第七章FIR数字滤波器的设计方法精品PPT课件
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数字信号处理第七章1FIR数字滤波器的设计方法
22
2020/6/14
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34
故H ()对 0, ，2呈奇对称
2020/6/14
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24
4）h(n)奇对称，N为偶数
幅度函数：
H
(
)
N 1
h(n) sin
n0
N 1 2
n
N 1
2 n0
2h(n)
sin
N 1 2
n
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N 1
H ()
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
令 N n m 2
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 / 2
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7
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
1
1 ri
z
1
1
ri
1 ri
z 1
z 2
" " i 负实轴上
" " i 0 正实轴上
N 3 N 1 1
2
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4） zi rie ji ri 1 i 0或
即零点既在实轴上，又在单位圆上 零点： 1
Hi (z) (1 z1)
" " i z 1 " " i 0 z 1 N 2 N 1 1
1
2ri
cosi z1
ri2 z2 ri2
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故H ()对 0, ，2呈奇对称
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4）h(n)奇对称，N为偶数
幅度函数：
H
(
)
N 1
h(n) sin
n0
N 1 2
n
N 1
2 n0
2h(n)
sin
N 1 2
n
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N 1
H ()
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
令 N n m 2
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 / 2
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7
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
1
1 ri
z
1
1
ri
1 ri
z 1
z 2
" " i 负实轴上
" " i 0 正实轴上
N 3 N 1 1
2
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4） zi rie ji ri 1 i 0或
即零点既在实轴上，又在单位圆上 零点： 1
Hi (z) (1 z1)
" " i z 1 " " i 0 z 1 N 2 N 1 1
1
2ri
cosi z1
ri2 z2 ri2
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
FIR数字滤波器的设计精品PPT课件
0
2
2) II型:( h[k]=h[Mk]), M为奇数 M=3 h[k]={h[0], h[1], h[1], h[0]}
H (e j ) h[0](1 e j3 ) h[1](e j e j2 ) 2h[0]e j1.5 cos(1.5) 2h[1]e j1.5 cos 0.5
A( ) 2h[1]cos(0.5 ) 2h[0]cos(1.5 )
2 jh[0]e j1.5 sin(1.5 ) 2 jh[1]e j1.5 sin 0.5
A( ) 2h[1 0]sin(0 0.5) 2h[11]sin(1 0.5)
记：(M 1) / 2 L L A( ) 2h[L k ]sin((k 1/ 2) )
k 0
L
d[k ]sin((k 1/ 2) )
k 0
L
b[k ]cos[(k 1/ 2) ]
A ( )= 0
k 0
不能用于高通、带阻滤波器的设计
L
A(2 ) b[k ]cos[(k 1/ 2)(2 )]
k 0
L
b[k ]cos(2k (k 1/ 2) ) A( )
k 0
H ()关于 = 点奇对称
例：h[k]=( [k]+ [k1])/2
第7章 FIR数字滤波器的设计
▪ 线性相位FIR滤波器的性质 ▪ 窗函数法设计FIR滤波器 ▪ 频率取样法设计线性相位FIR滤波器 ▪ 线性相位FIR滤波器的优化设计
线性相位FIR滤波器的性质
•线性相位系统的时域特性 •线性相位系统的频域特性 •线性相位系统H(z)的零点分布特性
FIR滤波器的定义
H (e j ) h[0](1 e j 4 ) h[1](e j e j 3 ) h[2]e j 2
FIR滤波器设计课件
2
2
(2)设计线性相位的高通DF
从幅度特性看，可用第一种或第四种
第一种
N 1
Hr (w） a(n) cos wn
其中：
n
n0
n
0
0 a(0) a(n)
h( N 1) 2
2h( N 1 2
n)
第四种
H
r
(w)
M /2 n1
d
(n)
sin
w
n
1 2
d (n) 2h M n , n 1,2,, M
2
2
其中，Hr(w)是连续的振幅响应函数，可正可负的实函数
相位响应是一个不连续函数
例：设脉冲响应为h(n)={1，1，1，1}， 求出并画出频率响应
解：频率响应函数为
3
H e jw h n e jwn 1 e jw e2 jw e3 jw
n0
1 e4 jw
1 e jw
sin(2w) sin w 2
a
0
h
M 2
1
:中间样本
a
n
2h
M 2
1
n
，1
n
M2
3
将两式比较可得：
M -1 2
Hr a n cosn n0
II类线性相位:对称脉冲响应，M为偶数
这种情况下，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整数 h(n)=h(M-1-n)， 0≤n≤M-1
H
(e
jw )
M /2 b(n) n1
令q=z –1,f(q) 的系数与f(z)刚好倒序. 由于h(n)的系数是对成的，倒序并不会改变
系数.
