第四章 马尔可夫型排队系统的性能分析
马尔可夫过程与排队论
马尔可夫过程与排队论马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念，它们在统计学、概率论、运筹学等领域中有着广泛的应用。
本文将分别介绍马尔可夫过程和排队论的基本概念和应用。
马尔可夫过程是一个随机过程，其特点是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性。
马尔可夫过程是由状态空间和转移概率矩阵组成的。
状态空间是一组离散或连续的状态，转移概率矩阵描述了不同状态之间的转移概率。
马尔可夫过程的一个重要应用是在排队系统中的模拟和分析。
排队论是研究排队系统的数学方法和技术的学科。
排队系统是指由顾客和服务员组成的系统，顾客需要接受服务，而服务员有一定的处理能力。
排队论主要关注以下几个方面的问题：平均等待时间、系统繁忙率、系统的稳定性等。
排队论通过数学建模，提供了一种分析和优化排队系统的方法。
在排队系统中，马尔可夫过程可以用来描述系统的状态变化。
例如，一个银行的柜台服务系统可以看作是一个排队系统。
顾客到达银行后，根据柜台服务员的繁忙情况，决定是否需要排队等待。
排队等待时，顾客处于等待状态；当柜台服务员空闲时，顾客进入服务状态。
这个过程可以用马尔可夫过程来描述，其中状态空间包括顾客的等待状态和服务状态，转移概率矩阵描述了顾客在不同状态之间的转移概率。
马尔可夫的应用广泛，不仅在排队系统中有着重要作用，还在许多其他领域中有着广泛应用。
例如，马尔可夫链被用于自然语言处理中的语言模型，通过学习上下文的转移概率来预测下一个词的概率。
马尔可夫过程还被用于金融领域的风险管理，通过建立市场模型来预测金融资产的价格变动。
排队论也有许多重要的应用。
在制造业中，排队论可以用于优化生产线的运作效率，减少等待时间，提高资源利用率。
在交通领域，排队论可以用于交通信号控制系统的优化，减少拥堵现象。
在电信业中，排队论可以用于优化无线网络的资源分配，提高用户的通信质量。
总结来说，马尔可夫过程与排队论是数学中重要的两个概念。
马尔可夫过程描述了一个随机过程的状态变化，而排队论则应用了马尔可夫过程来分析和优化排队系统。
通信系统的马尔可夫过程模型
通信系统的马尔可夫过程模型现代通信系统的设计和性能分析越来越依赖于马尔可夫过程模型。
马尔可夫过程是一种数学模型，可以描述系统状态随时间的变化，特别适用于具有随机特性的系统，例如通信系统中的信道状态和数据流量等。
本文将介绍通信系统中常用的马尔可夫过程模型及其应用，旨在帮助读者理解通信系统的性能分析方法和技术。
1. 引言通信系统是信息传输和交换的关键组成部分，其性能直接影响到用户体验和系统效率。
为了有效地分析和优化通信系统的性能，需要建立准确的数学模型。
马尔可夫过程作为一种常用的建模工具，能够描述系统状态的演化规律，是通信系统性能分析的重要手段。
2. 马尔可夫链马尔可夫链是马尔可夫过程的基本模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机系统。
马尔可夫链的核心思想是“未来仅取决于当前状态，与过去状态无关”。
在通信系统中，常用的马尔可夫链模型有信道状态和用户行为等。
2.1 信道状态马尔可夫链通信系统中的信道状态常常是不确定的，例如无线通信中的信道衰落和干扰等。
为了描述这种不确定性，可以使用信道状态马尔可夫链模型。
该模型将信道状态定义为一系列离散的状态，通过状态间的转移概率描述信道状态的演化过程。
基于该模型，可以进一步分析通信系统的传输性能和容量等。
2.2 用户行为马尔可夫链在移动通信系统中，用户的行为常常具有随机特性，例如用户的移动模式和通信需求等。
为了更好地理解和满足用户的需求，可以使用用户行为马尔可夫链模型。
该模型将用户的行为抽象为一系列离散的状态，通过状态间的转移概率描述用户行为的演化过程。
基于该模型，可以优化通信资源分配和调度策略，提高用户的通信质量和系统效率。
3. 马尔可夫过程的性能分析通过建立马尔可夫过程模型，可以对通信系统的性能进行量化和分析。
常用的性能指标包括系统吞吐量、平均延迟和丢包率等。
3.1 稳态性能分析马尔可夫过程的稳态分析用于计算系统在长期运行中的平均性能。
通过求解状态转移方程或离散时间平稳分布，可以获得系统的稳态性能指标。
排队论大学课件11-马尔科夫排队网络
pn
D n (t ) D (t )
t
lim
D n (t ) D (t ) D n (t ) D (t )
An (t ) D (t )
t
An (t ) A(t ) 1
lim 0
t
lim
An (t ) A (t ) A (t ) D (t )
t
pn pn
