证明三角形内角和的几种方法
“三角形内角和是180°”的验证教学
“三角形内角和是180°”的验证教学几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180°”，常见的有三种方法：（1）用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180°（简称“测量求和法”）；（2）将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（简称“剪拼法”）；（3）将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（简称“折拼法”）。
这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180°。
这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180°”的错误印象。
“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与撕下来后图形间的联系与变化。
“折拼法”有效地避免了量、撕的缺陷，可惜操作起来方法不明──学生并不能十分清楚地掌握折的方法。
因此，我们对教材中的“折拼法”方案稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”，然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（如图1）。
经改进操作起来简捷多了。
其实，对于三角形内角和的三种常见验证方法，或多或少都存在着误差。
用任何一种方法验证“三角形内角和是180°”，都不足以让人信服。
因此，让尽量多的验证方法出现在课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。
然而事实并不随你我所愿。
正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。
如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：学生猜想“三角形内角和是180°”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180°吗？说说你的依据。
（1）“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。
初中几何证明口诀
初中几何证明口诀在初中几何中，证明是学习的重要内容之一、通过证明，可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。
以下是一些常用的初中几何证明口诀：1.三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
2.外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。
可以通过绘制平行线等方法证明。
3.垂直角定理：垂直角相等。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
4.同位角定理：同位角相等。
可以通过平行线等方法证明。
5.三角形的相似性定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。
6.圆周角定理：圆周角是圆心角的两倍。
可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。
7.弦切角定理：弦切角等于其对应的弧的一半。
可以通过绘制切线、弧等方法证明。
8.正方形的特性：正方形的四条边相等，四个角为直角。
可以通过对角线等方法证明。
9.等腰三角形的特性：等腰三角形的两边相等，两个底角相等。
可以通过绘制高线等方法证明。
10.平行四边形的特性：平行四边形的对边相互平行，对角线相互平分。
可以通过角平分线等方法证明。
11.三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。
可以通过线段等方法证明。
12.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
可以通过平行四边形等方法证明。
13.外切圆定理：三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。
可以通过角平分线、圆心角等方法证明。
14.圆的切线定理：切线与半径垂直。
可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。
15.纵横切割定理：两条平行线被一条截线切割，那么两个内角和为180度。
可以通过平行线等方法证明。
这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理，并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。
同时，更重要的是理解定理的证明过程，培养逻辑思维能力和几何推理能力。
三角形的内角和的证明方法
三角形的内角和的证明方法三角形内角和的证明：一次几何学的探索之旅在几何学的世界里，三角形是一个基础且重要的元素，它的性质和定理构成了许多复杂几何问题的基础。
其中，三角形的内角和定理是初等几何中的一个基本事实，它揭示了三角形内部三个角度的总和始终等于180度。
这个看似简单的定理，其实蕴含了丰富的几何思想和证明技巧。
本文将深入探讨这个定理的证明方法，以揭示其背后的数学魅力。
