-=.在ABC ∆中AC BC AB >+,即得原不等式成立.注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数,,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况.1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性,巧妙地构造对偶数列,从而将问题解决的一种思想.⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn .分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ,由于P 中分子为奇数、分母为偶数,则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ,1225432+⨯⨯⨯=n nQ .证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ,构造P 的对偶式Q ,1225432+⨯⨯⨯=n nQ .因为Q P <<0,所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n .所以121+<n P ,即原不等式成立.注 构造对偶式的途径很多,本题是利用奇偶性来构造对偶式,此外,还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式.1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明,当问题无法从正面入手时,可考虑将它转化为数列,然后利用数列的单调性来证明.例12 求证:不等式!21n n ≤-,对任何正整数n 都成立)55](1[P .分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数,所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ,则只需证1a a n ≤即可.对于任意正整数n ,=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n , 所以{}n a 是递减数列.所以1a a n ≤,即原命题成立.1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性,使得它成了数形结合的桥梁,也是解决一些问题的有利工具.对于某些不等式的证明,若能借助向量模的意义、数量积的性质等,可使不等式得到较易的证明.1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥.证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点:()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+,该不等式显然成立.1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 是前n 项和,求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+. 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量,用平行四边形的几何特征来证明.证明 设该等比数列的公比为q ,如图6,构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ,则OB OA OC +=,故B C A O ,,,构成平行四边形.由于OB OA ,在对角线OC 的两侧,所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ,另一个小于OC k .因为{}n a 是由正数组成的等比数列,所以OA n n OC k S S k =<=++121, 所以OC OB k k <, 即<+1n n S S 21++n n S S . 所以212++<⋅n n n S S S . 此外,还可以利用向量的数量积证明不等式,一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系,如b a ≤⋅≤等,然后利用不等关系证明不等式,在此对这种方法不再举例说明.综上所述,利用构造思想证明不等式时,需对题目进行全面分析,抓住可构造的因素,并借助于与之相关的知识,构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题,通过解决所构造的问题使原问题获得解决.就构造的对象来说它的表现形式是多样的,这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧,综合运用所学知识将问题解决.2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法,换元的目的是通过换元达到减元,或通过换元得到熟悉的问题形式.换元法主要有以下几种形式:图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x .证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ,则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ.注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用.若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等.2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P .证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号).2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序,代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明.例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P .证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t . 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+, 所以t y t y +<+, 即y x y x -<-.总之,证明不等式时适当的引进换元,可以比较容易的找到解题思路,但具体使用何种代换,则因题而异,总的目的是化繁为简.3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式,主要是根据实际问题,构造适当的概率模型,然后利用有关结论解决实际问题.3.1利用概率的性质:对任意事件A ,1)(0≤≤A P ,证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab .分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率,b 看做事件B 发生的概率. 证明 设事件A 与B 相互独立,且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( .因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ,所以1+≤+≤ab b a ab .3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式:2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ,0>i b ,,2,1=i …n ,, 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba .证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =),η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =),ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη, 则 2ξE =∑=n i i a n 121,2ηE =∑=n i i b n 121,)(ξηE =∑=n i i i b a n 11.由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n .即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba .用概率证明不等式比较新颖,开辟了证明不等式的又一途径.但该法用起来不太容易,因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握,才能选择适当的结论加以利用,因此对这种方法只做简单了解即可.4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野. 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理,下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用:拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)('ξf =ab a f b f --)()(.例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12. 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,所以有b arctan -0arctan =)0()(arctan '-=b x x ξ=21ξ+b,),0(b ∈ξ. 而b bx b <+<+2211ξ, 故原不等式成立.泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数,在()b a ,内存在()1+n 阶导函数,则对任意给定的0,x x ()b a ,∈,使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式.例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导,且M x f ≤)('',,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P .证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ=)2)(2('ba xb a f +-++2'')2)((21b a x f +-ξ. 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=+)(811''ξf ,)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=. 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+. 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M .4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数,求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P .证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x .因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x.由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x .当2ln <x 时,0)(''<x f . 当2ln >x 时,0)(''>x f . 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x .所以原不等式成立.4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义,)(x f 称为I 上的凸(凹)函数,当且仅当:21,x x ∀∈I ,有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + ()2(21x x f +≥2)()(21x f x f +). 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数,则)(x f 在I 上为凸(凹)函数的充要条件是:0)(''≥x f (0)(''≤x f ).例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P .证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ,所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数,对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ,所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21.例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P .证明 设xe xf =)(,则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x,所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数.从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+. 即)(212b ab a e e e+≤+. 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数,则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式,其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值,几何平均值,算术平均值,均方根平均值.例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a . 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22,从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++, 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可. 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号),所以812log )(log +≤+a yx a a a .5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈,则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a +2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P .证明 因为∑=+ni i ib a12)(=∑=+ni i i i a b a 1)(+∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式,可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a . (1)∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a . (2) 把(1)(2)两个式子相加,再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ,即得原式成立.5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式. 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积,则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,其中等号当且仅当存在常数βα,,使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零).例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续,,1)(=⎰badx x f k 为任意实数,求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P .证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(. (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(. (2)由(1)+(2)即得原不等式成立. 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增,在),0[+∞上连续,,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数,则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立.例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P .证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时),1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p . 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(.。

