反三角函数知识梳理

反三角函数知识梳理

1、函数sin ,[,]22

y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈- 函数arcsin y x =的定义域为[-1，1]，值域为[,]22

ππ-，，在[-1，1]上单调递增； 是奇函数，所以arcsin()sin ([1,1])x arc x x -=-∈-

注“arcsin x ”的意义： 表示 [,]22

ππ-上的一个角，且这个角的正弦值为x ，即 sin(arcsin )([1,1])x x x =∈-

其图像是：

2、函数cos ,[0,]y x x π=∈的反函数叫做反余弦函数，记作arccos ,[1,1]y x x =∈-

函数的定义域为[-1，1]，值域为[0,]π，在[-1，1]上单调递减；为非奇非偶的函数，其图像关于点(0,)2π中

心对称，所以arccos()arccos ([1,1])x x x π-=-∈-

注“arccos x ”的意义： 表示 [0,]π上的一个角，且这个角的余弦值为x ，即 cos(arccos )([1,1])x x x =∈-

其图像是：

3、、函数tan ,(,)22

y x x ππ=∈-的反函数叫做反正切函数，记作arctan ,y x x R =∈ 函数的定义域为R ，值域为(,)22

ππ-，，在R 上单调递增； 是奇函数，所以arctan()arctan ,()x x x R -=-∈

注“arctan x ”的意义： 表示 (,)22

ππ-上的一个角，且这个角的正切值为x ，即 tan(arc n )()ta x x x R =∈

注“arctan x ”的意义： 表示 (,)22

ππ-上的一个角，且这个角的正切值为x ，即 tan(arctan )()x x x R =∈

其图像是

由反三角函数的图像知

当0x >时，arcsin x ∈ ； 当0x <时，arcsin x ∈ 当0x >时，arccos x ∈ ；当0x <时，arccos x ∈ 当0x >时，arctan x ∈ ；当0x <时，arctan x ∈

4、公式（一）：sin(arcsin )([1,1])x x x =∈-

cos(arccos )([1,1])x x x =∈-

tan(arc n )()ta x x x R =∈

（二）arcsin()sin ([1,1])x arc x x -=-∈-，

arccos()arccos ([1,1])x x x π-=-∈-， arctan()arctan ,()x x x R -=-∈ （三）arcsin(sin ),([,])22x x x ππ=∈- arccos(cos ),([0,])x x x π=∈ arctan(tan ),(,)22x x x ππ=∈-

（四）当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

时，arcsin x +arccos x =2π 当x R ∈时，arctan cot 2x arc x π+=