2016年北京西城高三一模数学试卷(理科答案)

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2016一模理数

2016高三一模汇编【理科】1、海淀一模（试卷+答案）2、西城一模（试卷+答案）3、东城一模（试卷+答案）4、朝阳一模（试卷+答案）5、石景山一模（试卷+答案）6、丰台一模（试卷+答案）北京市海淀区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学试卷（理科）2016.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、函数()f x=A．[0,)+∞B．[1,)+∞C．(,0]-∞D．(,1]-∞2、某程序的框图如图所示，若输入的z i=(其中i为虚数单位)，则输出的S=A．1-B．1C．i-D．i3、若x，y满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y=+的最大值为A．52B．3C．72D．44、某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．3B．2C．3D．35、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点，则AB =A ．1BC D ．27、已知函数sin()0()cos()x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ== 8、某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的收益如右表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是 A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若//a b ，则t =_________．10、在等比数列{}n a 中,22,a =且131154a a +=，则13a a +=_________． 11、在三个数1231,2,log 22-中，最小的数是_________．12、已知双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______________．13、如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个. （1）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有种; （2）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有种.14、已知函数()f x ，对于实数t 若存在0,0a b >>，满足[,]x t a t b ∀∈-+，使得()()2f x f t -≤，则记a b +的最大值为().H t（1）当()2f x x =时，(0)H =;（2）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域是.三、解答题共6小题，共80分。

北京市西城区高三数学一模试卷文(含解析)

北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷一、单选题1.设集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。

故答案为：B【答案】B2.设命题p：，则p为（）A． B．C． D．【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A【答案】A3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A． B．C． D．【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B【答案】B4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C【答案】C5.在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O，A，B三点不共线，则。

故答案为：B【答案】B6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。

故答案为：D【答案】D7.设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数在上存在零点；反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。

故答案为：A【答案】A8.在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

2016年1月西城区高三期末理科数学试题及答案..