axbx指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品但是不包括以治疗为目的的物品在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料马尔可夫排队网络马尔可夫排队网络一个二节点的级联网络一个二节点的级联网络两顾客离开的间隔时间是后面顾客到达的间隔时间后面顾客服务的时间后一个顾客前一个顾客前一个顾客后一个顾客指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品但是不包括以治疗为目的的物品在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料马尔可夫排队网络马尔可夫排队网络一个二节点的级联网络一个二节点的级联网络情况一出现的概率顾客离开时发现系统中有顾客的概率顾客到达时发现系统中有顾客的概率统计平衡时系统队长不为0的概率可见mm1排队系统的顾客输出流是泊松流并且强度与其输入流强度相同指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品但是不包括以治疗为目的的物品在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料burkeburke在平稳状态下mmn排队系统的顾客离开的过程为泊松过程离开率等于到达率
t 0
t 0
因为输入流是泊松流，所以A(t, t+∆t)发生的概率是 ∆t+o(∆t)，与 N(t)=n这个事件无关。所以
P [ A ( t , t t ) | N ( t ) n ]＝ P [ A ( t , t t ) 】 p n ( t ) lim p n ( t ) p n ( t )
第四章 马尔科夫排队系统-mmmm
λ = the arrival intensity (rate) of the customers µ = the service rate of the server (the mean service time is 1/µ) Denote
N = number of elements reserved (number of customers in system) πj = P{N = j } the equilibrium probability of state j
J. Virtamo
38.143 Queueing Theory / Loss system
6
The required capacity as a function of the load The following table gives the required number of trunks n as a function of the offered traffic intensity a when the allowed blockin is 1 %. The last column gives the required relative oversizing n/a, i.e. the ratio of the number of trunks to the load. a (erl) n 3 8 10 18 30 42 100 117 300 324 1000 1029 n/a 2.7 1.8 1.4 1.17 1.08 1.03
The state variable Nt constitutes a Markov process of the birth-death type - the state can change only stepwise
马尔可夫性质
泊松过程与排队论应用
01
泊松过程在排队论中的角色
泊松过程是一种重要的随机过程，在排队论中广泛应用于描述顾客到达
的规律。
02
排队系统的性能指标
排队系统的性能指标包括平均队长、平均等待时间、系统利用率等，这
些指标可以通过泊松过程和其他随机过程进行建模和分析。
03
排队论在实际应用中的价值
排队论在实际应用中具有广泛的价值，如电信网络中的呼叫中心、交通
03
序列生成与预测
利用马尔可夫模型对序列数据的建模 能力，结合深度学习等技术，可以实 现更加准确的序列生成和预测。
THANKS
感谢观看
稳态概率分布求解
对于非齐次、非遍历性马尔可夫模型，如何求解稳态概率分布是一 个重要的问题。
深度学习等新技术融合创新
01
深度学习与马尔可夫 模型融合
利用深度学习强大的特征提取和表示 学习能力，可以改进传统马尔可夫模 型的性能。
02
强化学习与马尔可夫 决策过程
将强化学习算法与马尔可夫决策过程 相结合，可以实现更加智能的决策和 控制。
马尔可夫性质
汇报人： 2024-02-06
目录 CONTENTS
• 马尔可夫性质概述 • 马尔可夫链基本概念 • 马尔可夫性质在随机过程中应用 • 马尔可夫性质在信息科学中应用 • 马尔可夫性质在金融领域应用 • 马尔可夫性质挑战与未来发展