证明不等式的 种方法

证明不等式的 种方法

证明不等式的13种方法咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙.1.排序方法对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明.例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证:()22229 1.a b c abc +++≥2.增量方法在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R +∈,试证:2222a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式.例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证:2222222221.16x y y z z x x y z +++≤4.切线方法通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证:323235x y +≤++..5.调整方法局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明.例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4ab bc ca abc ++-≤6.抽屉原理在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果.例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x->+7.坐标方法构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式.例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证:()()()222222222.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式.例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+∈≥求证:9.向量方法构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去.例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证:4≤.10.放缩方法不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处.例10已知数列{}n a 中,首项132a =,且对任意*1,n n N >∈,均有11n n a a +=++()211332.42n n n a -+<<⨯-11.函数方法构造函数后,应用导数方法研究函数的单调性,据此可以证明一些不等式.例11(2009年全国高中数学联赛第一试第15题改编)求证:11.≤例12已知110,1,x x >≠且2*12(3)()31n n n n x x x n N x ++=∈+,求证:数列{}n x 对任意*n N ∈都满足1n n x x +<,或满足1.n n x x +>12.判别式法在二次函数、二次方程的环境里,利用判别式可以证明一些不等式.例13对于任意实数x,y,z,均有()()()()22223111.4x y z x y z +++≥++当且仅当x y z ===.13.不等式法一些重要不等式,诸如柯西不等式、均值不等式等等,都是证明一些不等式的有效工具.例14在ABC 中,求证:2223sin sin sin .2224A B C ++≥例15(2010年山东省高中数学预赛试题)设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=,求证:19(19).4abc ab bc ca abc ≤++≤+例16设,,a b c R +∈,且1abc ≥,正整数,m n 满足()21n m +>,求证:31.1m m m m n a b c a n b n c n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法

不等式证明题的命题形式多样,证明不等式的方法也很多,如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式,需先根据题目中的已知信息,以及已知的事实、结论、性质、定理等,一步步推导,直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时,可以从左往右推导,也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数,求证:ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明:由于a,b,c都是正数,所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0,又因为a,b,c是不完全相等的正数,如果这三个不等式都成立,就取不到等号,因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc,在上式的两边取对数得:ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc),即:lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab;然后根据不等式的可乘性,通过取对数,将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中,经常需要用到这几个不等式:a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反,用分析法证明不等式,需要从要证明的不等式出发,然后分析这个不等式成立的充分条件是什么,一步一步递推,证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息,或者符合已知的数学结论.一般来说,分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子,就可以采用分析法进行证明,通过分析、推理,一步步简化不等式,最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证:(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明:要证:(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b,即证:(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b,由于a>b>0,所以a≠b,即证:(a+b)24a<1<(a+b)24b,<1<1<,根据a>b>0,可知该不等式成立,于是得证:(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂,我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子,同样也很难反向推导出结论,但是可以用分析法,将不等式一步步简化,先将中间项合并,再将其化为1,然后通过恒等变换,化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地,当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时,都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式,要首先假设命题不成立;然后结合题中已知的信息和已有的数学知识,得到存在矛盾的结论,那就说明假设的命题不成立,这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明:假设1+b a,1+a b都大于2,因为a>0,b>0,则1+b≥2a,1+a≥2b,将这两个式子相加得:2+a+b≥2a+2b,化简得:a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾,因此,1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼,所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时,要注意命题的反面情况,如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点,以及解题的步骤,对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中,要学会积累解题技巧和规律,以提升解题的效率.(作者单位:江西省龙南中学)赖明辉备考指南59。