首先，我们可以从欧几里得几何的角度出发进行证明。
欧几里得，古希腊的数学家，他的《几何原本》是几何学的基石。
在第五公设中，他提出“在平面上，过直线外一点，只能画一条直线与已知直线平行”。
基于此，我们可以这样证明：假设三角形ABC，过点A画一条与BC平行的直线DE，那么∠BAD和∠BAC互补（因为DE平行于BC），同理，∠CAD和∠CAB互补。
所以，∠BAD+∠BAC+∠CAD=180°。
而∠BAC是∠BAD和∠CAD的公共角，所以∠B+∠C=∠BAD+∠CAD=180°-∠A，同样可以得到∠A+∠B=180°-∠C，∠A+∠C=180°-∠B。
三者相加，得到2(∠A+∠B+∠C)=360°，从而得出∠A+∠B+∠C=180°。
另一种证明方式是利用相似三角形。
如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角相等。
考虑一个直角三角形ABC，∠C为90°，根据相似三角形的性质，我们可以得到∠A+∠B=90°。
现在，如果我们把直角三角形旋转180°，使其与原来的三角形重合，那么原来的∠C就会变成新的∠A或∠B，因此，新的三角形的三个角之和也是180°。
由于这两个角度的总和等于180°，所以原来的∠A+∠B+∠C也必须等于180°。
此外，我们还可以借助平面直角坐标系来证明。
假设三角形ABC的顶点在坐标轴上，那么可以将每个角表示为两条射线的夹角。
三角形内角和的计算
三角形内角和的计算三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
计算三角形内角和对于解决与三角形相关的问题至关重要。
本文将通过介绍三角形内角和的计算方法，以及推导这些计算公式的过程，帮助读者更好地理解三角形的性质。
一、三角形内角和的定义在开始计算三角形内角和之前，我们首先来了解三角形内角和的定义。
三角形的内角和指的是三个内角的和，它始终等于180度。
这一性质可以通过直观的图形展示得到验证。
而计算三角形内角和的公式可以通过几何推导得出。
二、三角形内角和的计算方法1. 等边三角形（Equilateral Triangle）等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
由于三边相等，每个内角也必然相等。
因此，等边三角形的每个内角都等于60度。
将三个60度的内角相加，结果是180度。
2. 直角三角形（Right-angled Triangle）直角三角形是指其中一个内角是90度的三角形。
有两种常见的情况，分别是直角在第一象限和直角在第四象限。
对于直角在第一象限的情况，另外两个内角的和等于90度，这是由于直角大小固定，所以可以推导出。
而对于直角在第四象限的情况，另外两个内角的和也等于90度，这是由于直角的性质决定的。
因此，对于直角三角形来说，一个角是90度，另外两个内角的和等于90度。
3. 一般三角形（General Triangle）对于一般的三角形，每个内角都没有固定的取值。
为了计算三角形内角和，我们可以使用以下公式：内角和 = 180度这个公式适用于所有类型的三角形，无论是等边三角形、直角三角形还是一般三角形。
通过该公式，我们可以推导出其他特殊类型三角形的内角和计算公式。
三、三角形内角和计算公式的推导在本节中，我们将推导出等腰三角形和任意三角形的内角和计算公式。
1. 等腰三角形（Isosceles Triangle）等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
通常，等腰三角形的底边为底角边。
我们假设等腰三角形的底边两个角为α，斜边两个角为β，那么根据三角形内角和的计算公式，有：2α + β = 180度 ----(1)由于等腰三角形的两个底角相等，即α = α，所以：2α + 2α = 180度化简得：4α = 180度得出等腰三角形底角α的计算公式：α = 180度 / 4 = 45度将α = 45度代入等腰三角形底边两个角的和的计算公式(1)，有：2(45度) + β = 180度化简得：90度+ β = 180度得出等腰三角形斜边β的计算公式：β = 180度 - 90度 = 90度结论：对于等腰三角形来说，两个底角为45度，斜边角为90度。
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理是指任意三角形的三个内角的和等于180度。
在
数学中，三角形是最基本的几何图形之一，研究三角形性质的重要一环就
是研究三角形的内角和。
证明三角形的内角和定理可以通过几何方法或代
数方法。
下面我将通过几何方法进行证明。
证明三角形的内角和定理：
D_____________E
____________
由平行线的性质，得∠ACD=∠CDE（对应角）、∠CBD=∠CDE（同位角）。
则∠ACD+∠CBD=∠ACD+∠CDE+∠CBD=∠CDE+∠CDE=2∠CDE。
而∠ACB和∠CDE是同位角，根据同位角相等的性质，得∠ACB=∠CDE。
因此，∠ACB+∠CDE=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。
类似地，我们还可以得到∠ABC+∠CDE=2∠ACB。
再根据同位角相等的性质，得∠ABC+∠ACB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。
综上所述，∠ACB+∠ABC+∠ACB=2∠ACB+2∠ACB=4∠ACB。
(1)
另一方面，由三角形的补角性质可知，∠ACB和∠ABC是补角，即
∠ACB+∠ABC=180度。
(2)
将方程(2)代入方程(1)中，得4∠ACB=180度，即∠ACB=45度。
所以，三角形的内角和定理得证，即∠ACB+∠ABC+∠ACB=180度。
