2021年高二数学下学期第十四次周练试题
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
哈尔滨市第三十二中学校2021-2022学年度（下）学期高二数学期中试卷考生须知1．考生要认真填写班级和姓名。
2．本试卷共2页，分为两卷，第I 卷选择题12小题(共48分)；第II 卷非选择题2大题(共52分)。
满分100分。
考试时间70分钟。
3．试题所有答案必须书写在答题卡上。
4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
第I 卷选择题(共48分)一、单选题（共计12个小题，每小题4分）1．已知圆方程的圆心为（）A.(-2，4）B.(-1,2)C.(1,-2)D.(2,-4)2．P 是椭圆x 2+4y 2＝16上一点，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝（）A ．1B ．3C ．5D ．93．抛物线y 2＝8px （p ＞0），F 是焦点，则p 表示（）A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的C ．F 到准线距离的D ．F 到y 轴的距离4．已知数列通项公式a n ＝n 2﹣n +1，则a5＝（）A ．6B ．13C ．21D ．315．已知等差数列{a n }满足a 2+a 3+a 6+a 7＝2，则a 4+a 5＝（）A ．B ．1C ．D ．26．在等比数列{a n }中，a 1＝3，公比q ＝2，则a 4＝（）A ．24B ．48C ．54D ．667．已知f （x ）＝x 2，则f '（1）＝（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣28．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（）A．31B．32C．63D．649．若，则n＝（）A．4B．5C．6D．710．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（）A．54B．5C．5×4×3×2D．4511．展开式中第5项的系数是（）A．B．C．D．12．下列各式正确的是（）A．（e x•sin x）′＝e x（sin x+cos x）B．（（x+1）2）′＝2xC．（lnx）′＝lnxD．第II卷非选择题（共52分）二．填空题（共4小题，每小题4分）13．在等差数列{a n}中，a3＝3，公差d＝﹣2，则a6＝．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若S5＝7，S10＝21，则S15＝．15．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3＝3，S3＝9，则{a n}的公比为．16．函数f（x）＝x+3lnx的图象在点（1，1）处的切线斜率为三、解答题（共计4个小题，共计36分）17．从1，3，5三个奇数中取两个，再从0，2，4三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数，问：（1）能够组成多少个无重复数字的四位数？（2）能够组成多少个比3000大的四位奇数？18．从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．（Ⅰ）共有多少种不同的选择方法？（Ⅱ）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？19．求二项式（x2﹣）9展开式的第7项及含x9的项的系数．20．已知x＝3是函数f（x）＝x3﹣ax2﹣9x+1的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．202205高二数学期中考试答案1—12C ABCB ACACB BA13.﹣314.4215.﹣或116.4．17．解：（1）根据题意，分2种情况讨论：当取出的数字含0时，，当取出的数字不含0时，，故能构成108+72＝180个四位数．（2）根据题意，分3种情况讨论：当最高位为3时，有；当最高位为4时，有；当最高位为5时，有；则能构成12+24+12＝48个比3000大的奇数．18．解：（Ⅰ）根据题意，从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，是组合问题，其选择方法数为，（Ⅱ）根据题意，从6人中选出3人，其中没有女生入选的选择方法数为，所以至少有1位女生入选的选择方法数为20﹣4＝16．19．求二项式（x2﹣）9展开式的第7项及含x9的项的系数．解：展开式的第七项T7＝（x2）3•（﹣）6＝84x6＝，T k+1＝＝＝，令18﹣3k＝9，所以k＝3，所以含x9的项的系数为＝﹣．20．解：（1）∵x＝3是f（x）的一个极值点．∴f'（3）＝0．f'（x）＝3x2﹣2ax﹣9，∴f'（3）＝27﹣6a﹣9＝0，∴a＝3，经检验，a＝3符合题意．（2）f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1，∴f'（x）＝3（x﹣3）（x+1）．令f'（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上单增，（﹣1，0）上单减，∴f max（x）＝f（﹣1）＝6．又f（﹣2）＝﹣1，f（0）＝1．∴f min（x）＝f（﹣2）＝﹣1．。
2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二年级下册学期5月质量检测数学试题(A)【含答案】
2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二下学期5月质量检测数学试题（A ）一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ）R U ={}2P x x =≥{}4M x x =<()U P M = A ．P B ．M C ．D ．{}24x x ≤<{}4x x ≥【答案】A 【分析】求出，从而得到.U M (){}2U P M x x P ⋃=≥= 【详解】，.{}4U M x x =≥ (){}{}{}242U P M x x x x x x P⋃=≥⋃≥=≥= 故选：A2．设命题，则为（ ）:R,e cos(3)0xp x x ∀∈+-<p ⌝A ．B ．R,e cos(3)0xx x ∀∈+->R,e cos(3)0xx x ∀∈+-≥C ．D ．R,e cos(3)0xx x ∃∈+->R,e cos(3)0xx x ∃∈+-≥【答案】D【分析】全称量词的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】为“”.p ⌝R,e cos(3)0xx x ∃∈+-≥故选：D3．某次数学考试成绩近似服从正态分布，若，则可以估计考试成()270,X N σ~(60)0.872P X >=绩大于或等于80分的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由正态分布的对称性可知：，(80)(60)0.872P X P X <=>=故估计考试成绩大于或等于80分的概率为.(80)1(60)10.8720.128P X P X ≥=-<=-=故选：C4．某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x ）12345治愈人数（y ）51535？140由表格可得y 关于x 的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为3648ˆyx =-（ ）A ．105B ．104C ．103D ．102【答案】A【分析】设出第4周的治愈人数为，得到样本中心点，代入回归方程，即可求出.m m 【详解】设第4周的治愈人数为，m ，1234535x ++++==5153514019555m my +++++==样本中心点为1953,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭将代入中，，1953,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭3648ˆy x =-19536348605m+=⨯-=解得：.105m =故选：A5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取两张，若已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1133102166133【答案】D【分析】先根据题意及组合的意义，求得其中一张是A 牌的概率，两张都是A 牌的概率，从而再利用条件概率公式求得所求.【详解】依题意，不妨设事件为抽取的两张牌中其中一张是A 牌，事件为抽取的两张牌都是M N A 牌，则，，则，()222485248225252C C C 1C C P M -=-=()24252C C P N =()()24252C C P MN P N ==所以，()()2225244222225252485248C C C 61C C C C C 19833P MN P N M M==⨯===--故已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为.133故选：D.6．计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记12345678a a a a a a a a (1,2,3,4,5,6,7,8)k a k =1323，则当程序运行一次时，X 的均值为（ ）12345678X a a a a a a a a =+++++++A ．B ．C ．D ．8983163169【答案】C【分析】得到，利用二项分布求期望公式求出答案.28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭【详解】X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8，且的值即为1出现的次数，X 故，所以.28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭216833EX =⨯=故选：C7．给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小U ,A B A U ⊆B U ⊆A B 元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（ ）(,)A B U {1,2,3,4}U =U A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【详解】 时，的个数是 {}1A =B 123333 7C C C ++=，时，的个数是{}2A =B 1222 3C C ，+= 时，的个数是1，{}3A =B 时，的个数是}2{1A =，B 12223C C ，+= 时，的个数是1，{}13A =，B 时，的个数是1，}3{2A =，B 时，的个数是1，3{}12A =，，B 的有序子集对的个数为：17个，U ∴8．某生即将参加《奔跑吧兄弟》打靶比赛海选活动，每人有7次打靶机会，打中一次得1分，不中得0分，若连续打中两次则额外加1分，连续打中三次额外加2分，以此类推……，连续打中七次额外加6分，假设该生每次打中的概率是，且每次打中之间相互独立，则该生在比赛中恰好得237分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7623872366236723【答案】B【分析】考虑三种情况，求出每种情况下的概率，相加得到答案.【详解】若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，1343C C 4=436722241333⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次打中，两次没打中，且两次打中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭综上：该生在比赛中恰好得7分的概率为6558766722223333++=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“”是“”的充要条件||x y ≥22x y ≥B ．“”是“”的必要不充分条件21x ==1x -C ．若集合，，则{}2,Z P x x k k ==∈{}4,Z Q x x k k ==∈P Q⊆D ．对任意表示不大于x 的最大整数，例如，那么“”是“R,[]x x ∈[1.1]1,[ 1.1]2=-=-||1x y -<”的必要不充分条件[][]x y =【答案】BD【分析】A 选项，可举出反例；B 选项，解方程，得到，故B 正确；C 选项，根据集21x =1x =±合间的关系得到；D 选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案.Q P ⊆【详解】当时，满足，但不满足，故A 错误；1,0x y =-=22x y ≥||x y ≥，解得：，因为，但，故“”是“”的必要不充21x =1x =±=1=1x x -⇒±1x =±⇒1=-21x ==1x -分条件，B 正确；，其中为偶数，故，C 错误；{}(){}4,Z 22,Z Q x x k k x x k k ==∈==⨯∈2k Q P ⊆令，满足，但，，充分性不成立，0,0.5x y ==-||1x y -<[]0,[]1x y ==-[][]x y ≠由得：，故，必要性成立，[][]x y =11x y -<-<||1x y -<故“”是“”的必要不充分条件，D 正确.||1x y -<[][]x y =故选：BD10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．B ．C ．D ．5(1)512P X ==1(9)1024P X ==()5D X =5()2D X =【答案】AD【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求110,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 方差公式求出方差.【详解】设“向右下落”， “向左下落”，A =A =则，()()12P A P A ==因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，X A所以，于是，同理可得：110,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭ 9110115(1)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，A 正确，B 错误；9910115(9)C 22512P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭由二项分布求方差公式得：，C 错误，D 正确.115()101222D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭故选：AD11．下列选项中正确的有（ ）.A ．随机变量，则14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ ()318D X +=B ．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率A =B =()511P A B =C ．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量.ξ则的数学期望ξ()75E ξ=D ．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者34是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为2764【答案】AC【分析】对于A ，利用二项分布定义求解即可；对于B ，代入条件概率公式即可；对于C ，写出的所有可能取值，列出分布列计算即可；对于D ，代入次独立重复试验中恰好发生次的概率ξn k 公式即可．【详解】对于A ，随机变量服从二项分布，． X 14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ 118()4(1393D X ∴=⨯⨯-=则，故A 正确；(31)9()8D X D X +==对于B ，根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，(A |B)P B A 即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为，665511⨯-⨯=“两个点数都不相同”则只有一个6点，共种，12510C ⨯=故，故B 错误；10(|)11P A B =对于C ，的所有可能取值为0，1，2，ξ，273210()k kC C P k C ξ-==可得，，．1(0)15P ξ==7(1)15P ξ==7(2)15P ξ==的分布列ξξ012P115715715，故C 正确；1777()0121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=对于D ，某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者34是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为，故D 错误．123339(1)4464C ⨯⨯-=故选：AC ．【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、次独n 立重复试验中恰好发生次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析每一个选项即可．k 12．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中1A 2A 随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．()15|21P B A =()212|21P C A =C ．D ．()1742P B =()4384P C =【答案】BCD【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A ，B ；利用全概率公式计算，()1|P B A ()2|P C A ()P B 判断C ，D 作答.()P C 【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A 不正确；1A ()25127C 10|C 21P B A ==在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B 正确；2A ()1143227C C 12|C 21P C A ==因，，， 1253(),()88P A P A ==()110|21P B A =()24272C 6|C 21P B A ==则，C 正确；()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=因，， ()212|21P C A =()1152127C C 10|C 42P C A ==则，D 正确.()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=故选：BCD三、填空题13．已知集合，，若，则a 的取值范围是[],21A a a =-{}12B x x =-≤≤A B A = ________________．【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据交集运算的结果得到，从而得到不等式组，求出a 的取值范围.A B ⊆【详解】因为，所以，A B A = A B ⊆因为，，[],21A a a =-{}12B x x =-≤≤所以，解得：.211212a a a a <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦14．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料y （吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：x 3456y23m5根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为.75ˆ0ˆy bx =+(4,3)，则表中m 的值为__________．0.15-【答案】##3.8195【分析】先由样本处的残差求得，再由样本中心落在回归直线上得到关于的方程，(4,3)ˆ0.6b =m解之即可.【详解】因为回归方程为，在样本处的残差为，.75ˆ0ˆy bx =+(4,3)0.15-所以，得，()340.755ˆ0.1b-+=-ˆ0.6b =故回归方程为，0.6075ˆ.x y=+因为，，()13456 4.54x =⨯+++=()11023544m y m +=⨯+++=所以，解得，100.6 4.50.754m+=⨯+ 3.8m =故m 的值为.3.8故答案为：.3.8四、解答题15．如图，在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，则该智能汽车恰好能移动到点的概率为________________．(5,3)M【答案】##7320.21875【分析】将智能汽车的移动情况转化为组合问题，求出智能汽车移动的所有情况种数，再求出移动到点的情况种数，从而利用古典概率的概率的求法即可得解.(5,3)M 【详解】因为智能汽车每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，所以智能汽车可能在这8次移动中向上移动8次，向右移动0次，共有种情况，88C 智能汽车可能在这8次移动中向上移动7次，向右移动1次，共有种情况，78C 智能汽车可能在这8次移动中向上移动6次，向右移动2次，共有种情况，68C ……智能汽车可能在这8次移动中向上移动0次，向右移动8次，共有种情况，08C一共有种情况，876088888C C C C 2++++= 其中该智能汽车恰好能移动到点（记为事件），即在这8次移动中向上移动3次，向右移(5,3)M M 动5次，共有种情况，38876C 87321⨯⨯==⨯⨯⨯所以.()8877232P M ⨯==故答案为：73216．已知条件，条件q ：________________，若q 是p 的必要不充分条件，求:121p m x m -≤≤+实数m 的取值范围．试从下列两个条件中选择一个补充在上面横线处，并完成题目．（1）(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++（2）312x >-【答案】答案详见解析【分析】根据所选条件求得条件对应的的取值范围，结合必要不充分条件的知识列不等式，从qx 而求得的取值范围.m 【详解】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，q p p q设满足条件，的构成集合，则 ，其中.p qx ,A B A B {}121A m m m m =-≤≤+若选条件（1）：，(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++，解得，()()22280,28420x x x x x x -++>--=-+<24-<<x 所以，{}|24B x x =-<<当，即，时满足题意；A =∅211m m +<-2m <-当，即，时满足题意；..A ≠∅12121412m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->-⎩312m -<<综上所述，的取值范围是.m 3212m m <--<<或若选条件（2）：，312x >-，解得，()()332510520222x x x x x x x -+--==>⇔--<---25x <<所以，{}|25B x x =<<当，即，时满足题意；A =∅211m m +<-2m <-当，即，此时方程组无解；A ≠∅12121512m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->⎩综上所述，的取值范围是.m 2m <-17．已知命题p ：方程无解，命题恒成立．若命题p 和q 均为e xmx =2:(0,),10q x x mx ∀∈+∞++>假命题，求实数m 的取值范围．【答案】(],2-∞-【分析】得到有解，转化为与有交点，画出两函数图象，数形结合得到：e x mx =()e x f x =y mx =或，再根据题意得到为真命题，参变分离后得到e m ≥0m <2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤，得到，最后求交集得到实数m 的取值范围.12x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭2m ≤-【详解】命题p 为假命题，故方程有解，即与有交点，e x mx =()e xf x =y mx =画出与的图象，()e xf x =y mx =显然当时，与有交点，符合要求，0m <()e x f x =y mx=当时，令，则，设切点为，0m >()e x f x =()e x f x '=()00,e xx 则在的切线斜率为，()e x f x =()0,e x x ()0ex f x '=故在的切线方程为，()e xf x =()0,e x x ()00e e x x y x x -=-又切线过原点，故，解得：，()0000e e 0x x x -=-01x =所以在的切线斜率为，()e xf x =()0,e x x e故要想与有交点，需要满足，()e xf x =y mx =e m ≥综上：或，e m ≥0m <命题q 为假命题，故为真命题，2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤所以，1(0,),x m x x ⎛⎫∃∈+∞≤-+ ⎪⎝⎭其中，12x x ⎛⎫-≤-=- ⎪⎝⎭+故，2m ≤-将或与取交集得：实数的取值范围为.e m ≥0m <2m ≤-m (],2-∞-18．某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测．假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X 表示样本中合格品的件数．(1)求X 的分布列（用式子表示）和均值；(2)用样本的合格品率估计总体的合格品率，求误差不超过0.1的概率．参考数据：设．则(),0,1,2,,20k P X k p k ===⋯8910110.02667,0.06376,0.11924,0.17483p p p p ====121314150.20078,0.17972,0.12422,0.06530p p p p ====【答案】(1)分布列见解析，12(2)0.79879【分析】（1）根据题意得到随机变量服从超几何分布，得到分布列及数学期望；X （2）样本合格品率，故，再根据题目条件得到其概率，2020Xf =()()200.60.11014P f P X -<=≤≤得到答案.【详解】（1）由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次实验结果不相互独立，所以随机变量服从超几何分布.X 的分布列为；X ()20604020100C C ,0,1,220C k kP X k k -⋅=== 的均值为X ()602012100E X np ==⨯=.（2）样本中合格品率是一个随机变量，2020Xf =()()200.60.11014P f P X -<=≤≤，0.119240.174830.200780.179720.124220.79879=++++=所以误差不超过的概率为.0.10.7987919．某高科技公司对其产品研发年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x 12345y0.511.535.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为y bx a =+ebx ay +=年销售量y 关于年投资额x 的回归分析模型，经计算方案①为，请根据表2的数据，ˆ 1.2 1.3yx =-确定方案②的回归模型；表2：x 12345ln z y=-0.70.41.11.7(2)根据下表中数据，用决定系数比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更2R 可靠的模型，预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量．经验回归方程ˆ 1.2 1.3y x =-e bx ay +=()521ˆii i yy=-∑ 1.90.1122参考公式及数据：，()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑ ()() ()2222.86112221111.e 17.5nni ii ii i n n iii i y y y y R y y yny ====--=-=-≈--∑∑∑∑【答案】(1)；0.59 1.27e x y -=(2)选择方案②，理由见详解，17.5（千件）.【分析】（1）两边取对数，求出，，代入公式求出，ebx ay +=3x =0.5z =ˆ0.59b =，求出回归方程；ˆˆ 1.27a z bx =-=-（2）求出，计算出，得到案②的回归模型精度更高、更可靠，并代入求出预2.3y =2221R R >7x =测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.【详解】（1）对两边取对数得：，令，ebx ay +=ln y bx a =+ln z y =其中，，1234535x ++++==0.700.4 1.1 1.70.55z -++++==则，()222222ˆ0.5910.72030.44 1.15 1.7530.51234553b⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯-+==⨯⨯+++-⨯，ˆˆ0.50.593 1.27a z bx =-=-⨯=-所以，即；ln 0.59 1.27z y x ==-0.59 1.27ex y -=（2）方案①中，，ˆ 1.2 1.3yx =-0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()5221122512222220.51 1.53 5.551.9 1.91110.88316.32.35i ii ii y y R yy ==-=-=-=-≈-++++-⨯∑∑方案②中，同理可得：，0.59 1.27ex y -=0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()2212221550.1122110.99316.35i ii ii y y R yy ==-=-=-≈-∑∑显然，故方案②的回归模型精度更高、更可靠，2221R R >令中得：，0.59 1.27e x y -=7x =0.597 1.27 2.86e e 17.5y ⨯-==≈所以预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.20．某商场为了促销规定顾客购买满600元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小王购买了600元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，选择继续抽奖的概211,,323率均为，且每次是否抽中互不影响．12(1)求小王第一次抽中，但所得奖金归零的概率；(2)设小王所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)29(2)分布列见解析，数学期望为152【分析】（1）设出事件，分为两种情况，第一次抽中，第二次没抽中和前两次均抽中，第三次没抽中，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行求解；（2）写出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列及数学期望.【详解】（1）记小王第次抽中为事件，则有,,，并且i (1,2,3)i A i =()123P A =()212P A =()313P A =两两相互独立.123A A A ，，小王第一次抽中但奖金归零记为事件A ，则A 的概率()()()12123P A P A A P A A A =+.211211121132232239=⨯⨯-+⨯⨯⨯-=（）（）（2）小王所得奖金总数为随机变量，则的可能取值为0，10，30，60，X X ，()()122501399P X P A A ⎛⎫==+=-+=⎪⎝⎭，()()11211102323P X P A ==⨯=⨯=，()()12121111302322212P X P A A ==⨯=⨯⨯⨯=.()()123211111603222336P X P A A A ===⨯⨯⨯⨯=随机变量的分布列为X X103060P5913112136随机变量的数学期望.X ()51111501030609312362E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21．2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：潜伏期年龄长潜伏期非长潜伏期合计50岁以上3011014050岁及50岁以下204060合计50150200(1)依据小概率值的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？0.05α=(2)假设潜伏期Z 服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现()2,N μσμx 2σ2s 在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，()*∈N k k ()g k 当k 为何值时，取得最大值？()g k 附：．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.01x α2.7063.841 6.635若随机变量Z 服从正态分布，则，()2,N μσ()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈，．(22)0.9545P Z μσμσ-≤≤+≈(33)0.9973P Z μσμσ-≤≤+≈ 2.25≈【答案】(1)认为“长潜伏期”与年龄无关．(2)答案见解析(3)k ＝250【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论；（2）求出，由正态分布的对称性求出，根据小()27.1,2.25Z N ()10.997313.850.001352P Z -≥≈=概率事件得到相应结论；（3）表达出，得到，从而得到的单调性，得到取得最大值时()g k ()()11001113g k g k k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()g k ()g k k 的值.【详解】（1）零假设为H 0：“长潜伏期”与年龄无关，依据表中数据，得：，22200(304011020) 3.175 3.8411406050150χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，因此认为H 0成立，0.05α=故认为“长潜伏期”与年龄无关；（2）由题意知潜伏期，由，()27.1,2.25Z N ()10.997313.850.001352P Z -≥≈=得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；（3）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，14于是.()1000100013C44k kk g k -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，()()10001000100011001110001100013C C 1100144113C 313C 44kkk kk k k k g k g k k -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且时，；100104k <<N k *∈()()11g k g k >-当且时，；100110004k <≤N k *∈()()11g k g k <-∴，．()()()12250g g g <<< ()()()2502511000g g g >>>故当k ＝250时，g (k )取得最大值．五、双空题22．某生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道得2分，答错减1分，已知该生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，表示该生得分，则23X ____，__________()E X =()D X =【答案】 6 12【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再Y ()(),E Y D Y 由与的关系求得即可.X Y (),E X ()D X 【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，Y Y 26,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以，()()221464,63333E Y D Y =⨯==⨯⨯=又因为，()2636X Y Y Y =--=-所以，.()()363466E X E Y =-=⨯-=()()2439123D X D Y ==⨯=故答案为：6；12.。