北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科）2016.1本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，第I 卷I 至2页，第n 卷3至5页，共150 分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效•考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交.第I 卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合A 二｛x|x 1｝，集合B ^｛a 2｝，若A 「B 二.一，则实数a 的取值范围是（）（A ）（「:, -1]（ B ）（_：:,1]（C ） [-1, ：：）（ D ） [1,：：）2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）（A ） y =x 2 1（ B ） y =e x d （C ） y =lg|x|（ D ） y =；汉1 113. 设命题p ：“若sin ，则 ”，命题q ：“若a . b ，则 "，则（）26a b（A ）" p q ”为真命题（B ）" p q ”为假命题（C ）" —q ”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列｛a n ｝中，“对任意的n E N *, a^ =a n a n 七”是“数列｛a .｝为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（(C ) 20 2 3(D ) 20 2 5y -x W 1,6. 设x , y 满足约束条件 x y < 3,若z=x ，3y 的最大值与7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米 2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.(A) 16 2 3 (B ) 16 2、、5泸m,最小值的差为7,则实数m =（ )33 1 1 (A )- (B ) --— (D ) 24 4 俯视图侧（左）视图相应系统收费的程序框图如图所示，其中为行驶里程，y (单位：元)为所收费用，用最大整数，则图中①处应填()1(A) y =2[x] 4 2 1(B) y =2[x ] 5 2 (C) y =2[x -]42 1(D) y =2[x ] 5 28.如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E , F 分别在边AD , BC 上，且DE =2AE , CF =2BF .如果对于常数，，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF^成立，那么■的取值范围是 ()(A ) (0,7)( B ) (4,7)(C ) (0,4)( D ) (—5,16)第 H 卷 (非选择题共110分)9. ____________________________________________ 已知复数Z 满足z(1 +i) =2 —4i ，那么z =10•在 MBC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若 A = B , a=3 , c = 2，则 cosC= __________________ .2 211.双曲线C : — _________________ =1的渐近线方程为 ;设F 1, F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点,16 4且 | Ph |=4，则 | PF 2 |= ________ .12. 如图，在 ABC 中，.ABC=90 , AB =3 , BC =4，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与 AC , AO 分别相交于点 M , N ，则AN =; AM =.MC ------------------13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________ 种.14. 某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：°C )满足函数关系七^0,且该食2 , x>0.品在4「C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:D该食品在^C的保鲜时间是8小时;15. (本小题满分13分)已知函数f(x) =cosx(sinx 亠，3cosx) , x ：= R . 2(I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(n)设.0,若函数g(x)=f(x*)为奇函数，求：•的最小值.16. (本小题满分13分)甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分,未命中目标得0分•两人4局的得分情况如下：甲6699乙79x y(I)若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；(n)如果x = y =7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；(川)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值•(结论不要求证明)17. (本小题满分14 分)如图，在四棱锥P _ABCD中，底面ABCD是平行四边形，.BCD =135 ,侧面PAB _底面ABCD，. BAP=90j AB = AC = PA = 2 , E, F分别为BC,AD的中点，点M 在线段PD上.(I)求证：EF —平面PAC ; (n)若M为PD的中点，求证：ME //平面PAB ;(川)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM的值.PD218.(本小题满分13分)已知函数f (x)二X -1，函数g(x) = 2t In x，其中t < 1 .(I)如果函数f (x)与g(x)在x 处的切线均为l，求切线l的方程及t的值;(n)如果曲线y = f (x)与y = g (x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围.D2 2 —在椭圆C上.19.(本小题满分14分)已知椭圆C二笃=A(a b ■ 0)的离心率为-2，点A(1 a b 2(I)求椭圆C的方程；(n)设动直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点o为圆心的圆，满足此圆与I相交两点P , P2 (两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP , OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由•20.(本小题满分13分)在数字12川，n(n》2)的任意一个排列A ：卯a?,川，4中，如果对于i，『，icj , 有a i ■ a j ,那么就称(a,a j)为一个逆序对•记排列A中逆序对的个数为S(A).如n=4 时，在排列B: 3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3,2) , (3,1), (2,1) , (4,1)，则S(B)=4.(I)设排列C：3, 5, 6, 4, 1,2，写出S(C)的值；(n)对于数字1 , 2,「•，n的一切排列A，求所有S(A)的算术平均值；(川)如果把排列A：知a2jll, a n中两个数字a「a j(i cj)交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A': b n b2,川，b n，求证：S(A) S(A)为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1、选择题：本大题共 8小题，每小题 1. A 2. C 5. B6. C二、填空题：本大题共 6小题，每小题9. -1 -3i111. yx21213. 54注：第11，12题第一问2分，第二问 5分，共40分.3 . B 4. B7. D8. C5分共30分.710. 912..13-29 16因为函数g （x ）为奇函数，且R ,三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15.（本小题满分13分） J 3 (I) 解：f(x) =cosx(si n x ….f 3 cosx) - 丁 =sin x cosx f (2cos 2x -1) 1 • c 3 c sin 2x cos2x 2 2所以函数f （x ）的最小正周期 2n =n . 2由 2k n w 2xW 2kn ■ — , k Z ,2325 nn得 k nw x < k T + —,1212所以函数f(x)的单调递增区间为[“-石，k n+ —] , k - Z .5 nn(注：或者写成单调递增区间为(k n-k n + ) , k ，Z .)12 124分 6分7分9分解：由题意，得 g(x)二 f (x 叱)二sin(2x 2：11分n 所以 2.二川_ k n,Z ,3解得〉k • Z ，验证知其符合题意.2 6 又因为二：0 ,n 所以:-的最小值为—. .......... 13分_16. (本小题满分13分)(I)解：记“从甲的4局比赛中，随机选取 2局，且这2局的得分恰好相等”为事件 A ,2 1由题意，得P(A )二C 7 =_ ,1所以从甲的4局比赛中，随机选取 2局，且这2局得分恰好相等的概率为 -.……4分(H)解：由题意，X 的所有可能取值为13 , 15 , 16 , 18 ,................... 