如果zk是多项式的根 ，则pk=zk-1也是.
第七章_有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计PPT课件
H d (e j ) H ( z) |ze j
在z平面单位圆上对 H (e等j )间隔采样N点
H (k)
Hd
(e
j
)
|
2
k
k 0,1,2 N 1
N
对应时域中N点冲激序列h(n)
h(n)
IDFT[H (k )]
1 N
N 1
H (k )WNnk
k 0
k 0,1,2, N 1
其z变换为
H (z)
| | c c | |
2.冲激响应序列
hd (n)
1
2
Hd
(e
j
)e
jn d
1 c e j e jn d
2 c sin[(n )c ]
(n )
c sin[(n )c ] c (n )
3. 截短 hd (n)
Hd (e j ) 1
0
c 2 c
2
0
N 1
n
2
相当于
)e
jn d
2.根据给定的滤波器过渡带及阻带衰减要求，选择合适的窗函 数形式 w(n)。
3.滤波器冲激响应为
h(n) hd (n)w(n)
4.检验所得滤波器是否满足设计指标
例6－ 1
例6－1 设计一个线性相位的FIR数字低通滤波器，给定采样 频率 fc 15kH，z 通带截止频率 p 2 1.5103 rad，/ s阻 带起始频率 s 2 3103 rad ，/ s阻带衰减不小于 。
N 1 2
)
]
n0
相位响应
( ) N 1,
2
N 1
2
结论：具有 偶对称形式冲激响应的系统具有线性相位
2. h(为n)奇对称
第7章FIR数字滤波器的设计方法
通滤波器。
4. h(n)奇对称，N为偶数
H () N / 2 a(n) sin[(n 1 )]
n 1
2
幅度响应 H ()具有以下特点：
(1)当 0, 2 时， (2)H ()对 呈偶对称。H() 0 对 0, 2 呈奇对称
因此，具有h(n)奇对称，N为偶数的FIR滤波器不能实现低 通、带阻滤波器。
H (e j )
Hd
(e j ) *W (e j )
满足： () 或者 () 其中 都是常数。
当 d () 也标志滤波器具有线性相位。
对于FIR滤波器，设其单位冲激响应为h(n)，长度为N，则
N 1
对应的系统函数为：H (z) h(n)zn n0
下面讨论有限长单位冲激响应h(n)为实序列，并关于(N 1) / 2
偶对称或者奇对称两种情况的相位特性。
偶对称性或者奇对称，那么该FIR滤波器具有线性相位
特性。
7.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点 1. h(n)偶对称，N为奇数
H
( )
N 1
h(n) cos[(n
n0
N 2
1)
]
由于N为奇数,中间项为 n N,1 cos[(n N 1)] 1
2
2
其余项偶对称 ,
N 3
H () h( N 1) 2 2h(n) cos[(n N 1)]
为偶数的FIR滤波器不能用
于高通滤波器或者带阻滤
波器。
3. h(n)奇对称，N为奇数 ( N 1) / 2 H () a(n) sin(n)
n 1
幅度响应H ()具有以下特点：
(1)当 0, , 2 时，H() 0
(2) H ()对 0, , 2 呈奇对称。 因此，具有h(n)奇对称，N为奇数的FIR滤波器只能实现带
FIR数字滤波器的理论和设计PPT课件
应。它使得截断后产生的FIR滤波器特性与理想特性之间有误差，分析误 差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的FIR滤波器。
制作：常军
第 17 页 07.11.2020
讨论：
(1 )对 于 窗 函 数 截 断 处 理 后 的 吉 布 斯 效 应 会 在 通 带 内 产 生 波 动 ， 波 动 次 数 与 截 取 长 度 N (F IR 滤 波 器 的 阶 数 )有 关 ， 但 波 动 的 肩 峰 (最 大 波 动 幅 度 处 )幅 度 与 N 无 关 ， 取 决 于 窗 函 数 的 旁 瓣 幅 度 特 性 W (ej) 。
(P149~150)
N为 偶 数 ， h(n)偶 对 称 N为 偶 数 ， h(n)奇 对 称 N为 奇 数 ， h(n)偶 对 称 N为 奇 数 ， h(n)奇 对 称
() ()
2
() ()
2
h(n)偶 对 称 h(n)奇 对 称
相 延 时 和 群 延 时 都 为 常 量 群 延 时 为 常 量
N 为奇数，对称中心点是 N 1 。 2