河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理(原卷版)
1河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. 1B. 2D. 52. 若函数，则的值为（）A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（）A. 、、都不小于B. 、、都小于C. 、、至多有一个小于D. 、、至多有两个小于4. 已知，若a ，b ，，且，，，则的值（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定.5. 若离散型随机变量X 的分布列如表所示，则a 的值为（）X 12PA.或 B.C.D. 6. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）A. 68B. 68.3C. 68.5D. 707. 下列说法错误的是（）()1,2-z =()()2121262f x f x x '=-+-()2f '-2468a b c 6a b c ++=a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2()32f x x x =+R c ∈0a b +<0a c +<0b c +<()()() f a f b f c ++41a -23a a+132-132-120.6754.9y x =+2A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小B. 用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好C. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，则D. 对于独立性检验，随机变量的观测值k 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大8. 在一组样本数据，，，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. 1B.C.D. 9. 2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A 表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B 表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则（）A.B.C.D.10. 已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D. 11. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.A. B. C. D. 12. 已知函数，，若，则的最小值是（）A. B. 0C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 由直线和曲线所围图形的面积___________.14. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.2R 2R 35ζ7(2)1E ζ+=2K 11(,)x y 22(,)x y L (,)n n x y 2n ≥1x 2x n x (),i i x y ()1,2,,i n = 32y x =-+1-1515-()|P B A =172718383239,0(),0xx x x x f x xe x -⎧--≤=⎨->⎩()y f x a =+1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭1,5e⎛⎫- ⎪⎝⎭15,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭64111560144026402160()e xf x x =()lng x x x =()()(0)f a g b t t ==>1ln tab -21e -1e-32e -y x =2y x =()95,100N 100003则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.（参考数据：，）15. 若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.16. 在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.三､解答题：共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或验算步骤.17. 已知复数z 满足.（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18.用数学归纳法证明：．19. 已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.（1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项.20. 已知函数.（1）当时，求该函数在点处的切线方程；105()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈(3)(1)(1)(2)4ln(31)]4ln 4y x x x x x x =--++++-()1,02x ay =+=a n 0123L ()na b +{}n a 11a =211a =+312a =+L {}n a n n S 20243a m =+2022S =()13i i z +=+z ()2i z a +()()()()()*12213521n n n n n n n N ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈2nx ⎛⎝()()221ln af x x a x x=-+-1a =11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4（2）讨论函数的单调性.21.某工厂生产一种产品测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c ､d 为大于0的常数），求y 关于x 的回归方程；（2）已知产品的收益z （单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x 约为何值时（结果用整数表示），收益z 的预报值最大？附：（1）参考数据：，，，.（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.22. 已知函数，其中.（1）若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有两个极值点，且，当时，证明：.()f x ()mm x ()g y yx()g y ()mm x dy c x =⋅20.32z y x =-()61ln ln 75.3i i i x y =⋅=∑()61ln 24.6i i x ==∑()61ln 18.3i i y ==∑()621ln 101.4i i x ==∑(),i i v u (1,2,,)i n = u bv a =⋅+ ()()()1122111ˆnniii i i i nnii i v v uu v unvu b v v vnv====---==--∑∑∑∑ˆˆau bv =-e 2.7182≈21()e 312xf x ax ax =+++a ∈R [)1,-+∞()f x 12,x x 12x x <2131339x x +≤≤+1252ln36ln362x x ≤-≤+-。
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题一、单选题1．如图所示，散点图中需要去掉一组数据，使得剩下的四组数据的相关系数最大，则应去掉的数据所对应的点为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】D【分析】由相关系数的强弱关系求解即可【详解】由散点图可知，D 点偏离最远，所以去掉D 点后，剩下四组数据的相关系数最大． 故选：D2．已知2C 6n =，则n 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】()21C 6621n n n -=⇒=⨯，化简得：2120n n --=，解得：4n =或3n =-（舍去）.故选：B3．下列说法中错误的是（ ）A ．设()20,N ξσ~，且1(2)4P ξ<-=，则1(02)2P ξ<<= B ．经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x yC ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1D ．若变量x 和y 满足关系10.3y x =-，且变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关 【答案】A【分析】选项A 根据正态曲线的对称性求解；选项B 由经验回归方程可以判断；选项C 根据线性相关系数的定义判断；选项D 根据两个变量的相关关系进行判断. 【详解】对于A ，正态曲线关于0x =对称，则(2)(2)P P ξξ<-=>，则1(22)12(2)2P P ξξ-<<=-<-=，则1(02)4P ξ<<=，所以A 错误； 对于B ，经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x y ，B 正确； 对于C ，||r 越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，10.3y x =-，则x 与y 负相关，所以x 与z 负相关，D 正确. 故选：A.4．下列运算正确的个数是（ ） ①ππsin cos 77'⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()155x x x -'=⋅；③()31log ln3x x '=；④()545x x '=. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.【详解】①πsin 07'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以该运算错误；②()55ln 5x x '=，所以该运算错误；③()31log ln3x x '=，所以该运算正确；④()545x x '=，所以该运算正确. 所以正确的个数为2. 故选：B.5．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是（ ）A ．15B ．6C ．6-D ．15-【答案】C【分析】写出通项公式，令x 的指数为4，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()6621661C C 1--+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭kk k k kk k T x x x ，令624k -=，解得1k =，因此，展开式中4x 的系数是()116C 16⋅-=-. 故选：C.6．某校从高一、高二、高三三个年级中各选派10名同学集中观看“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，其中三个年级选派同学中女生人数分别为5、6、7，观看后学校在选派的30名同学中随机选取一名同学汇报心得体会，则在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．730B ．13C ．1130D ．718【答案】D【分析】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三， 则()5673305P A ++==，()730P AB =，因此，()()()75730318P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.7．随机变量X 的分布列为若() 1.1E X =，则()D X =（ ）A ．0.49 B ．0.69 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得,n m 的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：131510n ++=，解得：12n =；()11301 1.15210E X m ∴=⨯+⨯+⨯=，2m ∴=；()()()()2221130 1.11 1.12 1.10.495210D X ∴=-⨯+-⨯+-⨯=.故选：A.8．在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（ ） A ．48B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据排列组合的特点依照题意列式即可求解【详解】有题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品一件次品，第三次又是次品，所以第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数为：111242C C C 16=种，故选：C9．已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】画出()()、-f x f x 的图象， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要使()()f x f x =-恰有5个零点， ln y x =与y ax =-的图象必需有两个交点，求出ln y x =与y ax =-相切时a 的值可得答案.【详解】因为()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以(),0ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，()(),0ln ,0ax x f x x x -≥⎧-=⎨-<⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以()()、-f x f x 的图象恰有5个交点，画出()()、-f x f x 的图象，由图象可得， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要恰有5个零点，则y ax =与()ln y x =-，ln y x =与y ax =-的图象必有两个交点， 当ln y x =与y ax =-的图象相切时，设切点(),m n ， 此时切线的斜率为11'===ny x m m，可得1n =，1ln =m 得e m =，所以切点()e,1， 即1ea -=，交点1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题10．曲线e 1x y =+在点()0,2处的切线方程为___________. 【答案】2y x =+【分析】求导得e x y '=，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得e x y '=，故切线的斜率为0e 1=， 故切线方程为21(0)y x -=-， 即2y x =+． 故答案为：2y x =+ 11．设随机变量16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭ξ，则()2P ξ=等于___________. 【答案】1564【分析】根据二项分布的概率公式计算即可得解. 【详解】解：因为随机变量16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ， 所以()242611152C 12264P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1564. 12．已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生的概率为___________. 【答案】1645【分析】根据古典概型，结合组合数公式求解即可.【详解】从10名同学中任选2人，共有210C 45=种取法，其中恰好选取1名女生的取法有1182C C 16=种，故恰好选取1名女生的概率为1645P =. 故答案为：164513．根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为9,30下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为___________. 【答案】89【分析】设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，得到()P A ，()P AB ，结合()(|)()P AB P B A P A =，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，则34(),()1015P A P AB ==， 所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910P AB P B A P A ===. 故答案为：8914．若5个人排成一排照相，要求甲､乙两人必须相邻，则有___________种不同的排法（用数字作答）. 【答案】48【分析】用捆绑法求解即可【详解】因为把甲、乙两人必须相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和其他3人进行全排列，再考虑甲乙之间的顺序，所以共有4242A A 48=种，故答案为：48 三、双空题15．已知函数()()e 1xf x x =-，则()f x 的极小值为___________；若函数()12g x mx =-，对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是___________.【答案】 1- 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用导数可求得函数()y f x =的极小值；（2）由题意可得出()()min min f x g x >，分0m >、0m <、0m =三种情况讨论，根据题意可得出关于m 的不等式，进而可求得m 的取值范围.【详解】由()()e 1xf x x =-，得()()e 1e e x x x f x x x '=-+=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：所以，函数()y f x =的极小值为()()00e 011f =-=-；（2）[]12,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x >，即()()min min f x g x >，()()min min 1g x f x ∴<=-.①当0m >时，函数()y g x =单调递增，()()min 112g x g m =-=--，112m ∴--<-，即12m >； ②当0m <时，函数()y g x =单调递减，()()min 1222g x g m ==-，1212m -∴<-，即14m <-；③当0m =时，()12g x =-，不符合题意.综上：11,,42m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-；11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、解答题16．为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表：通过分析，发现商品的销售量y 与价格x 具有线性相关关系.(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程；（ˆb保留两位小数）(2)根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数）附：在经验回归方程ˆˆˆybt a =+中，552122111ˆˆˆ,,386,508.5ni ii i i ini i ii x y nxyb a y bx x y x xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】(1) 1.6524.5y x =-+；(2)预测销售量为12件时的售价是7.58元.【分析】（1）根据所给数据求出ˆb，ˆa ，即可得出回归直线方程； （2）根据回归方程，求出预测值即可. 【详解】(1)由题意知10x =，8y =，∴3865810= 1.65508.55100ˆb-⨯⨯≈--⨯，()8 1.651024ˆ.5a=--⨯=， ∴线性回归方程是 1.6524.5y x =-+；(2)令 1.6524.512y x =-+=， 可得7.58x ≈，∴预测销售量为12件时的售价是7.58元.17．已知函数()()22f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭(2)()max 9f x =，()min 3f x =-【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间； （2）分析函数()f x 在区间[]1,3-上的单调性，进而可求得函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值. 【详解】(1)解：()()23222f x x x x x =-=-，所以，()234f x x x '=-.由()2340f x x x '=->，解得0x <或43x >； 由()2320f x x x '=-<，解得403x <<， 所以()f x 的递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：由（1）可知，函数()f x 在[)1,0-上单调递增，在40,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()()00f x f ==极大值，()432327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值，又因为()13f -=-，()39f =，所以， 由（1）知0x =是()f x 的极大值点，43x =是()f x 的极小值点， 所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值432327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()13f -=-，()39f =，()max 9f x =，()min 3f x =-.(1)以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面22⨯列联表.(2)根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关. 下面的临界值表供参考：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++【答案】(1)答案见解析(2)有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关 【分析】（1）由已知计算填表即可；（2）计算2χ，再由独立性检验的基本思想求解即可 【详解】(1)由以上统计数据填写下面22⨯列联表，如下(2)根据公式计算()225010271039.98 6.63537133020χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关19．已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.【答案】分布列答案见解析，数学期望：97【分析】若选①，分别求出随机变量X 的取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，计算期望；若选②，则随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的概率公式列出分布列，计算期望. 【详解】若选①，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===；所以X 的分布列为期望()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 若选②，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3，且3~3,7X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()333640C 17343P X ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭， ()213331441C 177343P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()223331082C 177343X P ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3333273C 7343P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X ∴的分布列为：期望()37793E X =⨯=. 20．设函数()3x f x e ax =-+（a R ∈）.（1）讨论函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值是4，求a 的值.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）1e -【分析】（1）求得函数的导数()x f x e a '=-，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，此时最小值不满足题意；当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）()x f x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增；无极值当0a >时，()0f x '>，解得ln x a >，由()0f x '<，解得ln x a <.函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 的极小值为()ln ln 3f a a a a =-+，无极大值综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=，即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点.①当ln 1a ≤即0a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件.②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾. ③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增，则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34a f a e a a =-+=，即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()ln 0h a a '=-<，∴()h a 在()2,e e 上单调递减， 而()1h e =-，∴()h a 在()2,e e 上没有零点， 即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解.综上，实数a 的值为1e -.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用；本题属于难题.。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
的极大值点为 ，选项B判断错误；
函数 在（a，b）上的极值点为 ， 共2个.选项D判断正确；故选：D.