01
马尔可夫性质概述
CHAPTER
定义与基本思想
马尔可夫性质是指在给定现在状 态下，过去的信息与未来状态无 关，即未来只依赖于现在，而与
非线性、非高斯问题
复杂系统往往呈现出非线性和非 高斯特性，这使得基于线性高斯 假设的马尔可夫模型不再适用。
马尔可夫排队模型
第一节 状态转移图
• 状态：系统的某种可以稳定存在的形态。
– 从随机过程角度去看，则为随机过程的取值
• 变迁：状态间的有向弧，描述状态间可能的变化。
– 变迁没有延迟，发生的时间为0
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
• t1’:A的平均修复时间
• t1:A的平均无故障时间。（ λ1指数分布参数）
– 同样可能的变迁S1→S3，S3→S1，S0→S2，S2→S0， S2→S3，S3→S2，强度分别为：λ2、μ2、λ2、μ2、λ1、 μ1
• 试证
M|M|1|0的普通解
• 对应的哥氏方程组：
– p0‘(t) ＝ －λp0(t) ＋μp1(t) – p1‘(t) ＝ － μp1(t) ＋ λp0(t)
• 解得：
– p0(t) ＝μ/(μ+λ)+Ce -(μ+λ)t – 若 t=0 p0(t) =1，则 C＝ λ/(μ+λ) – ∴ p0(t) ＝μ/(μ+λ)+ λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t – p1(t)=1-p0(t) = λ/(μ+λ)-λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t
07：排队网络模型的性能分析
一个典型的通信网络8泊松分布过程的一个例子。
10111522 237、局部平衡与时间可逆性30312、Jackson网络－独立性假设几点独立性假设9相互独立的外部到达、泊松过程9相互独立的服务时间、负指数分布•同一个顾客在不同的排队节点遵循相互独立、且有可能不同参数的负指数分布。
9相互独立的路由策略•在某一节点接受完服务后独立地决定下一节点的路由、或者退出该排队网络。
322、Jackson网络－稳态概率()()()111212,,,,mi i j jij m m i r P I Q r r r λλλγλλλγ−=+Λ−Λ∑L L ＝对于节点，顾客到达率如下：用矩阵形式可以表示为：＝其中：＝＝33111212122212m m m mm m P P P P P P QPP P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M M L Q矩阵的性质9对于开环网络来说，至少存在一个节点i有ri>0或者mij 1P 0>∑j=0－343、Jackson定理Jackson 定理9对于一个平稳状态的Jackson网络，在任一节点内的顾客数与其它节点的存在的顾客数无关。
9队长的概率分布Pn=P(n1,n2,…n m )等于每个单个节点队列长度概率分布的积。
353、Jackson定理()()()()()()()121122001100,,,!!!!iii i i i i i mm mn ii i i i i sn s i i i i n s s i i in i i i i ii i iP n n n p n p n p n ap n s n p n a p n s s a a s p n s s a s i a ρλµ−−−==⋅⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎛⎞=+⋅⎜⎟−⎝⎠=∑L L ，，为第个排队节点的服务者数,363、杰克逊网络通信量方程解）非奇异性，存在唯一（）＝－（则＝令稳态总体流量：通信量方程：Q -I Q I }{},{11γλλλλγλγλij i Mi i j Mi jij i i q Q q q ==+=∑∑==iiλiγiq 11λMiM q λ38399虽然外部顾客以泊松过程到达节点i，但实际到达于第i个节点的顾客为非泊松分布过程。
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
通信网络的排队问题
5
little定理
已知量
顾客到达率（指单位时间内进入 系统的平均顾客数，也称为单位时间 内进入系统的”典型”顾客数，“典型” 是时间平均）
服务速率（指系统处于忙时单位时 间内服务的典型（平均）顾客数）
求解量
6
little定理
系统中的平均顾客数（他是在等 待队列中和正在接受服务的顾客数之 和的平均数）
令Ti=第i个到达的顾客在系统内话费的时间 （时延），则在[0,t]内顾客的平均时延为
9
little定理