H
(z)
N 1
h[n] z n
N 1
z 2
N 11 2
N 1 n
• { (h[n] z 2
h[ N
1
N 1( N 1 n )
n] z 2
)
h[
N 1 2
]}
n0
n0
N 1 n
N 1( N 1 n )
N 1 n
( N 1 n )
h[n] z 2 h[N 1 n] z 2
(2 )过 渡 带 宽 度 与 阶 数 N 有 关 ， 对 于 矩 形 窗 函 数 此 宽 度 为 4N。 相
FIR数字滤波器的理论和设计PPT课件
所 以 ， 只 要 使FIR滤 波 器 的 冲 击 响 应h(n)为 对 称 序 列 ， 就 可 以 取 得
线 性 相 位 特 性 。 群 延 时 g()N21。
制作：常军
第6页 07.11.2020
7.1.2 线性相位特性FIR 滤波器的实现流图：
具有线性相位特性的 FIR 滤波器的冲击响应 h(n)有对称性，所以系 统差分方程可以表示为：
(2)局部优化设计法：(等波纹逼近法)以理想滤波器特性为基础， 设定一、二个过渡带逼近点，然后对FIR滤波器差分方程系数进 行优化计算得H(z)。由于需要部分优化计算，所以计算量较大。 局部优化设计法主要是针对过渡带进行优化，而通带波动，阻带 特性等不一定很好。
(3)最优化设计法：(计算机辅助设计)在某种最小化误差准则下， 建立差分方程系数 b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解 方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计 算机进行设计。
h[n ]( z 2 z 2 )
对频率响应特性；
H
(e
j
)
e
j
N 1 2
N 11 2
j ( N 1 n )
• { h[n]( e 2
j( N 1 n)
e 2 )
h[ N
1]}
n0
2
j N 1
e 2
N 11
2
•{
h[n] cos ( N
1 n)
h[ N
1 ]}
e
j
N 1 2
•
A( )
7.1.3 线性相位特性FIR 滤波器的零、极点：
FIR 数字滤波器的系统函数只在 Z=0 处有N-1 阶极点。在Z平面有 N-1 个零点，如系统具有线性相位特性，则系统零点有一些规律。
第7章FIR数字滤波器的设计
| H (e jω) |
只能实现带通滤波器
-π
0
π
2π ω
(d) BSF
情况4：h(n) = -h(N-n-1)，N为偶数
M
H g () 2h(n) sin[(n )] n0 | H (e jω) |
-π
0
π
2π ω
(a) LPF
| H (e jω) |
N 1
2
,
M
N 1 2
N 1 N 1
h(n) hd (n)w(n)
N 1 2
hd (n) , 0 ,
0n 其 它n
N
1
h(n)
c
0 ,
sin[c (n
N 1)] 2,
0
n
c
(n
N 1) 2
其 它n
N
1
图7.2.1 窗函数设计法的时域波形（矩形窗，N=30）
加窗处理对理想矩形频率响应产生的影响
h(n)
hd
(n)wN
(n)
H (e j )
(7.2.6)
(
)
(N 1) 2
对实际FIR滤波器频率响应的幅度函数起影 响的是窗函数频率响应的幅度函数 WRg ()
可以实现各种滤波器
-π
0
π
2π ω
(c) BPF
| H (e jω) |
-π
0
π
2π ω
(d) BSF
情况2：h(n) = h(N-n-1)，N为偶数
N 1
2
,
M
N 1 2
N 1
H (e j ) h(n)e jn H g ()e j () H g ()e j n0
西电数字信号处理课件 第七章 FIR数字滤波器设计
n=0
∑h(n)cosωn ∑h(n)sinωn
N−1
cosωτ ∑h(n)cosωn + sinωτ ∑h(n)sinωn = 0
n=0 n=0
N −1
N −1
• 三角函数的恒等关系
∑h(n)cosω(n −τ ) = 0
n=0
返回
N −1
回到本节
∑h(n)cosω(n −τ ) = 0
n=0
N −1
− jω N −1 2
n =0 N −1 − jω 2
= ∑ h(n)e− jωn
N −1
+ ∑[h(n)e− jωn + h( N − n − 1)e− jω ( N −n−1) ]
n =0
M
N −1 N −1 − jω ( n − ) ) jω ( n − N −1 M 2 2 =e + h(n)e ] h + ∑[h(n)e n= 2 n =0 M − jωτ =e h (τ ) + ∑[2h(n)cos ω(n − τ )] n =0