5分所以X 的分布列为:X 13 15 16 18 P3 1 3 1 88883 13 1所以E(X) =13工巴+15疋丄+16工2+18疋丄=15.8 8 8 8 (川)解：X 的可能取值为6 , 7 , 8. 17. (本小题满分14分)(I)证明：在平行四边形 ABCD 中，因为AB =AC , BCD =13引, 所以AB _ AC .由E,F 分别为BC, AD 的中点，得EF//AB , 所以EF _AC因为侧面PAB —底面ABCD ，且• BAP =90® , 所以PA _底面ABCD .又因为EF 底面ABCD , 又因为 PAf] AAC =A , PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC , 所以EF _平面PAC .且 P(XT3)1 P(X 胡5)飞， 3P(X “6)託， 1P(X =18)飞，10分 13分所以 g(0) =0，即 sin(2：.(川)解：因为PA_底面ABCD , AB _AC ，所以AP, AB, AC 两两垂直，故以 AB, AC, AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(£2,0), E(1,1,0)，T —I T所以 PB =(2,0, -2), PD =(-2,2, ~2) , BC =(-2,2,0) , ................... 10 分PM ^^4 设伙=,(,.[0,1])，贝y P^(-2 ,2 ,-2 ),PD所以 M(2,2，,2-2), ME =(1 2，,1—2, ,2，—2), 易得平面ABCD 的法向量m =(0,0,1). ................... 11分设平面PBC 的法向量为n =(x, y, z), 由 n BC =0, n PB =0，得_2x 2y =0,gx —2z =0,令 x =1,得 n =(1,1,1).................... 12 分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，所以 |cos ：：：ME, m 冃 cos ：：： ME, n |，即型F m 丨二均F n 丨, (13)分|ME| | m | |ME| |n |. 2九所以|2' -2円＜1，解得.3，或.」3(舍)............ 14分^2^218. (本小题满分13分)2t(H)证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以ME//平面PAB. ................... 9分D(I)解：求导，得f (x) =2x , g(X)=2t, (x .0) . .................. 2 分x由题意，得切线I的斜率k=f(1)=g(1)，即k=2t=2，解得t =1. .............. 3分又切点坐标为(1,0)，所以切线I的方程为2x — y—2=0 . ..................... 4分(n)解：设函数h(x) = f (x) -g(x) =x2一1 -2tln x , x (0, ；). ...................... 5 分y = h(x)有且仅有"曲线y = f (x)与y =g(x)有且仅有一个公共点”等价于"函数个零点”.2t 2 x2_ 2t求导，得h(x) =2x 一三二'•x x①当t< 0时，由x (0,：：)，得h (x) 0 ,所以h(x)在(0,；)单调递增.又因为h(1)=0，所以y =h(x)有且仅有一个零点1，符合题意.②当t =1时，当x变化时，h(x)与所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,；)上单调递增,所以当x =1 时，h(X)min = h(1) = 0 ,故y =h(x)有且仅有一个零点1，符合题意. ........... 10分③当0 :: t ：：：1时，令h (x) = 0，解得 ^ = . t .当x变化时，h (x)与h(x)的变化情况如下表所示：Array所以h(x)在(0, t)上单调递减，在c.t,；)上单调递增，所以当x = .,t 时，h(x)mi n二h(・t) . ................ 11 分因为h⑴=0 , ..t ：：：1，且h(x)在上单调递增，所以h(、f) ：：：h(1)=0.1 1 1 1 1又因为存在(0,1) ，h(e 枕)=e 耳-1 -2tl ne 页二■ 0，所以存在x^ (0,1)使得九沧)=0 ,所以函数y =h(x)存在两个零点x0 , 1，与题意不符•综上，曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时，t的范围是{t|t<0,或t =1} •.................... 13分19. (本小题满分14分)(I)解：由题意，得°=七'3, a2二b2• c2, ....................... 2分a 2又因为点“1,二)在椭圆C上，2所以丄• 2 =1 , ..................... 3分a24b2解得 a =2 , b =1 , c = • 3 ,2所以椭圆C的方程为—y2 =1. ..................... 5分4(H)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2 y2 =5. ...................... 6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2y^r2(r 0).当直线l的斜率存在时，设I的方程为y = kx m . ................... 7分y 二kx m, 由方程组x2 2 得(4k2 1)x2 8kmx 4m2 -4 =0, 8 分u y =1,因为直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，所以 1 =(8km)2 _4(4k2 1)(4m2 -4) =0，即m2=4k2 1 . .................... 9 分y =kx m,2 2 22由方程组2 22 得(k 1)x 2kmx m -r =0 , .................... 10 分[x +y =r ,则 2 =(2km)2 _4(k 2 1)(m 2 _r 2) 0.设直线OR , OP 的斜率分别为k 1 , k 2,2 2所以当圆的方程为 x y -5时，圆与I 的交点13分当直线I 的斜率不存在时，由题意知 I 的方程为x = 2，1 此时，圆x 2+y 2=5与I 的交点R,P 2也满足k 1k 2=—.41 综上，当圆的方程为 x2 y^5时，圆与I 的交点R,P 2满足斜率之积k !k 2为定值.4.................... 14分20. (本小题满分13分)(I)解：S(C) =10 ； (H)解：考察排列 D ： a,d 2, IH, d n 」,d n 与排列 D 1：d n ,山，d 2,a ,因为数对(d i ,d j )与(d j ,d i )中必有一个为逆序对(其中 1wi ：：：j < n ), 且排列D 中数对(d i ,d j )共有C ：二葺卫个，所以 S(D) S(DJ 』；T ).所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为n(n T) 4设 P(X i ,yJ ,卩2(% y)，则 X i - X 2-2 kmk 2 12 2m -rx2 2~k 111分2 2y 1y 2(kx 1 m)(kx 2 m) k x 1x 2 km(x 1 x 2) m所以补2x 1x 2x 1x 2NX 22 2,2 m -r k 厂k 2 12 2 m -r k 2 1km 学 m 2 k 2 +1 2 2 2m -r k 2 2 ， m —r12分2 2将m =4k 1代入上式，得 k 1 k 22 2(4 -r )k 1 22~4k (1 — r )要使得Kk 2为定值，则土丄4121 -r ，即r 2=5，验1R,P 2满足k 1k 2为定值2而对于数字1,2,…，n的任意一个排列A：a i,a?,川，a n，都可以构造排列A i：a n, a2, a ,且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为血却.4所以所有S(A)的算术平均值为12卫. ............ 7分4(川)证明：①当j -i 1，即厲，引相邻时，不妨设a, ::: a, i，则排列A•为a i, a?,川，a*, a’，a” q .2,川，a.,此时排列A■与排列A：印，a?,川，a n相比，仅多了一个逆序对(a, i,aj ,所以S(A) =S(A) 1,所以S(A) S(A) =2S(A) 1 为奇数. ..................... 10 分②当j - i 1，即a, ,a j不相邻时，假设a,,a j 之间有m 个数字，记排列A: a1, a：. Ill a,, 6 k：, ,lllk m,印,|||, a.,先将a,向右移动一个位置，得到排列A1：ai, a：, HI, a—心a,, k2, J|l,k m, a j,lli, a n,由②，知S(A)与S(A)的奇偶性不同，再将a,向右移动一个位置，得到排列A2：3, a2, a—匕，k：, a,, k3,||),k m, a」,川，％ , 由②，知S(A，)与S(A)的奇偶性不同，以此类推，a,共向右移动m次，得到排列A m: a1, a2, IIIK, k2川l,k m, a, a j,|||, a.,再将a」向左移动一个位置，得到排列A m+1: a1, a2,山,a』,匕，||),k m,a j, a,,山,a n , 以此类推，q共向左移动m+1次，得到排列A2m+1: a1, a2, HI, %,匕,11), k m, a,HI,a n, 即为排列A ,由②，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m十1次的前后两数交换位置，可以得到排列A：所以排列A与排列A•的逆序数的奇偶性不同，所以S(A) S(A)为奇数.13分综上，得S(A) S(A)为奇数.。