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用.一、反证法如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理.反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的.用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A >B ,先假设A ≤B ,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A ≤B 不成立,而肯定A >B 成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效.例1 设a 、b 、c 、d 均为正数,求证:下列三个不等式:①a +b <c +d ;②(a +b)(c +d)<ab +cd ;③(a +b)cd <ab(c +d)中至少有一个不正确.反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a 、b 、c 、d 都是正数,所以不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤(2b a )2·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d),综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd <34ab ,即a 2+b 2<-32ab ,显然矛盾.∴不等式①、②、③中至少有一个不正确.例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0,c>0.证明:反证法由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0,又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0,从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾.∴假设不成立,从而a >0,同理可证b >0,c >0.例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2.证明:反证法假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8,∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2.故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2),又p >0,q >0 p +q >0,∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.故假设p +q >2不成立,∴p +q ≤2.例4 已知)(x f = x 2+ax +b ,其中a 、b 是与x 无关的常数,求证:|)1(f |,|)2(f |,|)3(f |中至少有一个数不小于21. 反证法一:假设|)1(f |<21,|)2(f |<21,|)3(f |<21, 由于)1(f = 1+a +b ,)2(f = 4+2a +b ,)3(f = 9+3a +b ,∴)1(f +)3(f -)2(f =2,但是,2 = |)1(f +)3(f -)2(f |≤|)1(f |+|)3(f |+2|)2(f |<21+21+2×21= 2, 即2<2,矛盾,∴假设不成立,∴|)1(f |,|)2(f |,|)3(f |中至少有一个数不小于21. 反证法二:假设|)1(f |<21,|)2(f |<21,|)3(f |<21,即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .219321,214221,21121 ①+③得:-1<4a +2b +10<1,即-21<2a +b +5<21, ∴-23<2a +b +4<-21,④ 显然②与④矛盾,因此,假设是不成立的, 故|)1(f |,|)2(f |,|)3(f |中至少有一个数不小于21. 例4 设a ,b ,c 均为小于1的正数,求证:(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a 不能同时大于41. 证明:反证法假设(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a 同时大于41,即(1-a)b >41,(1-b)c >41,(1-c)a >41, 则由41<(1-a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +->21, 同理:21c b +->21,21a c +->21, 三个同向不等式两边分别相加,得23>23,矛盾,所以假设不成立, ∴原结论成立.例6 若0<a <2,0<b <2,0<c <2,求证:(2-a)b ,(2-b)c ,(2-c)a不能同时大于1.证明:反证法假设⎪⎩⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么2)2(b a +-≥b a )2(->1,① 同理2)2(c b +->1,② 2)2(a c +->1,③ ①+②+③,得3>3矛盾,即假设不成立,故(2-a)b ,(2-b)c ,(2-c)a 不能同时大于1.二、三角换元法对于条件不等式的证明问题,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑用三角代换,将复杂的代数问题转化为三角问题.若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同,故可采用三角换元,把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证.一般地,题设中有形如x 2+y 2≤r 2,22a x +22b y = 1或22a x -22b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1),⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ,其中θ的取值围取决于x ,y 的取值围,凡不能用重要不等式证明的问题时,一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元),然后利用函数的单调性最终把问题解决.