稳态的平均时延为 N，λ，T的相互关系是: 这就是little定理（公式）。该 公式表明：系统中的用户数=用 户的平均到达率X用户的平均时 延。
10
马尔可夫型排队系统
定义：排队系统的状态变量或变量组 具有马尔可夫型的排队系统，即排队 系统本身构成了一个马尔可夫过程。 由于排队系统的随机特性主要来源与 顾客的到达和所需要的服务时间，不 难想象，如果顾客的到达和服务时间 均没有记忆性，则该排队系统的状态 变量也必然没有记忆性，或称马尔可 夫性。
11
通信网络的排队问题
1
通信网络的排队问题
目录
1.排队模型 2.little定理 3.马尔科夫型排队系统
2
排队模型
排队规则 等待制：系统忙时，顾客在系统中待。 损失制：是指顾客发现系统忙时，立
即离开系统。典型的的损失制系统就是 我们日常使用的电话通信系统。当用户 打电话时，发现系统忙时，立刻会放下 电话离开系统。
每个顾客的平均时间（即每个顾客等 待所花的时间加上服务时间之和的平 均值）
7
little定理
N(t)=系统在t时刻的顾顾客数，即
N
t
系统稳态时的平均顾客数为
基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法
基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法随着智能手机的普及，行程时间预测不仅成为了一项重要的服务，也受到了更多的关注。
然而，传统的行程时间预测方法存在着一定的局限性，并且不能准确预测用户行驶时间。
在此背景下，马尔可夫排队模型作为一种改进的行程时间预测方法已经得到了广泛应用。
本文将从历史和理论的角度对马尔可夫排队模型以及它的实现进行概述，介绍它的主要优势以及在行程时间预测中的应用情况。
一、马尔科夫排队模型的历史马尔科夫排队模型是由美国经济学家希尔伯特马尔科夫在1937年提出的。
此模型的基本思想是，当一个客户到达某一系统时，它需要等待一定的时间，而这段时间受到前面客户的到达状况和系统中内部处理活动影响。
经过一段时间，后续的客户们到达系统时，会发现当前处理的客户及其队列状况，从而决定他们的等待时间。
二、马尔科夫排队模型的理论马尔科夫排队模型基于几个假设，即每个用户都是独立且相同的，每个用户只有一次机会进入系统，用户数量是有限的，而服务器容量是无限的，服务器可以根据用户的要求来进行实时处理，服务器计算能力具有良好的稳定性，而且服务器空闲时间能够被有效利用等。
以上这些假设十分简单，但是它们能够很好的描述实际环境中的复杂处理过程。
三、马尔可夫排队模型的优势马尔可夫排队模型具有极高的准确性，可以精确预测用户行驶时间；它可以实时处理用户到达某一系统时所需要等待的时间；此外，它比传统的行程时间预测方法更加灵活，可以根据环境条件和用户到达的情况来做出相应的调整，从而更好的满足用户的行程时间预测需求。
四、马尔可夫排队模型在行程时间预测中的应用由于马尔可夫排队模型具有准确预测用户行驶时间的能力，因此它已经被大量的出行服务提供商用作行程时间预测的核心技术。
在出行预订服务中，系统会根据用户输入的地址、出行类型等信息，计算出用户到达目的地的准确行程时间。
除此之外，马尔可夫排队模型也可以在出行规划服务、航班出行服务等方面得到广泛应用，从而改善用户出行体验。
06：简单排队模型的性能分析
15
6、Erlang Loss Performance
16
二、排队论的初步应用
1、电路交换网的设计 2、M/M/s与M/M/s(k) 3、三种排队模型的性能比较
17
1、电路交换网的设计
18
93
1、电路交换网的设计
单方向中继线
aA→B = 0.05*1000 *(1000 /1999) ≅ 25erl aB→A = 0.05*1000 *(1000 /1999) ≅ 25erl E35 (25) = 0.01165 > 0.01 E36 (25) = 0.00802 < 0.01 SA→B ≥ 36 SB→A ≥ 36
PL
=
ps+k
=
as s!
ρk
p0
∑s+k
M (0) =
j=s
pj
= as ⋅1− ρk s! 1− ρ
p0
平均队长
∑ ∑ Lq
=
s+k
( j − s) pj
j=s
k
=[
rρr ] as
r =0
s!
p0
平均等待时间
Wq
=
Lq λ(1− PL )
13
6、M/M/s(0) 与Erlang-B公式
M/M/s(k)中若k=0, 则
请问：1、假设IP包的到达间隔和包长均服从负指数 分布，请问IP包通过该路由器的平均延迟时间为多少？
2、假设IP包的到达间隔和包长均服从负指数分布， 但中继线传输速率由128Kbps扩容到384Kbps，请问IP 包通过该路由器的平均延迟时间为多少？
3、假设IP包的到达过程仍然是泊松过程，但包长 为1280比特的固定长度，请问IP包通过该路由器的平 均延迟时间为多少?