综上所述，任意三角形的三个角的和等于180度，即三角形的内角和定理成立。
【注意】：
实际上，这个证明是利用了平行线和同位角的性质，通过构造了平行线DE来推导三角形的内角和定理。
三角形内角和的两种证明方法
三角形内角和的两种证明方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形内角和的两种证明方法，这可超级有趣哦！
第一种方法呢，就像是搭积木一样。
想象一下，你有一个三角形，把它的三个角剪下来（就像从积木堆里挑出三块特定的积木），然后试着把它们拼在一起，哇塞，你会惊奇地发现它们竟然能拼成一个平角！这不就说明了三角形内角和是 180 度嘛！你说神奇不神奇？
再来说说第二种方法，这就像走迷宫找出口一样。
我们过三角形的一个顶点作对边的平行线（这不就像在迷宫里找到一条关键的路），然后通过一些巧妙的角度转换和推理，最后就能得出三角形内角和是 180 度啦！是不是很有意思呢？
所以呀，通过这两种方法，我们就能确切地知道三角形内角和真的就是180 度哟！简单又明了，对吧！。
三角形内角和180°证明7种方法
三角形内角和180°证明方法1. 如图，证明/ B+Z C+Z BAC=180 证明：过A点作DE// BC••• DE// BC•••Z B=Z DAB Z C=Z EAC（两直线平行，内错角相等）••• D,A,E三点共线•Z DAE=180vZ DAE Z DAB Z BAC+Z CAE•Z DAB Z BAC+Z CAE=180•Z B+Z C+Z BAC=1802. 如图，证明：Z B+Z A+Z ACB=180证明：过C点作CD// AB,延长BC交CD于 Cv CD// AB•Z A=Z ACD（两直线平行，内错角相等）ZB=Z DCE（两直线平行，同位角相等）v B,C,E三点共线•Z BCE=180vZ BCE Z ACB Z ACD Z DCE•Z ACB Z ACD Z DCE=180•Z A+Z B+Z ACB=1803. 如图，证明：Z C+Z BAC Z B=180°证明：过A点作AD// BCv AD// BC•Z C=Z ADC（两直线平行，内错角相等）Z DAC Z B=180°（两直线平行，同旁内角互补）vZ DAC Z DAC Z CAB• Z DAC Z CAB Z B=180°vZ C=Z ADC•Z C+Z CAB Z B=180°4. 如图，证明：Z BAC Z C+Z B=180°证明：过A点作DE// BC,延长AC BC交DE于A点v DE// BC•Z C=Z FDA Z B=Z GAE（两直线平行，同位角相等）v D,A,E三点共线•Z DAE=180vZ DAE Z DFA Z FAG Z GAE•Z DFA+Z FAG Z GAE=180 v・Z GAE Z BAC（对顶角相等）•Z BAC Z C+Z B=180°5. 如图，证明：Z A+Z C+Z B=180°EEA证明：作直线DE// AC FE// AB交BC于 EA•••DE// AC•••/ AFE+Z DEF=180 （两直线平行，同旁内角互补）/ C=Z DEB（两直线平行，同位角相等）•FE// AB•••/ AFE+/ A=180°（两直线平行，同旁内角互补）Z B=Z FEC（两直线平行，同位角相等）•••/ A=Z DEF•B,C,E三点共线•••Z BCE=180•Z BCE Z DEB Z DEF Z FEC•Z DEB Z DEF Z FEC =180°•Z A+Z C+Z B=180°6. 如图，证明：Z A+Z B+Z C=180 证明：作DE// AC, FG// AB MN/ BC，都交于点O•DE// AC•Z AFO Z FOD=180 （两直线平行，同旁内角互补）•FG// AB•Z AFO Z A=180°（两直线平行，同旁内角互补）•Z A=Z FOD•MN/ BC•Z C=Z FNO（两直线平行，同位角相等）•DE// AC•Z FNO Z DO（两直线平行，同位角相等）•Z C=Z DOM•MN/ BC•Z B=Z DM（两直线平行，同位角相等）•FG// AB•Z DMO Z FON（两直线平行，同位角相等）•Z B=Z FNO•M,O,N三点共线•Z MON=180•Z MON Z DOM Z DOF Z FON•Z DOF Z DOM Z FON=180•Z A+Z B+Z C=1807. 如图，证明：Z BAC Z CBA Z ACB=180证明：作DE// AC, FG// AB MN/ BC，都交于点O延长AC交FG于点K,延长AB到点L,延长BC交FG于点P• MN// BC•Z ABC Z AHN Z ACB Z ANM（两直线平行，同位角相等）•AB // FG•Z AHN Z FON Z BAC Z AKO（两直线平行，同位角相等）•••/ ABC=/ FON••• DE// AC •••/ ANM N DOM（两直线平行，同位角相等）/ OKA N DOF（两直线平行，内错角相等）•••N ACB N DOM••• FG// AB•/ BAC N OKA（两直线平行，同位角相等）•N BAC N DOF••• M,O,N三点共线•N MON=18°vZ MON N DOM N DOF N FON•/ DOM N DOF N FON=180•N BAC N CBA N ACB=180A。
三角形内角和
方法一： 方法一： 度量法
60° ° 45° ° 90° ° 30° °
90° °
30°+60°+ 80°= 180° ° ° °
45° °
45°+45°+90°=180 ° ° ° ° 其它三角形可以用量角器来度量。 其它三角形可以用量角器来度量。
方法二 ：拼合法
拼法一
拼法二