(
)
= − sin[π (n − N / 2)] = 0 ∴ Hg (π ) = 0
因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。 因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。
返回
回到本节
h(n)奇对称 奇对称， 为奇数，h(n)=-h(N(3) h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n) • 相位特性: θ (ω ) = −π / 2 − ωτ
H ( e jω ) = H g (ω ) e jθ (ω ) = ∑ h ( n ) e − jω n
N −1 n=0
∑h(n)cosωn ∑h(n)sinωn
N−1
cosωτ ∑h(n)cosωn + sinωτ ∑h(n)sinωn = 0
n=0 n=0
N −1
N −1
• 三角函数的恒等关系
∑h(n)cosω(n −τ ) = 0
n=0
返回
N −1
回到本节
∑h(n)cosω(n −τ ) = 0
n=0
N −1
− jω N −1 2
n =0 N −1 − jω 2
= ∑ h(n)e− jωn
N −1
+ ∑[h(n)e− jωn + h( N − n − 1)e− jω ( N −n−1) ]
n =0
M
N −1 N −1 − jω ( n − ) ) jω ( n − N −1 M 2 2 =e + h(n)e ] h + ∑[h(n)e n= 2 n =0 M − jωτ =e h (τ ) + ∑[2h(n)cos ω(n − τ )] n =0
(
)
= − sin[π (n − N / 2)] = 0 ∴ Hg (π ) = 0
因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。 因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。
返回
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h(n)奇对称 奇对称， 为奇数，h(n)=-h(N(3) h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n) • 相位特性: θ (ω ) = −π / 2 − ωτ
H ( e jω ) = H g (ω ) e jθ (ω ) = ∑ h ( n ) e − jω n
N −1 n=0
第7章FIR数字滤波器设计
（1）当 时H，(cos)[(Nn1h1()n] )c0o，s[( N 1 n) ]
n0 2
2
由即且于H由N(于是)co偶s0[,数H(n，(z)故在12 )Hz]对(1)无处，单是令必奇独m然对项=(有称N。-一，1合)/个2所并-n零以后H点可(。得)对 呈奇对称；
H
(（（32)））不余Nn/能弦201设项2h计对(n高)c通o0s，、2(带为N阻偶2滤1对波称器n，)。幅
ω=0、由π于、c2oHπsn偶(ω对对)2称ωh=。(0N、π1、) 2π2这(N 些1)/点2h1(偶n)对co称s[(，2n 因N此H1()ω)]关于
2
n0
2
令m=(N-1)/2-n
h( N 1) ( N 1)/ 2 2h( N 1 m)cosm
2
m 1
2
16
ⅱ. h(n)=h(N-1-n)，N为偶数——2型
()
()
/2
/2
2
3
用 H ( )e j ( )形 式
用 H ( e j ) e 形 j ( ) 式
8
H (e j ) s in 4 e j3 | s in 4 | e j ( )
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
0.5
1
0
0.5
1
0
-1
-2
-3
0
0.5
1
用 H ( )e j ( )形 式
h(n)
(N-1)/2 偶对称中心
n
0
N-1
n
0
N-1
(N-1)/2
h(n)
FIR数字滤波器的设计方法PPT演示课件
时域设计法——窗函数法，求FIR DF的h(n). 频域设计法——频率采样法，求FIR DF的H (e j )
7
