2016年北京西城高三一模数学试卷(理科答案)

北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科）

2016.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．i 10．29n - 16-

11 y = 12．6 13．21 14．○1○4

注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

==， 得 3b c =. ………………3分

由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π

3

A =，a ………………5分 得 227b c bc =+-，

所以 2

2

2()733

b b b +-=，

解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π

3A =，得2π3

B C =

-. 所以 2π

sin()3sin 3

C C -=. ………………8分

1

sin 3sin 2C C C +=， ………………11分

5

sin 2

C C =，

所以tan C =

. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30

100075040

⨯

=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分

由题意，得2325C 37

()11C 1010

P A =-=-=，

因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是

7

10

. ………………9分 （Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，

又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，

所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BC CC C = ，

所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分 又因为1BC ⊂平面1BCC ，

所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠= ，得AB BC ⊥，

又因为1AB BC ⊥，1BC BC B = ， 所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，

又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .

过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分

则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =- ,1(4,0,2)AD =-

. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，

由10AC ⋅= m ，10AD ⋅= m ，得22

420,

x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩ 令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分

易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n . 所以cos ,||||⋅<>=

=m n m n m n 即平面11AC D 与平面1ADD . ………………10分 （Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分

证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈

，

由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，

得1(1,0,)BC m =- ，1(3,2,)DC m = ，1(3,2,)DP DC m λλλλ== ，(3,2,0)CD =--

，

(33,22,)CP CD DP m λλλ=+=-- . ………………12分 若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=

，即2(3)3m λ-=-，

因为0λ≠，

1

所以23

30m λ

=-

+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.

所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.

当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：

所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分 （Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，

设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．

由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：

所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分 由2k >，得ln(2)ln 41k >>.

又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.

不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），

因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，