2016-1市西城区高三上学期期末数学(理)试卷

北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x = 3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否是输入xy=12○1 7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.E FD P C A BB OC A NM12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．F CADPMB E已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=，解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）F CADPMB Ezyx（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)t t(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-. 要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)

市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若AB =∅，则实数a 的取值X 围是（）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+（B ）e e x x y -=-（C ）lg ||y x =（D）y3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+（B）16+ （C）20+（D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32（B ）32-（C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值X 围是（）（A ）(0,7)（B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-FD P C B第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)f x x x x=，x∈R.（Ⅰ）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f xα=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，135BCD∠=，侧面PAB⊥底面ABCD，90BAP∠=,2AB AC PA===, ,E F分别为,BC AD的中点，点M在线段PD上.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：//ME平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值. FCA DPMB E18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值X 围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±1212291613．54 14．○1○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =-1sin 22x x =………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =.………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z .………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=，………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18，………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥.………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥.………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB .………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB .………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-，………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m .………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，………………13分D所以 |22|λ-=，解得λ=λ=.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >．………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =．……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=．………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞．………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分①当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………8分②当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………10分③当01t <<时，令()0h x '=，解得x ．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x=时，min()h x h=．………………11分因为(1)0h=1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h<=.又因为存在12e(0,1)t-∈，111122()12ln0t t t th t----=--=>e e e e，所以存在0(0,1)x∈使得()0h x=，所以函数()y h x=存在两个零点x，1，与题意不符.综上，曲线()y f x=与()y g x=有且仅有一个公共点时，t的X围是0{|t t≤，或1}t=.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得ca=，222a b c=+， (2)分又因为点A在椭圆C上，所以221314a b+=，………………3分解得2a=，1b=，c，所以椭圆C的方程为1422=+yx. ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y+=.………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r+=>.当直线l的斜率存在时，设l的方程为mkxy+=.………………7分由方程组22,1,4y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0448)14(222=-+++mkmxxk，………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=，………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+，………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =；………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个，………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -.………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数.………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数.………………13分。

北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版)-含答案

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否是输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）F CADPMB E已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，FADPMz所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=，解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （）（A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2-【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =3序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b-r r r r 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r ”表示的几何意义，是解答的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y-<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（）（A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）3t =，s 的最小值为6π （C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）3t ，s 的最小值为3π 【答案】A 【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