刚才拼角的过程中你能想出证明的方法吗? 从刚才拼角的过程中你能想出证明的方法吗?
F
B
C
证法2： 证法 ：
已知： 已知：△ABC 求证： 求证：∠A+∠B+∠C=180° ∠ ∠ ° 延长BC到 ， 延长 到D，过C作CE∥BA 作 ∥ ∴∠A=∠ ∴∠ ∠1 两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） A ∠B=∠2 ∠ 两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∵∠1+∠2+∠ACB=180° 1+∠2+∠ACB=180 平角的定义） （平角的定义） B ∴∠A+∠B+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 等量代换） （等量代换）
B A
C
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ∠A+∠B+∠C=1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C= 中 ∠A+∠B+∠C=
的几种变形: 三角形内角和定理的几种变形 ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠A= (∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠B= (∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠C= (∠A+∠B). B ∠A+∠B=1800-∠C. ∠A+∠B= ∠C. ∠B+∠C=1800-∠A. ∠B+∠C= ∠A. ∠A+∠C=1800-∠B. ∠A+∠C= ∠B. 这里的结论,以后可以直接运用.
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
小学四年级 三角形： 三角形的内角和 讲义
三角形第3节三角形的内角和【知识梳理】1.三角形的内角和外角三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形，这三条线段就是三角形的三条边，在三角形内部三角形的两条边所成的角是三角形的内角，三角形一边的延长线与另一边所成的角是三角形的外角，三角形有三个内角三个外角。
2.三角形内角和三角形内角和180°。
得到这个结论可以用两种方法（1）方法一：量一量用量角器测量三个内角并求和，重复多次即可发现三角形的内角和180°，测量时有时候会出现误差，不能肯定三角形的内角和就是180°，因此还需要用实验的方法来加以验证。
（2）方法二：剪一剪将三角形的三个内角剪下来拼一拼，若能够拼成一个平角，则证明三角形的内角和为180°，在运用拼剪法时，原三角形中的每个内角一定要标上记号，以防拼时用错角。
通过拼剪可以发现三角形的三个内角之和正好是一个平角，因为平角是180°，进而验证了三角形内角和为180°。
3.三角形内角的范围三角形有三个内角，因为三角形的内角和为180°，所以三角形的内角的范围在0°到180°之间，即大于0°小于180°。
三角按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，其中，锐角三角形的三个内角都是锐角，直角三角形有一个直角两个锐角，钝角三角形有一个钝角，两个锐角。
因此，三角形中至多有一个直角或一个钝角，至少有两个锐角。
【诊断自测】一、选择题1．一个三角形的两个内角和小于第三个内角，这个三角形是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．等腰2．三角形的三个内角（）A．至少有两个锐角 B．至少有一个直角 C．至多有两个钝角 D．至少有一个钝角3．一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．何类三角形不能确定二、填空题1.三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是（）三角形2.一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是（）三角形。
三角形内角和的计算与性质
三角形内角和的计算与性质一、三角形内角和的计算1.定义：三角形内角和指的是三角形三个内角的角度之和。
2.计算公式：三角形内角和 = 180°。
3.证明：通过三角形的对角线划分，可以将三角形分成两个三角形，从而得出内角和为180°。
二、三角形的性质1.锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形。
2.直角三角形：一个内角为90°的三角形。
3.钝角三角形：一个内角大于90°的三角形。
4.稳定性：三角形具有稳定性，即在边长不变的情况下，三角形的形状和大小不会发生变化。
5.三角形的边长关系：a)两边之和大于第三边。
b)两边之差小于第三边。
6.三角形的分类：a)等边三角形：三边相等的三角形。
b)等腰三角形：两边相等的三角形。
c)不等边三角形：三边都不相等的三角形。
7.三角形的内角关系：a)外角和定理：三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
c)圆的内接四边形对角互补，即任意两个内角之和为180°。
8.三角形的面积计算：a)底乘高除以2。
b)海伦公式：设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为p，则面积S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。
