0-1背包问题的算法设计策略对比与讲解
0-1背包问题的算法决策分析
0-1背包问题的算法决策分析0-1背包问题是计算机科学领域的一个经典问题，其解法被广泛应用在算法设计中。
其主要思想是在一定的容量限制下，如何选择一些物品放置到背包中，使得背包的总价值最大化。
在该问题中，每个物品不仅有一个重量，还有一个价值，我们需要在这两个限制因素下做好物品的选择。
该问题的求解方法有好几个，其中最常见的方法是动态规划。
下面，我们来分析一下0-1背包问题的算法决策分析。
1. 问题描述在组织摆市集时，有一块摊位的承重力有限，你有一些物品，每个物品有一个重量和一个价值，你需要将这些物品放入摊位中，并最大化摆摊的总价值，但是不能超过摊位的承重力限制。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种高效解决0-1背包问题的方法。
该算法基于一个简单的思想：将问题拆分成小的、重叠的子问题，然后将这些问题组合起来解决原问题。
在这里，我们使用下面的方法来解决动态规划问题：1. 定义状态方程我们需要定义一个状态方程，以确定哪些值需要存储下来，以及如何将它们组合在一起来解决整个问题。
在这里，我们定义一个状态表格，记录放入物品的不同方法，以及每种放置方法的总价值。
2. 初始化状态我们需要初始化状态表格，以确定当没有物品可以放置时的状态。
在这种情况下，状态表格的所有值都应该是0。
3. 递推方程我们需要递推填充状态表格，以确定每一个单元格的最优值。
这需要根据当前单元格的背包限制和当前物品的重量和价值来计算。
4. 计算最终结果我们需要遍历状态表格，以找到摆摊中最大值的那个单元格。
这会告诉我们哪些物品放到了摊位中，以及它们的总价值。
3. 时间复杂度动态规划算法的时间复杂度为O(NW)，其中N是物品数量，W是背包的重量限制。
该算法的时间复杂度相对较低，因此它被广泛应用于0-1背包问题的求解。
5. 总结0-1背包问题是一种经典问题，其求解方法多种多样，其中动态规划算法是最常用的方法之一。
该算法的时间和空间复杂度相对较低，因此它可以处理较大规模的问题。
两种算法解决0-1背包问题的比较
wi
i=0 0 0 0 0 0 0
1 w1=2 v1=12
1 0 0 12 12 12 12
2 w2=1 v2=10 3 w3=3 v3=20
W=5 2 3
0 10 12 22 22 22 0 10 12 22 30 32
4 w4=2 v4=15
❖ 动态规划法求解01背包 分段：
动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算， 后继实例解由直接前趋子实例解计算得到。对于01背包问题， 可利用减一技术和最优性原则，按物品数量和背包承重量分 段。 思路：根据最优子结构性质，根据前i-1件物品中最优子集的总 价值，计算前 i 件物品中最优子集的总价值，直到i=n为止。 核心技术：需要构建二维状态矩阵DP，来保存每一步的解，供 下一步计算使用。
阶段 n
求解算法
......
动态的含义：求解算法施加的状态是变化的。 当前状态只与其直接前趋状态有关，对其直接 前趋状态施加求解算法，成为当前状态。 最优性原则 (Principle of Optimality)：
求解算法 一个最优问题任何实例的最优解，是由该实例
阶段 2
求解算法
阶段 1
的子实例的最优解组成的。对特定问题该原则 不一定满足（罕见），有必要检查其适用性。 子实例组成父实例，父实例分解为子实例。
计算过程是一级一级（一阶段一阶段）地向前推进，直到最终状态。
★ 动态规划法解01背包
❖ 问题描述 已知：n 个重量为weights[w1,...,wn]、价值为values[v1,...,vn ] 的物品和一个承重量W的背包。 要求：找出最有价值子集，且能装入背包中（不超重）。
物品重量、背包承重量、物品数量都是整数。
求解0—1背包问题算法综述
0-1背包问题是一种常见的动态规划问题，其目标是在给定背包容量和物品集合的情况下，选择某些物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。
以下是求解0-1背包问题的算法综述：
1. 定义变量和参数：
* 物品集合：包括每个物品的重量和价值。
* 背包容量：表示背包能够容纳的最大重量。
* dp数组：用于存储每个状态下的最大价值，dp[i][j]表示前i个物品、背包承重为j时的最大价值。
2. 初始化dp数组：
* 对于每个物品i和背包容量j，如果物品i能够装入背包，则令dp[i][j]为0；否则，令dp[i][j]为负无穷。
3. 递推计算dp数组：
* 对于每个物品i和背包容量j，如果物品i能够装入背包，则令dp[i][j]为当前物品的价值加上前i-1个物品、背包容量为j-w[i]时的最大价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + p[i]；否则，
令dp[i][j]为前i-1个物品、背包容量为j时的最大价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。
4. 返回dp数组的最后一个元素，即为所求的最大价值。
以上是求解0-1背包问题的算法综述，实际实现时可以根据具体情况进行优化，以提高算法的效率和性能。
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
用贪心法求解0-1背包问题
算法设计与分析期末论文题目用贪心法求解“0-1背包问题”专业计算机科学与技术班级09计算机一班学号0936021姓名黄帅日期2011年12月28日一、0-1背包问题的算法设计策略分析1.引言对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，例如，在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起决定性的作用。
算法是解决问题的一种方法或一个过程。
程序是算法用某种设计语言具体实现描。
计算机的普及极大的改变了人们的生活。
目前，各行业、各领域都广泛采用了计算机信息技术，并由此产生出开发各种应用软件的需求。
为了以最小的成本、最快的速度、最好的质量开发出适合各种应用需求的软件，必须遵循软件工程的原则。