北京2016各区模拟高三理科数学一模、二模分类之压轴题部分

{西城}16年高三一模理科数学20．设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为1mi ii a b=-∑.（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离（Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.{顺义}16年高三一模理科数学20.在数列中，，，其中，．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．{海淀}16年高三一模理科数学20．（本小题满分13 分）给定正整数n (n ≥3)，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下列条件：① U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝ B ∩C ＝A ∩C ＝∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为S A ， S B ，S C ，有S A ＝S B ＝S C ；则称集合 U n 为可分集合．（Ⅰ）已知U 8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ；（Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U n 不是可分集合；（Ⅲ）若U n 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）{东城}16年高三一模理科数学20．（本小题共13 分）数列{}n a 中，给定正整数m （m ＞1），V （m ）＝111||m i i i aa -+=-∑．定义：数列{}n a 满足1i i a a +≤（i ＝1，2，…，m －1），称数列{}n a 的前m 项单调不增．（1）若数列{}n a 的通项公式为(1),(*)n n a n N =-∈，求V （5）．（2）若数列{}n a 满足：1,,(1,*,)m a a a b m m N a b ==>∈>，求证：V （m ）＝a －b 的充分必要条件是数列{}n a 的前m 项单调不增．（3）给定正整数m （m ＞1），若数列{}n a 满足：0n a ≥，（n ＝1，2，…，m ），且数列{}n a 的前m 项和为m 2，求V （m ）的最大值与最小值．（写出答案即可）{朝阳}16年高三一模理科数学20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小，（ⅰ）写出数列{}n b 的前4项；（ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.{80零模}16年高三一模理科数学20．(本小题满分13分)对于任意的*n ∈N ，记集合{1,2,3,,n E n =⋅⋅⋅，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，则称A 具有性质Ω．如当2n =时，2{1,2}E =，2{1,P =．122,x x P ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，所以2P 具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合35,P P 中的元素个数，并判断3P 是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅ ，使15E A B = ．（Ⅲ）若存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅ ，使n P A B = ，求n 的最大值．。

2016.1.西城.高三理科试题答案03.doc

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 2 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+-2sin cos 1)x x x =+-1sin 222x x =………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分 D所以 |22|λ-=，解得λλ=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x t h x x x x-'=-=. ………………6分 ① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =min()h x h =． ………………11分因为(1)0h =1，且()h x 在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)

市西城区2015 —2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x=>，集合{2}B a=+，若A B=∅，则实数a的取值X围是（）（A）(,1]-∞-（B）(,1]-∞（C）[1,)-+∞（D）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R的偶函数是（）（A）21y x=+（B）e ex xy-=-（C）lg||y x=（D）y3. 设命题p：“若1sin2α=，则π6α=”，命题q：“若a b>，则11a b<”，则（）（A）“p q∧”为真命题（B）“p q∨”为假命题（C）“q⌝”为假命题（D）以上都不对4. 在数列{}n a中，“对任意的*n∈N，212n n na a a++=”是“数列{}na为等比数列”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+（B）16+侧(左)视图正(主)视图（C ）20+ （D ）20+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32（B ）32-（C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值X 围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值X 围．F CADPMB E19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±1212291613．54 14．○1○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =-1sin 22x x =………………4分πsin(2)3x =+， ………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131E X=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分()13151618158888（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB AC=，135∠=，BCD所以AB AC⊥.由,E F分别为,EF AB，BC AD的中点，得//所以EF AC⊥.………………1分因为侧面PAB⊥底面ABCD，且90∠=，BAP所以PA⊥底面ABCD. ………………2分又因为EF⊂底面ABCD，所以PA EF⊥.………………3分又因为PA AC A=，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC. ………………4分（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以//MF PA，Array又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以//MF平面PAB. ………………5分EF平面PAB.同理，得//D又因为=MF EF F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面所以平面//MEF平面PAB. ………………7分又因为ME⊂平面MEF，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|λ-=，解得λ=λ=.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >．………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =．……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=．………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞．………………5分“曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分①当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………8分②当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………10分③当01t <<时，令()0h x '=，解得x ．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min()h x h =．………………11分因为(1)0h =1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=. 又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的X 围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =；………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数.………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，m+次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，而排列A经过21所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以()()+为奇数.S A S A'综上，得()()+为奇数.………………13分S A S A'。