三、三角形的应用1.建筑设计：三角形在建筑设计中具有稳定性，常用于桥梁、塔架等结构的构建。
2.测距：利用三角形的边长关系，可以通过测量两边和夹角来计算第三边的长度。
3.几何作图：三角形是几何作图中的基本元素，如勾股定理、相似三角形等。
4.物理：三角形在物理学中也有广泛应用，如力的合成、电磁场等。
5.计算机科学：三角形是计算机图形学的基础，如三维模型、图形渲染等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形的基本概念、性质和计算方法，从而为进一步学习几何学和其他学科打下坚实基础。
习题及方法：1.习题：计算以下三角形的内角和。
a)直角三角形b)等边三角形c)钝角三角形d)180°e)大于90°根据三角形内角和的定义，直角三角形的内角和为90°，等边三角形的内角和为180°，钝角三角形的内角和大于90°。
三角形内角和证明
三角形内角和证明三角形的内角和是180°是几何学中的基本定理之一、本文将通过使用三角形的几何性质和数学推导，证明三角形内角和定理。
首先，我们需要了解一些三角形的性质：1.三角形的所有内角相加等于180°。
这个定理可以通过将三角形分成两个直角三角形，并利用直角三角形内角和为180°来证明。
2.三角形的补角等于180°。
如果两个角是互补角，则它们的和为180°。
这个性质可以通过绘制两个互补角，然后利用直角三角形的性质来证明。
3.三角形的两个角的和等于第三个角。
这个性质可以通过绘制一个任意三角形，然后观察三个角的关系来证明。
现在，我们开始证明三角形的内角和定理。
假设我们有一个任意的三角形ABC，其中角A的度数为α，角B的度数为β，角C的度数为γ。
我们可以通过将三角形ABC分解成两个互补角形来证明内角和定理。
首先，我们令角A和B为互补角，它们的和为180°。
因此，我们可以得到以下等式：α+β=180°(1)接下来，我们将角B和角C设为互补角，它们的和也为180°。
所以我们有：β+γ=180°(2)我们现在可以解方程（1）和（2）以获得α和γ之间的关系。
首先，我们从方程（1）中解出β：β=180°-α然后，我们将这个值代入到方程（2）中：180°-α+γ=180°通过简化上述等式，我们可以得到：γ=α这意味着角A和角C的度数是相等的。
现在，我们已经知道角A和角C的度数是相等的，我们可以使用三角形的第三个性质来求解角B的度数。
根据三角形的第三个角度性质，我们知道：α+β+γ=180°将α和γ的值代入，我们得到：α+β+α=180°2α+β=180°通过重排项，我们可以得到：β=180°-2α所以，我们已经确定了角A、角B和角C的度数之间的关系。
综上所述，我们可以得出以下结论：在任意三角形中，三个内角的和是180°。
三角形内角和与外角
三角形内角和定理的证明知识梳理:一．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．例：1、在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°3、一副三角板（分别含45°角和60°角）如图1叠放在一起，求图中∠α的度数。
分析：欲求∠α的度数，需先求出∠BAE，而∠BAE＋∠B=∠FED，求∠BAE要用三角形外角的性质。
二．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。
如刚才的例子，∠ACD=∠A+∠B。
试证明之：例：1、如图所示，∠1为三角形的外角的是()．2、如图所示，在△ABC中D是AC延长线上的一点，∠BCD等于（）A．72°B．82°C．98°D．124°（1）如右图所示，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93•°，•则∠A=_________．3．（2）三角形的三个外角中，最多有______个锐角．3、已知△ABC中，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP，试说明：∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A。
关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考
关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考一、几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180度”，常见的有三种方法：1．用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180度（下文简称“测量求和法”）；2．将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（下文简称“剪拼法”）；3．将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（下文简称“折拼法”）。
对于这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180度。
这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180度”的错误印象。
对于“剪拼法”，优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现了原图形与撕下来后图形间的联系与变化。
