数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！

数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若

(I)命题P(1)成立；

(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.

由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．

我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，

运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．

一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．

(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．

(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，

为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．

运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可

第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。

1.5归纳法原理与反归纳法

数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n－1正确，就能推出命题对n也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而

上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．

1. 第一数学归纳

定理1.19如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n=1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n的正确性就能推出命题Ｔ对n+1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳）证明设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则

(1) ．

设，则命题Ｔ对n正确，这时命题对也正确，即

(2)

所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．

下面我们给出一个应用数学归纳法的命题．

例１求证

证明(1)当n=1时，有

所以n=1，公式正确．

(2)假设当k=n时，公式正确，即

那么当k=n＋１时，有

所以公式对n+1也正确．

在利用数学归纳法证明某些命题时，证明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第二数学归纳法．在叙述第二归纳法以前，我们先证明几个与自然数有关的命题．

2. 第二数学归纳法

命题１若，则．

证明因为

所以

所以

命题２１是自然数中最小的一个．

证明若，则有前元b，所以

命题3若，则．

（即数与＋１是邻接的两个数，中间没有其他自然数，不存在b，使得．）证明若,则．

因为，所以，即．

由上述有关自然数大小的命题，我们得出下面定理，有时也称为最小数原理．

定理 1.20自然数的任何非空集合Ａ含有一个最小数，即存在一个数，使得对集合Ａ中任意数b，均有．

证明设M是这样的集合：

对于M中任意元素，对A中任意元素，均有

则M是非空集合．

因为，由归纳公理(4)知，一定存在一个元素．

但，即，

否则由得Ｍ＝Ｎ，这显然不可能．

现在我们证明．因为若

，

则Ａ中任意元素

所以，与矛盾，所以m即为Ａ中最小元素．

上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第二数学归纳法．（第二数学归纳法）

定理1.21对于一个与自然数有关的命题Ｔ，若

(1)当n=１时命题Ｔ正确；

(2)假设命题T对正确，就能推出命题T对正确．

则命题T对一切自然数正确．

证明如果命题Ｔ不是对所有自然数都成立，那么使命题不成立的自然数集合Ｍ就是非空集合，由定理1.20，Ｍ中含有一个最小数k，且（∵k=1命题正确），所以对一切,命题T成立，又由(2)推出命题T对k正确．结论矛盾．

下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法而不能应用第一归纳法解题的例子．

例２已知数列，有

且

求证．

证明对n=1，有; 所以命题对n=1正确．

假设命题对正确，则

所以命题对n=k正确．

由第二数学归纳法本题得证．

例３已知任意自然数均有

（这里）

求证

证明

(1)当n=1时，由，得

所以命题对n=1正确．

(2)假设对命题正确，这时

，

当n=k+1时，

(1)

但是

(2)

又因为归纳假设对命题正确，所以

所以

由(1)和(2)式得

消去，得

解得舍去）

所以命题对n=k+1也正确．

上边的两个例子，实际上例２命题归结到n-1和n-2，而例３则需要归结到1,2,…k，由此可见，第二数学归纳法的作用是不能由第一归纳法所替代的．

现在我们继续讲数学归纳法．当然，归纳并一定从n=1开始，例如例２数列的例子，也可以从某数k