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,根据问题需要,可能对引入的角度有一定的限制,应特别引起注意,否则可能会出现错误的结果.例2 已知1≤x 2+y 2≤2,求证:21≤x 2-xy +y 2≤3. 证明:∵1≤x 2+y 2≤2,∴可设x = rcos θ,y = rsin θ,其中1≤r 2≤2,0≤θ<π2.∴x 2-xy +y 2= r 2-r 2sin θ2= r 2(1-21sin θ2), ∵21≤1-21sin θ2≤23,∴21r 2≤r 2(1-21sin θ2)≤23r 2,而21r 2≥21,23r 2≤3, ∴ 21≤x 2-xy +y 2≤3. 例2 已知x 2-2xy +y 2≤2,求证:| x +y |≤10.证明:∵x 2-2xy +y 2= (x -y)2+y 2,∴可设x -y = rcos θ,y = rsin θ,其中0≤r ≤2,0≤θ<π2.∴| x +y | =| x -y +2y | = | rcos θ+2rsin θ| = r|5sin(θ+ractan21)|≤r 5≤10.例3 已知-1≤x ≤1,n ≥2且n ∈N ,求证:(1-x)n +(1+x)n ≤2n . 证明:∵-1≤x ≤1,设x = cos θ2 (0≤θ≤2π), 则1-x =1-cos θ2= 1-(1-2sin 2θ) = 2sin 2θ,1+x =1+cos θ2= 2cos 2θ,∴(1-x)n +(1+x)n = 2n sin n 2θ+2n cos n 2θ≤2n ( sin 2θ+cos 2θ) =2n ,故不等式(1-x)n +(1+x)n ≤2n 成立.例4 求证:-1≤21x --x ≤2.证明:∵1-x 2≥0,∴-1≤x ≤1,故可设x = cos θ,其中0≤θ≤π. 则21x --x =θ2cos 1--cos θ= sin θ-cos θ=2sin(θ-4π), ∵-4π≤θ-4π≤43π, ∴-1≤2sin(θ-4π)≤2,即-1≤21x --x ≤2. 三、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a >b >c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简.例7 已知a ,b ∈R ,且a +b = 1,求证:(a +2)2+(b +2)2≥225. 证明:∵a ,b ∈R ,且a +b = 1,∴设a =21+t ,b=21-t , (t ∈R) 则(a +2)2+(b +2)2= (21+t +2)2+(21-t +2)2= (t +25)2+(t -25)2= 2t 2+225≥225. ∴(a +2)2+(b +2)2≥225. 例8 已知a 1+a 2+…+a n = 1,求证:21a +22a +…+2n a ≥n1. 证明:设a 1= t 1+n 1,a 2= t 2+n 1,…,a n = t n +n1,其中t 1+t 2+…+t n = 0,则21a +22a +…+2n a = (t 1+n 1)2+(t 2+n 1)2+…+(t n +n 1)2= n ·21n+2×n 1( t 1+t 2+…+t n )+…+21t +22t +…+2n t =n 1+21t +22t +…+2n t ≥n 1. 四、放缩法放缩法是在顺推法逻辑推理过程中,有时利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明.这种证题方法的实质是非等价转化,而它的证题方法没有一定的准则和程序,需按题意适当..放缩,否则是达不到目的.利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特征及已知条件,采取舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.此类证法要慎审地采取措施,进行恰当地放缩,任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败.例5 设n 为自然数,求证:91+251+…+2)12(1+n <41. 证明:∵2)12(1+k =14412++k k <k k 4412+=41(k1-11+k ), ∴91+251+…+2)12(1+n <41[(1-21)+(21-31)+…+(n 1-11+n ) =41(1-11+n )<41. ∴91+251+…+2)12(1+n <41[(1-21)+(21-31)+…+(n 1-11+n ) =41(1-11+n )<41. 例5 已知a n =21⨯+32⨯+…+)1(+n n ,其中n 为自然数, 求证:21n(n +1)<a n <21(n +1)2. 证明:∵)1(+k k <21++k k =212+k 对任意自然数k 都成立, ∴a n =21⨯+32⨯+…+)1(+n n <23+25+27+…+212+n =21[3+5+7+…+(2n +1)] =21(n +2n)<21(n +2n +1) =21(n +1)2. 又)1(+k k >2k = k ,∴a n =21⨯+32⨯+…+)1(+n n >1+2+3+…+n =21n(n +1), ∴21n(n +1)<a n <21(n +1)2. 评析:根据要证不等式的结构特征,应用均值不等式“放大”a n 为一个等差数列的和,求和后再添加一个数1,直到“放大”到要证的右边;而左边是通过“缩小”a n 的方法去根号而转化为等差数列的和.放大或缩小的技巧很多,如添项、减项、分子、分母加或减一个数,或利用函数的单调性、有界性等等,但要注意放缩要适度.11.设a 、b 为不相等的两正数,且a 3-b 3= a 2-b 2,求证:1<a + b <34. 证明:由题意得a 2+ab +b 2= a + b ,于是(a +b)2= a 2+2ab +b 2>a 2+ab +b 2= a + b ,故a + b >1,又(a +b)2>4ab ,而(a +b)2= a 2+2ab +b 2= a +b +ab <a +b +4)(2b a +, 即43(a +b)2<a +b ,解得a + b <34. ∴1<a + b <34. 例12 已知a 、b 、c 、d 都是正数,求证:1<c b a b +++d c b c +++a d c d +++ba d a ++<2. 证明:∵d cb a b +++<c b a b ++<ba b +, d c b a c +++<d c b c ++<dc c +,d c b a d +++<a d c d ++<dc d +, d c b a a +++<b a d a ++<ba a +, 将上述四个同向不等式两边分别相加,得:1<c b a b +++d c b c +++a d c d +++ba d a ++<2.。