2016年北京市西城区高三一模数学(理)试题及答案

北京市西城区2016年高三一模试卷数学（理科） 2016.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合2{|0}4A x x x =<+，集合{|21,}B n n k k ==-∈Z ，则A B = （）（A ）{1,1}- （B ）{1,3} （C ）{3,1}-- （D ）{3,1,1,3}-- 2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos ,()2sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 是（）（A ）关于x 轴对称的图形（B ）关于y 轴对称的图形（C ）关于原点对称的图形（D ）关于直线y x =对称的图形3. 如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）（A ） ()y x f x =+ （B ）()y xf x = （C ）2()y x f x =+ （D ）2()y x f x =4. 在平面直角坐标系xOy 中，向量OA ＝(-1, 2)，OB＝(2, m ) ，若O , A , B 三点能构成三角形，则（）（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ （D ）m ∈R 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的,A S 分别为0, 1，则输出的S =（）（A ）4 （B ）16 （C ）27 （D ）36 6. 设1(0,)2x ∈，则“(,0)a ∈-∞”是“12log x x a >+”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 7. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的部分图象如图所示，则有（）（A ）3π5π7π()()()436f f f -<< （B ）3π7π5π()()()463f f f -<< （C ）5π7π3π()()()364f f f <<- （D ）5π3π7π()()()346f f f <-<8. 如图，在棱长为(0)a a >的正四面体ABCD 中，点111,,B C D 分别在棱AB ,AC ,AD上，且平面111//B C D 平面BCD ，1A 为BCD D 内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则（）（A ）当23x =时，函数()f x 取到最大值（B ）函数()f x 在1(,1)2上是减函数（C ）函数()f x 的图象关于直线12x =对称（D ）存在0x ，使得01()3A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z =____. 10．已知等差数列{}n a 的公差0d >， 33a =-，245a a ⋅=，则n a =____；记{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为____.11．若圆22(2)1x y -+=与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的渐近线相切，则a =_____；双曲线C 的渐近线方程是____.12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是____. 13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A , B , C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A , B 项目，乙不能参加B , C 项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）14. 一辆赛车在一个周长为3 km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，有以下四个说法：（图1）5π6O x yπ12BB 1CDC 1D 1A 1A输出S 2k k =+A A k =+S S A =⋅ 是否4k ≥ 输入A ,S 1k = 开始结束侧(左)视图正(主)视图俯视图22○1 在这第二圈的2.6 km 到2.8 km 之间，赛车速度逐渐增加； ○2 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km ； ○3 大约在这第二圈的0.4 km 到0.6 km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ○4 在图2的四条曲线（注：S 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是_____. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π3A =，sin 3sinBC =. （图2）（Ⅰ）若7a =，求b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.16．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最小时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- ，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数） 17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，90BAD ∠= ，四边形 11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1ADD ；（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由. 18．（本小题满分13分）已知函数1()e e x x f x x a -=-，且(1)e f '=. （Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两不相等个正实数根12,x x ，证明：124||ln ex x ->．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2231(0)mx my m +=>的长轴长为26，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若||||BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.20．（本小题满分13分）设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1||mi i i a b =-∑.（Ⅰ）给出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离；（Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =， {}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值；（Ⅲ）记S 是所有7项数列{|107,n n a n a =≤≤或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T 中的元素个数小于或等于16.O 体育成绩45 55 65 75 85 95 ◆ 14 2 ◆◆ ◆ ◆ ◆ 4 1210 6 8 各分数段人数 C s DssBA B CD D 1C 1 As北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16- 11．3 33y x =±12．6 13．21 14．○1○4 注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =，由正弦定理 sin sin sin a b cA B C==，得 3b c =.………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，7a =，…………5分得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =.………………7分（Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-.所以2πsin()3sin 3C C -=……………8分即31cos sin 3sin 22C C C +=，………11分所以35cos sin 22C C =，所以3tan 5C =.………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ，……………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710.………………9分（Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90.……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ，…… 2分同理//BC 平面1ADD ，又因为1BC CC C = ，所以平面1//BCC 平面1ADD , …… 3分又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD .……………… 4分（Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠= ，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B = ，所以AB ⊥平面1BCC ，所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点，所以1CC ⊥平面ABCD ，因为11//CC DD ，所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ，所以1(1,2,2)AC =- ,1(4,0,2)AD =-.设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅= m ，10AD ⋅= m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n .所以329cos ,||||29⋅<>==-m n m n m n . 即平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值为32929. ………………10分（Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直.…………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈，由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，得1(1,0,)BC m =- ，1(3,2,)DC m = ，1(3,2,)DP DC m λλλλ== ，(3,2,0)CD =--， (33,22,)CP CD DP m λλλ=+=-- .………………12分若1BC CP ⊥，则21(33)0B C C P m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-，因为0λ≠，所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直.……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-，………2分所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =.……3分故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)-∞ 0(0,)+∞ ()f x ' - 0 +()f x ↘ ↗ABCDD 1C 1Pyxz所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分（Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+.………………6分求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =.……………7分所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (0,ln(2))k ln(2)k(ln(2),)k +∞ ()g x ' - 0 +()g x ↘ ↗所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<，所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<.………………11分同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <，可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln e x x x x -=->-=，即 124||ln ex x ->.………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：221113x y m m+=，……………1分所以21a m =，213b m=，故12226a m ==，解得16m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=……………3分因为222c a b =-=，所以离心率63c e a ==.……………5分（Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥，………7分由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，且直线AP 的斜率003AP y k x =-，……………8分所以直线BD 的斜率为0031AP x k y --=，所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-.……………10分令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-，化简，得20023(0,)2y B y --.………………11分所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OABS S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ ………………12分 2000233(||||)22y y y --=+0033(2||)22||y y =+003322||22||y y ⨯⨯≥33=.当且仅当00322y y =，即03[2,2]2y =±∈-时等号成立.所以四边形OPAB 面积的最小值为33.……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7.………………2分（Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±.由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =，所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次…………4分所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）.…………5分由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大. 由417||3i i i b c =-=∑，……………6分得34564864117||||86420163i i i i i i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455.……………8分（Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个.因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . ……………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；123456,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==. 因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立，同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i i i f c =-∑≤和71||2i i i f d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16.…………13分。

2016届北京市西城区高三上学期期末数学理试题及答案

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D）y3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1 （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-FD P C B第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则co s C =____. 11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)f x x x x=+，x∈R.（Ⅰ）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f xα=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，135BCD∠=，侧面PAB⊥底面ABCD，90BAP∠=,2AB AC PA===, ,E F分别为,BC AD的中点，点M在线段PD上.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：//ME平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值. FCA DPMB E18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 2 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =-2sin cos 1)x x x =+-1sin 22x x= ………………4分 πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|λ-=，解得λ=λ=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =min()h x h =． ………………11分因为(1)0h =1<，且()h x 在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷高三英语参考答案及评分标准2016.1第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节1．A 2．B 3．B 4．C 5．A第二节6．A 7．B 8．A 9．C 10．C 11．A 12．C 13．C 14．B 15．B 第三节16. apartment 17. fridge 18. walk 19. 200 20. Friday 第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空21．C 22．A 23．D 24．B 25．D 26．A 27．B 28．B 29．C 30．A 31．C 32．A 33．C 34．D 35．B第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）36．B 37．D 38．B 39．C 40．A 41．D 42．A 43．D 44．C 45．B 46．C 47．B 48．D 49．A 50．C 51．A 52．C 53．A 54．B 55．D 第三部分：阅读理解（共两节，40分）第一节（共15小题；每小题2分，共30分）56．B 57．C 58．A 59．B 60．D 61．A 62．C 63．D 64．A 65．B 66．A 67．B 68．C 69．D 70．C第二节（共5小题；每小题2分，共10分）71．G 72．C 73．B 74．D 75．A。