3.某铁球在 时，半径为 ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为 时铁球的半径为 ，其中a为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10.已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（）．
A. B. 是等比数列
C. D.
12.已知函数 （ ， 且 ），则（）
A.当 时， 恒成立
B.若 有且仅有一个零点，则
C.当 时， 有两个零点
D.存 ，使得 有三个极值点
〖答案〗AC
〖解析〗对于A， 即 ，两边取对数， ，
令 ， ，
单调递增； 单调递减；
的最大值为 ， ，A正确；
对于B，若 有且仅有一个零点，则 ，两边取对数，有： ，
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年
高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ,所以直线m与圆C相离，不合题意.
河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题(解析版)
A. 都小于 1 4
C. 都大于 1 4
【答案】B
B. 至少有一个不小于 1 4
D. 至少有一个不大于 1 4
【解析】
【分析】先求出 x y z 3 ，通过反证法证得 x, y, z 都小于 1 不成立，即可得出结果.
4
4
【详解】
x
y
z
a2
b
b2
c
c2
a
a
1 2
2
b
1 2
2
质：过圆
C 上一点 M (x0,
y0 ) 的圆的切线方程是 x0x
y0 y
r2 .类比上述结论，过椭圆 E : x2 12
y2 4
1 的点
P 3, 1 的切线方程为______.
【答案】 x y 4 0
【解析】
【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1上一点 P(x0,
【详解】∵ f x 2 a ln x ax ，
x
∴
f
x
2 x2
a x
a
，
∵曲线 y f x 在 x 1处的切线与直线 y 2 平行，
∴ f 1 0 2 a a 0 a 1．
故选：A﹒
5. 已知 a,b, c R ，且 x a2 b ， y b2 c ， z c2 a ，则 x, y, z 三个数（ ）
由不等式得性质，D 正确． 故选：D．
2. 已知 k R ，则“ 2 k 3 ”是“方程 x2 y2 1表示双曲线”的（ ） 6k k2
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知两个正态密度函数()()()2221,1,22πx i i i i x e x i μσϕσ--=∈=R 的图象如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ<C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>【答案】A【分析】正态曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠右，所以1ϕ图象的均值比2ϕ图象的均值小，又由σ越小图象越“瘦高”，得到正确的结果. 【详解】正态曲线关于直线x μ=对称，且在x μ=2πσ 由题图易得12μμ<，因为()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<. 故选：A.2．甲､乙､丙､丁四位同学各自对,x y 两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r ，如下表：甲 乙 丙 丁r0.20 0.95- 0.12- 0.85则试验结果中,x y 两变量有更强线性相关性的是（ ）A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】由相关系数的绝对值的大小判断．【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为0.95r =，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性． 故选：B ．3．6(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B【分析】根据二项展开式通项公式计算．【详解】()166C 2C 2rr rr r r T x x +==⨯， 所以2x 的系数是226C 260⨯=．故选：B ．4．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（ ） A ．13B ．514C ．1013 D ．58【答案】D【分析】根据已知条件及古典概型公式，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为A ， 设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为B ，所以()2529C 10C 45P AB ==，()225429C C 16C 45P B +==， 所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为()()()1054516845P AB P A B P B ===.故选：D.5．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y 与当天气温x （单位：C ）的对比表，已知表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ27ybx =+，则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为（ ） CA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】先求得ˆb的值，再据此模型计算出35C 时卖出奶茶的杯数. 【详解】由题可知1(510152025)155x =++++=，1(2620161414)185y =++++=，由ˆ181527b=+，可得3ˆ5b =-， 则3ˆ352765y=-⨯+= 则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为6. 故选：C6．函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则m 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[)2,1-C ．()2,1--D ．(]1,1-【答案】B【分析】根据f (x )的导数求f (x )的单调性和极值，作出f (x )简图，数形结合即可求m 的范围.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，易知()f x 在(),1-∞-，()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 又()22f -=-，()12f -=，12f ，()2f x =，故f (x )图像如图：函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则由图可知21m -≤<.故选：B.7．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ） A ．120B ．112C ．110 D ．16【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共55A 120=个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.24C ?16=因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有24C 6=个，所以所求的概率6112020P ==． 故选：A ．8．已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得导函数在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有两个零点，根据二次函数的性质可得3182a <<，由根与系数的关系可得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩以及21324x <<，求出()12f x x 的表达式，将1x 用2x 表示，表示为关于2x 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【详解】由题意得()()222220a x x af x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=，得2220x x a -+=，由题意知2220x x a -+=在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个根1x ，2x ，∴20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩，得3182a <<．由根与系数的关系得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由求根公式得1,2x ==， ∵12x x <，∴2x =，∵3182a <<，∴21324x <<．则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭，令21t x =-，则1142t <<． 设()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭，则()12ln g t t '=+，易知()g t '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()12ln 12ln 2ln 04eg t t '=+<-=<，∴当1142t <<时，函数()g t 为减函数， ∴()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-，且()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-，∴()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数a 的取值范围，以及1x 与2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于2x 的函数，构造出21t x =-，利用导数判断单调性.二、多选题9．已知随机变量,X Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ，则下列选项正确的有（ ）A ．()6E x =B ．()6E Y =C ．() 2.4=D XD ．() 2.4D Y =【答案】ACD【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解.【详解】因为()10,0.6XB ，所以()100.66E x =⨯=，故A 正确；所以()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=，故C 正确； 又因为8X Y +=，所以8Y X =-,所以()()()88862E Y E X E X =-=-=-=，故B 不正确； 所以()()()()2811 2.4 2.4D Y D X D X =-=-=⨯=，故D 正确. 故选：ACD.10．已知(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】BCD【分析】利用二次项系数的性质即可求解.【详解】因为(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数5C n 最大，则n 的值可以为9或10或11.当9n =时，(2)n a b +的展开式共有10项，其中第5项与第6项的二项式系数相等且最大，满足题意，当10n =时，(2)n a b +的展开式共有11项，只有第6项的二项式系数最大，满足题意， 当11n =时，(2)n a b +的展开式共有12项，其中第6项与第7项的二项式系数相等且最大，满足题意， 故选：BCD.11．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为( ) A ．1127510C C C B ．312213757575C C C C C C ++ C ．4441275C C C -- D ．()112112756464C C C C C C ++【答案】BC【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为312213757575C C C C C C ++．(2)任选4人的方法种数为412C ，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为4475C C +，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为4441275C C C --． 故选：BC ．12．记()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '<<-对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（ ） A ．()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．()()1122f f < C ．()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D ．()()111242f f <+ 【答案】BC【分析】对于AB ，构造函数()()f x F x x=，求导，借助单调性比较大小即可；对于CD ，构造函数()2()=f x xh x x -，求导，借助单调性比较大小即可. 【详解】解：因为()()f x f x x <'，所以()()0f x x f x '->，则()()()()2=0f x f x x f x F x x x ''-⎡⎤'=>⎢⎥⎣⎦，所以()()f x F x x =在()0,x ∈+∞单调递增，所以()112F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()112112f f ⎛⎫⎪⎝⎭>，所以()1122f f⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 错误；同理()()21F F >，即()()2121f f >，所以()()1122f f <，故B 正确；因为()()2xf x f x x '<-，所以()()20xf x f x x '-+<，构造函数()2()=f x xh x x -，则()()()232()==0f x x xf x f x xh x x x ''--+⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，所以()2()=f x x h x x -在()0,x ∈+∞单调递减，所以1(1)()2h h <，即()111f -112214f ⎛⎫-⎪⎝⎭<，化简得()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 正确；同理(2)(1)h h <，即()224f -()111f -<，化简得()()111242f f >+，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知2()1f x x =-，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】求出导函数，直接代入.【详解】因为2()1f x x =-，所以()2f x x '=，所以12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭1.故答案为：114．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=． 故答案为：415．若方程：12348x x x x +++=，则方程的正整数解的个数为___________. 【答案】35【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有37765C 35321⨯⨯==⨯⨯种.故答案为：35.16．已知函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，则m 的取值范围为___________. 【答案】35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】()f x 与()g x 的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程()()0f x g x -=在区间[]1,3内有解，即方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解，所以构造函数()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈，利用导数的知识点求出()h x 的值域即可求出答案【详解】函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程27ln 03x x x m -+-=在区间[]1,3内有解， 所以方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解. 令()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈， 所以()()()23123176732333x x x x h x x x x x+--++'=-+==-令()0h x '=，解得13x =-或32x =所以当[]1,3x ∈时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：由上表可知()413h =，()43ln 323h =-<，又335ln 224h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当[]1,3x ∈时，()h x ∈35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故m 的取值范围是35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦四、解答题17．（1）若282828x x C C -=，求x 的值；（2）求3334510C C C +++的值.【答案】（1）8或12；（2）329.【分析】（1）根据组合数的定义及组合数的性质1即可求解； （2）根据组合数的定义及组合数的性质2即可求解；【详解】（1）由282828x x C C -=，得282828N 28x x x x x +⎧⎪⎪⎨≤-≤∈-=⎪⎪⎩或282828N 2828x x x x x +≤-≤∈-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得8x =或12x =；实数x 的值为8或12.（2）由组合数的性质知，333333451045410444C C C C C C C C =++++++-+44344446643413355101140C C C C C C C 329C C C =-=++-=-+++=+.所以3334510C C C +++的值为329.18．袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X ，求X 的分布列和期望； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列和期望. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：23(2)分布列答案见解析，数学期望：23【分析】（1）根据题意X 满足二项分布，建立二项分布模型，得到X 的可能取值，利用二项分布计算概率，列出分布列即可；（2）根据题意可得Y 满足超几何分布，得出Y 的可能取值，分别计算其概率，列出分布列即可求得.【详解】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X 的可能取值为0,1,2， 其中每次抽取到黑球的概率均为13，所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，可得：()02021140C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()121141C 1339P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()2221112C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列为：23E X； (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y 的可能取值为0,1,2，可得()()()21126633222999C C C C 5110,1,2C 12C 2C 12P Y P Y P Y =========，所以随机变量Y 的分别列为：()152********12E Y =⨯+⨯+⨯=. 19．已知函数()31443f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，求实数a 的范围. 【答案】(1)增区间：（(),2),2,∞∞--+；减区间：（2,2)- (2)428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）对函数求导，解导函数大于零得增区间，解导函数小于零得减区间；（2）根据()f x 单调性、极值画出函数()31443f x x x =-+的图像，结合图像，根据直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，可求得实数a 的范围.【详解】(1)因为()31443f x x x =-+，所以()24=(2)(2)f x x x x '=-+-，由()0f x '>，解得2x >或2x <-，所以()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞ 由()0f x '<，解得22x -<<，所以()f x 的减区间为(2,2)-， 综上，()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞，减区间为(2,2)-； (2)由（1）知，当2x =-，函数取得极大值28(2)3f -=，当2x =，函数取得极小值4(2)3f =-，根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，结合图像知42833a -<<. 20．在二项式12nx x ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)7212T =(3)7212T =【解析】（1）选择①：01246n n n C C C ++=，即()11462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去）.选择②：024...256n n n C C C +++=，即12256n -=，解得9n =.展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，5452359163216T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，45354226916328T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)展开式的通项为()93189922199122kk k k k k k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令31802k -=，得6k =，所以展开式中常数项为第7项，常数项为63792122T C -=⨯=； (3)由展开式的通项为()93189922199122kk k k kk k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，假设第1k +项系数最大，则910199981992222k k k k k k k k C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，解得172033k ≤≤，且0,1,,9k =，所以6k =，即系数最大项为7212T =. 21．第24届冬季奥林匹克运动会（ The XXIVO lympic WinterGames ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪之外的所有雪上项目.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表.(1)先完成22⨯列联表，并依据0.005α=的独立性检验，分析该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别是否有关；(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 【答案】(1)列联表答案见解析，该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关 (2)①910；②25【分析】（1）根据公式可求计算2χ的值，根据临界值表可得相应结论.（2）①根据古典概型的概率公式结合组合计数方法可求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②根据二项分布的期望公式可求X 的数学期望.【详解】(1)零假设0H ：该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别无关（独立），根据所给数据得220.005400(1409011060)9.67.879250150200200x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯， 并依据0.005α=的独立性检验，零假设0H 不成立，即该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. (2)①采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为2:3，故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，则“男､女生至少各抽到一名”的概率为3335C 1911C 1010-=-=； ②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为25054008=，可知540,8XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()540258E X =⨯=.22．已知函数()x 2e 24f x mx mx =--，其中R m ∈．(1)若函数()f x 在[)1,+∞单调递增，求m 的取值范围； (2)已知函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），当211351x x +≤≤+时，求12x x +的取值范围．【答案】(1)e 8m ≤;(2)3ln 52ln 32,2]2[--.【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可； （2）根据所给极值点得出21211e1x x x x -+=+，换元后可得12(1)ln 2,1t tx x t ++=--构造函数，利用导数研究函数单调性，由单调性求范围即可. 【详解】(1)()2e 24x f x mx mx =--，()e 44x f x mx m '∴=--，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，()e 440x f x mx m '∴=--≥在[)1,+∞上恒成立， 即e 41xm x ≤+在[)1,+∞上恒成立，令e ()1x h x x =+，则[)1,x ∞∈+时，2e ()0(1)x x h x x '=>+， 所以e ()1xh x x =+在[)1,x ∞∈+时，单调递增，所以min e ()(1)2h x h ==，所以e42m ≤，即e 8m ≤.(2)因为函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），所以1212e 440e 440x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得21211e 1x x x x -+=+，令2111x t x +=+，则[]3,5t ∈，所以111e ,tx x t t -+-=取对数可得111ln ,tx x t t -+-=12ln ln 1,111t t t x x t t ∴+=+=--，12(1)ln 2,1t tx x t ++=-- 令(1)ln ()21t tm t t +=--，则212ln ()(1)t t t m t t --'=-， 令1()2ln n t t t t =--，则22221(1)()10t n t t t t -'=-+=>， 所以()n t 在[)1,t ∈+∞上单调递增，因为(1)0n =，所以()0n t >在[]3,5t ∈恒成立，所以()0m t '>在[]3,5t ∈恒成立，所以(1)ln ()21t tm t t +=--在[]3,5t ∈上单调递增， 所以(3)()(5)m m t m ≤≤，即3ln 52ln 32()22m t -≤≤-， 即 123ln 52ln 32,2]2[x x ∈-+- 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出21211e 1x x x x -+=+，进而换元2111x t x +=+，求出12(1)ln 2,1t t x x t ++=--构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出12x x +的范围.。
2021年高二数学第14周第2次小题单(选修2-2、2-3、4-4综合)理