证明不等式的八种方法

证明不等式的八种方法

利用导数证明不等式的八种方法构造函数法---1研究其单调性2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.181、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法:一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(,求证:当1->x 时,恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ,从其导数入手即可证明。

【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时,0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时,0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-,单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ,因此,当1->x 时,0)0()(=≤f x f ,即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( (右面得证), 现证左面,令111)1ln()(-+++=x x x g , 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ,即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数,在),0(+∞∈x 上为增函数,故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ,∴当1->x 时,0)0()(=≥g x g ,即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知,当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大(小)值,则有()f x ≤()f a (或()f x ≥()f a ),那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证. 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证:在区间),1(∞+上,函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方;分析:函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题, 即3232ln 21x x x <+,只需证明在区间),1(∞+上,恒有3232ln 21x x x <+成立,设)()()(x f x g x F -=,),1(+∞∈x ,考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为:当1>x 时,)1()(F x F >,这只要证明: )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

第2节证明不等式的基本方法

第2节证明不等式的基本方法

第2节证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法总结如下:一、利用数学分析中的中值定理、极值、单调性等性质进行证明。

1.利用中值定理:利用连续函数介值定理或拉格朗日中值定理,根据函数的一些性质,可以推出不等式的成立。

例如,证明一个凸函数在区间上的函数值不小于端点的函数值。

2.利用极值:通过求导或其他方法,找到函数的极值点,然后证明这些极值点就是不等式的最小(最大)值点。

例如,证明两数之积不大于它们的平方和,可以通过求导得到函数的极值点,然后通过证明这个极值点为最小值点来完成。

3.利用单调性:如果已知函数在一些区间上是严格递增(递减)的,可以通过证明不等式在一些特殊点成立,并通过函数的单调性推出在整个区间上成立。

例如,证明一个正数的倒数小于它自己,则可以先证明在0到1之间成立,然后利用单调性推出在整个正数范围内成立。

二、利用数学归纳法进行证明。

如果不等式中的变量是正整数,可以利用数学归纳法进行证明。

首先证明当n=1时不等式成立,然后假设当n=k时不等式成立,再证明当n=k+1时不等式也成立。

例如,证明n个正数的平均值不小于它们的几何平均值,可以先证明当n=1时成立,然后假设当n=k时成立,再证明当n=k+1时也成立,最后利用数学归纳法推出结论。

三、利用代数方法。

1.利用等价变形:对于一个复杂的不等式,可以通过进行等价变形来简化证明。

通过将不等式的两边同时加上或减去一些式子,或者将不等式两边同时乘以或除以一些式子,可以得到一个等价的不等式,然后证明这个等价的不等式。

例如,证明正数的n次方大于等于它的平方,可以将不等式两边同时开方,然后证明这个等价的不等式。

2. 利用加减法、乘除法不等式:对于一个分式或多项式不等式,可以通过利用加减法、乘除法的不等式性质,将不等式化简为更简单的形式,再进行证明。

例如,证明a+b≤2ab,则可以将两边同时减去a+b再加上2,利用不等式的性质简化后得到ab≥1,再证明这个等价的不等式。

证明不等式的常用方法

证明不等式的常用方法

已知a,b,c,d都是正数,求证1<s<2.
a b c d s = abd bca cd b d a c
abcd a b c d 放缩法 1 a b c d < s< a b b a c d d c 2
a ac 糖水模型 < abd abcd
是求正数积的最大值,考虑其和为定值,且 它们都相等。要检验等号能否取到。
ax,ax,2-5x; a=5/2,32/675
1 当 x R 时,求 x x 2 2 的最小值
2
10
8
a b 2 ab ?
条件是正实数!
1 fx = x + 2 x +2
2
6
4
从图像上看最小值是1/2 x2+2=t,利用t+1/t单调性 形如x+d/x型的不等式问题往往要 结合函数y=x+d/x的单调性来解决 1/2
-20 -15 -10
-10
2
-5
8
-2
6
4
-4
2
-5
510ຫໍສະໝຸດ -2-4-6
-8
作业
设a (0,1), b (0,1), 求证: a 2 b2 (1 a )2 b2 (1 a )2 (1 b)2 a 2 (1 b)2 2 2
设f ( x ), g ( x )都是[0,1]上的实值函数,试证必 存在 1 x0 , y0 [0,1], 使不等式 x0 y0 f ( x0 ) g ( y0 ) 4
若a, b R, a 0, a 0, a b 0.
2 2
常用的一些基本不等式