高三西城一模理科数学解析

北京市西城区2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）学而思高考研究中心－曲丹、唐云、张剑邓一维、武洪姣1. C【解析】解不等式x2 + 4x < 0 得-4 < x < 0 ，即 A = {x -4 < x < 0} ，又B = {n n = 2k - 1, k ∈ Z} ，故A B = {-3, -1} ，选C.2. A【解析】曲线C 的参数方程化为普通方程即为( x- 2)2 + y2 = 2 ，即曲线C 是圆心在横轴上的圆，故曲线C 关于x 轴对称，选A.3. B【解析】根据奇偶性的四则运算两个定义域为R 的函数，奇函数×奇函数=偶函数, y = x 为奇函数，所以xf ( x) 一定为偶函数.4. Bm 2【解析】如果OAB 能够成三角形，只要OA 与OB 向量不共线即可，所以2≠, m ≠ -4 -15. D【解析】A = 0, S = 1, k = 1, A = A + k = 0 + 1 = 1, S = S ⋅ A = 1⋅1 = 1, k < 4;k = k + 2 = 3, A = A + k = 1 + 3 = 4, S = S ⋅ A = 1⋅ 4 = 4, k < 4;k = k + 2 = 5, A = A + k = 4 + 5 = 9, S = S ⋅ A = 4 ⋅ 9 = 36, k ≥4.故选D.6．A【解析】a < 0 时，因为0 < x < ，所以log1 x > 1 > x > x + a ，充分性成立；22显然a = 0 时，log1 x > x + a 也成立，因此a < 0 不必要．213 3 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭ 7．D【解析】方法一⎧ π+= π+ 2k π 由图知， ⎪12 2 ⎪ 5 π+= 2π + 2k π⎪⎩ 6所以 f ( x ) = A sin ⎛2x + π ⎫ ．k ∈ Z ，解得= 2 ，= π+ 2k π ， k ∈ Z 33 ⎪ ⎝ ⎭f ⎛ 5 π⎫= A sin 11 π = - A ， f ⎛ - 3 π⎫ = A sin ⎛ - 7 π⎫ = - 1 A ， 3 ⎪ 3 2 4 ⎪ 6 ⎪ 2 ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭f⎛ 7 π⎫ = A sin ⎛ 8 π⎫= A 6 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 f ⎛ 5 π⎫ < f ⎛ - 3 π⎫ < f ⎛ 7 π⎫ ．⎝ 3 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 6 ⎭方法二：由于 3 T = 5π - π 4612, T = π其中 f ⎛ - ⎝ 3π ⎫⎛ ⎪ = f - ⎭ ⎝ 9π ⎫ ⎛ 3π ⎫ 12 ⎪ = f 12 ⎪f ⎛ 5π ⎫ = f ⎛ 20π ⎫ = f ⎛ 8π ⎫3 ⎪ 12 ⎪ 12 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭f ⎛ 7π ⎫ = f ⎛ 14π ⎫ = f ⎛ 2π ⎫ 6 ⎪ 12 ⎪ 12 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭由图可知y7π 12Oπ 124π 125π 6x42 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 1 1 1 13 1⎝ ⎭ 3f ⎛ 8 π⎫ < f ⎛ 3 π⎫ < f ⎛ 2 π⎫ 即 f ⎛ 5 π⎫ < f ⎛ - 3 π⎫ < f ⎛ 7 π⎫⎝ 12 ⎭ ⎝ 12 ⎭⎝ 12 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 6 ⎭8．A【解析】正四面体的体积为VA - BCD =2a 3 ，所以V 12A -B 1C 1D 1= V ⋅ x 3 =2 a3 x 3 ，12V V DD 1 - x 因为 A 1- B 1C 1D 1= D - B 1C 1D 1= 1= ，V A - B C D V A - B C D AD 1 x所以 f ( x ) = V = VA -B 1C 1D 1⋅ 1 - x =x a 3 x 3 ⋅ 1 - x = 12 x a 3 x 2 (1 - x ) ， 0 < x < 1． 12f '( x ) =2 a 3(2x - 3x 2 ) = 2 a 3 x (2 - 3x ) 12 12当 0 < x < 2时， f '(x ) > 0 ， f ( x ) 单调增；当 2< x < 1 时， f '( x ) < 0 ， f ( x ) 单调 3减．因此， f ( x )= f⎛ 2 ⎫= 3a 3 = 4 V ． max⎪ 81 27 A - BCD（或者由 3 次均值不等式， f ( x ) = a 3 ⋅ x ⋅ x ⋅ (2 - 2x ) ≤ a 3 ⎛ x + x + 2 - 2x ⎫ 亦24 24 3 ⎪⎝ ⎭可）综上，选 A ．9. i ；z-1 + i (-1 + i )(1 - i )【解析】由已知， z 2 = 1 + i ，∴=== i .z 21 + i210. 2n - 9 ； -16 ；【解析】 a 2 a 4 = (-3 - d )(-3 + d ) = 5 ，由 d > 0 解得 d = 2 .∴ a n = -3 + 2(n - 3) = 2n - 9 . a 1 = a 3 - 2d = -7 ，∴ S n = -7n +n (n - 1)⋅ 2 = n 2 2- 8n 故当 n = 4 时， S n 的最小值为 -16 .2 23 1 + a23 4 + 16 2 2 2 11.；y = ± 3 x ；3【解析】双曲线的渐近线为 y = ± x，即 x ± ay = 0 .a由于圆与直线相切， r = 1，∴ d =| 2 ± 0 | = 1 .解得 a = .∴双曲线的渐近线为 y = ±3 x .312. 6【解析】由题意可知原图应为：C其中: AC = BC = = 2AB = 2 , CD = 3 ，所以S = 1⨯ 2 ⨯ 3 = 6 △ ABC 213. 21【解析】①乙参加 A 项目；B 项目甲乙均不能参加，有三种选法；C 项目乙不能参加，B 项目的人也不能参加，有三种选法.共1⨯ 3 ⨯ 3 = 9 种方法.②乙不参加 A 项目；A 项目甲乙不参加，有 3 种方法；B 项目甲乙不能参加，A 项目的人也不能参加，有两种选法；C 项目乙不能参加，A 项目和 B 项目的人也不能参加，有 2 种选法.共 3 ⨯ 2 ⨯ 2 = 12 种方法.ADB523 ⎪ 综上，由分类计数原理知共有 21 种不同的分配志愿者方法.14．①④【解析】由图看，在 2.6km 到 2.8km 之间，赛车速度从100 逐渐增加到140 km / h ，①对；从 0.4km 到 1.2km 这段，赛车应该是直道加速到平稳行使，最长直线路程超过0.6km ，②错；从1.4km 到1.8km 之间，赛车开始最长直线路程行使，③错；从图 1 看，赛车先直线行使一小段，然后减速拐弯，然后直线行驶一大段距离，再减速拐弯，再直线行使一大段，拐弯后直线行使一中段距离，曲线 B 最符合， ④对．15．【解析】（Ⅰ）因为 sin B = 3sin C ，由正弦定理 a = sin A b sin B =c， sin C得 b = 3c ．3 分由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A 及 A = π， a = 3，5 分得 7 = b 2 + c 2 - bc ，所以 b 2+ ⎛ b ⎫⎝ ⎭2 b 2 -3 = 7 ，解得 b = 3 ，7 分（Ⅱ）由 A = π，得 B =2π- C ． 33所以 sin ⎛ 2π - C ⎫= 3sin C ．8 分3 ⎪ ⎝ ⎭72 5即 3 cos C + 1sin C = 3sin C ，11 分2 2所以 3 cos C = 5sin C ．2 2所以 tan C =3 ． 13 分516．【解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人， 2 分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有 1000× 30= 75040人． 4分（Ⅱ）设“至少有 1 人体育成绩在[60 ，70) ”为事件 A ，5 分由题意，得P ( A ) = 1 - C 3 = 1 - 3 = 7， 210 10 因此至少有 1 人体育成绩在[60 ，70) 的概率是 710 ．9 分（Ⅲ） a ，b ，c 的值分别是为 79，84，90；或 79，85，90．13 分17．【解析】（Ⅰ）证明：由 CC 1D 1D 为矩形，得 CC 1 ∥ DD 1 ，又因为 DD 1 ⊂ 平面 ADD 1 ， CC 1 ⊄ 平面 ADD 1 ，所以 CC 1 ∥平面 ADD 1 ，2 分同理 BC ∥平面 ADD 1 ，又因为 BC CC 1 = C ，C所以平面 BCC 1 ∥平面 ADD 1 ，3 分又因为 BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 ，所以 BC 1 ∥平面 ADD 1 ．4 分（Ⅱ）由平面 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠BAD = 90︒ ，得 AB ⊥ BC ，又因为 AB ⊥ BC 1 ， BC BC 1 = B ，所以 AB ⊥平面 BCC 1 ，所以 AB ⊥ C C 1 ，又因为四边形 CC 1D 1D 为矩形，且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点，所以 CC 1 ⊥平面 ABCD ，因为 CC 1 ∥ DD 1 ，所以 DD 1 ⊥ 平面 ABCD ．过 D 在底面 ABCD 中作 DM ⊥ AD ，所以 DA ， DM ， DD 1 两两垂直，以DA ， DM ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系，6 分则 D (0△ 0△ 0) ， A (4△ 0△ 0) ， B (4△ 2△ 0) ， C (3△ 2△ 0) ， C 1 (3△ 2△ 2) ，D 1 (0△ 0△ 2) ，所以 AC 1 = (-1△ 2△ 2) ， AD 1 = (-4△ 0△ 2) ．设平面 AC 1D 1 的一个法向量为 m = (x △ y △ z ) ．m ⋅ nm n3 293 29 ⎩⎧-x + 2 y + 2z = 0△由 m ⋅ AC 1 = 0 ， m ⋅ AD 1 = 0 ，得 ⎨-4x + 2z = 0△令 x = 2 ，得 m = (2△- 3△ 4) ．8 分易得平面 ADD 1 的法向量 n = (0△ 1△ 0) ．