设计一个高效的程序不仅需要编程小技巧，更需要合理的数据组织和清晰高效的素算法，这正是计算机科学领域数据结构与算法设计所研究的主要内容。
2. 算法复杂性分析的方法介绍算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的量称为空间复杂性。
这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。
如果分别用N 、I 和A 表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，而且用C 表示复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。
一般把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T 和S 来表示，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。
（通常，让A 隐含在复杂性函数名当中最坏情况下的时间复杂性：最好情况下的时间复杂性：平均情况下的时间复杂性：其中DN 是规模为N 的合法输入的集合；I*是DN 中使T(N, I*)达到Tmax(N)的合法输入； 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法输入；而P(I)是在算法的应用中出现输入I 的概率。
算法复杂性在渐近意义下的阶：渐近意义下的记号：O 、Ω、θ、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。
O 的定义：如果存在正的常数C 和自然数N0，使得当N ≥N0时有f(N)≤Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N))。
0-1背包问题的算法决策分析
0-1背包问题的算法决策分析【摘要】本文主要介绍了0-1背包问题的算法决策分析。
在我们首先概述了背包问题的基本概念，指出了其在实际应用中的重要性。
同时强调了本文的研究意义。
接着在我们详细讨论了动态规划算法、贪心算法、分支界限算法和穷举法在解决背包问题中的应用方法。
通过比较不同算法在背包问题中的性能，得出了结论部分的结论，包括不同算法在不同情况下的应用、算法决策的重要性以及为背包问题提供不同解决方案的价值。
本文旨在为研究者和决策者提供背包问题解决方案的参考，帮助他们更好地应对实际问题。
【关键词】关键词：0-1背包问题，算法决策分析，动态规划算法，贪心算法，分支界限算法，穷举法，性能比较，算法应用，算法决策，解决方案。
1. 引言1.1 背包问题概述0-1背包问题指的是给定一个背包，容量为C，以及一组物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
要求在不超过背包容量的前提下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
这是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中有着广泛的应用。
背包问题的概念最早可以追溯到20世纪50年代，当时被提出和研究。
由于其简洁的描述和丰富的应用场景，背包问题一直备受关注并被广泛研究。
在实际生活中，背包问题可以应用于资源分配、投资决策、装箱问题等方面，对于提高资源利用率和解决实际问题具有重要意义。
在解决背包问题的过程中，算法的选择对于问题的解决效率和准确性起着关键作用。
不同的算法在不同情况下可能表现出不同的性能，因此需要对不同算法进行综合比较和评估，以找到最适合特定情况下的解决方案。
本文将探讨动态规划算法、贪心算法、分支界限算法和穷举法在解决背包问题中的应用及性能表现，从而为背包问题的解决提供更多选择和参考。
1.2 背包问题的重要性背包问题是一个在计算机科学和数学领域非常重要的经典优化问题。
在现实生活中，我们常常会面临类似于背包问题的决策情境，需要在有限的资源下做出最优选择。
用动态规划解0-1背包问题
实验一用动态规划解0-1背包问题一、实验目的与要求1、掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤2、使用动态规划法编程求解0/1背包问题。
二、实验内容0-1背包问题(knapsack problem)：某商店有n个物品，第i个物品价值为vi，重量(或称权值)为wi，其中vi和wi为非负数, 背包的容量为C，C为一非负数。
目标是如何选择装入背包的物品使装入背包的物品总价值最大，所选商品的一个可行解即所选商品的序列如何。
背包问题与0-1 背包问题的不同点在于：在选择物品装入背包时，可以只选择物品的一部分，而不一定要选择物品的全部。
三、问题描述给定n和物品和一人背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，问：如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大。
举例: 若商店一共有5类商品，重量分别为：34789，价值分别为：45101113，则所选商品的最大价值为24，所选商品的一个序列为0 0 0 1 1。
四、问题分析与算法设计动态规划原理：动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题并存储子问题的解而避免计算重复的子问题以解决最优化问题的算法策略。
动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。
动态规划法的关键就在于：对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用而不必重新求解。