高中证明不等式的四大方法

高中证明不等式的四大方法

高中证明不等式的四大方法
研究不等式是很重要的,它作为数学、物理和其他领域的基础,对日常生活也有着十分重要的意义。

高中时期学习不等式的过程中,常常会遇到如何证明不等式所带来的问题,证明不等式一般可以有四种方法:
一、函数极值法
函数极值法是借助函数及其导数的性质来证明不等式,判断函数的极值的性质,然后用极值来证明不等式。

这种方法适用于不等式中带有 x 的函数及其导数,比如函数 f ( x ) = x^2 + ax + b ( a,b 为常数) 的大于、小于及其证明,都可以用函数极值法来证明。

二、不等式组合法
不等式组合法是利用不等式和其他熟悉的性质,把不等式组合起来,以有效证明一个不等式的方法,一般可用自然数的定理、AM-GM 定理、费马平方和定理、牛顿黎曼不等式等方法结合不等式证明原不等式。

三、几何法
几何法是一种综合的方法,它的核心是运用间接证明的思想,通过几何形象中的定理,证明几何形象和不等式之间的关系,如正方形边长和正数之间的关系等。

四、数学归纳法
数学归纳法是一种经典的元素数学思想,包括数学归纳和数学归纳法,它利用数学归纳法的思想,由简到难,从某一特定情况,以及一切类似的情况中得出一般性的结论和推论,最终证明某个不等式。

以上就是证明不等式的四大方法。

不等式是所有科目中都有用到的知识,学习不等式也需要一定技巧,上面介绍的四大方法可以帮助我们更好的学习不等式,并有助于我们准确地研究不等式。

在数学学习中,不要把不等式搞混、弄回,按照上面介绍的四大方法认真学习,才能更好的掌握不等式的学习方法,正确地解答各种不等式的问题。

(完整版)不等式的证明方法大全,推荐文档

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不等式的证明一、比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法,它常用的证明方法有两种:1.作差比较法(1)应用范围:当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,常用此法。

(2)方法:欲证A>B,只需要证A-B>0(3)步骤:“作差----变形----判断符号”。

(4)使用此法作差后主要变形形式的处理:○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。

○将差变形为几个因式的积的形式,常用因式分解法。

○若变形后得到二次三项式,常用判别式定符号。

2.作商比较法(1)应用范围:当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。

(2)方法:要证A>B,常分以下三种情况:若B>0,只需证明1A B >;若B=0,只需证明A>0;若B<0,只需证明1AB<。

(3)步骤:“作商-----变形-----判断商数与1的大小”例1 已知a ,b ∈R ,且a+b=1. 求证:()()2252222≥+++b a . 解析:用作差比较法a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++-2222911(1)4222(0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a (当且仅当21==b a 时,取等号)例2:已知a , b , m 都是正数,并且a < b ,求证:bam b m a >++解析:用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++∵a ,b ,m 都是正数,并且a <b ,∴b + m > 0 , b a > 0∴0)()(>+-m b b a b m即:bam b m a >++例3:已知a>b>0,求证:()2a b a ba b ab +>解析:用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba aabb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>练习:已知a ,b∈R +,求证a a b b ≥a b b a .例4:已知0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。

不等式证明常用方法

不等式证明常用方法

不等式证明常用方法不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景,与生产实践联系十分密切;因此,无论普通高考,还是对口高考,不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。