§ 7-2 、线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤器的单位冲激响应： h(n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
H (z) h(n)zn n0
在 z 平面有N –1 个零点 在 z = 0 处是N –1 阶极点
为第二类线性相位。
N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性 相位FIR DF.
参看书P330 表7-1
17
三、线性相位条件的证明
N 1
H (e j ) h(n)e jn n0
H (e j ) H (e j ) e j ()
——（a） ——(b)
将第一类线性相位条件： () 代入（b）
并与(a)是比较即得证
18
N 1
H (e j ) h(n)e jn n0
H (e j ) H (e j ) e j
——（a）
N 1
H (e j ) cos h ncosn
n0
N 1
H (e j ) sin h nsin n
n0
N 1
tg
sin cos
h nsin n
n0
N 1
h ncosn
N 1
n0 N 1
hnsin cosn h ncos sin n 0
n0
n0
N 1
h nsin n 0
01
23 4 5 6 7 8 9 n
13
2、满足第二类线性相位的条件是：
h(n)是因果、有限长、实序列 且对(N 1) / 2奇对称。 即：h(n) h(N 1 n)
7
§ 7-2 、线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤器的单位冲激响应： h(n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
H (z) h(n)zn n0
在 z 平面有N –1 个零点 在 z = 0 处是N –1 阶极点
为第二类线性相位。
N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性 相位FIR DF.
参看书P330 表7-1
17
三、线性相位条件的证明
N 1
H (e j ) h(n)e jn n0
H (e j ) H (e j ) e j ()
——（a） ——(b)
将第一类线性相位条件： () 代入（b）
并与(a)是比较即得证
18
N 1
H (e j ) h(n)e jn n0
H (e j ) H (e j ) e j
——（a）
N 1
H (e j ) cos h ncosn
n0
N 1
H (e j ) sin h nsin n
n0
N 1
tg
sin cos
h nsin n
n0
N 1
h ncosn
N 1
n0 N 1
hnsin cosn h ncos sin n 0
n0
n0
N 1
h nsin n 0
01
23 4 5 6 7 8 9 n
13
2、满足第二类线性相位的条件是：
h(n)是因果、有限长、实序列 且对(N 1) / 2奇对称。 即：h(n) h(N 1 n)
第7章FIR设计.ppt
h(n) [-3,-4,-1,-2,4,4,-2,-1,-4,-3] h(n) [3,-1,2,4,5,5,4,2,-1,3]
b(n) [8,-4,-2,-8,-6]
b(n) [10,8, 4, 2,6]
20
30
15 20
10
10 5
0
0
-5 -10
-10
-20 -15
-20 0
1
2
3
4
5
6
7
-30 0
1
2
3
4
5
6
7
H() H()
情况3：h(n) h(N 1 n), N为奇数
频率特性：H（e j ) H（z) |ze j H ()e j ()
H
()
（N
3）/ 2
2h(n) sin[ (
N
1
n)]
n0
2
( N 1) / 2
h(n) [2,-2,3,-3,0,3,-3,2,-2]
c(n) [-4,-2,-4,8,4]
c(n) [0, 6,6, 4, 4]
15
20
15 10
10
5 5
0
0
-5 -5
-10
-10 -15
-15
-20
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
H() H()
情况4：h(n) h(N 1 n), N为偶数
2
2
特 点：当ω＝0，2π时，H() 0 ；固定的 / 2相移 当ω＝0， 2π 时，H()成 奇 对 称； ω＝π 时，H() 成偶对称