而“折拼法”则有效地避免了“量”、“撕”的缺陷；可惜的是，操作起来困难，想起来费劲——它要求学生首先沿着“中位线”来折，而“中位线”对学生来说则是个陌生的事物——因此，我们对教材中的“折拼法”方案（如图1）稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”；然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（见图2），经改进操作起来简捷多了。
图1 图2二、几种常见方法的导出其实对于三角形内角和三种常见的验证方法“量”也好，“撕”也好，“折”也罢，它们或多或少都存在着误差。
用单个任何一种方法验证“三角形内角和就是180度”，不足以让人信服。
因此，让尽量多的验证方法出现的课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。
然而事实并不随你我所愿。
正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。
如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们从最坏处考虑，对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：新课伊始，学生猜想“三角形内角和是180度”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180度吗？说说你的依据。
三角形内角和的证明
三角形内角和的证明三角形是平面几何中的基本图形之一，它有三条边和三个角。
这篇文章将会证明一个结论：三角形的三个内角和为180度。
首先，我们来考虑一个边长为a，b，c的三角形ABC。
我们可以用三角形的三个顶点来定义三个向量a，b，c，这些向量的长度分别为a，b，c。
那么，我们可以在向量b上找到一个点D，使得AD与向量c重合，那么这条直线就称为CD。
（插入一张图，图中ABC为三角形）我们可以找到一个向量m，它垂直于向量b和CD。
那么向量m与向量b的夹角记为α，向量m和CD的夹角记为β，向量a和向量m的夹角记为γ。
现在，我们来看向量m与向量b的夹角α。
根据向量的点积公式，有：m·b = |m||b| cos(α) （1）因为向量m是垂直于向量b，所以m·b=0，所以：因为向量m和向量b的长度都是正数，所以cos(α)必须等于零，也就是说α=90度。
这意味着向量m是向量b的一个垂线。
同理，我们可以得到：因为α=90度，所以向量m和向量CD是平行的。
我们可以得到一个证明：同理：现在，我们来计算三角形ABC的面积S。
由于向量b和向量CD重合，所以S=1/2|b+c|·h，其中h为三角形ABC到CD的距离。
同理，又有S=1/2|a+c|·h这两式联立，得到：|b+c| = |a+c|这意味着三角形ABC的边长a，b，c之间满足某种关系：a²+b²=c²。
现在，我们可以用余弦定理来证明三角形的三个内角和为180度。
根据余弦定理：cosA = (b²+c²-a²)/2bccosB = (a²+c²-b²)/2accosC = (a²+b²-c²)/2ab现在，我们来计算cosA+cosB+cosC，有：= a²b² + b²c² + c²a² - a⁴ - b⁴ - c⁴ / 2abc= (a²+b²+c²) / 2abcosA + cosB + cosC = a / ccosA + cosB + cosC = b / a三个式子联立，解得cosA+cosB+cosC=1。
三角形的内角和外角的计算与证明技巧
三角形内角和与外角和的几种常见应用类型与解题技巧类型一、截角和折叠综合求角度1、如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2 等于( )A．360°B．250°C．180°D．140°2、如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B 的度数．类型二、两个内角平分线的夹角方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半．1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，则∠BOC＝90°1＋∠A（两种方法）.22、如图，点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠ A 的角度是________°. 21 教育网如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．(1) ∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由；(2) 题(1) 中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数；(3) 若∠A＝n°，求∠BOC的度数．类型三、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．1、如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACE，则∠BDC ＝12∠A. （两种方法）2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A＝50°，则∠D＝________ ．3、如图，在平面直角坐标系中，A，B 分别是x，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B 的运动过程中，∠ C 的度数是一个定值，这个定值为________ ．5．( 达州中考改编)如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；⋯∠A2 014 BC和∠A2 014 CD的平分线交于点A2 015 ，则∠A2 015 的度数为________．