下面就不等式的证明,介绍几种常见方法,如有不对,敬请同行、同学们斧正. 一、作差法例1、对于任意实数x ,求证:x x 232>+.证明:∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+.评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论.2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选用.二、作商法例2、设a ,b 均是正实数,求证:a b b a b a b a ≥.证明:首先,由条件0>bab a ,0>abb a , 其次, b a a b b a b aba b a -=)(,⑴当0>≥b a 时,1≥ba,0≥-b a ,∴1)(≥-b a b a .⑵当0>>a b 时,10<<b a ,0<-b a ,∴1)(>-b a ba.综合⑴、⑵:1)(≥-b a ba,∴a b b a b a b a ≥.评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论.2.作差法是通法,运用较广;作商法,要注意条件,不等式两边必须是正数。

作商法常用于证幂、指数形式的不等式。

三、综合法例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证:c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明:∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,cab也均是正实数.∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a+≥+≥+≥∴2(bc a +)(2c b a c abb ca ++≥+, ∴c b a cab b ca a bc ++≥++ 评注:1.利用某些已经证明过的不等式(例如正数的算术均值不小于几何均数等)和不等式的性质(例如||||||||||b a b a b a +≤+≤-等)推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法.2.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法.3.运用综合法证明不等式,必须发现式子的结构特征,结合重要不等式和常用不等式,找到解题的方法。

高中不等式的常用证明方法归纳总结

高中不等式的常用证明方法归纳总结

不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 222≥+的变式应用。

常用2222ba b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c 均为正数,求证:ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ,0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。

2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证:31222≥++c b a证:2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(444c b a abc c b a ++>++证:∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明:∵)(22222222)(22b a b a b a b aab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a+≥+,两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加,得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ,证:9)11)(11(≥++y x 。