五、实验结果源程序：#include<iostream>using namespace std;void knapsack(int m[30][30],int w[30],int v[30],int n,int C){ for(int i = 0; i <= C; i ++) m[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){ m[i][0] = 0;for(int j = 1; j <= C; j ++){ if(w[i] <= j){ if(v[i] + m[i - 1][j - w[i]] > m[i - 1][j])m[i][j] = v[i] + m[i - 1][j - w[i]];else m[i][j] = m[i - 1][j];}else m[i][j] = m[i - 1][j];}}}void traceback(int m[30][30],int x[30],int w[30],int n,int C){for(int k = n; k >= 2; k --){ if(m[k][C] == m[k-1][C])x[k] = 0;else { x[k] = 1; C = C - w[k]; }}x[1] = m[1][C] ? 1 : 0;}int main(){int m[30][30] , w[30] , v[30] , x[30] , C , n;cout<<"请输入物品的总个数："; cin>>n;cout<<"请输入背包的总容量："; cin>>C; cout<<endl;for(int i = 1; i <= n; i ++){ cout<<"请输入第"<<i<<"个物品的重量：";cin >> w[i];}cout<<endl;for(int i = 1; i <= n; i ++){ cout<<"请输入第"<<i<<"个物品的价值：";cin >> v[i];}knapsack(m, w, v, n, C);traceback(m, x, w, n, C);cout<<"最优解为："<<endl;for(int i = 1; i <= n; i ++) cout<<x[i]<<" ";cout<<endl<<"背包中物品的最大价值是："<<endl;cout<<m[n][C]<<endl;system("pause");return 0;}。
解0-1背包问题的算法比较
3
分支限界法解 0 1 背包问题 ................................................................................. 4 3.1 3.2 算法思想 ......................................................................................................................... 4 算法实现 ......................................................................................................................... 5
学生姓名 指导教师
2014 年 5 月
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目
1 1.1 1.2 2
录
0-1 背包问题介绍 .................................................................................................. 1 问题由来 ......................................................................................................................... 1 问题描述 ......................................................................................................................... 1
【算法问题】0-1背包问题
【算法问题】0-1背包问题 0-1背包问题：有⼀个贼在偷窃⼀家商店时，发现有n件物品，第i件物品价值v i元，重w i磅，此处v i与w i都是整数。
他希望带⾛的东西越值钱越好，但他的背包中⾄多只能装下W磅的东西，W为⼀整数。
应该带⾛哪⼏样东西？这个问题之所以称为0-1背包，是因为每件物品或被带⾛；或被留下；⼩偷不能只带⾛某个物品的⼀部分或带⾛同⼀物品两次。
在分数（部分）背包问题（fractional knapsack problem)中，场景与上⾯问题⼀样，但是窃贼可以带⾛物品的⼀部分，⽽不必做出0-1的⼆分选择。
可以把0-1背包问题的⼀件物品想象成⼀个⾦锭，⽽部分问题中的⼀件物品则更像⾦沙。
两种背包问题都具有最优⼦结构性质。
对0-1背包问题，考虑重量不超过W⽽价值最⾼的装包⽅案。
如果我们将商品j从此⽅案中删除，则剩余商品必须是重量不超过W-wj的价值最⾼的⽅案（⼩偷只能从不包括商品j的n-1个商品中选择拿⾛哪些）。
虽然两个问题相似，但我们⽤贪⼼策略可以求解背包问题，⽽不能求解0-1背包问题，为了求解部分数背包问题，我们⾸先计算每个商品的每磅价值v i/w i。
遵循贪⼼策略，⼩偷⾸先尽量多地拿⾛每磅价值最⾼的商品，如果该商品已全部拿⾛⽽背包未装满，他继续尽量多地拿⾛每磅价值第⼆⾼的商品，依次类推，直到达到重量上限W。
因此，通过将商品按每磅价值排序，贪⼼算法的时间运⾏时间是O(nlgn)。
为了说明贪⼼这⼀贪⼼策略对0-1背包问题⽆效，考虑下图所⽰的问题实例。
此例包含3个商品和⼀个能容纳50磅重量的背包。
商品1重10磅，价值60美元。
商品2重20磅，价值100美元。
商品3重30磅，价值120美元。
因此，商品1的每磅价值为6美元，⾼于商品2的每磅价值5美元和商品3的每磅价值4美元。
因此，上述贪⼼策略会⾸先拿⾛商品1。
但是，最优解应该是商品2和商品3，⽽留下商品1。
拿⾛商品1的两种⽅案都是次优的。
0-1背包问题的算法决策分析
0-1背包问题的算法决策分析【摘要】0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，在计算机领域有着广泛的应用。
本文将对0-1背包问题的算法决策进行深入分析。
首先介绍了背包问题的概述和算法决策的重要性，接着分别探讨了贪心算法、动态规划算法和回溯算法在0-1背包问题中的应用。
随后对比了不同算法在解决该问题时的表现，并讨论了影响算法选择的决策因素。
提出了最优算法选择的建议，并探讨了未来研究方向。