FIR数字滤波器的原理及设计ppt课件
ppt课件
52
2．肩峰及波动：是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多， 波动就越快；旁瓣相对值越大，波动就越厉害，肩峰也越 强。因此，肩峰及波动与所选窗函数有关。长度N的增加 能够使频响的波动加快，但是不能够改变肩峰和波动的相 对大小。
ppt课件
53
因此，加窗法设计FIR滤波器，h(n) 之长度也即窗口长度 N可以影响过渡带的宽度；而所选窗函数不仅可以影响过 渡带的宽度，还能影响肩峰和波动的大小。选择窗函数应 使其频谱：
43
WR(ejω )是ω 的偶函数。
ppt课件
(7.34)
44
图 7.7 矩形窗的频谱
ppt课件
45
由 (7.33) 式有：
（7.35） 式中积分等于θ 由 -ω c到ω c区间曲线WR[ej(ω -θ )]下的面
积，如图7.8中阴影所示。当主瓣的中心ω 变化时，此曲 线左右移动，此面积也就发生变化。
ppt课件
28
于是得到： 其中：
ppt课件
(7.25) (7.26)
29
上述四种情况有一个统一的形式，即：
(7.27)
其中，H(ω ) 是ω 的实函数，是三角函数的线性组合；因
此H(ejω )的相位由θ (ω ) 决定，而θ (ω ) 是ω 的线性函
数。当h(n)偶对称时，
；当h(n) 奇对称
7.2.3.1 网络结构
根据h(n)的对称性可以简化FIR滤波器的网络结构，详见 下面8.3节。
ppt课件
19
7.2.3.2 频率响应
FIR滤波器的频率响应为:
(7.18)
如果FIR滤波器是线性相位的，那末h(n)具有对称性，由 此可以导出线性相位FIR数字滤波器频率响应的特有形式。
《FIR滤波器设计》PPT课件
其中
(N1)/2
H (ej)ej(N1)/2
a(k)cos(k)
n0
a (k ) 2 h (N 1 k ) k 1 ,2 ,...,N 1
2
2
（7.10）
a(0) h(N 1) 2
可整理ppt
12
幅度函数为 相位函数为
(N1)/2
H() a(k)cos(k) n0
() (N1)
2
（7.11） （7.12）
I型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：
幅度函数对 N 1 偶对称，同时对 0,,2 也呈偶对称；
2 相位函数为准确的线性相位。
可整理ppt
13
证明： h(n)h(Nn1 )
H (ej)ej N 2 1 N 1h(n)cons N [ (1) ]
n0
2
相位函数为
()
N1
2
而幅度函数 H()N1h(n)cons[N (1)]
可整理ppt
7
FIR滤波器具有式（7.4）的线性相位的充分必要条件是：
单位抽样响应 h ( n ) 关于群延时 奇对称，即满足
N 1 2
（7.7）
2
（7.8）
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1 （7.9）
可整理ppt
8
把满足式（7.7）、（7.8）和式（7.9）的奇对称条件的FIR 滤波器分别称为Ⅲ型线性相位滤波器和Ⅳ型线性相位滤波 器。
2
j
e
2
N1
2
N1 n0
h(n)
sin[(n
N21)]
幅度函数与相位函数分别为
H()N1h(n)sin[(nN1)],
《FIR滤波器的设计》PPT课件
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4π/N ，
等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），
取决于WR()的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值
大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯 （Gibbs）效应）
Hd (e j ) hd (n) hd (n)w(n)
H (e j ) h(n)
以一个截止频率为 c的线性相位理想低通
滤波器为例
：低通滤波器的延时
则：
hd
(n)
1
2
Hd
e j
e jnd
1 c e je jnd sin(c (n ))
h (2) = 2，求幅度函数H ( )。
解： Ｎ为奇数并且
h(n)满足偶对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1