2021年高二数学第14周第2次小题单（选修2-2、2-3、4-4综合）理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，把单项答案填在括号内）1．如图，复平面上的点到原点的距离都相等．若复数所对应的点 为，则复数的共轭复数所对应的点为（ ）． A ． B. C ．D ．【解析】选C.2．已知，那么n 的值是( ）A.12B.13C.14D.15【解析】选C.3．极坐标系中，过点P (1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( )A ．ρ＝sin θ＋cos θB ．ρ＝sin θ－cos θC ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】 答案D4．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10[解析] 答案C x 3的系数就是(1＋x )6中的第三项的系数，即C 26＝15.设M (ρ，θ) 为直线上任意一点，则在△OPM 中，由正弦定理得ρsinπ4＝1sinθ－π4，∴ρ＝1sin θ－cos θ.5．将曲线x 23＋y22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y变换后的曲线的参数方程为( )x yZ 3Z 1Z 4OZ 2A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】答案D x 23＋y 22＝1→3x ′23＋2y ′22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ6.投掷红、蓝两个骰子,事件A=“红骰子出现4点”,事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”, 则P(A|B)= ( ) A.B.C.D.【解析】选A.7．.由“若，则”推理到“若，则”是（ ）A .归纳推理B .类比推理C .演绎推理D .不是推理 【解析】选B.8.某厂采用节能降耗技术后生产某产品的产量x(吨)与消耗的标准煤y(吨)如表所示:x 3 4 5 6 y2.53a4.5根据上表,得到线性回归方程为=0.7x+0.35,则实数a= ( ) A.3B.3.5C.4D.5【解析】选C.由数据可知:==4.5,==,代入=0.7x+0.35,可得=0.7×4.5+0.35,解得a=4.9．已知，则的最大值为（ ）A ．25B ．18C ．36D ．42 [解析] 答案C10．若上是减函数，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．[解析] 答案C11．把15个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是( )A ．56B ．72C ．28D ．63[解析] 答案C 先给1号盒子放入1球，2号盒子放入2球，3号盒子放入3球，再将剩余9个小球排成一列，之间形成8个空档，从中任意选取2个空档用插板隔开，依次对应放入1、2、3号盒子中，则不同放法种数为C 28＝28种．12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数，对于任意实数x 都有，则 的最小值为( )A ．3 B.52 C ．2 D.32【解析】选C.＝2ax ＋b ，＝b ＞0.又⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ≤0，∴b 2≤4ac ，∴b 4a ≤cb，∴＝a ＋b ＋c b ＝1＋a b ＋c b ≥1＋a b ＋b4a ≥1＋214＝2，当且仅当b ＝2a ，a ＝c 时取“＝”．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若没有极值，则的取值范围为 . 【解析】答案14．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】答案ρsin(θ＋π4)＝ 2由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin(θ＋π4)－2＝0，化简得ρsin(θ＋π4)＝ 2.15．已知，函数定义域中任意的，有如下结论： ①；②；③ ④ 上述结论中正确结论的序号是 . 【解析】答案①③16.幂指函数y=[f(x)]g(x)在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g(x)·lnf(x)，两边同时求导得：,于是y ′=［f(x)］g(x)[g ′(x)lnf(x)+g(x)]， 运用此方法可以探求得知y= (x ＞0)的一个单调递增区间为_ __. 【解析】答案(0,e)对y=两边取对数可得ln y=ln x.两边同时求导可得·y ′=.于是y ′ =.令y ′>0求得0<x<e ，即单调递增区间是(0,e).三、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.对于三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数f(x)的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f ″(x)=0有实数解x 0，则称点(x 0，f(x 0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3-x2+3x-，请你根据这一发现，(1)探讨函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心.(2)计算f+f+f+f+…+f.【解析】(1)f′(x)=x2-x+3，f″(x)=2x-1，令f″(x)=0⇒x=，f()=1.函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.(2)由(1)知，计算f+f=2⇒f(x)+f(1-x)=2⇒f+f=2，f+f=2，…所以f+f+f+f+…+f=xx.18．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.P(K2≥k)0.050.01k 3.841 6.635[解析] (1)25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率14.由题意知X ～B (3，14)，从而X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964 164E (X )＝np ＝3×14＝34. D (X )＝np (1－p )＝3×4×4＝16.19.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及数学期望.[解析] （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为. （Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴即的分布列是0 2 4 6 8∴的期望是0246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．(1)求该学生考上大学的概率．(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．[解析] (1)记“该学生考上大学”为事件A ，其对立事件为A ，则P (A )＝C 14(13)(23)3(23)＋(23)4＝64243＋1681＝112243.∴P (A )＝1－P (A )＝1－112243＝131243. (2)该生参加测试次数ξ的可能取值为2、3、4、5.P (ξ＝2)＝(13)2＝19，P (ξ＝3)＝C 12·13·23·13＝427， P (ξ＝4)＝C 13·13·(23)2·13＋(23)4＝427＋1681＝2881，P (ξ＝5)＝C 14·13·(23)3＝3281. 故ξ的分布列为E (ξ)＝2×19＋3×427＋4×2881＋5×81＝81. 21.设函数f(x)=1+(1+a)x-x 2-x 3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.(2)当x ∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时x 的值. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f ′(x)=1+a-2x-3x 2, 令f ′(x)=0得x 1=,x 2=,x 1<x 2,所以f ′(x)=-3(x-x 1)(x-x 2),当x<x 1或x>x 2时f ′(x)<0; 当x 1<x<x 2时f ′(x)>0.所以f(x)在和内单调递减, 在内单调递增.(2)因为a>0,所以x 1<0,x 2>0.①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时,x 2<1,由(1)知,f(x)在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减. 所以f(x)在x=x 2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a, 所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值; 当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值; 当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.22.已知，其中.(1)若曲线在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求的解析式； (2)讨论的单调性；(3)若对任意的a ∈，不等式f (x )≤10在上恒成立，求b 的取值范围． 【解析】(1)＝1－a x2，∵＝3，∴a ＝－8.由切点P (2，f (2))在y ＝3x ＋1上，可得b ＝9.∴的解析式为＝x －8x＋9.(2)＝1－ax2，当a ≤0时，显然＞0(x ≠0)，这时在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，由＝0，得x ＝±a . x (－∞，－a )－ a (－a ，0) (0，a ) a (a ，＋∞)＋ 0 － － 0 ＋∴在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数，在(－a ，0)和(0，a )上是减函数． (3)由(2)知，在上的最大值为与f (1)中的较大者．对任意的a ∈，不等式f (x )≤10在上恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f 1≤10，即 ⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对任意的a ∈成立，从而得b ≤74. ∴满足条件的b 的取值范围是.（附加）23．在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【解】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.28241 6E51 湑=30389 76B5 皵 33599 833F 茿40296 9D68 鵨22521 57F9 培+631366 7A86 窆234045 84FD 蓽23414 5B76 孶_。
2021-2022学年山西省吕梁市汾阳市第四校高二年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年山西省吕梁市汾阳市第四高级中学校高二下学期期中数学试题一、单选题1．38610A C -=（ ）A ．75B ．30C ．-25D ．-70【答案】A【分析】依据排列数公式和组合数公式去求38610A C -的值即可.【详解】3832610610109A C A C 654752⨯-=-=⨯⨯-=． 故选：A2．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A ，B ，C 三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ） A ．12种 B ．16种C ．64种D ．81种【答案】C【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有44464⨯⨯=种． 故选：C3．如图5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．相关指数2R 变大C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】C【分析】去掉离群点D 后，结合散点图对各个选项进行判断得解.【详解】解：由散点图知，去掉离群点D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r 的值变大，故选项A 正确；相关指数2R 的值变大，残差平方和变小，故选项B 正确，选项C 错误； 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，故选项D 正确. 故选：C ．4．()()621x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．50 B ．20 C ．10 D ．5-【答案】C【分析】()()()()66621211x x x x x -+=+-+，用二次通项公式即可求解 【详解】解析：()()()()66621211x x x x x -+=+-+，∴展开式中4x 的系数为43662C C 2152010-=⨯-=．故选：C5．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()15P X P X <-=>，则μ=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据正态曲线的性质即可求解. 【详解】由随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，()()15P X P X <-=>，由正态曲线的对称性知，对称轴为()5122μ+-==， 所以2μ=. 故选：C.6．根据如下样本数据：得到经验回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ）A ．ˆ0a <，ˆ0b < B ．ˆ0a>，ˆ0b > C ．ˆ0a <，ˆ0b > D ．ˆ0a>，ˆ0b < 【答案】D【分析】由数据知变量y 随着x 的增大而减小，确定ˆ0b<，再由回归直线过中心点确定a 的正负． 【详解】由图表中的数据可得，变量y 随着x 的增大而减小，则ˆ0b<， 357964x +++==， 6.554 2.5 4.54y +++==， 又回归方程y bx a =+经过点(6,4.5)，可得0a >， 故选：D ．7．甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有（ ） A ．12种 B ．48种 C ．72种 D ．120种【答案】C【分析】根据不相邻问题插空法求解即可得答案.【详解】解：先安排丙、丁、戊三人，共有336A =种方案，再将甲、乙两人安排到丙、丁、戊三人形成的4个空位的其中两个中，有2412A =种方案，所以甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有12672⨯=种方案. 故选：C8．某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X 表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X =（ ）A ．35B ．12C ．23D ．65【答案】C【分析】先计算出X 为0，1，2的概率，再按照期望公式计算即可.【详解】由题意知：X 的取值为0，1，2，2426C 2(0)C 5P X ===，112426C C 8(1)C 15P X ===，2226C 1(2)C 15P X ===， 故()2812012515153E X =⨯+⨯+⨯=.故选：C.9．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ）A ．13B ．12C ．5D ．4【答案】C【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案.【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C .【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力. 10．为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学.现有理科语文､数学､英语､物理､化学､生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为（ ） A ．720 B ．504 C ．480 D ．360【答案】B【分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有55120A =种方法； ②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有4424A =种方法所以共有：4424384⨯⨯=种方法 所以总的排列数为504. 故选：B.11．下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()()22,,40.8N P X σ<=，则()240.2P X <<=B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y a bx =+，若2,1,3b x y ===，则ˆ1a =-D ．若样本数据121021,21,,21x x x +++的方差为8，则数据1210,,x x x 的方差为2【答案】D【分析】利用正态分布的对称性可以求得()24P X <<的值，进而判定A ，根据相关系数的意义可以判定B ，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C ，利用方差的性质可以求得数据1210,,x x x 的方差，进而判定D.【详解】解：A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=， 所以()04120.20.6P X <<=-⨯=， ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强， 反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a y bx =-=，故C 错误；D. 设数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2S ，则样本数据121x +，221x +，…，1021x +的方差为2228S ⨯=，则22S =，即数据1210,,x x x 的方差为2，故D 正确. 故选：D.12．志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ） A ．240种 B ．408种 C ．1092种 D ．1120种【答案】B【分析】首先安排除甲乙丙外的3名志愿者，再分两类：乙丙中间不恰好为甲、乙丙中间恰好为甲分别求安排方案数，最后加总即可.【详解】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有33A 种，再分两类讨论： 第一类：2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有24A 种， 3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有15C 种， 第二类：2、将甲安排在乙丙中间有22A 种，3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有14C 种，所以不同的方案有33A (24A 121524)408C A C +=种.故选：B二、填空题13．已知离散型随机变量X 的分布列如下表，则()E X =_________.【答案】13-【分析】根据分布列利用期望的公式求解即可.【详解】解：由分布列可知()()11111012363E X =-⨯+⨯+⨯=-，故答案为：13-.14．若身高x （单位:m ）与体重y （单位:kg ）之间的回归直线方程为85y x a =-（a R ∈），样本点的中心为()1.2,30，当身高为1.7m 时，预计体重为______kg . 【答案】72.5【分析】将样本中心点代入方程得到72a =，再取 1.7x =计算得到答案.【详解】将样本中心点代入方程得到3085 1.2a =⨯-，故72a =，故8572y x =-， 当 1.7x =时，72.5y =. 故答案为：72.5.【点睛】本题考查了回归方程和估计，意在考查学生的应用能力.15．已知二项式2nx⎛ ⎝的展开式中共有7项，所有项的系数和为_________.【答案】1【分析】根据题意可得6n =，令1x =即可得到所有项系数之和.【详解】由已知可得，展开式中共有17n +=项，所以6n =，即二项式为62x⎛⎝，令1x =，可知所有项系数之和为()6211-= 故答案为:116．在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率是_________．【答案】35【分析】本题首先要明确未抽取前理科题和文科题各多少道，然后明确第1次抽到理科题后理科题和文科题各剩多少道，即可得出第2次抽到理科题的概率．【详解】因为一共6道题，其中有4道理科题和2道文科题，第1次抽到理科题， 所以第1次抽取后还有3道理科题和2道文科题，所以第2次抽到理科题的概率为35．【点睛】本题考查条件概率的相关性质，主要考查学生对条件概率的理解，考查推理能力，体现了基础性，是简单题．三、解答题17．已知3nx⎛⎝的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求n 的值； (2)求展开式中含21x 的项． 【答案】(1)10； (2)21405x ⋅；【分析】(1)利用二项式系数的性质即可求出n 的值； (2)求出展开式的通项公式，然后令x 的指数为2-即可求解． 【详解】（1）∵(3n x的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，则162n+=，解得10n =；（2）二项式的展开式的通项公式为3101010211010(3)(3(1)r r rrr rrr T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅-，令31022r-=-，解得8r =， ∴展开式中含21x的项为828210213(1)405C x x -⋅⋅-=⋅． 18．随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x （单位：百元）与销量y （单位：个）的相关数据如下表：(1)已知销量y 与单价x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？（结果保留到整数）， 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bx xnx ==-==--∑∑.参考数据：5521121200,8250i i ii i x y x ====∑∑. 【答案】(1)ˆ 3.2238yx =-+； (2)确定单价为50百元时，销售利润最大.【分析】（1）根据参考公式和数据求出ˆˆ,ba ，进而求出线性回归方程； （2）设出定价，结合（1）求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案. 【详解】（1）由题意，303540455040,5x ++++==14013011090801105y ++++==，则554011022000xy =⨯⨯=，2255408000x =⨯=，结合参考数据可得21200ˆ 3.28250800022000b-==--，ˆ110 3.240238a=+⨯=，所以线性回归方程为ˆ 3.2238y x =-+. （2）设定价为x 百元，利润为()f x ，则()()()23.223825 3.23185950f x x x x x =-+-=-+-，由题意25x ≥，则31849.6875503.22x =-=≈-⨯（百元）时，()f x 最大.故确定单价为50百元时，销售利润最大.19．2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ1.15yx a =+． (1)求ˆa； (2)已知()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑，且当20.9R ≥时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（2R 的结果保留到小数点后两位） 参考数据：()721ˆ52.36i i i y y=-=∑． 【答案】(1)136.55-；(2)该线性回归方程的拟合效果是良好的.【分析】（1）根据表中的数据，求出样本中心，代入回归直线方程，即可求出ˆa； （2）利用（1）中的结论以及题中的参考数据，求出相关的数据，代入R2的计算公式，求出R2的值，即可判断得到答案. 【详解】（1）由题意可得，1661731851831781801741777x ++++++==，57675975716776772y +++++==+，又y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ1.15y x a =+，所以ˆ= 1.1567 1.15177136.55a y x -=-⨯=- （2）由题意，()()()()2222222271100884511407i i y y=-=-++-+++-+=∑所以()()22121ˆ52.36110.870.9407ni i i nii y yR y y ==-=-=-≈<-∑∑，所以该线性回归方程的拟合效果是良好的.20．一个盒子里有大小相同的3个红球和3个黑球，从盒子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分. （Ⅰ）若从盒子里一次随机取出了3个球，求得2分的概率;（Ⅱ）着从盒子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望. 【答案】（Ⅰ）920（Ⅱ）分布列见解析，数学期望32【分析】（Ⅰ）以事件A 表示“取出的球中有2个红球和1个黑球”，计算概率得到答案； （Ⅱ）根据题意知13,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（Ⅰ）设“一次随机取出3个球得2分”的事件记为A ，它表示取出的球中有2个红球和1个黑球的情况，则()213336920C C P A C ==. （Ⅱ）由题意ζ的可能取值为0､1､2､3.因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为12，每次取到黑球的概率为12. 则13,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()3310,1,2,32k P k C k ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ξ∴的分布列为所以随机变量ζ的数学期望()3313=1238882E ξ⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了概率，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.21．常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()n a b c d=+++．临界值表：【答案】(1)表格见解析，没有；(2)分布列见解析，数学期望9 5 .【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求2K，即可判断；（2）根据分层抽样的特点求得抽取10人中男生和女生的分布情况，再求得X的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求数学期望即可.【详解】（1）由得分情况的频数分布表得22⨯列联表如下：未能掌握 基本掌握 合计 女生 25 33 58 男生 15 27 42 合计 4060100故()22100252733150.55440604258K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为0.554 3.841<，所以没有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中， 女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人． 在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3，所以()03643101030C C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===，所以随机变量X 的分布列为 X 01 2 3P 1303101216所以()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 22．某次考试中，英语成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如下.(1)如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布）(2)如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．附公式：若x ～2(,)N μσ，则()0.68P x μσμσ-<≤+=，(22)0.96P x μσμσ-<≤+=. 【答案】(1)英语成绩特别优秀的有10人，数学成绩特别优秀的有12人； (2)分布列见解析，数学期望为95.【分析】（1）根据参考数据，求得英语成绩在大于135的概率，再乘以500求得人数； 根据频率分布直方图，求得数学成绩特别优秀的频率，再求频数即可； （2）根据题意求得X 的取值，结合题意分别求得对应概率，再求数学期望即可. 【详解】（1）100,17.5μσ==，(1003510035)(65135)0.96P X P X -<≤+=<≤= 1(135)(10.96)0.022P X ∴>=-=，故英语成绩特别优秀的有5000.0210⨯=人.由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为150.0016200.02420⨯⨯= 故数学成绩特别优秀的有5000.02412⨯=人. （2）依题意：0,1,2,3X =，343101(0)30C P X C ===，12643103(1)10C C P X C ===，21643101(2)2C C P X C ===，363101(3)6C P X C ===其分布列为：()E X =1311901233010265⨯+⨯+⨯+⨯=.。
2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)
一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。