《2024年休假M-M-c排队系统驱动的流模型》范文
《休假M-M-c排队系统驱动的流模型》篇一休假M-M-c排队系统驱动的流模型一、引言随着科技和经济的飞速发展，服务系统已成为我们日常生活不可或缺的一部分。
在这些系统中，排队模型，尤其是M/M/c （马尔科夫到达，马尔科夫服务时间，c个服务台）模型已经成为了理论和应用研究的焦点。
在这篇论文中，我们将重点讨论一个特别的M/M/c排队系统，那就是具有休假策略的系统，以及该策略下的流模型的研究和探讨。
二、M/M/c排队系统概述M/M/c排队系统是一种典型的随机服务系统，其中M代表到达间隔和服务时间的随机性，c代表服务台的数量。
在无休假的情况下，该系统通过调整服务台的数量来应对顾客的到达和离去。
然而，在现实中，服务系统常常需要暂时停止服务以进行维护或优化，这就是我们接下来要讨论的休假策略。
三、休假M/M/c排队系统休假M/M/c排队系统是一种具有特殊休假策略的M/M/c排队系统。
在服务过程中，当系统满足一定的条件时，例如服务台空闲或者等待队列中的顾客数量达到某个阈值时，系统会进入休假状态。
这种休假状态可能包括设备维护、工作人员休息等。
在休假期间，系统不接受新的顾客请求。
当休假结束时，系统会重新开始服务。
四、流模型分析在休假M/M/c排队系统中，流模型是一个重要的研究领域。
流模型主要研究的是系统中顾客的到达、服务、离开以及系统的休假策略等动态过程。
通过对流模型的分析，我们可以了解系统的性能指标，如平均等待时间、平均队列长度等。
这些指标对于评估系统的性能和优化系统的参数具有重要意义。
五、理论分析对于休假M/M/c排队系统的流模型，我们首先需要建立数学模型。
通过建立微分方程或者差分方程来描述系统的动态过程。
然后通过解这些方程来获取系统的性能指标。
此外，我们还需要使用仿真等方法来验证理论分析的结果。
六、实际应用休假M/M/c排队系统的流模型在许多领域都有广泛的应用。
例如，在电信领域，该模型可以用于描述电话交换系统的运行过程；在医疗领域，该模型可以用于描述医院急诊室的运行过程；在生产制造领域，该模型可以用于描述生产线的运行过程等。
第五章 马尔可夫型排队网络的性能分析
p? (1? p)
顾客以非常高的概率ｐ返回 （同一顾客连续被服务的时间相互独立）
排队节点的顾客到达呈现突发性（一个外部到达会触发一个反馈顾客）
? 尽管如此，Ｊａｃｋｓｏｎ定理告诉我们：在求解Ｊａｃｋｓｏｎ网络各节点 间联合概率分布时可以等效地认为各节点之间是相互独立的并
遵循 Ｍ／Ｍ／ｓ 规律
2001-3-28
? 开环网络(Open Network; Jackson Network) ? 闭环网络(Closed Network; Gorden-Norwell Network) ? 混合网络(Mixed Network)
pij
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
Ｅｘｔｅｒｎａｌri
Ｄｅｐａｒｔｕｒｅｓ
《通信网理论基础》
第5 章 马尔可夫型排队网络的性能分析
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
1
一个典型的通信网络
2.3.1 通信网络的排队网络模型
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
2
通信网络的排队模型化
Route 1
Route 2
Route 3
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
ｑｕｅｕｅ ｅｍｐｔｙ
ｑｕｅｕｅ ｂｕ1ｓ2ｙ
ｔ
Burke定理及其物理意义
2001-3-28
? ? ? @? 华? ?