所以 cos < △ >= = - ． m n 29即平面 AC 1D 1 与平面 ADD 1 所成的锐二面角的余弦值为． 10 分29zD 1C 1Px ADBCy（Ⅲ）结论：直线 BC 1 与 CP 不可能垂直．11 分证明：设 DD 1 = m (m > 0) ， DP = DC 1 (∈(0△ 1)) ，由 B (4△ 2△ 0) ， C (3△ 2△ 0) ， C 1 (3△ 2△ m ) ，D (0△ 0△ 0) ，得 BC 1 = (-1△ 0△ m ) ， DC 1 = (3△ 2△ m ) ， DP = DC 1 = (3△ 2△ m ) ，CD = (-3△ - 2△ 0) ，CP = CD + DP = (3- 3△ 2- 2△ m ) ． 12 分若 BC 1 ⊥ C P ，则 BC 1 ⋅ CP = -(3- 3) + m = 0 ，即(m 3 - 3)= -3 ，因为 ≠ 0 ，2所以 m 2 = - 3+ 3 > 0 ，解得 > 1 ，这与 0 < < 1矛盾．所以直线 BC 1 与 CP 不可能垂直．18．14 分【解析】（Ⅰ）对 f (x ) 求导，得 f '(x ) = (1 + x )e x- a ex -1，2 分所以 f '(1) = 2e - a = e ，解得 a = e ．3 分故 f (x ) = x e x- e x， f '(x ) = x e x．令 f '(x ) = 0 ，得 x = 0 ．当 x 变化时， f '(x ) 与 f (x ) 的变化情况如下表所示：x(-∞△ 0) 0 (0△ + ∞)f '(x ) -+f (x )所以函数 f (x ) 的单调减区间为 (-∞△ 0) ，单调增区间为 (0△ + ∞) ．5 分（Ⅱ）方程 f (x ) = kx 2 - 2 ，即为 (x - 1)e x - kx 2 + 2 = 0 ．设函数 g (x ) = (x - 1)e x - kx 2 + 2 ．6 分求导，得 g '(x ) = x e x - 2kx = x (e x - 2k ) ．由 g '(x ) = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = ln(2k ) ．7 分所以当 x ∈(0△ + ∞) 变化时， g '(x ) 与 g (x ) 的变化情况如下表所示：所以函数 g (x ) 在 (0△ ln(2k )) 单调递减，在 (ln(2k )△ + ∞) 上单调递增．9 分由 k > 2 ，得 ln(2k ) > ln 4 > 1．又因为 g (1) = - k + 2 < 0 ，所以 g (ln(2k )) < 0 ．不妨设 x 1 < x 2 （其中 x 1 ， x 2 为 f (x ) = kx - 2 的两个正实数根），因为函数 g (x ) 在 (0△ ln 2k ) 单调递减，且 g (0) = 1 > 0 ， g (1) = - k + 2 < 0 ，所以 0 < x 1 < 1．11 分同理根据函数 g ( x ) 在 (ln 2k △ + ∞) 上单调递增，且g (ln (2k )) < 0 ，可得 x 2 > ln (2k ) > ln 4 ，所以 x - x = x - x > ln 4 - 1 = ln 4 ，1221e即 x 1 - x 2 > ln 4e．13 分19．x 2 y 2【解析】（Ⅰ）由题意，椭圆 C : + 1 1 m 3m所以 a 2 = 1 ， b 2 = 1，m3m= 1 ．1 分26 a 2 - b 2 ⎪故 2a = 2 = 2 ，解得m = 1 ， 6所以椭圆 C 的方程为 x y 2+ = 1 ．（3 分）6 2因为 c = = 2 ，所以离心率 e = c=a 6 ．（5 分） 3（Ⅱ）设线段 AP 的中点为 D ，因为 BA = BP ，所以 BD ⊥ AP ,(7 分)由题意，直线 BD 的斜率存在，设点 P ( x 0 △ y 0 )( y 0 ≠ 0),则点 D 的坐标为 ⎛ x 0 + 3△ y 0 ⎫ ，2 2 ⎪⎝ ⎭且直线 AP 的斜率 k AP = y 0 x 0 - 3,(8 分)所以直线 BD 的斜率为 - 1 k AP = 3 - x 0 ,y 0所以直线 BD 的方程为： y -y 0 = 3 - x 0 ⎛ x - x 0 + 3 ⎫.(10 分)2 y 0 ⎝ 2 ⎭x 2 + y 2- 9⎛ x 2 + y 2 - 9 ⎫ 令 x = 0 ,得 y = 0 0 ，则 B 0 △ 0 0 ⎪ ，2 y 0 ⎝ 2 y 0 ⎭x 2 y 2 由 0 + 0 = 1，得 x 2 = 6 - 3y 2 ， 62化简，得 B ⎛ 0 △ -2 y 2- 3 ⎫ 0 ⎪ ．（11 分） ⎝ 2 y 0 ⎭所以四边形 OPAB 的面积 S OPAB = S △ OAP + S △ OAB1 1 -2 y 2- 3 = ⨯ 3⨯ | y 0 | + ⨯ 3⨯ | 0 | （12 分） 2 2 2 y 01 m 23 3 2 2 3 0 ⎭⎝ 3 ⎛= | y 0 - 3 ⎫ | + 0 ⎪ 2 ⎝ 2 y 0 ⎭=3 ⎛ 2 | y | + 3 ⎫ 0 2 | y | ⎪≥ 3⨯ 2 2= 3 ．当且仅当 2 y 0 = ，即y 0 = ± ∈ ⎡- △ ⎤ 时等号成立． 2 y 0 2 ⎣⎦所以四边形 OPAB 面积的最小值为 3 ．（14 分）20．【解析】（Ⅰ）由题意，数列 1,3,5,6 和数列 2,3,10,7 的距离为 7．（2 分）（Ⅱ）设 a 1 = p ，其中 p ≠ 0 ，且 p ≠ ±1 ．由 a n +1 = 1 + a n 1 - a n ，得 a 2 = 1 + p 1 - p 1 ， a 3 = - p ，a 4 = p -1 p +1， a 5 = p ，所以 a 1 = a 5 ，因此 A 中数列的项周期性重复，且每隔 4 项重复一次．（4 分）11 *所以{b n } 中， b 4k -3 = 2 ， b 4k -2 = -3 ， b 4k -1 = ，b 4k = (k ∈ N ) ，23所以{c n } 中， c 4k -3 = 3 ， c 4k -2 = -2 ， c 4k -1 = - 31， c 4k = 2（k ∈ N * ）．5 分k +1k由 ∑ b i - c i ≥ ∑ b i - c i ，得项数m 越大，数列{b n } 和{c n } 的距离越大． i =1i =12 | y | ⨯ 032 | y |0 2 3 14由 ∑ b i - c i i =1= 7 ， 6 分334564⨯8647．得 ∑ b i - c i i =1 = ∑ b i - c i i =1= ⨯ 864 = 2016 3m所以当 m < 3456 时， ∑ b i - c i i =1< 2016 ．故 m 的最大值为 3455．8 分（Ⅲ）证明：假设 T 中的元素个数大于或等于 17 个．因为数列{a n } 中， a i = 0 或 1，所以仅由数列前三项组成的数组 (a 1 ，a 2 ，a 3 ) 有且只有 8 个： (0 ，0 ，0) ，(1，0 ，0) ， (0 ，1，0) ， (0 ，0 ，1) ， (1，1，0) ， (1，0 ，1) ， (0 ，1，1) ，(1，1，1) ．那么这 17 个元素（即数列）之中必有三个具有相同的 a 1 ， a 2 ， a 3 ．10 分设这三个数列分别为 {c n } ： c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 ， c 5 ， c 6 ， c 7 ； {d n } ：d 1 ，d 2 ， d 3 ， d 4 ， d 5 ， d 6 ， d 7 ； { f n } ： f 1 ， f 2 ， f 3 ， f 4 ， f 5 ， f 6 ， f 7 ，其中 c 1 = d 1 = f 1 ， c 2 = d 2 = f 2 ， c 3 = d 3 = f 3 ．因为这三个数列中每两个的距离大于或等于 3，所以{c n } 与{d n } 中， c i ≠ d i （ i = 4 ，5 ，7 ）中至少有 3 个成立．不妨设 c 4 ≠ d 4 ，c 5 ≠ d 5 ， c 6 ≠ d 6 ．由题意，得 c 4 ， d 4 中一个等于 0，而另一个等于 1.又因为 f 4 = 0 或 1，所以f4 = c4和f4= d4中必有一个成立，同理，得f5 = c5和f5= d5中必有一个成立，f6= c6 和f6= d6中必有一个成立，所以“fi = ci（i = 4 ，5 ，6 ）中至少有两个成立”或“fi= di（i = 4 ，5 ，6）中至少有两个成立”中必有一个成立．7 7所以∑ f i - c i ≤2 和∑ f i - d i ≤2 中必有一个成立．i =1 i =1这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16．13 分。

西城区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题及答案

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D）y3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图1 16. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1 （A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-FD P C B第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则c o s C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．F CADPMB E已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 2 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3)f x x x x =+- 23sin cos 1)x x x =+-13sin 222x x =………………4分πs i n (2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分 D所以 |22|λ-=，解得λλ=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =min()h x h =． ………………11分因为(1)0h =1<，且()h x 在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得3c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 22222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

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