通过这篇文章的分析，读者可以更好地理解不同算法在0-1背包问题中的应用和选择合适算法的决策因素。
【关键词】0-1背包问题、算法决策、贪心算法、动态规划、回溯算法、算法表现对比、算法选择、最优算法、未来研究、决策因素、引言、正文、结论、总结1. 引言1.1 背包问题概述背包问题，即0-1背包问题，是一种经典的组合优化问题，通常用于描述在有限的容量下如何选择物品以获得最大的价值。
具体而言，给定一个背包的容量C和n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi，每个物品可以选择装入或不装入背包，但不能分割。
背包问题的目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品使得背包中物品的总价值最大。
背包问题是一个NP难题，即没有多项式时间内的确定性算法可以解决。
研究者们为了寻找高效的解决方案，提出了各种算法并进行了比较和分析。
常见的解决背包问题的算法主要有贪心算法、动态规划算法和回溯算法。
每种算法都有其特点和适用情况，因此在选择算法时需要考虑问题的规模、性质和具体要求。
1.2 算法决策的重要性算法决策在解决0-1背包问题中扮演着至关重要的角色。
在面对限定容量下的物品选择时，选择适用的算法决策可以直接影响到问题的解决效率和解的质量。
不同的算法在解决背包问题时所需要的时间复杂度和空间复杂度各不相同，因此在选择算法时需要综合考虑问题的规模、约束条件和性能要求。
正确选择算法决策能够高效地解决问题，提高计算效率，降低计算成本。
贪心算法适用于一些简单情况下的背包问题，可以获得较快的解决速度；动态规划算法适用于大规模、复杂的背包问题，可以获得较优的解；回溯算法在一些特殊情况下也能发挥作用。
0-1背包问题的各种算法求解
一.动态规划求解0-1背包问题/************************************************************************/ /* 0-1背包问题：/* 给定n种物品和一个背包/* 物品i的重量为wi，其价值为vi/* 背包的容量为c/* 应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品/* 的总价值最大？/* 注：在选择装入背包的物品时，对物品i只有两种选择，/* 即装入或不装入背包。
不能将物品i装入多次，也/* 不能只装入部分的物品i。
/*/* 1. 0-1背包问题的形式化描述：/* 给定c>0, wi>0, vi>0, 0<=i<=n，要求找到一个n元的/* 0-1向量(x1, x2, ..., xn), 使得：/* max sum_{i=1 to n} (vi*xi),且满足如下约束：/* (1) sum_{i=1 to n} (wi*xi) <= c/* (2) xi∈{0, 1}, 1<=i<=n/*/* 2. 0-1背包问题的求解/* 0-1背包问题具有最优子结构性质和子问题重叠性质，适于/* 采用动态规划方法求解/*/* 2.1 最优子结构性质/* 设(y1,y2,...,yn)是给定0-1背包问题的一个最优解，则必有/* 结论，(y2,y3,...,yn)是如下子问题的一个最优解：/* max sum_{i=2 to n} (vi*xi)/* (1) sum_{i=2 to n} (wi*xi) <= c - w1*y1/* (2) xi∈{0, 1}, 2<=i<=n/* 因为如若不然，则该子问题存在一个最优解(z2,z3,...,zn)，/* 而(y2,y3,...,yn)不是其最优解。
那么有：/* sum_{i=2 to n} (vi*zi) > sum_{i=2 to n} (vi*yi)/* 且，w1*y1 + sum_{i=2 to n} (wi*zi) <= c/* 进一步有：/* v1*y1 + sum_{i=2 to n} (vi*zi) > sum_{i=1 to n} (vi*yi)/* w1*y1 + sum_{i=2 to n} (wi*zi) <= c/* 这说明：(y1,z2,z3,...zn)是所给0-1背包问题的更优解，那么/* 说明(y1,y2,...,yn)不是问题的最优解，与前提矛盾，所以最优/* 子结构性质成立。
算法设计与分析——0-1背包问题（动态规划）
算法设计与分析——0-1背包问题（动态规划）⼀、问题描述有N件物品和⼀个最多能被重量为W 的背包。
第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。
每件物品只能⽤⼀次，求解将哪些物品装⼊背包⾥物品价值总和最⼤。
⼆、问题分析2.1 确定dp数组以及下标的含义对于背包问题，有⼀种写法，是使⽤⼆维数组，即dp[i][j] 表⽰从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤是多少。
2.2 确定递推公式再回顾⼀下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤是多少。
那么可以有两个⽅向推出来dp[i][j]，由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，⾥⾯不放物品i的最⼤价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最⼤价值，那么dp[i - 1][j -weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最⼤价值所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);2.3 dp数组如何初始化关于初始化，⼀定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
⾸先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，⽆论是选取哪些物品，背包价值总和⼀定为0。
如图再看其他情况。
状态转移⽅程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就⼀定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最⼤价值。
0-1背包问题的算法决策分析
