北京大学2016数学科学夏令营初赛-评分标准.
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若n k =时成立,考虑1n k =+时.(((12111,,,1k k k k k k k a a a a qa a qa +++++=+==.(20分③再证明如下结论:11m n m n n m n a a a qa a +---=+(2m n ≥+当1n =时结论显然成立.若n k =时成立,考虑1n k =+时.
=.
可得△BOR≌△BHP,从而
2
c
BR BP
==.
于是cos
CM
C
CR
=,即
222
1
2
1
2
2
b
a b c
ab a c
+-
=
-
(20分
再由60
ABC
∠=︒可得222
b a
c ac
=+-.
整理可得22
32
c b
=.
从而sin C B
==,故45
C
∠=︒.
于是75
A
∠=︒.(30分
2.答案:(
P x x b
设(,p q d =,则3|d a ,4|d a ,从而(34|,d a a ,而((3413,4,1a a a a ===,故1d =.
由((3633,6,a a a a ==,可得36|a a ,从而((43222|32p q p p q p q pq q +++++整理可得((2|1p q q p +-.由(,1p q =可得(,1p q q +=,从而((|1p q p +-.注意1p p q -<+,所以1p =.(10分
充分性:
①先证明对任意正整数n ,(,1n a q =.当1,2n =时显然成立.
若n k =时成立,考虑1n k =+时.由11k k k a a qa +-=+可得((1,,1k k a q a q +==.(15分②再证明对任意正整数n ,(1,1n n a a +=.当1,2n =时显然成立.
回到原题,不妨设m n ≥.当m n =时结论显然成立当1m n =+时,由②可知结论成立.
当2m n ≥+时,由③得((((111,,,,m n n m n n m n n n m n n m n n a a a a qa a a a a a a a +---+--=+==利用辗转相除法可知结论成立.综上即可得证.(30分
11m k m k k m k a a a qa a +---=+(1121
k m k m k k m k a a qa qa a +------=++(11122112k k m k k m k k m k k m k a qa a qa a a a qa a +--+--+--+--=++=+.结论成立(25分
北京大学中学生数学奖
个人能力挑战赛——试题评分标准
2016年7月
本试卷共4题,每题30分,满分120分.考试时间180分钟.
1.由60
ABC
∠=︒.计算可得cos
BH AC B OB OQ
===.
从而BOQH为菱形.(10分
延长QO交BC于R,由90
CBO A ABH
∠=︒-∠=∠,BOR BHP
∠=∠,BO BH
a=-.
但此时
31
a a b
==,不可能.(20分
若(
P x的次数不小于2.且存在数列{}n a满足要求.
北京大学2016年数学科学夏令营初赛
评分标准
利用(lim
x P x x
→∞
=∞,可知必存在常数N ,使得x N >时,(P x x >.
由于{}n a有无穷多项,且任意两项互不相同,可知必存在n a N >.从而(((11210n n n n n N a P a a P a a P a ---<<=<=<<=,矛盾.
从而((021mod 21n a a n ϕ-≡-,即操作(21n ϕ-次后,所有纸牌回到运来的位置.显然有(2122n n ϕ-≤-,命题得证.(30分
注:最后一步也可以不用欧拉定理,而直接用抽屉原理证明存在正整数t ,22t n ≤-,使得(21mod 21t n ≡-. 4.必要性:
依次计算可得3a p q =+,24a p pq q =++,32252a p p q pq q =+++, 43222632a p p q p q pq q =++++.
=+(b∈且0
b≠
显然(
P x不是常数,且(
P x x
≠.
对(
P x x b
=+(b∈且0
b≠,构造数列{}n a使得n a nb
=-即可.(10分若(
P x ax b
=+(1
a≠,则
1
b
a
a
=-,
22
11
a b
a a
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
,…….
一般的,有
(
1
1
n
n n
a
a b
a a
-
=-
-
,由于
n
a为整数,故只可能1
综上即可得证.(30分
3.注意到编号为1的牌永远在牌堆百度文库方,编号为2n的牌永远在牌堆下方.
去掉这两张牌,只考虑中间22n -张牌.此时相当于将所有从上往下数奇数位置的牌抽出来,保持顺序放到牌堆的下方.(10分
假设此时某张牌在k次操作后所在的位置为从上往下数第k a张.