13
马尔可夫排队系统的可逆性
[Theorem]: A Markov chain is reversible if and only if there exists probability distribution {pj} over the state space such that pi aij = pj aji for all pairs i not equal to j
排队系统
M/M/m 与M/M/M/m 排队系统性能分析1.1 M/M/m 排队系统主要性能参数在M/M/m 排队系统中，服务员为m 个。
设系统的到达率为λ，每个用户的服务率为μ。
当系统的用户数n>m 时，用户离开的速率为m μ,（因为只有m 个服务员），当n ≤m 时，用户离开速率为n μ（因为顾客数小于服务员数）。
此时的系统状态（既系统中的用户数）转移图如图1所示。
图1 M/M/m 排队系统的状态转移图设系统的稳态概率为（1-1-1）在系统能够达到稳态的情况下，系统从状态n 转移到n-1的频率必然等于系统从状态n-1转移到状态n 的频率。
即有（1-1-2）否则系统不稳定。
利用系统的状态转移图可得11()()()()n n n n n p n o p o n m p p m o p o n m μδδλδδμδδλδδ--+=+≤⎧=⎨+=+<⎩（1-1-3）μδ1－λδ…1－λδ－μδ2μδm μδ1－λδ－(m －1)μδ1－λδ－m μδm μδ1－λδ－m μδ1－λδ－2μδ(m 1)μδm μδ,111,n n n n n np P p P ---=lim {}lim {()}n K k k p p N n p N t n →∞→∞====当δ→0时, 系统的稳态全局平衡方程为（1-1-4）下面来递推以上公式 当n ≤m 时,12001()()(1)!!mn n n n m p p p p p n n n n m λλλλρμμμμ--=====-（1-1-5）当n>m 时,1()00()()()!!m m nn m n m n n n n m m m p p p p p m m m m m λλλρρμμμ-----====（1-1-6）综上可得，（1-1-7）式中：（1-1-8）00()!!nn m nm p n m n p m pn mm ρρ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩1m λρμ=<11==m n nn n np n p n m p p p n mλμλμ--≤⎧=⎨<⎩由 01nn p∞==∑，可推出（1-1-9）利用以上推导结果可以得出以下重要参数：（1）用户到达系统必须等待的概率Q P （也就是发现所有服务员都在忙的概率）系统忙意味着系统的状态必须大于等于m,即n ≥m, Q P 就是系统处在符合这种条件下的所有稳态概率之和。
第四章 马尔可夫型排队系统的性能分析
28
马尔可夫型排队系统的应用（3）
? 例题4-4：三种排队模型的性能比较
模型III: 综合网络/集中排队
模型II: 分散网络/集中排队
模型I: 分散网络/独立排队
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
29
三种排队模型的性能比较
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
30
三种排队模型的性能比较
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
3
连续时间马尔可夫过程的状态转移
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
4
离散时间马尔可夫链
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5
离散时间马尔可夫链
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连续时间马尔可夫过程
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三种排队模型的性能比较
注：平均等待时间的比较会得出不同的结论
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马尔可夫排队系统的过渡过程
? 过渡过程的分析是非常重要的（了解达到平稳 状态的过程和时间）
? 过渡过程的分析是非常困难的，即使是最简单 的M/M/1排队系统，其过渡过程解也非常复杂
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12
M/M/1排队系统的性能分析
? 等待/滞留时间的概率分布
2001-3-14
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13
M/M/1排队系统的扩展（1）
? 顾客到达率和服务率可变的M/M/1排队系统
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
计算
通过动态规划等方法求解得到某个状态或决策的价值函数。
3
马尔可夫链收敛定理
当状态转移矩阵满足一定条件时，价值函数将收敛于稳定状态。
马尔可夫决策的解法
动态规划方法
通过价值迭代或策略迭代，逐步优化价值函数和决策策略。
Q-学习算法
基于贝尔曼方程，通过不断更新Q值逼近最优策略。