0-1背包问题的算法决策分析0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，也是计算机科学和数学领域中的一个重要问题。
在实际应用中，0-1背包问题通常用于优化问题的求解，比如资源分配、货物装载等方面。
在这篇文章中，我们将对0-1背包问题的算法决策进行分析，并探讨不同算法的优缺点。
0-1背包问题的描述很简单，假设有n件物品和一个容量为W的背包。
每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。
现在需要选择一些物品装入背包，使得背包中的物品价值最大，同时不能超过背包的容量。
这个问题可以用一个0-1的决策变量来表示，即选择物品装入背包或者不选择。
这个问题被称为0-1背包问题。
对于0-1背包问题，有多种解法和算法可以求解。
常见的算法包括贪心算法、动态规划算法、回溯算法等。
在下面的内容中，我们将对这些算法进行具体的分析和比较。
贪心算法贪心算法是一种简单而有效的算法，它通过每一步的局部最优选择来构建全局最优解。
在0-1背包问题中，可以使用贪心算法按物品的单位价值（即每单位重量所能获得的价值）从大到小的顺序选择物品放入背包。
贪心算法的优点是简单、高效，时间复杂度低。
贪心算法并不一定能够得到最优解。
因为贪心算法只关注当前的局部最优解，而忽略了全局最优解的可能性。
在某些情况下，贪心算法无法得到最优解。
动态规划算法动态规划算法是求解0-1背包问题的经典算法之一。
动态规划算法将问题分解为子问题，并使用递推的方式求解子问题，最终得到全局最优解。
在0-1背包问题中，可以使用动态规划算法构建一个二维数组dp[i][j]，表示前i件物品在背包容量为j时所能获得的最大价值。
动态规划算法的优点是能够得到最优解，并且在一定程度上能够减小时间复杂度。
动态规划算法的空间复杂度较高，且在某些情况下需要额外的优化。
动态规划算法需要注意状态转移方程和边界条件的设计，需要一定的技巧和功底。
回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，它通过遍历所有可能的解空间来求解问题。
0-1背包问题研究及算法策略比较分析
数学与物理科学学院《算法分析与设计》课程考查论文题目0-1背包问题研究及算法策略比较分析专业班级学号姓名任课教师完成日期2011/5/24背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型NP-C难题，也是算法设计分析中的经典问题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上,还是在实践中都具有重要意义。
对这个问题的求解已经研究出了不少的经典方法，对该问题的探索和应用研究一直在进行。
在先进理论指导下，求解0-1背包问题具有科学、高效、经济、灵活、方便等显著特点。
那么要解决背包问题，首要的前提就是设计出好的算法，想求得背包问题的解，就要先设计出算法,本文采用回溯法对背包问题、0-1背包问题及简单0-1背包问题进行算法设计和时间复杂度分析，给出具体算法设计和实现过程。
并以具体实例详细描述不同方法求解问题解时算法基本思想，然后就解决0-1背包问题对这四种算法进行详细的比较，总结这种方法实现的优缺点并得出结论。
如何将背包问题应用于实际问题中，有针对性地设计适合求解实际0-1背包问题的算法，并很好地解决实际问题，是计算机工作者不断思索、研究的一个领域。
摘要 (2)一、绪论 (4)1.1问题的研究及意义 (4)1.20-1背包问题的算法研究与分析 (4)1.3课题的主要研究内容 (4)二、0-1背包问题在动态规划中的实现 (5)2.1动态规划的基本原理与分析 (5)2.20-1背包问题的实现 (5)三、0-1背包问题在分枝-限界法中的实现 (7)3.1分枝-限界法的基本原理与分析 (7)3.20-1背包问题的实现 (7)四、0-1背包问题在遗传算法中的实现 (9)4.1遗传算法的基本原理与分析 (9)4.20-1背包问题的实现 (10)五、0-1背包问题在回溯法中的实现 (11)5.1回溯法的基本原理与分析 (11)5.20-1背包问题的实现 (11)5.30-1背包问题在回溯法中的算法描述 (12)5.4算法效率 (14)5.5运行结果 (15)六、四种算法的比较与分析 (15)七、附录 (17)一、绪论1.1问题的研究及意义0-1背包问题是计算机科学中的一个非常经典的优化问题。
0-1背包问题的算法决策分析
0-1背包问题的算法决策分析1. 引言1.1 背包问题简介背包问题是一个经典的组合优化问题，通常用于描述在给定一定容量的背包和一组物品的情况下，如何选择装入背包中的物品，使得背包内物品的总价值最大或总重量最小。
这种问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在物流配送、资源分配等领域都能见到类似的问题。
背包问题通常包括01背包、完全背包、多重背包等不同变种，其中最为经典和常见的是01背包问题。
在01背包问题中，每种物品只能选择装入或不装入背包，不能将物品进行切割。
为了解决背包问题，通常采用动态规划算法或贪心算法。
动态规划算法通过递推的方式计算出最优解，具有较高的时间复杂度但能够保证全局最优解；贪心算法则通过选择局部最优解的方式逐步构建全局最优解，具有较低的时间复杂度但不能保证一定得到最优解。
在实际应用中，对于不同规模和要求的背包问题，需要根据具体情况选择适用的算法来求解。
背包问题的解决思路可以帮助我们更好地理解和应用算法解决实际问题。
1.2 算法决策的重要性在解决0-1背包问题时，算法决策的重要性不可忽视。
背包问题是一个经典的组合优化问题，其在实际生活中有着广泛的应用。
在面对不同的背包问题时，选择合适的算法决策可以大大提高问题的解决效率和准确性。
通过精心选择算法，可以避免不必要的计算和浪费，节省时间和资源。
在动态规划和贪心算法两种经典算法中，不同的问题可能更适合不同的解决方案。
算法决策的重要性体现在如何根据问题的性质和约束条件选择最合适的算法，以达到最优的解决方案。
在实际应用中，算法决策的重要性更加凸显。
对于大规模背包问题，合理选择算法可以极大地提高问题的求解效率，节约资源和时间成本。
而对于特定场景下的背包问题，例如物流配送、资源分配等，算法决策的准确性直接影响到问题的实际应用效果和经济效益。