2021-2022学年天津市第四中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市第四中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．2【答案】D【分析】先求导数，根据()20f '=求得c ，再代入验证是否满足题意.【详解】()()222342128=02f x x cx c f c c c ''=-+∴=-+∴=或6c =当6c =时，()2324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当2x <时()0f x '>，当26x <<时()0f x '<，函数()f x 在2x =处取极大值，不符题意，舍去；当2c =时，()2384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2x >时()0f x '>，当223x <<时()0f x '<，函数()f x 在2x =处取极小值， 故选：D【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ，若()519P X ≥=，则()D Y =（ ）A ．3B ．13C ．4D ．43【答案】C【分析】由~(2,)X B p ，5(1)9P X =，求出p 值，利用二项分布的方差公式求出()D X ，再利用方差的线性性质，即可得到答案．【详解】由于随机变量X 满足： ~(2,)X B p ，5(1)9P X =， ∴022(0)1(1)C (1)94P x P X p ==-=-=， 解得：13p =，即1~(2,)3X B124()(1)2339D X np p ∴=-=⨯⨯=，又随机变量X ，Y 满足：31Y X =-， ∴2(4)=3)(D X D Y =，故选：C.3．若2501552(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则3a =（ ）A ．8B ．8-C ．10D ．10-【答案】C【分析】根据已知条件需要对二项展开式进行转化，然后利用二项展开式通项再求3a 即可.【详解】令1t x =-，则1x t =+，原式转化为：()25012551t a a t a t a t +=++++则二项展开式通项为：15C r r r T t +=∴则33345C 10T t t ==310a ∴=故选：C.4．某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.25 C ．0.4 D ．0.8【答案】B【分析】根据正态分布的对称性得到对称轴为4ξ=，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为12，再计算概率得到答案.【详解】()20.8P ξ≥=，()60.2P ξ≥=，所以()()260.2P P ξξ=>=<. 所以正态分布曲线的对称轴为4ξ=，即()412P ξ≤=， 即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为12.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为111224⨯=.故选：B.5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.85C ．0.868D ．0.88【答案】C【分析】记事件B 表示从仓库中随机提出的一台是合格品，i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，1i =，2，分别求出()1P A ，()2P A ，()1P B A ，()2P B A ，再由全概率公式即可求解.【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B ， 事件i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，1i =，2， 由题意可得()120.45P A ==，()230.65P A ==，()10.85P B A =，()20.88P B A =，由全概率公式得()()()()()11220.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．所以该产品合格的概率为0.868， 故选：C.6．设n ∈+N ,则12233555......5n nn n n n C C C C ++++除以7的余数为A ．0或5B ．1或3C ．4或6D ．0或2【答案】A【分析】用二项式定理化简整理得到7(1)1,n M M z +--∈，分n 为奇数或偶数，得到余数. 【详解】12233555......5n n n n n n C C C C ++++=0122330555......5n n nn n n n n C C C C C C +++++-(15)1n =+-(71)1n =--7(1)1,n M M z =+--∈，当n 为奇数时，余数为5，当n 为偶数时，余数为0,故选：A.7．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】D【分析】先对A ，B ，C 三个区域染色，再讨论B ，E 是否同色．【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的染色方案， 当B ，E 不同色时，共有4321124⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案． 故选：D ．8．若函数()1ln f x x a x =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，则常数a 的取值范围（ ） A ．11ln 222a <<+ B ．11ln 22a <<+ C ．12ln 2a <<-D ．11ea <<【答案】B【分析】将问题转化为函数()1ln g x x x=+与函数()h x a =的图像有2个交点，利用导数研究()g x 的极值或最值即可得到答案.【详解】令1ln 0x a x+-=，则1ln x a x +=，因为函数()1ln f x x a x =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，则函数()1ln g x x x=+与函数()h x a =的图像有2个交点，又()22111x g x x x x -'=-=， 1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()1ln g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，()()1111,2ln 2,ln 2222g g g ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，且()122g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭函数()1ln g x x x =+与函数()h x a =的图像有2个交点，所以11ln 22a <<+.故选：B.9．已知随机变量X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ）A ．16-B ．13C ．23D ．23-【答案】C【分析】根据分布列的性质可求出a ，再根据期望公式即可求出随机变量X 的数学期望，最后根据()()21E Y E X =+，即可求出随机变量Y 的数学期望.【详解】根据分布列的性质，得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的数学期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-．又21Y X =+，所以随机变量Y 的数学期望为()()12212163E Y E X ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故选：C. 二、填空题10．1921C C n nn n --+=______.【答案】21【分析】由题意可得1921n nn n -≤⎧⎨≤-⎩，且n *∈N ，从而可求出n ，进而可求得答案【详解】∵1921n nn n -≤⎧⎨≤-⎩，∴9.510.5n ≤≤.∵n *∈N ，∴10n =.∴19910112110111011C C C C C C 21n n n n --+=+=+=.故答案为：2111．若函数33,,()2,x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩有最大值，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]2,1-【分析】在同一个坐标系内作出3()3f x x x =-+和()2f x x =的图像，求出交点的坐标，计算出332x x -+=，得到2x =-或1x =，由函数()f x 有最大值，列不等式组求出实数a 的取值范围.【详解】对于33y x x =-+，求导得：233y x '=-+. 令0y '=，解得：1x =-或1x =.列表得：在同一个坐标系内作出3()3f x x x =-+和()2f x x =的图像如图所示：令332x x x -+=，解得：1x =±或0x =，即()1,2--A ,()()0,0,1,2O B . 由图像可知33y x x =-+的极大值为2，令332x x -+=，解得：2x =-或1x =.因为函数33,,()2,x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩有最大值，且所以函数()f x 的最大值必在[),a +∞上取的.只需满足21a a ≥-⎧⎨≤⎩，故实数a 的取值范围是[]2,1-. 故答案为：[]2,1- 12．已知()202122021012202112x a a x a x a x -=++++，则0122021a a a a ++++=______.【答案】20213【分析】由展开式的通项可知132021,,,a a a 均为负值，所以赋值令1x =-即可求出答案.【详解】易得()202112x -的展开式的通项为()()12021C 20,1,2,,2021rrr T x r +=-=，结合()202122021012202112x a a x a x a x -=++++⋅，知132021,,,a a a 均为负值，∴012202101232021a a a a a a a a a ++++=-+-+-.令1x =-，代入原式可得2021012320213a a a a a =-+-+-.故202101220213a a a a ++++=，故答案为：20213.13．函数()ln f x x x =-的最小值___________ 【答案】1【分析】本题首先可根据导函数的相关性质求出函数()ln f x x x =-的单调性，然后根据函数()f x 的单调性即可得出函数()f x 的最小值． 【详解】因为()ln f x x x =-，所以1110x f x x x x， 当()0f x '>，10x x->，解得1x >，函数()f x 是增函数； 当()0f x '<，10x x-<，解得01x <<，函数()f x 是减函数； 故当1x =时，函数()f x 取最小值，()11ln11f =-=．【点睛】本题考查如何求函数的最值，主要考查根据导函数求函数单调性以及最值，考查计算能力，是简单题．14．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________. 【答案】10113【分析】记事件A =“猎人第一次击中野兔”，B =“猎人第二次击中野兔”，C =“猎人第三次击 中野兔”，D“野兔被击中”，注意B 的发生是A 不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出(),()P D P B 后，再由条件概率公式计算．【详解】记事件A =“猎人第一次击中野兔”，B =“猎人第二次击中野兔”，C =“猎人第三次击中野兔”，D“野兔被击中”，则()()()()()0.80.2P D P A B C P A P B P C =++=++=+⨯0.40.20.60.20.904+⨯⨯=， ()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()0.0810()0.904113P BD P B P B D P D P D ====∣，故答案为：10113． 15．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）． 【答案】180【分析】分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可. 【详解】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种，所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 故填：180【点睛】本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏. 三、解答题16．某兴趣小组有9名学生，若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是1528. (1)该小组中男女学生各多少人？(2)9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？ 【答案】(1)男生6人，女生3人 (2)60479【分析】（1）设9名学生中有女生n 人，由选取的3人中恰好有一个女生的概率是1528可构造方程求得n 的值，由此可得男女生人数； （2）利用排列数知识，采用缩倍法可计算得到结果. 【详解】(1)设9名学生中有女生n 人，则男生有9n -人， ∴从9名学生中选取3人，恰好有一个女生的概率()()1293998C C 152C8428nn n n n p ---===，解得：3n =，∴该小组中有男生936-=人，女生3人.(2)9名学生站队共有99A 种站队方法；3名女生站队共有33A 种站队方法；∴重新站队的方法有9933A 160479A -=种.17．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X . (1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）. 【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=.X 的分布列为：所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 18．已知函数321()13f x x x ax =+++.(1)当3a =-时，求函数()f x 的单调区间与极值；(2)若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的单调递增区间为(),3-∞-和()1,+∞ ,减区间为()3,1；()f x 的极大值为10 ,极小值为23-； (2)[)1,+∞【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，结合导数法求函数单调性极值的步骤即可求解；（2）根据已知条件将所求问题转化()0f x '≥在[2,]a -上恒成立，利将恒成立问题转为为最值问题，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)当3a =-时,321()313f x x x x =+-+则()()2()2331f x x x x x '=+-=+-令()0f x '>,即()()310x x +->，解得1x >或3x <-； 令()0f x '<,即()()310x x +-<，解得31x -<<；所以函数()f x 的单调递增区间为(),3-∞-和()1,+∞ ,减区间为()3,1-.当1x =时，()f x 取的极小值为3212(1)1131133f =⨯+-⨯+=-，当3x =-时，()f x 取的极大值为()()()321(3)33331103f -=⨯-+--⨯-+=.所以()f x 的极大值为10 ,极小值为23-.(2)由321()13f x x x ax =+++，得2()2f x x x a '=++，因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，所以()0f x '≥在[2,]a -上恒成立，即min ()0f x '≥，[2,]x a ∈-即可 ()22()211f x x x a x a '=++=++-，对称轴为1x =，开口向上，当1a >-时，()()2min ()(1)1211f x f a a ''=-=-+-+=- ， 即10a -≥，解得1a ≥，所以1a ≥.当21a -<≤-时，由22min ()()23f x f a a a a a a ''==++=+即230a a +≥，解得0a ≥或3a ≤-，所以a ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞.。
江苏省天一中学2020-2021学年高二下学期期末学情检测高二数学试题
天一中学2020~2021学年度第二学期期末学情检测高二年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，，则A∩B=A. 0，1，B.C. 0，D.2.已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.3.若且，则与的夹角是A. B. C. D.4.已知函数，在上有且仅有2个实根，则下面4个结论：在区间上有最小值点；在区间上有最大值点；的取值范围是；在区间上单调递减所有正确结论的编号为A. B. C. D.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c成公比为2的等比数列，且B. a，b，c成公比为2的等比数列，且C. a，b，c成公比为的等比数列，且D. a，b，c成公比为的等比数列，且6.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增加D. 减小，减小7.若直线l是曲线的切线，且l又与曲线相切，则a的取值范围是A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则下面说法正确的是A. 曲线与x轴围成的面积等于B. 与的公切线方程为：C. 所在圆与所在圆的交点弦方程为：D. 用直线截所在的圆，所得的弦长为10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得11.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止则下列说法正确的是A. 甲从M到达N处的方法有120种B. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种C. 甲、乙两人在处相遇的概率为D. 甲、乙两人相遇的概率为12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复N次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A. ，B. 数列是等比数列C. 的数学期望ND. 数列的通项公式为N三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足条件，那么的最大值是▲ ．14.已知F为抛物线的焦点，过F作斜率为的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为若，则▲ ．15.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有▲ 人．参考数据及公式如下：，．16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体。
2021-2022学年河北省唐山市第一中学高二下学期6月调研数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省唐山市第一中学高二下学期6月调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}220,1A x x x B x x =-+>=>，则()R AC B =（ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．()1,2【答案】B【分析】解出不等式220x x -+>，然后可算出答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-+>=<<，{}1R C B x x =≤所以()R AC B =(]0,1故选：B2．已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．172a <C ．133a <D ．5a >【答案】B【分析】命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，然后利用对勾函数的知识求出4()f x x x=+的最大值即可. 【详解】命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，设4()f x x x =+，对勾函数在2x =时取得最小值为4，在12x =时取得最大值为172，故172a <， 故选：B ． 3．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=进而利用单调性即得. 【详解】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'=当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>.故()ln xf x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> 2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > 故c a b << 故选: B4．某校开展课后服务活动，星期五下午安排语文素养课，数学思维课，英语拓展课，心理活动课四种课程.其中心理活动课不排第一节，语文素养课和英语拓展课不相邻，那么星期五下午不同课表的排法种数有（ ） A ．18 B ．10C ．12D ．14【答案】B【分析】根据题意，依次列举即可得答案. 【详解】解：根据题意，可能的情况如下：故选：B5．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0 B ．20 C ．10 D ．30【答案】B【分析】()()5131x x +-可化为()()5511+3x x x --，再根据二项式展开式的通项公式求展开式中3x 的系数.【详解】由()51x -展开式的通项为()()5155C 11C r r r r r r r T x x -+=⋅⋅-=-，令r ＝3，得()51x -展开式中含3x 的项的系数为()3351C 10-=-，令r ＝2，得()51x -展开式中含2x 的项的系数为()2251C 10-=，所以()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为1031020-+⨯=. 故选：B.6．若直线y x m =+与曲线2e x n y -=相切，则（ ） A ．m n +为定值 B ．12m n +为定值C ．n m 21+为定值D ．13m n +为定值【答案】B【分析】设出切点，对原函数求导，将切点横坐标代入导函数求得斜率，进而建立等式求出切点坐标，再代入直线方程即可得到答案.【详解】设直线y x m =+与曲线2e x n y -=切于点()020,e x nx -，因为2e x n y -'=，所以02e 1x n -=，02x n =，所以切点为(2,1)n ，代入直线方程得：12n m =+，即1122m n +=. 故选：B.7．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ） A ．38B ．310C ．311 D ．35【答案】A【分析】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则由题意可知所求为()P B A ，代入条件概率的公式计算即可.【详解】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为()()()214332325443183488n AB C C P B A n A C C C C ====-.故选：A. 二、多选题8．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有,A B 两条线路可以选择.乘坐线路A 所需时间（单位：分钟）服从正态分布()44,4N ，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B 所需时间（单位：分钟）服从正态分布()33,16N ，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的是（ ）（参考数据：()2,Z N μσ~，则()0.6827,(2P Z P Z μσμσμσμ-<≤+≈-<≤+2)0.9545,(33)0.9973)P Z σμσμσ≈-<≤+≈ A ．若乘坐线路B ，18：00前一定能到家B ．乘坐线路A 比乘坐线路B 在17：58前到家的可能性更小C ．乘坐线路B 比乘坐线路A 在17：54前到家的可能性更大D ．若乘坐线路A ，则在17：48前到家的可能性会超过1% 【答案】BC【分析】由已知，设乘坐线路A 所需时间为(A t 单位：分钟)，到家所需时间为()+10A t 分钟，乘坐线路B 所需时间为(B t 单位：分钟)，到家所需时间为()+17B t 分钟，进而再根据正态分布依次考虑各选项即可得答案.【详解】由已知，设乘坐线路A 所需时间为(A t 单位：分钟)，则A t 满足条件：(44,4)A t N ，到家所需时间为()+10A t 分钟，乘坐线路B 所需时间为(B t 单位：分钟)，则B t 满足条件：()~33,16B t N ，到家所需时间为()+17B t 分钟.对于A ，若乘坐线路B ，则到家所需时间大于17分钟，“18:00前一定能到家”是随机事件，可能发生，也可能不发生，所以A 错误；对于B ，由+<1058A t ，知<48A t ，由+<1758B t ，知<41B t ，因为()()<=<+⨯=+⨯14844220.50.95452A A P t P t ，()()<=<+⨯=+⨯14133240.50.95452B B P t P t ，可见()()<<48=41A B P t P t ，所以乘坐线路A 在17:58前到家的可能性一样，所以B 正确； 对于C ，由+<1054A t ，知<44A t ，由+<1754B t ，知<37B t ，因为()<=440.5A P t ，()()<=<+=+⨯1373340.50.68272B B P t P t ，可见()()<<<4437A B P t P t ，所以乘坐线路B 比乘坐线路A 在17:54前到家的可能性更大，所以C 正确； 对于D ，由+<1048A t ，知：<38A t ，因为=-38446，所以()()<=<-⨯=-⨯=<13844320.50.99730.001351%2A A P t P t ，所以若乘坐线路A ，则在17:48前到家的可能性不超过1%，所以D 错误.故选：BC.9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则1()2D X = B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y += C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】CD【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()D X =1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ：若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)D Y +=()918D Y =，故错误；对C ：若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==31341111224C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； 对D ：若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(8)0.1P η>=，故(28)1(2)(8)0.8P P P ηηη<<=-<->=，故正确.故选：CD.10．设函数2()2(0)f x x x a a =-+>，若()0f m <，则（ ） A ．()0f m -> B ．(1)0f m -<C ．(4)0f m -+>D ．(2)0f m -+<【答案】ACD【分析】由题意结合图象先求得02m <<，再结合图象逐个判断即可求解 【详解】由()0f m <可得函数2()2(0)f x x x a a =-+>有2个零点， 设为12,x x ，且12x x <，因为()(0)20f f a ==>， 所以1202x m x <<<<，对于A ：02m <<，20m ∴-<-<，结合图象可知()0f m ->，故A 正确； 对于B ：02m <<，111m ∴-<-<，结合图象可知(1)f m -有正有负，故B 错误； 对于C ：02m <<，20m ∴-<-<244m ∴<-+<，结合图象可知(4)0f m -+>，故C 正确；对于D ：由对称性可得()(2)0f m f m -+=<，故D 正确. 故选：ACD11．已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i =组成的一个样本，得到回归直线方程为20.4y x =-，且2x =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的回归直线的斜率为3，在下列说法正确的是（ ） A ．相关变量x ，y 具有正相关关系 B ．去除歧义点后，样本()4,8.9的残差为0.1 C ．去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-D ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小 【答案】AC【分析】利用回归直线方程的斜率判断A ；求出去除歧义点后的回归直线方程，再分别计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由回归直线方程的斜率为3知变量x ，y 具有正相关关系，A 正确； 由2x =代入20.4y x =-，得 3.6y =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的210582x ⨯'==， 3.610982y ⨯'==， 因得到新的回归直线的斜率为3，有9533322y x -=-⨯=-，则去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-，C 正确；由于斜率为32>，则相关变量x ，y 具有正相关关系且由样本估计总体的y 值增加的速度变大，D 错误；当4x =时，3439y =⨯-=，得残差8.990.1e =-=-，B 错误. 