SARSA算法
基于行动者-评论家模型，是一种基于完整算法更新的在线式强化学习方法。
马尔可夫决策过程（MDP）
定义
组成部分
马尔可夫决策过程是一种基于状态和动作的数学模 型，描述代理通过作出决策来影响环境状态的过程。
由状态、决策、即时奖励、状态转移函数和折扣因 子组成。
状态转移矩阵
描述状态之间的转移概率和奖励期望，是马尔可夫 决策的核心。
价值函数
1
定义
价值函数是衡量某个状态或决策的好坏程度的函数，用于指导决策。
案例分析
马尔可夫决策的应用举例
自主驾驶、机器人控制、智能电网等领域中广泛应 用。
基于马尔可夫决策的实际问题求解
根据不同行动策略，制定优化日常商场布局策略等。
总结
1 优缺点
马尔可夫决策具有计算代价高、状态空间巨 大等优缺点。
2 未来发展趋势
随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫决 策将在更多领域得到应用。
马尔可夫决策
在复杂的决策场景中，如何做出最佳决策？本课件将会详细介绍马尔可夫决 策，它是一种强大的数学工具，用于预测和优化决策过程。
概述
定义
马尔可夫决策是决策过程中 基于最优化准则进行决策的 一种数学模型。
特点
马尔可夫决策过程具有状态 转移矩阵、即时奖励等特点。
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
报酬函数与策略
报酬函数
描述系统在某一状态下采取某一行动后所获得的报酬或收益，通常用$r(s, a)$表示。报酬函数可以是正值、负值或零 ，取决于具体的决策问题和目标。
策略
描述了在每个状态下选择行动的规则或方法，通常用$pi(a|s)$表示在状态$s$下选择行动$a$的概率。策略可以是确 定的或随机的，根据问题的性质和求解方法的不同而有所选择。
约束处理方法
处理约束的方法包括拉格朗日松弛、动态规划中的约束处理等。
应用场景
约束条件下的马尔可夫决策过程在资源分配、任务调度等问题中有 广泛应用。
连续时间马尔可夫决策过程
连续时间模型
与离散时间马尔可夫决策过程 不同，连续时间马尔可夫决策
过程的时间参数是连续的。
转移概率与决策策略
在连续时间模型中，转移概率 和决策策略需要适应连续时间
值函数
描述了从某一状态开始遵循某一策略所获得的期望总报酬，通常用$V^pi(s)$表示在状态$s$下遵循策略 $pi$的值函数。值函数是评估策略优劣的重要指标，也是求解马尔可夫决策过程的关键所在。
03 值函数与最优策略求解
值函数定义及性质
值函数定义
在马尔可夫决策过程中，值函数用于评估从 某一状态开始，遵循某种策略所能获得的期 望总回报。它分为状态值函数和动作值函数 两种。
强化学习
强化学习问题可以建模为MDP，通过 智能体与环境交互来学习最优策略。
02 马尔可夫决策过程模型
状态空间与行动空间
状态空间
描述系统所有可能的状态，通常用$S$表示。在马尔可夫决策过 程中，状态空间可以是离散的或连续的。
行动空间
描述在每个状态下可采取的所有行动，通常用$A$表示。行动空间 也可以是离散的或连续的。
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aA? B ? 50erl
E62 (50) ? 0.01388 ? 0.01
E63 (50) ? 0.00844 ? 0.01
S ? 64 2001-3-14 A? B
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26
马尔可夫型排队系统的应用（2）
? 例题：有限等待空间排队系统与无限等待空间排队系统 的性能比较
? ? ? @? 华? ?
12
M/M/1排队系统的性能分析
? 等待/滞留时间的概率分布
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
13
M/M/1排队系统的扩展（1）
? 顾客到达率和服务率可变的M/M/1排队系统
? 分组交换网中 window-based flow control ? ATM网中用于ABR业务的 rate-based flow control ? 电路/分组交换网中的 dynamic bandwidth assignment
9
2001-3-14
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10
M/M/1排队系统的性能分析
? 全局平衡方程式(Global Balance Equation)
其中：
? 平稳状态概率的求解
?局域平衡方程式(local balance equation)：
pi
?平稳状态概率：
i
2001-3-14
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s?
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s?
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15
M/M/s/K排队系统的性能分析
? 被截断的M/M/s排队系统
?
?
?
?
?
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0
1
． ． ． ．
s-1
s
s+1
． ． ． ．
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(s ? 1)?