因此，对于0-1背包问题的解决来说，算法决策的重要性不言而喻。
只有通过深入理解不同算法的特点和适用条件，才能更好地选择合适的解决方案，从而达到最优解并取得较好的求解效果。
0-1背包问题的算法决策分析.docx
0-1背包问题的算法决策分析.docx0-1 背包问题是一种常见的多部分搜索问题，其基本思想是：给定一组物品，各有其大小、重量和价值，求解将哪些物品放入背包可使背包重量不超过限制，并使其价值最大化。
在 0-1 背包问题中，一个典型的决策是选择第 i 件物品放入背包或不放入，此决策可用 0-1 矩阵表示。
例如如果物品 i 放入背包，则矩阵中第 i 行、第 0 列元素置为“ 1”，否则置为“ 0”。
求解背包最大价值，即从这个 0-1 矩阵中找出一组值为 1 的元素，使得它们构成的物品集合满足背包重量限制要求，并使物品价值总和最大。
在决策分析中，可以采用动态规划的方法求解 0-1 背包问题。
因此，同样的物品可以求解出最优解，而无需考虑物品顺序。
该方法可以利用子问题的重叠性，用最优子结构表示全局最优解，并通过某种有用的搜索策略将状态空间划分为若干子空间来解决问题。
动态规划法主要从两个方面分析背包问题，一个是贪心算法，另一个是动态规划法，其基本方法类似，但使用不同的思想。
对于贪心算法，首先将所有物品按照单位重量的价值从大到小排序，然后每次选择最有价值的物品放入背包，直至不能容纳为止。
这样可以保证在贪心算法得到的最优解中价值最高，但不能保证最优解是最优解，因此贪心算法只是单纯形式上的一种解决方案而不是最优解。
而动态规划法是一种有效的求解 0-1 背包问题的方法，它利用子问题的重叠性和最优子结构特性，以空间换时间，使问题的复杂度降低，以达到得到全局最优解的目的。
如果使用动态规划法，首先需要建立一个二维表，第一维表示背包存放的物品数量，第二维表示背包重量，在每个位置用表示当前情况下能获得的最大价值，然后采用递归的思想，按照物品价值最大、重量最小的原则，逐个求解出所有子问题，得到最有价值的价值最大的子结构。
最后根据子结构可得到最优解。
0-1背包问题
0-1背包问题一．实验内容分别编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法时间复杂度并验证分析结果。
二．实验目的1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题；2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。
三．算法描述1、动态规划求0-1背包问题时最重要的就是状态转换公式，如下：(1)V(i,0)=V(0,j)=0(2)1.V(i,j)=V(i-1,j) j<wi2.V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wiA:如果第i个物品的重量大于背包的容量，则前i个和前i-1个的最大值相同，物品i不能装入背包；B:如果第i个物品的重量小于背包的容量，会有两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，第i-1个物品没有装wi重量物品的价值加上vi；所以x-pk，否则就会超过背包容量(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。
然后取a和b中的最大值。
3、利用贪心算法就是先将个物品按其单位重量的价值排序，然后逐个挑选直到背包所剩容量无法再放任何一个物品为止。
贪的是平均价值最高的，设计算法时用到了快速排序。
四．算法实现（一）动态规划实现0-1背包1.数据结构及函数说明const int a=100;//背包容量。
const int 表示不可改变数值的int常量const int b=200;//物品数量int pk[b+1];//物体重量int wt[b+1];//物体价值int m[b+1][a+1];//记录动态规划表，记录最优值2.源程序代码#include<stdio.h>#include<string.h>#include<time.h>const int a=100;//背包容量。
const int 表示不可改变数值的int常量const int b=200;//物品数量int pk[b+1];//物体重量int wt[b+1];//物体价值int m[b+1][a+1];//记录动态规划表void do0_1(){memset(m,0,sizeof(m));for(int i=1;i<=b;i++)for(int x=1;x<=a;x++){if(x<pk[i]||m[i-1][x]>(m[i-1][x-pk[i]]+wt[i])) m[i][x]=m[i-1][x];else m[i][x]=m[i-1][x-pk[i]]+wt[i];}}int main(){freopen("din.txt","r",stdin);freopen("dout1.txt","w",stdout);for(int j=0;j<20;j++){for(int i=1;i<=b;i++)scanf("%d%d",&pk[i],&wt[i]);//第一个数为pk[i],第二个数为wt[1]do0_1();printf("第%d组累计时间：%lf\n",j+1,(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);printf("总价值：%d\n",m[b][a]);}return 0;}（二）贪心法实现0-1背包问题1.数据结构及函数说明#define g 200//物体个数using namespace std;struct package{int w;//重量int v;//价值double perv;//单位价值};物品结构体2.