按上述操作可得(12mod 21k k a a n +≡-,从而(02mod 21k k a a n ≡-.(20分由于(21,21n -=,由欧拉定理可得((2121mod 21n n ϕ-≡-
=.
可得△BOR≌△BHP,从而
2
c
BR BP
==.
于是cos
CM
C
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=,即
222
1
2
1
2
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b
a b c
ab a c
+-
=
-
(20分
再由60
ABC
∠=︒可得222
b a
c ac
=+-.
整理可得22
32
c b
=.
从而sin C B
==,故45
C
∠=︒.
于是75
A
∠=︒.(30分
2.答案:(
P x x b
设(,p q d =,则3|d a ,4|d a ,从而(34|,d a a ,而((3413,4,1a a a a ===,故1d =.
由((3633,6,a a a a ==,可得36|a a ,从而((43222|32p q p p q p q pq q +++++整理可得((2|1p q q p +-.由(,1p q =可得(,1p q q +=,从而((|1p q p +-.注意1p p q -<+,所以1p =.(10分
充分性:
①先证明对任意正整数n ,(,1n a q =.当1,2n =时显然成立.
若n k =时成立,考虑1n k =+时.由11k k k a a qa +-=+可得((1,,1k k a q a q +==.(15分②再证明对任意正整数n ,(1,1n n a a +=.当1,2n =时显然成立.
回到原题,不妨设m n ≥.当m n =时结论显然成立当1m n =+时,由②可知结论成立.
当2m n ≥+时,由③得((((111,,,,m n n m n n m n n n m n n m n n a a a a qa a a a a a a a +---+--=+==利用辗转相除法可知结论成立.综上即可得证.(30分
11m k m k k m k a a a qa a +---=+(1121
k m k m k k m k a a qa qa a +------=++(11122112k k m k k m k k m k k m k a qa a qa a a a qa a +--+--+--+--=++=+.结论成立(25分
北京大学中学生数学奖
个人能力挑战赛——试题评分标准
2016年7月
本试卷共4题,每题30分,满分120分.考试时间180分钟.
1.由60
ABC
∠=︒.计算可得cos
BH AC B OB OQ
===.
从而BOQH为菱形.(10分
延长QO交BC于R,由90
CBO A ABH
∠=︒-∠=∠,BOR BHP
∠=∠,BO BH
a=-.
但此时
31
a a b
==,不可能.(20分
若(
P x的次数不小于2.且存在数列{}n a满足要求.
北京大学2016年数学科学夏令营初赛
评分标准
利用(lim
x P x x
→∞
=∞,可知必存在常数N ,使得x N >时,(P x x >.
由于{}n a有无穷多项,且任意两项互不相同,可知必存在n a N >.从而(((11210n n n n n N a P a a P a a P a ---<<=<=<<=,矛盾.
从而((021mod 21n a a n ϕ-≡-,即操作(21n ϕ-次后,所有纸牌回到运来的位置.显然有(2122n n ϕ-≤-,命题得证.(30分
注:最后一步也可以不用欧拉定理,而直接用抽屉原理证明存在正整数t ,22t n ≤-,使得(21mod 21t n ≡-. 4.必要性:
依次计算可得3a p q =+,24a p pq q =++,32252a p p q pq q =+++, 43222632a p p q p q pq q =++++.
=+(b∈且0
b≠
显然(
P x不是常数,且(
P x x
≠.
对(
P x x b
=+(b∈且0
b≠,构造数列{}n a使得n a nb
=-即可.(10分若(
P x ax b
=+(1
a≠,则
1
b
a
a
=-,
22
11
a b
a a
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⎪
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,…….
一般的,有
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1
1
n
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a
a b
a a
-
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,由于
n
a为整数,故只可能1
综上即可得证.(30分
3.注意到编号为1的牌永远在牌堆百度文库方,编号为2n的牌永远在牌堆下方.
去掉这两张牌,只考虑中间22n -张牌.此时相当于将所有从上往下数奇数位置的牌抽出来,保持顺序放到牌堆的下方.(10分
假设此时某张牌在k次操作后所在的位置为从上往下数第k a张.
按上述操作可得(12mod 21k k a a n +≡-,从而(02mod 21k k a a n ≡-.(20分由于(21,21n -=,由欧拉定理可得((2121mod 21n n ϕ-≡-