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? 排队系统性能
2001-3-14
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16
其他变型的马尔可夫排队系统
28
马尔可夫型排队系统的应用（3）
? 例题4-4：三种排队模型的性能比较
模型III: 综合网络/集中排队
模型II: 分散网络/集中排队
模型I: 分散网络/独立排队
2001-3-14
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29
三种排队模型的性能比较
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
30
三种排队模型的性能比较
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
36
课外练习（2）
? M(N)/M/s(0) Queueing Systems (Engset Formula)
2001-3-14
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37
马尔可夫型排队系统的总结
2001-3-14
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38
马尔可夫型排队系统的总结
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
3
连续时间马尔可夫过程的状态转移
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
4
离散时间马尔可夫链
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
5
离散时间马尔可夫链
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
6
连续时间马尔可夫过程
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
11
M/M/1排队系统的性能分析
? 排队系统的性能参数
? 队列长度的均值、方差
? 等待/滞留时间的均值
? 队列长度的概率分布与?和µ本身无关，只与两者的比? 有关；但是，平均等待/滞留时间不仅与?有关，而且 与平均服务时间成正比
? 同等负载（ρ）情况下的快速服务系统与慢速服务系统的例 子
2001-3-14
? ｛Ｎｔ｝：一维马尔可夫型排队系统 ? ｛Ｎ１ｔ，Ｎ２ｔ，… ，Ｎｋｔ｝：ｋ 维马尔可夫型排队系统
? 由于排对系统的随机特性主要来源于顾客的到达和所 需的服务时间，不难想象，如果顾客的到达和服务时 间均没有记忆性，则该排队系统的状态变量也必然没
有记忆性，或称马尔可夫性
? 对于马尔可夫型排对系统的性能分析，只要针对该排
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
33
马尔可夫排队系统的过渡过程（续）
2001-3-14
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M(N)/M/N模型的过渡解
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
35
课外练习（1）
? M/M/s Random Service Queueing System
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
39
多维马尔可夫排队系统的解析
? 例题：M1+M2/M1,M2/s(0,infty)
1
令 N_1=j 表示平稳状态下业务1
1
2
在排队系统中的顾客数；
2
N_2=i 表示平稳状态下业务2
s
在排队系统中的顾客数；
2001-3-14
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40
《通信网理论基础》
第4章 马尔可夫型排队系统的性能分析
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
1
马尔可夫型排队系统
? 定义：
? 可用当前状态变量或变量组（例如，任意时刻的队列长度）完 全描述的排队系统，即给定当前时刻的状态概率就完全可以
求解出将来时刻的状态概率
? 排队系统的状态变量本身是一个马尔可夫过程
(impatient customers)
2001-3-14
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17
到达率随队列长度变化的M/M/1排队系统
2001-3-14
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18
M/M/1/K Loss Performance
2001-3-14
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19
M/M/s(0)排队系统与Erlang-B公式
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
21
Erlang Loss Performance
2001-3-14
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22
Erlang-B Formula’s Application
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
23
Erlang-C Formula
2001-3-14
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
31
三种排队模型的性能比较
注：平均等待时间的比较会得出不同的结论
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
32
马尔可夫排队系统的过渡过程
? 过渡过程的分析是非常重要的（了解达到平稳 状态的过程和时间）
? 过渡过程的分析是非常困难的，即使是最简单 的M/M/1排队系统，其过渡过程解也非常复杂
? ? ? @? 华? ?
24
马尔可夫型排队系统的应用（1）
2001-3-14
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电路交换网的设计
单方向中继线：
aA? B ? 0.05x1000x(1000/1999) ? 25erl aB? A ? 0.05x1000x(1000/1999) ? 25erl E35 (25) ? 0.01165? 0.01 E36 (25) ? 0.00802? 0.01 S A? B ? 36 SB? A ? 36
对系统的当前状态建立起马尔可夫状态转移方程式就
可以求解出该排队系统的状态概率
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2
排队系统的马尔可夫过程描述
队列长度Nt
K
t
? 马尔可夫型排队系统在任意时刻的队列长度实际 上是一个最简单的马尔可夫过程，即生灭过程。
? 生灭过程的状态转移只在相邻状态之间发生
? 多维状态变量可以构成一个多维生灭过程
? 一般来讲，求解无限等待空间排队系统比较容易 ? 但是，能否用无限等待空间排队系统的队列长度的尾分布来
近似有限等待空间排队系统的阻塞率性能？ ? 一般来讲是不行的，但对于马尔可夫排队系统有如下结果：
2001-3-14
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27
马尔可夫型排队系统的应用（2）
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
?M/M/s(k)中若k=0, 则
或
（Erlang-B公式）
? Erlang-B公式的鲁棒性
?只与a有关，与?，µ本身无关
?与服务时间的概率分布无关（M/G/s(0)也适用)
? Erlang-B公式的迭代计算
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
20
Erlang Loss Performance
? 平稳状态概率
? 例：M/M/s排队系统的平稳状态概率
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? ? ? @? 华? ?
14
M/M/s排队系统的性能分析
? 等待概率：
? 平均队列长度：
Erlang-C Formula
? 平均等待时间：
? 等待时间的概率分布：
?
0
?
2001-3-14
?
1
2?
?
?
?
?
s-1
s
s+1
(s ? 1)?
多维马尔可夫排队系统的解析
2001-3-14
? ? ? @? 华? ?
41
本章小节