故选：AC12．函数()f x 图像上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,,A B k k AB 为,A B 两点间距离，定义(),A Bk k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是（ ）A ．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数B ．()321f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”(),A B ϕC ．()2(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B ､之间的“曲率”(),2A B a ϕ≤ D ．设()()1122,,,A x y B x y 是曲线()e xf x =上不同两点，且121x x -=，若 (),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞ 【答案】AC【分析】借助函数()2f x x =可判断A ；令121,2x x ==，计算(,)A Bk k A B ABϕ-=可判断B ；由()2f x ax '=，故12,22A B k ax k ax ==，代入(,)A Bk k A B ABϕ-=分析即可判断C ；由12e ,e x x AB AB kk ===,分析可得(,)1A B ϕ<，所以1t ≤，可判断D.【详解】因当()2f x x =时，2A B k k ==，曲率为0，是常数，故A 是正确的； 又因当121,2x x ==时, 2()32f x x x ='-，2(1,1),(2,5),31211,34228A B A B k k =⨯-⨯==⨯-⨯=，故(,)A B k k A B ABϕ-==<B 是错误的； 因()2f x ax '=，令1122,,(()),(()),A x f x B x f x 故12,22A B k ax k ax ==，所以(,)2A B k k A B a ABϕ-===≤，故C 正确；()e x f x '=，因12e ,e x x A B AB k k ==,故(),1A B k k A B ABϕ-==<，所以1t ≤，所以D 是错误的.故选：AC 三、填空题13．若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________. 【答案】22【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当3b a ab =时，即a b ==时，11ab +的最小值为2+故答案为：214．已知()()()()()42340123421111x a a x a x a x a x -=++++++++，则01234a a a a a ++++=______.【答案】16【分析】在所给的等式中，令0x =即可得出答案.【详解】在()()()()()42340123421111x a a x a x a x a x -=++++++++，令0x =，可得：4012342a a a a a =++++，所以0123416a a a a a ++++=.故答案为：16.15．已知随机事件A ，B ，且()13P A =，1()2P B =，1()2P BA =∣，则()P AB =∣_____. 【答案】13【分析】根据条件概率公式先得()16P AB =，再计算即可. 【详解】解：因为()13P A =，1()2P B =，1()2P BA =∣ 所以()()()1()123P AB P AB P B A P A ===∣，解得()16P AB =， 所以()()116()132P AB P AB P B ===∣. 故答案为：13四、双空题16．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：()()2xf x f x e ='-，且()01f =，则()f x 的解析式为()f x =___________；当0x >时，()1ln x f x a x ⎡⎤-≥+⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】 2e x (],2-∞【分析】先构造函数，利用2()()e x f x f x -='，最终求得()2e xf x =，即()0,x ∈+∞时，2(e )1ln x x a x -≥+恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得a 的取值范围.【详解】设()()x f x g x =e ，则()()()2e e e ex x xx f x f x g x '-'===，故()e xg x c =+， 则()()e e x xf x c =+，又因为(0)1f =，即11c +=，所以0c ，()2e xf x =，2(e )1ln x x a x -≥+，因为()0,x ∈+∞，所以22ln e 1ln e 1ln x x x x x xa x x+----≤=在()0,x ∈+∞上恒成立， 其中2ln e 2ln 1x x x x +≥++，理由如下：构造()e 1xx x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=得：0x =，当0x >得：()0x ϕ'>， 当0x <得：()0x ϕ'<，故()x ϕ在0x =处取的极小值，也是最小值，()()00x ϕϕ≥=，从而得证.故2ln e 1ln 2ln 11ln 2x x x x x x x x+--++--≥=，故2a ≤，即实数a 的取值范围为(],2-∞ 故答案为：2e x ，(],2-∞. 五、解答题17．设全集R U =，集合(){50}A xx x =-<∣，集合{}21212B x a x a =-≤≤+∣ (1)当1a =时，求()()U U A B ⋂； (2)若B A ，求a 的取值范围. 【答案】(1)()[),15,-∞-+∞；(2)⎛- ⎝⎭. 【分析】（1）由补集和交集定义即可求得结果；（2）由B A ，讨论B =∅和B ≠∅，列出不等式组求解即可. 【详解】(1){}05A x x =<<；当1a =时，{}13B x x =-≤≤；(][),05,U A ∴=-∞+∞，()(),13,UB =-∞-⋃+∞，()()()[),15,U UA B =-+∴∞-∞.(2){}05A x x =<<，B A ≠⊂， 当B =∅时，满足B A ≠⊂；此时21212a a ->+，解得：10a -<<； 当B ≠∅时，221251201212a a a a+<⎧⎪->⎨⎪-≤+⎩，解得：0a ≤<；综上所述：a 的取值范围为⎛- ⎝⎭. 18．为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元. (1)求系统需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品所需要维修的费用，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)727； (2)700元.【分析】（1）由n 次独立 重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出系统需要维修的概率；（2）设X 为需要维修的系统的个数,则7~(3,)27X B ，且900X ξ=，由此能求出ξ的分布列、期望E (ξ).【详解】(1)该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，所以系统需要维修的概率为： 0312331217C ()C ()().33327P =+= (2)设X 为需要维修的系统的个数，则7~(3,)27X B ，且900X ξ=， 则ξ的所有可能取值为0，900，1800，2700，3208000(0)(0)(),2719683P P X ξ===== 1237202800(900)(1)C (),27276561P P X ξ===== 223720980(1800)(2)C (),27276561P P X ξ===== 37343(2700)(3)(),2719683P P X ξ===== 故ξ的分布列为：所以7()900()900370027E E X ξ==⨯⨯=（元）. 19．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分 (采用百分制)，剔除平均分在 40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到下表.附表及公式：其中n a b c d =+++，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；（2）规定成绩在80分以上为优秀(含80分) ，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【答案】（1）答案见解析；（2）2×2列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【分析】（1）计算出男、女生各自的平均分，从结果可得答案； （2）计算出2K ，根据临界值表可得结果. 【详解】（1）男生的平均分14535596518751585695971.560x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==女生的平均分24565546557510851395271.540x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关.(2)由题表可知， 在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 3070100计算可得()22100152515451.786 2.70630706040K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.20．某电器企业统计了近10年的年利润额y （千万元）与投入的年广告费用x （十万元）的相关数据，散点图如图．选取函数(0,0)k y m x m k =⋅>>作为年广告费用x 和年利润额y 的回归类型．令ln ,ln u x v y ==，则ln v m ku =+，则对数据作出如下处理：令ln ,ln i i i i u x v y ==，得到相关数据如表所示：101i ii u v=∑101ii u=∑101ii v=∑1021ii u=∑30.5 15 15 46.5(1)求出y 与x 的回归方程；(2)预计要使年利润额突破2亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：3207.3575,7.3575398.282e≈≈． 参考公式：回归方程ˆy a bx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxyba y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑．【答案】(1)13e y x =⋅(2)下一年应至少投入3983万元广告费用【分析】（1）依题意ln v m ku =+，利用所给公式及相关数据求出k ，ln m ，即可求出m ，从而求出回归方程；（2）由（1）中的回归方程令20y >，求出x 的取值范围，即可得解； 【详解】(1)解：∵ln ,ln u x v y ==，则ln v m ku =+， 所以1011 1.510i i u u ===∑，1011 1.510i i v v ===∑，由表中数据得，101102211030.510 1.5 1.5146.510 1.5 1.5310i ii ii u v uvk uu =-=--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以1ln 1.5 1.513m v ku =-=-⨯=，所以e m =，所以年广告费用x 和年利润额y 的回归方程为13e y x =⋅；(2)解：由（1）可知13e y x =⋅，令13e 20y x =⋅>，得135e207.375x >≈，所以37.3575398.3x >≈（十万）， 故下一年应至少投入3983万元广告费用．21．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列； （2）设0.1p =．试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．【答案】（1）答案见解析；（2）195次.【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，依题意知X 的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数()E X ，分别求出2k =、3、4时()E X 的值，再与方案①比较，即可得出所求．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-． 所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为(1)k k q p =-， 呈阳性反应的概率为11(1)k k q p -=--． 依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为： ()()()()111111111k k k E X p p p k k k ⎛⎫⎡⎤=⋅-++⋅--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭，0.1p =∴当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时480人需要化验的总次数为331次， 3k =时，()310.910.60433E X =-+≈，此时480人需要化验的总次数为290次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时480人需要化验的次数总为285次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少． 而采用方案①则需化验480次， 故在这三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均减少480285195-=次．【点睛】关键点睛：本题的关键是列出离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，在第（2）问中，其关键是对数学期望的理解．22．已知函数()3ln f x x a x =+，其中3a ≥-为常数.(1)设()f x '为()f x 的导函数，当6a =时，求函数()()()9g x f x f x x'=-+的极值；(2)设点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ()121x x >≥，曲线()y f x =在点,A B 处的切线的斜率分别为12,k k ，直线AB 的斜率为k ，证明：122k k k +>. 【答案】(1)函数()g x 的极小值为1，无极大值 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案；（2）由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-，即证()()()()()()3121121221221222ln 0x x x x x f x f x f x f x x x a x x x ⎛⎫''-+--=-+-->⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，令12x t x =，()12ln h t t t t=--，再利用导数即可得证. 【详解】(1)解：当6a =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x'=+， 则()3236ln 3g x x x x x=+-+，()()()()43222222322131126336x x x x x x g x x x x x x x-+--+-'=+--== ()()()323110x x x x-+=>， 则当1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()g x 的极小值为()11g =，且无极大值； (2)证明：由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-， 又121x x >≥，则所证不等式化为()()()()()1212220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为()3ln f x x a x =+，()23a f x x x'=+，则()()()()()()22121212*********a a x x f x f x f x f x x x x x x x ⎛⎫''-+--=-+++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()33332212111221212122122ln ln 332ln x x x x a x x a x x x x x x x a a x x x ⎛⎫-+--=--++-- ⎪⎝⎭()3121122122ln x x x x x a x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，令12x t x =，()12ln h t t t t =--，因为121x x >≥，则1t >，()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，从而()()10h t h >=，即12ln 0t t t-->，因为()23,1,1,1a x t g t ≥-≥>>，则()()33312112221212ln 12ln x x x x x a x t a t t x x x t ⎛⎫⎛⎫-+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()33213132ln 36ln 110t t t t t t g t t t ⎛⎫≥----=-++-=-> ⎪⎝⎭，从而()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以122k k k +>.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及极值，考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式成立问题，考查了数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.。
2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{2,1,0,1,2}--【答案】A【分析】由交集定义计算．【详解】根据集合交集中元素的特征，可得{0,2}A B ⋂=， 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果. 详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x =【答案】C【详解】试题分析：因为函数1y x=是奇函数，所以选项A 不正确；因为函为函数x y e -=既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B 不正确；函数21y x =-+的图象抛物线开口向下，对称轴是y 轴，所以此函数是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减，所以，选项C 正确；函数lg y x =虽然是偶函数，但是此函数在区间()0,∞+上是增函数，所以选项D 不正确；故选C ．【解析】1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象．4．为了得到函数y=sin 3x π+（）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向上平行移动3π个单位长度D ．向下平行移动3π个单位长度【答案】A【详解】试题分析：为得到函数πsin()3y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，故选A.【解析】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位长度得()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位长度得()y f x a =+的图象．左、右平移涉及的是x 的变化，上、下平移涉及的是函数值()f x 的变化． 5．执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A ．2B ．32C ．53D ．85【答案】C【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错. 6．已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．0,1 B ．1,2C ．()2,4D ．()4,+∞【答案】C【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．8．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为 A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-= D ．30x y -+=【答案】D【详解】试题分析：圆22(3)4x y +-=的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线10x y +-=垂直，所以直线l 的斜率1k =．由点斜式得直线，化简得30x y -+=，故选D ．【解析】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【详解】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【解析】三视图与表面积．10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=()711212a--=381，解得a1=3．故选B．11．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.12．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B二、填空题13．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14．设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【分析】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值. 【详解】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+， 同理得6BD 6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调递增区间．【答案】(1)πT =(2)单调增区间：3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2πT ω=可得答案；（2）根据复合函数的单调区间解不等式即可.【详解】（1）()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ;2T == （2）3sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，ππ2π,2ππ2422k x k ⎡⎤-+∈⎢⎣+⎥⎦，解之：3πππ,π,Z 88x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，综上所述：函数()f x 的单调递增区间为：3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【解析】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．19．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【解析】线面平行与面面垂直．20．已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 【答案】（1）4a b ==；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值．试题解析：（1）()()24x x e ax b f a x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=． 故4b =，8a b +=． 从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-． 从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，0fx ；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．21．甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率为23外，其余每局甲队获胜的概率都是12，假设每局比赛结果相互独立． （1）求甲队分别以3:0,3:2获胜的概率；（2）若比赛结果为3:0，胜方得3分，对方得0分，比赛结果为3:1，胜方得3分，对方得1分，比赛结果为3:2，胜方得3分，对方得2分，求甲队得分的分布列和数学期望．【答案】（1）甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84；（2）分布列见解析；期望为178．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）由题意知，随机变量X 的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X 的分布列，求出所对应的数学期望．【详解】解：（1）甲乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，记“甲队以3:0获胜”为事件A ，记“甲队以3:2获胜”为事件B ，3223234111121(),()1282234P A C P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎪⎝⋅⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭， 所以甲队分别以3:0,3:2获胜的概率分别为11,84．（2）若甲队得3分，则甲胜，结果可以为3:0,3:1,3:2，若甲队得0分，1分，2分，则甲败，结果可以为0:3,1:3,2:3，设甲队得分为X 则X 的可能取值为0、1、2、3，303111(0)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⋅⎭⋅⎝， 12131113(1)1122216P X C ⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2224111(2)1122382P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅ 32122322334*********(3)112222222316P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ X 的分布列为：甲队得分的数学期望31917()123168168E X =⨯+⨯+⨯= 22．已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【详解】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直性、极值、最值，判断y a接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。
高二数学周练试题(含解析)
【2019最新】精选高二数学周练试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】，代入方程得到故选D；2. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由余弦定理得，，移项得到，，得到 A＝.故选C；点睛：利用上b＝c得到，再得到，最终得到角.3. 在内，分别为角所对的边，成等差数列，且，，则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】成等差数列，故，，，得到故选C；4. 在等差数列中,,其前项和为,若,则（）A. -2012B. -2013C. 2012D. 2013【答案】B【解析】等差数列其前n项和为，是等差数列，公差为，，，，故，代入，得到 -2013.点睛：是等差数列，则是等差数列，利用这个结论，得到。