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高中数学不等式的几种常见证明方法摘 要:不等式是中学数学的重要知识,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目都有所出现,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一步加强对各种不等式的理解.关键字:不等式;数学归纳法;均值;柯西不等式一、比较法所谓比较法,就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号(范围)确定a 与b 大小关系的方法,即通过“0a b ->,0a b -=,0a b -<;或1a b >,1a b =,1ab<”来确定a ,b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法.例 1 设,x y R ∈,求证:224224x y x y ++≥+. 证明: 224224x y x y ++-- =2221441x x y y -++-+ =22(1)(21)x y -+-因为 2(1)0x -≥, 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+例 2 已知:a >b >c >0, 求证:222a b c a b c ⋅⋅>b c a c b c a b c +++⋅⋅.证明:222a b cb c a c b c a b c a b c+++⋅⋅⋅⋅=222a b c b a c c b c a b c ------⋅⋅>222a b c b a c c b c c c c ------⋅⋅=0c =1222a b cb c a c b ca b c a b c+++⋅⋅∴⋅⋅>1 ∴222a b c a b c ⋅⋅>b c a c b c a b c +++⋅⋅二、分析法分析法:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立.例 3 求证3<证明: 960+>>5456<成立∴原不等式成立运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱写,从而加强针对性,较快地探明解题的途径. 三、综合法从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种证明方法叫做综合法.例 4 已知,a b R +∈,1a b +=,求证:221125()()2a b a b +++≥证明:∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 2212a b +≥又 ∵2222221111()()8a b a b a b +=++≥⨯= ∴ 2222221111()()()4()a b a b a b a b +++=++++1254822≥++=.四、反证法从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的,这种证明方法叫做反证法.用反证法证明不等式时,必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾.反证法证明一个命题的思路及步骤: (1) 假定命题的结论不成立;(2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾; (3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的; (4) 肯定原来命题的结论是正确的.例 5 已知0,0,a b c ab bc ca abc o ++>++>>,求证:0,0,0.a b c >>> 证明:由0abc >知0a ≠,假设0a <,则0bc < 又因为0a b c ++>,所以0b c a +>->,即()0a b c +< 从而()0ab bc ca a b c bc ++=++<,与已知矛盾.∴ 假设不成立,从而0a >同理,可证0,0b c >> 五、放缩法放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.否则不能达到目的.例 6 设a 、b 、c 是三角形的边长,求证3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-证明:由不等式的对称性,不妨设a b c ≥≥,则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+ 且20c a b --≤, 20a b c --≥ ∴3111a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c++-=-+-+-+-+-+-+-+-+-222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--b a c ba cb ac a c b b a c c b a∴3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-六、数学归纳法对于含有)(N n n ∈的不等式,当n 取第一个值时不等式成立,如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下,还能证明不等式在1+=k n 时也成立,那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立.例 7 证明:222,.n n n N ++>∈证明:(1)当1n =时,左边=1224+=;右边=1,左边>右边.所以原不等式成立. 当n =2时,左=2226+=,右=22=4,所以左>右; 当n =3时,左=32210+=,右=23=9,所以左>右. 因此当1,2,3n =时,不等式成立.(2)假设当n k =(3k ≥且k N ∈)时,不等式成立.即222k k +>. 因为()1222222222222k k k k ++=⋅+=+->-=222123k k k k +++--=()()()22113k k k k ++++- (因3k ≥,则30k -≥,10k +>) 221k k ≥++()21k =+所以,()21221k k ++>+.故当1n k =+时,原不等式也成立. 根据(1)和(2),原不等式对于任何n N ∈都成立. 七、换元法在证明过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明得到简化.例 8 已知,,a b R ∈且221,a b +≤求证:222a ab b +-≤. 证明:设cos ,sin ,a r b r θθ==其中[)1,0,2r θπ≤∈则222a ab b +-=22222cos 2sin cos sin r r r θθθθ+- =22cos 2sin 2r r θθ+=2sin 24πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭∴222a ab b +-≤原不等式得证.例 9 已知:1=++c b a ,求证:31≤++ca bc ab . 证明:设t a -=31,)(31R t at b ∈-=,则t a c )1(31++=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131,31)1(3122≤++-=t a a所以 31≤++ca bc ab 例 10 已知,a b R ∈且1a b +=,求证:()()2225222a b +++≥ 证明:因为,a b R ∈且1a b += 所以设()11,22a tb t t R =+=-∈ 则()()222211222222a b t t ⎛⎫⎛⎫+++=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=225522t t ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22525222t +≥ 即()()2225222a b +++≥ 原不等式成立. 八、利用均值不等式均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“(一正、二定,三相等).均值不等式公式:①222,(,)a b ab ab ab a b R +≥=+∈(当且仅当a b =时取“=”);②,)a b a b R ++≥=∈(当且仅当a b =时取“=”).例 11 已知a ,b ,c 为不全相等的正数,求证: a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc. 证明: ∵ b 2+c 2≥2bc , a >0, ∴ a (b 2+c 2)≥2abc 同理,b (c 2+a 2)≥2bac, c (a 2+b 2)≥2cab , 又 因为a ,b ,c 不全相等,所以上述三个不等式中等号不能同时成立, 因此 a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc .例 12 若,0,2x y x y >+=,求证:112x y +=证明:因为,0,x y >所以11111()()2x y x y x y+=++1(11)22y xx y=+++≥ 当且仅当y xx y+,即1,1x y ==时等号成立 九、导数法当x 属于某区间,有0)(≥'x f ,则)(x f 单调递增;若0)(≤'x f ,则)(x f 单调递减.推广之,若证)()(x g x f ≤,只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可.例 13 证明不等 x e x +>1,.0≠x证明:设,1)(x e x f x --=则.1)(-='x e x f 故当0>x 时,f x f ,0)(>'递增;当f x f x ,0)(,0<'<递减.则当0≠x 时, ,0)0()(=>f x f 从而证得 .0,1≠+>x x e x十、利用柯西不等式设,,,a b c d 均为实数,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+,当且ad bc =仅当时成立.例 14 若,0,2x y x y >+=,求证:112x y+=分析:此题在前面可用均值不等式解,这儿也可以用柯西不等式解.证明:11111()()2x y x y x y+=++22≥≥当且仅当=1,1x y ==时等号成立 十一、 在不等式两端取变限积分证明新的不等式例 15 证明:0>x 时,1206sin 6533x x x x x x +-<<-.证明:已知1cos ≤x ,(0>x 时只有πn x 2=时等号成立),在此式两端同时取[]x ,0上的积分得x x <sin )0(>x ,对得到的不等式取[]x ,0上的积分得到2cos 12x x <-)0(>x ,第三次取在[]x ,0上的积分得6sin 3x x x <-)0(>x即x x x sin 63<-)0(>x ,继续在[]x ,0上积分两次即可得1206sin 53x x x x +-<,所以1206sin 6533x x x x x x +-<<-.结束语:不等式知识在高中尤为重要,在学术上也有很大的研究的余地,本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容,更深层的知识有待学者继续研究.参考文献:[1] 傅荣强,于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社,2007:58—88[2] 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9).[3] 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11).[4] 普片多,例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院。

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