源程序代码#include<cstdio>#include<algorithm>#include<iostream>#include<ctime>#define g 200using namespace std;struct package{int w;//重量int v;//价值double perv;//单位价值};int totalw;int totalv;package f[g];bool cmp(const package &a,const package &b) {return a.perv>b.perv;}//降序排序void do0_1 (int q){totalw=100;//背包容量totalv=0;sort(f,f+g,cmp);int i=0;while(totalw&&i<g){if(f[i].w>totalw){i++;continue;}totalw-=f[i].w;totalv+=f[i].v;//背包问题和0-1背包问题的区别：背包问题可以把一个物品拆分，最后的total 可能大于等于0，而0-1背包不允许拆分i++;}printf("第%d组累计时间：%lf\n",q,(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);cout<<"总价值："<<totalv<<endl;}int main(){freopen("din.txt","r",stdin);freopen("dout2.txt","w",stdout);for(int j=0;j<20;j++){for(int i=0;i<g;i++){cin>>f[i].w>>f[i].v;f[i].perv=(double)f[i].v/(double)f[i].w;}do0_1(j+1);}return 0;}（三）样例产生程序rand.cpp#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>int main(){freopen("din.txt","w",stdout);for(int i=0;i<20;i++) {//一共20组数据for(int j=0;j<400;j++){printf("%d ",rand()%100+1); //每组数据200个样例，每个样例的范围是1-100}printf("\n");}return 0;}五．程序运行结果上图为动态规划法实现0-1背包程序的运行结果，不过本窗口的代表着程序运行成功。
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算法设计与分析大作业班级：电子154 姓名：吴志勇学号： 1049731503279 任课老师：李瑞芳日期： 2015.12.25算法设计与分析课程论文0-1背包问题的算法设计策略对比与分析0 引言对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的。
在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起到决定性的作用。
通俗的讲，算法是解决问题的一种方法。
也因此，《算法分析与设计》成为计算科学的核心问题之一，也是计算机科学与技术专业本科及研究生的一门重要的专业基础课。
算法分析与设计是计算机软件开发人员必修课，软件的效率和稳定性取决于软件中所采用的算法；对于一般程序员和计算机专业学生，学习算法设计与分析课程，可以开阔编程思路，编写出优质程序。
通过老师的解析，培养我们怎样分析算法的“好”于“坏”，怎样设计算法，并以广泛用于计算机科学中的算法为例，对种类不同难度的算法设计进行系统的介绍与比较。
本课程将培养学生严格的设计与分析算法的思维方式，改变随意拼凑算法的习惯。
本课程要求具备离散数学、程序设计语言、数据结构等先行课课程的知识。
1 算法复杂性分析的方法介绍算法复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少上，所需的资源越多，该算法的复杂性越高；反之，所需资源越少，该算法的复杂性越低。
对计算机资源，最重要的是时间与空间（即存储器）资源。
因此，算法的复杂性有时间复杂性T(n)与空间复杂性S(n)之分。
算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，这个量应集中反映算法的效率，并从运行该算法的实际计算机中抽象出来，换句话说，这个量应该只依赖要解决的问题规模‘算法的输入和算法本身的函数。
用C表示复杂性，N,I和A表示问题的规模、算法的输入和算法本身规模，则有如下表达式：C=F(N,I,A) T=F(N，I,A) S=F(N，I,A)其中F(N,I,A)是一个三元函数。
通常A隐含在复杂性函数名当中，因此表达式中一般不写A。
即：C=F(N,I) T=F(N,I) S=F(N,I)算法复杂性中时间与空间复杂性算法相似，所以以下算法复杂性主要以时间复杂性为例：算法的时间复杂性一般分为三种情况：最坏情况、最好情况和平均情况。
下面描述算法复杂性时都是用的简化的复杂性算法分析，引入了渐近意义的记号O,Ω，θ，和o。
O表示渐近上界Ω表示渐近下界：θ表示同阶即：f(n)= O(g(n))且 f(n)= Ω（g(n)）2 常见的算法分析设计策略介绍2.1 递归与分治策略分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
递归算法举例：共11页第1页0-1背包问题的算法设计策略对比与分析共11页 第2页Fibonacci 数列无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci 数列。
它可以递归地定义为：第n 个Fibonacci 数可递归地计算如下：int fibonacci (int n){if (n <= 1) return 1;return fibonacci (n-1)+fibonacci (n-2);}从上看出：递归算法的有点为：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点为：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
分治算法：一个分治法将规模为n 的问题分成k 个规模为n ／m 的子问题去解。
设分解阀值n0=1，且adhoc 解规模为1的问题耗费1个单位时间。
再设将原问题分解为k 个子问题以及用merge 将k 个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。
用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：通过迭代法求得方程的解： 算法举例：二分搜索技术：给定已按升序排好序的n 个元素a[0:n-1]，现要在这n 个元素中找出一特定元素x 。