5. 已知数列的前项和，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n﹣3）∴S15=（1﹣5）+（9﹣13）+…（49﹣53）+57=（﹣4）×7+57=29S22=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（81﹣85）=﹣4×11=﹣44 S31=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（113﹣117）+121=﹣4×15+121=61∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76故选：A．点睛：利用数列相邻的两项结合和为定值﹣4，把数列的两项结合一组，根据n 的奇偶性来判断结合的组数，当n为偶数时，结合成組，每组为﹣4；当为奇数时，结合成組，每组和为﹣4，剩余最后一个数为正数，再求和．6. 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A. a1，a3，a9成等比数列B. a2，a3，a6成等比数列C. a2，a4，a8成等比数列D. a3，a6，a9成等比数列【答案】D考点：等比数列的性质7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C考点：等比数列的前n项和．8. 如图所示，在△ABC中，已知，角C的平分线CD把三角形面积分为两部分，则cosA等于( )A. B. C. D. 0【答案】C【解析】∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∴AC＞BC，∵角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，∴由正弦定理得：，整理得：，则cosA= ．故选C点睛：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．9. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A. a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B. b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】试题分析：A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a ＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．考点：三角形解得个数的判断．10. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A. 20(＋) n mile/hB. 20(－) n mile/hC. 20(＋) n mile/hD. 20(－) n mile/h【答案】B【解析】由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°∴SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，，MN=n mile，∴货轮航行的速度v=n mile/h．故选：B．点睛：由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS 中利用正弦定理可得，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．11. 等差数列前项和为,已知则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为两式相加得，故所以，又两式相减，易得，，故，选B.考点：等差数列点评：本题多项式为载体考查等差数列，关键是能结合等式合理变形得出，从而求解，属中档题.12. 已知定义在上的函数是奇函数且满足数列满足，（其中为的前项和），则A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，，∴a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．点睛：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．第Ⅱ卷（填空题、解答题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．13. 在等差数列中,当且仅当时, 取得最大值,且，则使的n的最大值是________.【答案】11【解析】因为，所以又因为当且仅当时, 取得最大值，所以故答案为11.14. 设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.【答案】【解析】试题分析：由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.考点：等比数列的性质与应用15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan A＝7tan B，，则c＝___________.【答案】4【解析】∵tanA=7tanB，可得：sinAcosB=7sinBcosA，整理可得：8a2﹣8b2=6c2，①又②∴联立①②即可解得c=4．点睛：由已知利用同角三角函数基本关系式，余弦定理可得8a2﹣8b2=6c2，结合已知=3，即可解得c的值．..................【答案】129【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知得2a3=a4+a5，∴2a1q2=a1q3+a1q4∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2，当q=1时，与Sk=33，Sk+1=﹣63矛盾，故舍去，∴q=﹣2，∴Sk=，Sk+1=，解之得qk=﹣32，a1=3，∴Sk+2=，故答案为：129．点睛：根据a4，a3，a5成等差数列，求出公比q，代入Sk=33，Sk+1=﹣63，求出qk﹣1代入Sk+2即可求出结果．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在中，已知(sin A＋sin B＋sin C)·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)求sin B－cos C的最大值．【答案】(1) ;(2)1.【解析】试题分析：由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，再由余弦定理得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝，A＝。
河间市第十四中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年下学期河间十四中期中考试高二数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．植树节那天，有4名同学植树，现有3棵不同种类的树．若一棵树限1人完成，则不同的分配方法有（） A ．6种B ．3种C ．81种D ．64种2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为()A ．23B ．13C ．16D ．563．在()52x -的展开式中，前3项的系数和为() A ．16B ．32C ．80D ．1604．ξ，η为随机变量，且η＝a ξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( )A ．2，0.2B ．1，4C ．0.5，1.4D ．1.6，3.45．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（） A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种6．已知两变量x 与y 的统计数据如下表：x 4 2 3 5 y49263954根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中＝9.4，则当x ＝6时，的值为( ) A ．63.6B ．65.5C ．67.7D ．72.07．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24B ．48C ．72D ．1208．一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P(X=12)等于()A ．10210123588C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1021012353888C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．929115388C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1029113588C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（） A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法 C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N μσ，()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（） 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 11．关于)()21(2021202122102021R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则（）A ．01a =B ．202120213213=++++a a a a C ．3320218a C =D ．20212021432131-=++-+-a a a a a12．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，他们之间相互不影响，则（）A ．三台设备中至多一台设备能正常工作的概率为0.027B ．计算机网络不会断掉的概率为0.999C ．能正常工作的设备数的数学期望为0.27D ．能正常工作的设备数的方差为0.27三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知1(|)3P B A =，3()5P A =，则()P AB =______．14．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______.15．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是________.16．已知nn n x a x a x a a bx )1()1()1(12210-+-+-+=+ 对任意x ∈R 恒成立，且19a =，236a =，则b =___________；___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
2021-2022学年安徽省宣城市高二年级下册学期期末模拟数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省宣城市第二中学高二下学期期末模拟数学试题一、单选题1．已知集合{}2250A x x x =+<，142x B x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃=（ ）A ．52x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B ．{}20x x -<<C ．{}2x x >-D ．522x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B 即可【详解】{}2525002A x x x x x ⎧⎫=+<=-<<⎨⎬⎩⎭，142x B x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{}2x x =>-，则{}5022A B x x x x ⎧⎫⋃=-<<⋃>-=⎨⎬⎩⎭52x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.故选：A.2．已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==- B ．1,3a b =-= C ．1,3a b =-=- D ．1,3a b ==【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B.3．设(,)a x y =，(,)b m n =，且a ，b 均为非零向量，则“x ym n=”是“a b ∥”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 【答案】A【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解. 【详解】若x ym n=，则nx my =，则a b ∥，满足充分性；反之，若a b ∥，则nx my =，不能推出x y m n=，比如0m x ==，显然满足nx my =，但x y m n=无意义，不满足必要性；故“x ym n=”是“a b ∥”的充分非必要条件. 故选：A.4．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t （单位：%）随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知057S =，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1，ln3 1.1≈，ln 4 1.4≈，ln5 1.6≈） A ．0.4小时 B ．0.5小时 C ．0.6小时 D ．0.7小时【答案】D【分析】依据题给条件列出关于时间t 的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t -小时， 由题意可得57e 76K =，57e 95Kt =，两边同时取自然对数并整理， 得764ln ln ln 4ln 3573K ===-，955ln ln ln 5ln 3573Kt ===-， 则ln 5ln 3 1.6 1.11.7ln 4ln 3 1.4 1.1t --=≈≈--，则给氧时间至少还需要0.7小时故选： D5．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <【答案】D【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b<，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若,,3BC a BA b BE EF ===，则BF =（ ）A ．5345a b +B ．3455a b +C ．1292525a b + D ．16122525a b + 【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意()3344=+=+=++BF BC CF BC EA BC EB BA3344⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭BC BF BA ，所以253164=+BF BC BA ，16122525BF BC BA =+，16122525=+BF a b . 故选：D.7．已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m = （ ）A ．3-B ．3C ．13D ．13-【答案】B【分析】先求51()x x -展开式中含x 和1x 项，然后可得51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项，根据已知解方程可得.【详解】51()x x-展开式中第1r +项5521551C ()(1)C r r r r r rr T x x x --+=-=-，当2r =时，235C 10T x x ==，3r =时，34510C T x x=-=-， 所以51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为10101010m x x m x x ⨯-⨯=-，所以101020m -=，得3m =. 故选：B8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a 使得14a =，则122n m n+++的最小值为（ ）A B ．2615C ．74D ．2815【答案】B【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q 或1q =-，又0n a >，所以2q.由14m n a a a ⋅=可知：221124m n a a +-=，所以6m n +=， 则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=++++⎢⎥++⎣⎦()()222211313218282m m n n m n m n ⎛⎫++⎛⎫ ⎪=+++≥+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭11228+=， 由()222m nm n+=+可得取等号时()22n m =+，但,m n *∈N ，无解； 又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B9．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误. 当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态， 另一方面，300T =时对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D10．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且333l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ， 则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当36l ≤≤0V '>，当2633l <≤时，0V '<， 所以当26l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643， 又3l =时，274V =，33l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.11．已知椭圆2241253x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点M 在椭圆上，且满足12MF MF ⊥，点N 在线段1F 、2F 上，设12F NNF λ=，将12MF F △沿MN 翻折，使得平面1MNF 与平面2MNF 垂直，要使翻折后12F F 的长度最小，则λ=（ ） A ．32B ．2C ．49D ．94【答案】A【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得1MF 、2MF ，翻折前，过点1F 作1F A MN ⊥，垂足为点A ，过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为点B ，设2NMF θ∠=，其中02πθ<<，翻折后，利用勾股定理求出212F F 关于θ的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得212F F 的最小值及θ的值，再利用角平分线的性质可求得λ的值.【详解】在椭圆2241253x y +=中，52a =，3b =，22132c a b =-=，12213F F c ∴==， 因为12MF MF ⊥，且点M 为第一象限内的点，则122221212122513MF MF a MF MF F F MF MF⎧+==⎪⎪+==⎨⎪>⎪⎩，可得1232MF MF ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 翻折前，过点1F 作1F A MN ⊥，垂足为点A ，过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为点B ，设2NMF θ∠=，其中02πθ<<，则22sin BF θ=，2cos BM θ=，13sin 3cos 2AF πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3cos 3sin 2AM πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以，3sin 2cos AB AM BM θθ=-=-， 翻折后，如下图所示：因为平面2MNF ⊥平面1MNF ，平面1MNF 平面2MNF MN =，2BF ⊂平面2MNF ，2BF MN ⊥，2BF ∴⊥平面1MNF ，1BF ⊂平面1MNF ，21BF BF ∴⊥，又因为1AF MN ⊥，222222121212F F BF BF AF AB BF ∴=+=++()2229cos 3sin 2cos 4sin 1312sin cos 136sin 2θθθθθθθ=+-+=-=-，02πθ<<，则02θπ<<，故当22=πθ时，即当4πθ=时，12F F 7，则在翻折前，在12MF F △中，MN 为12F MF ∠的角平分线，所以，12112232MNF MNF S NF MF S NF MF ===△△，即32λ=. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，解题的关键就是将引入某角为自变量，将12F F 的长度表示为该角为自变量的三角函数，结合三角函数的有界性来求解. 12．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <时，()0h x <，所以当01x <时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 二、填空题13．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，3a b +=，则a b -=_________. 【分析】根据向量模的计算公式即可解出．【详解】由3a b +=可得，2223a a b b +⋅+=，即4213a b +⋅+=，解得：1a b ⋅=-，所以2242a ab a b b -=⋅++-=14．若圆A ：(x －1)2＋(y －4)2＝a 上至少存在一点P 落在不等式组10,310,70x y x y x y -+-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域内，则实数a 的取值范围是____． 【答案】2,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】圆A 与不等式组10,310,70x y x y x y -+-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域有交点，作出图象易求得a 的取值范围.【详解】作出不等式组的图象，如下图，圆A 与不等式组10,310,70x y x y x y -+-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域有交点，可知圆的圆心为()1,4A 到直线310x y --=31411010⨯--， 由+7010x y x y -=⎧⎨-+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以()3,4B ，同理()1,2D ， 则圆心A 与可行域内的点的距离的最大值为2AB AD ==， 102a ≤，即实数a 的取值范围是：2,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：2,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．已知0>ω，点A ，B ，C 是函数()()cos πf x x ω=与()πcos π3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象中连续相邻的三个公共点，若△ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是________. 【答案】3⎛ ⎝⎭【分析】画出图象，求出1CD ω=，根据两函数相等得到()3cos πx ω=23B BD y =ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<31ω<，求出30ω<<. 【详解】如图，记,,A B C 为连续三交点（不妨设点B 在x 轴下方），D 为AC 的中点. 由对称性可得ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2π2πAC T CD ω===，1CD ω=， 由()πcos πcos π3x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得()()cos π3sin πx x ωω，得()3cos πx ω=则32C B y y =-=，所以23B BD y ==， 要使ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<即可，由tan 31BDACB DC∠ω==<， 所以303ω<<.故答案为：3⎛ ⎝⎭16．已知()f x 为奇函数，当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=________ 【答案】2【分析】根据题意可得函数()f x 是以4为周期的周期函数，作出函数()f x 的图像，结合图像可知1lim()n n n x x +→∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.【详解】解：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，且()00f =， 又()f x 关于直线1x =对称，所以()()11f x f x +=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-， 则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数， 作出函数()y f x =和1y x =+的图像如图所示：由()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅， 则1lim()n n n x x +→∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线之间的距离为2，所以1lim()2n n n x x +→∞-=. 故答案为：2.三、解答题17．某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：男性 女性 合计文艺活动 15 30 体育活动 20 10 合计(1)补全上表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动的类型与性别有关？(2)在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人接受采访，记抽到参加文艺活动的人数为X ，求X 的分布列与期望． 附： ()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)填表见解析；在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关(2)分布列见解析；期望为97【分析】（1）先直接补齐联列表，然后计算2K ，即可求解；（2）先求出参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X 的可能取值为0，1，2，3，再求出每个值所对应的概率即可求解 【详解】(1)依题意，22⨯列联表如下：2275(15103020)2258.0367.8794530354028K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关． (2)因为男性居民中参加文艺活动的有15名，参加体育活动的有20名，用分层抽样方法抽取7人，则参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X 的可能取值为0，1，2，3，所以()()031234343377C C C C 4180,1C 35C 35P X P X ⋅======，()()2133433377C C C 1212,3C 35C35P X P X ⋅======． 所以X 的分布列为所以()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2,1,AD PD CD PC ====点E 为线段PC 上的点，且BC DE ⊥.(1)证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)若3CE CP =，且在线段BC 上存在一点Q ，使得//PA 平面DEQ .请确定点Q 的位置.并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)Q 为BC 中点，证明见解析【分析】（1）先证明BC ⊥面PCD 即可证明结论；（2）取AC 三等分点H ，使得2AH CH =，连接EH ，进而得//PA 平面EHD ，再延长DH 交BC 于点Q ， 利用三角形相似求解即可.【详解】(1)证明：ABCD 为矩形BC CD ∴⊥又,BC DE CD DE D ⊥⋂=BC ∴⊥平面PCD ，BC ⊂平面ABCD ∴平面PCD ⊥平面ABCD(2)解：取AC 三等分点H ，使得2AH CH =，连接,,EH EH PA EH ⊂∥平面,EHD PA ⊄平面,EHD 则//PA 平面EHD 延长DH 交BC 于点Q ， DHA QHC ∽，∴12CQ CH AD AH ==，即1122CQ AD BC == Q ∴为BC 中点19．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【详解】(1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.20．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]： 由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb b b b +++=-, 由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b-=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=． 令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]： 由212n n S b +=，得22=-nn n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法 由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．(2)由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【整体点评】 （1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解； 方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；21．圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形 【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. 【详解】(1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =，即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+，取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭，可得直线1A P 的方程为y x =+，直线2A Q 的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ，若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y yx =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.【点睛】求定点问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点． 22．已知函数()()x f x xe x R -=∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>【答案】（Ⅰ）f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【详解】（Ⅰ）解：f’()(1)xx x e -=- 令f’(x)=0,解得x=1当x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e - 令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=--当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数．又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). （Ⅲ）证明：（1）若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。
黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题
德强高中2021-2022学年度下学期期中考试高二学年数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是()()n a b n *+∈N ，当1,2,3,4,5,6n =时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（）A ．5,9B ．5,10C ．6,9D ．6,102．23A =（）A ．1B ．3C ．6D ．93．下列求导运算正确的是（）A ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭C ．()1ln x x'=D ．()33x x'=4．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A ，B ，C 三个村调研脱贫后的产业规划，其中6名工作人员都必须参加且不要求每村必须有工作人员去调研，则不同的安排方式种数共有（）A ．25CB ．41222323262642633222C C C C C C C A A A ++C ．63D ．365．()51x -的二项展开式中含有2x 项的系数为（）A ．-20B ．-10C ．10D ．206．已知()313f x x x =-在区间()2,6m m -上有极小值，则实数m 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-C ．⎡-⎣D ．()7．如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（）A ．33种B ．23种C ．20种D ．13种8．()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '<，且()1e f =，()32e f =，则不等式()221e 21e 0x f x +-->的解集为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．对于离散型随机变量X ，它的数学期望()E X 和方差()V X ，下列说法正确的是（）A ．()E X 是反映随机变量的平均取值B ．()V X 越小，说明X 越集中于()E XC ．()()E aX b aE X b+=+D ．()()2V aX b a V X b+=+10．在()()*13N nx n -∈的展开式中，二项式的系数和为256，则下列说法正确的是（）A ．8n =B ．展开式中各项系数和为256C ．第4项的二项式系数最大D ．展开式中所有系数的绝对值的和为8411．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．在区间(1,1)-上，函数()f x 是增函数B ．在区间(2,3)上，函数()f x 是减函数C ．2-为函数()f x 的极小值点D ．2为函数()f x 的极大值点12．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数()e xf x =的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为______.14．已知随机变量X 服从正态分布()26,N σ()0σ>，若()30.8P X >=，则()39P X <<=______．15．甲乙两位游客慕名到南阳旅游，准备分别从武侯祠､南阳府衙､卧龙岗和人民公园4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择武侯祠，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P BA =∣__________.16．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、黄球和绿球，其中黄球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出黄球即停．记拿出的绿球个数为ξ，且()104P ξ==，则随机变量ξ的数学期望()ξ=E ______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？18．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6，在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么(1)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？(2)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.19．已知函数32()393f x x x x =---(1)求()f x 在1x =处的切线方程；(2)求()f x 在[2,2]-上的最值．20．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的.(1)写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；(2)为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳.如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害.21．对于中国航天而言，2021年可以说是历史上的超级航天年，用“世界航天看中国”来形容也不为过．9月17日，神舟十二号航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波返回地球后与2名航天科学家从左往右排成一排合影留念．(1)总共有多少种排法？(2)若3名宇航员互不相邻，则一共有多少种排列方法？(3)若2名航天科学家之间航天员的数量为X ，求X 的分布列与数学期望．22．已知函数()e 1,()ln x f x a g x x =+=．(1)讨论函数()()()e xxf x xh x g x -=+的单调性；(2)若()()1xf x g x <-+，求a 的取值范围．1．D 【分析】观察出出“杨辉三角”中的数的特点从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行上方（两肩上）的两个数字的和，从而可得答案.【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点1.每一行有1n +个数字，每一行两端的数字均为12.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，即11m m m n n nC C C -+=+所以336410λμλ=+==+=，故选：D 2．C 【分析】由排列数公式求值即可.【详解】由题设233!A 6(32)!==-.故选：C 3．C 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】解：对于A ：cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ：()()()1e ln e ln +e ln e ln x x x x x x x xx⎛⎫'''==+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ：()1ln x x'=，故C 正确；对于D ：()33ln 3x x '=，故D 错误；故选：C 4．C利用分步计数原理直接求解.【详解】6名工作人员每人都有三种选择，所以共63种选择．故选：C 5．B 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中含2x 项的系数【详解】()51-x 的二项展开式的通项公式为()()515C 1rrrr T x -+=-，令52r -=，则3r =，所以()51-x 展开式中含2x 项的系数为()335C 110-=-，故选：B.6．D 【分析】求出函数的导数，确定单调性，进而确定极值点，根据条件列出不等式，求得答案.【详解】函数()313f x x x =-,因为()()()2111f x x x x =-=+-'，当11x -<<时，()0f x '<，当1x >或1x <-时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，所以()f x 的极小值为()1f ，x =1为函数的极小值点，因为()f x 在()2,6m m -上有极小值，所以216m m <<-，解得1m <<，故选：D ．7．B 【分析】先考虑所有的最短路径有37C 种，再减去经过CD 段的最短路程1224C C ⋅即可.由题意知：从从A 到B 的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有37C 35=种，又因为经过CD 段的走法有1224C C 12⋅=种，故不经过CD 段的最短路程有351223-=种.故选：B.8．B 【分析】构造函数()()xf xg x =e ，进而结合条件判断出函数()g x 的单调性，然后将原不等式变形并根据函数的单调性解出答案.【详解】因为()221e 21e0x f x +-->，可化简为()2121e 0x f x --->，令函数()()xf xg x =e，则()()()exf x f xg x '-'=.因为()()f x f x '>，所以()0g x '>，()g x 在R上单调递增.又()()111ef g ==，而()2121e 0x f x --->等价于()21211ex f x -->，即()()211g x g ->，所以211x ->，解得1x >.故选：B 9．ABC 【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果.【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB 正确；由期望和方差的性质可得，()()E aX b aE X b +=+，()()2V aX b a V X +=，即C 正确，D 错；故选：ABC.10．ABD 【分析】根据二项式定理相关性质计算即可.【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为2256n =，解得8n =，A 选项正确；令1x =，得()()88132256-=-=，B 选项正确；8n =时，()13n x -的展开式共9项，二项式系数最大的项为第5项，C 选项错误；()828012813x a a x a x a x -=+++ ，则1a ，3a ，5a ，7a 为负数，0a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为018012345678a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-+ ，令=1x -，得()88018134a a a +++=+= ，D 选项正确；故选：ABD.11．BD 【分析】根据导函数的图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，()1,0x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，故A 错误；对选项B ，()2,3x ∈，()0f x '<，()f x 是减函数，故B 正确；对选项C ，()3,2x ∈--，()0f x ¢>，()f x 是增函数，()2,0x ∈-，()0f x '<，()f x 是减函数，所以2-为函数()f x 的极大值点，故C 错误；对选项D ，()0,2x ∈，()0f x ¢>，()f x 是增函数，()2,3x ∈，()0f x '<，()f x 是减函数，所以2为函数()f x 的极大值点，故D 正确.故选：BD 12．BD 【分析】A 选项借助导数研究函数的极值情况；BC 选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D 选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系．【详解】A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在()0,∞+上单调递减，又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；C ：若()f x kx >，即2ln x kx x+>，则22ln x k x x<+，令()22ln xg x x x=+，则()34ln x x x g x x -+-'=，令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以()0g x '<，所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错；D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点，∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<．令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+，∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t -==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->．∵211x t x =>，则ln 0t t >，∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在()1,+∞上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在()1,+∞上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确，故选：BD ．【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系．13．e 【分析】根据导数的几何意义求()()1,1f 处的切线斜率.【详解】由题设()e x f x '=，则(1)e f '=，所以图象在点()()1,1f 处的切线斜率为e.故答案为：e 14．0.6【分析】根据概率之和为1，求得()3P X ≤，再利用正态曲线的对称性得()()93P X P X ≥=≤，即可求得答案.【详解】解：因为()30.8P X >=，所以()310.80.2P X ≤=-=，因为随机变量X 服从正态分布()26,N σ()0σ>，所以()()930.2P X P X ≥=≤=，所以()3910.20.20.6P X <<=--=.故答案为：0.6.15．67【分析】分别求出甲和乙至少一人选择武侯祠和甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择武侯祠对应的基本事件的个数，从而可得出答案.【详解】解：甲和乙至少一人选择武侯祠对应的基本事件有：44337⨯-⨯=个，即()7n A =，甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择武侯祠对应的基本事件有：11236C C ⋅=，即()6n AB =，所以()()6()7n AB P BA n A ==∣.故答案为：67.16．32##112##1.5【分析】讨论绿球的个数n (04)n <<，结合()104P ξ==可得3n =，进而知ξ可能值为{0,1,2,3}，求出对应的概率，即可求期望.【详解】设绿球共有n 个(04)n <<，当1n =，红球有3个，则()13131131111055452352322P ξ==+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，不符合；当2n =，红球有2个，则()121211105545435P ξ==+⨯+⨯⨯=，不符合；当3n =，红球有1个，则()111105544P ξ==+⨯=，符合；所以红球有1个，黄球有1个，绿球有3个，故ξ可能值为{0,1,2,3}，且()104P ξ==，()111325C C 3111154C 34P ξ==⨯+⨯=，()2123132355C C C 1112C 3C 24P ξ==⨯+⨯=，()3133133455C C C 113C 2C 4P ξ==⨯+=，所以()11113012344442E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：3217．(1)24种；(2)26种.【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；（2）应用分类加法求不同的取法.【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是43224⨯⨯=.（2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有43⨯种方法第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有42⨯种方法，第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有32⨯种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是43423226⨯+⨯+⨯=.18．(1)甲获得录取的可能性大；(2)0.308.【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲､乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.【详解】（1）记“甲通过笔试”为事件1A ，“甲通过面试”为事件2A ，“甲获得录取”为事件A ，“乙通过笔试”为事件1B ，“乙通过面试”为事件2B ，“乙获得录取”为事件B ，则()()12()0.50.40.2P A P A P A ==⨯=，()()12()0.60.30.18P B P B P B ==⨯=，即()()P A P B >，所以甲获得录取的可能性大.（2）记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C ，则()()()P C P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =+0.20.820.80.180.308=⨯+⨯=.19．(1)1220x y ++=(2)最大值为2，最小值为-25【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再利用点斜式可得切线方程；（2）求导，求出函数单调性，利用单调性即可得最值.【详解】（1）2()369f x x x '=--，(1)36912f '∴=--=-，又(1)139314f =---=-，()f x ∴在1x =处的切线方程为()12114y x =---，即1220x y ++=（2）2()369f x x x '=--，[2,2]x ∈-令()0f x '>，得21x -≤<-，令()0f x '<，得12x -<≤，故()f x 在[2,1)--上单调递增，在(1,2]-上单调递减．又32(2)(2)3(2)9(2)35f -=--⨯--⨯--=-，32(1)(1)3(1)9(1)32f -=--⨯--⨯--=32(2)23292325f =-⨯-⨯-=-，故()f x 在[2,2]-上的最大值为2，最小值为-25.20．(1)分布列见解析，期望值为83；【分析】（1）由题设写出成活沙柳的株数为X 的可能值，应用二项分布概率公式求对应值的概率，即可得分布列，进而求期望即可.（2）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x ，结合（1）有8240003x =求解，即可得结果.(1)设成活沙柳的株数为X ，则X 0=，1，2，3，4且()()()44C 10,1,2,3,4k k k P X k p p k -==-=，据题意，每种植3株就有2株成活，则23p =，所以()0404210C ))331((81P X ===，()1134211C )338((81P X ===，()2224212C 338((27P X ===，()3314213C ))32((1338P X ===，()4404214C ))16((1338P X ===，∴株数X 的分布列为X01234P 18188182732811681∴X 的期望值18832168()0123481812781813E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为x ，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳.据（1）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳83株，因此，共种植成活的沙柳83x 株.据题意，8240003x =，解得9000x =.所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害.(2)12(3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）由全排列定义计数可得；（2）用插入法，先排2名航天科学家，然后在3个空档插入3名航天员即可得；（3）由题意得X 的可能值为0，1，2，3，分别求得概率得分布列，再由期望公式计算期望．(1)由全排列定义知共有55A 120=种排法；(2)用分步计数原理，先排2名航天科学家，然后插入3名航天员，方法数2323A A 12=；(3)由题意X 的可能值为0，1，2，3，242455A A 2(0)A 5P X ===，12332355C A A 3(1)A 10P X ===，2222322255C A A A 1(2)A 5P X ===，55121(3)A 10P X ===，所以X 的分布列为X 0123P 2531015110311()123110510E X =⨯+⨯+⨯=．22．(1)答案见解析(2)21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出()h x ，求导，分0a和a<0确定导数的正负，即可确定单调性；（2）先参变分离得到()ln e 1e x x x a x -+<，令0,e x t x t =>，构造函数求导确定单调性，进而求出最值，即可求解.【详解】（1）因为()()()ln ,0e x xf x xh x g x x ax x -=+=+>，所以()1h x a x'=+，若0a，则()0h x '>在()0,∞+上恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递增，若a<0，则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．故()h x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，当0a 时，()h x 在()0,∞+上单调递增，当a<0时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由()()1xf x g x <-+即e ln 1xax x x +<-+等价于()ln e 1ln 1e e x x x x x x a x x -+--+<=，令e x t x =，则()1e 0x t x '=+>，则函数单调递增，则0t >，令函数()ln 1t t tϕ-+=，则()2ln 2t t tϕ='-，由()0t ϕ'=，可得2e t =，当()20,e t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；当()2e ,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增．故()2min 21()e e t ϕϕ==-，∴a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．。
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2021年高二数学下学期第十四次周练试题1．使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是( )
A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0
C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝0
2．a<b，b<0的一个必要条件是( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.a
b
>1 D.
a
b
<－1
3．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x<1 B．x>1
C．x>3 D．x<4
4．已知平面α和两条不同直线m，n，则m∥n的一个必要条件是( ) A．m∥α，n∥α
B．m⊥α，n⊥α
C．m∥α，n⊂α
D．m，n与α成等角
5．a>b的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2B．|a|>|b|
C.1
a
<
1
b
D．a－b>1
6．设a ，b ，c ∈R ，在下列命题中，真命题是( )
A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件
B ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件
C ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件
D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件
7．在“x 2＋(y －2)2
＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是__________________，结论是________________________________．
8．如果命题“若p ，则q ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p 是q 的________条件．
9．条件A ：1－x <0，条件B ：x >a ，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．
10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？
(1)若x 2＋ax ＋b ＝0有解，则Δ≥0；
(2)若f (x )＝2x 2＋3x ＋1，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，＋∞上是增函数； (3)若a 是有理数，则a 是无理数．
11．指出下列条件中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：∠C＝90°；q：△ABC是直角三角形；
(2)p：A∩B＝A；q：A B.
12．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件是否是必要条件？证明你的结论．
答案：
1． A
2． A
3． B
4． D
5． D
6． C
7．x2＋(y－2)2＝0 x(y－2)＝0
8．必要不充分
9．(－∞，1)
10．∵命题(1)与(2)为真命题，而(3)为假命题，
∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件．
11. (1)∵∠C＝90°⇒△ABC为直角三角形，
∴p⇒q.
∵△ABC是直角三角形，也可能∠B＝90°，
∴qD⇒/p.
∵p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(2)∵A∩B＝A⇒A⊆B，
∴pD⇒/q.
又A B⇒A∩B＝A，∴q⇒p.
∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
12．若a2－b2＝1，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1.∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件，
证明如下：
若a4－b4－2b2＝1，
则a4－b4－2b2－1＝0，即
a4－(b2＋1)2＝0，
∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
∵a2＋b2＋1≠0，
∴a2－b2＝1.
∴a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．O ^ K37558 92B6 銶
26758 6886 梆"40153 9CD9 鳙)39260 995C 饜33986 84C2 蓂=。