类型四、两个外角平分线的夹角方法归纳：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角度数的一半．1、如图，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分线，求证∠BDC＝90°－1∠A. 22、如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A＝60°，则∠P＝________．类型五、角平分线与高线的夹角方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求证∠EAD ＝12( ∠B－∠C)．( 其中∠B＞∠C)2、如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠EAD＝10°，AD⊥BC 于D，AE是∠BAC的平分线，则∠C的度数为________ ．3、如图，△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，F 为射线AE上一点( 不与 E 点重合) ，且FD⊥BC.(1) 若点 F 与点 A 重合，如图1，求∠EFD的度数；(2) 若点 F 在线段AE上( 不与点 A 重合) ，如图2，求∠EFD的度数；(3) 若点 F 在△ABC外部，如图3，此时∠EFD的度数会变化吗？是多少？4、如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°.(1) 求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数；(2) 若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B＝30°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；当∠B＝50°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；当∠B＝60°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；当∠B＝70°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________.(3) 若∠B 和∠C 的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．21 世纪教育网版权技巧一、利用外角与内角的关系进行“聚角”( 集中)方法归纳：将位置分散的角集中在一个图形内，然后利用三角形( 或多边形) 的内角和求解．1、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E.2、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.3、如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数．技巧二、利用“8”字形转化角( 补形)方法归纳：求凹多边形的内角和时，可将其补成凸多边形，然后利用多边形的内角和计算公式求解．1、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E.2、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠1 的度数为________．3、如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数．4、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.5、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7.。
三角形内角和求证6种
三角形内角和求证有6种方法，以下是其中5种：方法一：利用三角形内角和定理的推论已知三角形ABC，延长BC到点D，过点C作CE//AB。
则可得到：∠A=∠ECD∠B=∠ACE∠C=∠ACB所以，三角形ABC的内角和等于三角形ECD的内角和，即：∠A+∠B+∠C=∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°即三角形ABC的内角和等于180°。
方法二：利用平角的定义已知三角形ABC，过点C作CD//AB。
则可得到：∠A=∠ACD∠B=∠BCD因为CD与CB在一条直线上，所以∠ACD+∠BCD=180°。
即三角形ABC的内角和等于180°。
方法三：利用三角形的高线、中线和角平分线的定义已知三角形ABC，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，CF是AB边上的角平分线。
则可得到：∠A=∠ACF∠B=∠ADB∠C=∠BCF因为AD、BE、CF都在三角形ABC上，所以它们所对的角之和等于180°。
即三角形ABC的内角和等于180°。
方法四：利用平行线的性质已知三角形ABC，过点C作CD//AB。
则可得到：∠A=∠ACD∠B=∠BCD因为CD//AB，所以∠A+∠B=180°。
即三角形ABC的内角和等于180°。
方法五：利用三角形外角的性质已知三角形ABC，过点C作CD//AB。
则可得到：∠A=∠ACD∠B=∠BCD因为CD与CB在一条直线上，所以∠ACD+∠BCD=180°。
即三角形ABC的内角和等于180°。