据此容易设计出二。
搜索算法：template<class Type>int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r){while (r >= l){int m = (l+r)/2;if (x == a[m]) return m;if (x < a[m]) r = m-1; else l = m+1;}return -1;} 110)2()1(11)(>==⎪⎩⎪⎨⎧-+-=n n n n F n F n F 11)()/()1()(>=⎩⎨⎧+=n n n f m n kT O n T ∑-=+=1log 0log )/()(n m j jj k m m n f k n n T算法设计与分析课程论文共11页 第3页算法复杂度分析：每执行一次算法的while 循环， 待搜索数组的大小减少一半。
因此，在最坏情况下，while 循环被执行了O(logn) 次。
循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn)。
快速排序法：在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次就能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，因而总的比较和移动次数较少。
void QuickSort (Type a[], int p, int r){if (p<r) {int q=Partition(a,p,r);QuickSort (a,p,q-1); //对左半段排序QuickSort (a,q+1,r); //对右半段排序}}复杂性分析：最坏时间复杂度：O(n2)平均时间复杂度：O(nlogn)辅助空间：O(n)或O(logn)2.2 动态规划动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。
不同子问题的数目常常只有多项式量级。
在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。
方法步骤：1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
2）递归地定义最优值。
3）以自底向上的方式计算出最优值。
4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
举例：矩阵连成问题基本要素：1） 最优子结构2） 重叠子问题3） 备忘录方法将矩阵连乘积 简记为A[i:j] ，这里i ≤j考察计算A[i:j]的最优计算次序。
设这个计算次序在矩阵Ak 和Ak+1之间将矩阵链断开，i ≤k<j ，则其相应完全加括号方式为： 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。
)...)(...(211j k k k i i A A A A A A +++0-1背包问题的算法设计策略对比与分析算法如下：void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s){for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;for (int r = 2; r <= n; r++)for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) {int j=i+r-1;m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j] = i;for (int k = i+1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}}}}算法复杂度分析：算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环。
循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n3)。
因此算法的计算时间上界为O(n3)。
算法所占用的空间显然为O(n2)。
2.3 贪心算法顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。
也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。
当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。
虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。
如单源最短路经问题，最小生成树问题等。
在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
可用贪心算法解决的问题的性质：1）贪心选择性质2）最优子结构性质举例：最优装载问题有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。
其中集装箱i的重量为Wi。
最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。
算法描述最优装载问题可用贪心算法求解。
采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。
具体算法描述如下。
template<class Type>void Loading(int x[], Type w[], Type c, int n){int *t = new int [n+1];Sort(w, t, n);for (int i = 1; i <= n; i++) x[i] = 0;for (int i = 1; i <= n && w[t[i]] <= c; i++) {x[t[i]] = 1; c -= w[t[i]];} }最优装载问题满足贪心算法的两个基本性质，可以用贪心算法实现。
共11页第4页算法设计与分析课程论文2.4 回溯法回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。