H ( ) = 2 - cos - cos2 = 2- (cos +cos2)
小结：
2
分四种情况：
1． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) 2． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n)
N 为奇数 N 为偶数
3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为奇数
4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为偶数
四种线性相位FIR DF特性：
•在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而
形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响
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• 频率响应：
H (e j )
H (z)
ze j
e
j
N 1 2
N 1
h(n)
n0
cos
N 1 2
n
相位函数： () N 1
2 为第一类线性相位
N 1
2
2）h(n)奇对称 h(n) h(N 1 n)
• 频率响应：
H (e j )
H (z)
ze j
je
j
N 1 2
N 1 n0
h(n)
2 n0
2h(n)
cos
N 1 2
n
N 1
H ()
2 n0
2h(n)
cos
N 1 2
n
令N nm
2
N
2
2h
m1
N 2
m
cos
m
1 2
H
(
)
N /2 n 1
b(n)
cos
n
1 2
其中： b(n)
2h
N 2
n
n 1,..., N 2
H
(
)
N /2 n 1
b(n)
cos
n
1 2
• 时
cos
n
1 2
0
则 H ( ) 0 z 1是零点
• H ( )对 0, 2呈偶对称 H ()对 呈奇对称 • z 1为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器
3）h(n)奇对称，N为奇数
幅度函数：
H
(
)
N 1 n0h(n)sinN 21n
sin
N 1 2
N 1
h(n)zn
n0
1 2
N 1
h(n)
n0
zn
z ( N 1) zn
N 1
z2
N 1
h(n)
n0
z
N 1n 2
z 2
N 1n 2
H
z
N 1
z2
N 1
h(n)
n0
z
N 1n 2
z 2
N 1n 2
z z
N 1n 2
N 1n 2
2
e jx e jx
cos
n
N
2
1
cos
N 1 2
n
cos
N 2
1
n
对
N 2
1
呈偶对称
N -3
H
(
)
h
N
2
1
2 n0
2h(n)
cos
N 2
1
n
令 N 1 n m
2
N 1
h
N 1 2
2 m1
2h
N 1 2
m
cos(m
)
N 1 2
H () a(n)cos(n) n0
其中：
a(0)
一、线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应： h(n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
H (z) h(n)zn n0
在 z 平面有N –1 个零点 在 z = 0 处是N –1 阶极点
1、线性相位条件
h(n)为实序列时，其频率响应：
N 1
H (e j ) h(n)e jn H ( )e j ( ) H (e j ) e j ( )
h
N 1 2
a(n)
2h
N 2
1
n
n 1,..., N 1 2
N 1 2
H ( ) a(n)cos(n)
n0
cos(n)对 0, ，2 呈偶对称 H ( )对 0, , 2 呈偶对称
2）h(n)偶对称，N为偶数
幅度函数：
H
(
)
N 1
h(n)
n0
cos
N 1 2
n
N 1
ze j
cos
N
2
1
n
j
sin
N 2
1
n
" " " "
cos x
H (e j )
2
H ( z) ze j
j
e
je
N 1 2
N 1 n0
h(n)
cos
j
N 1 2
N 1 n0
h(
n)
sin
N 1 2
n
N 2
1
n
" " " "
1）h(n)偶对称 h(n) h(N 1 n)
sin
N 2
1
n
e
j
N 1 2
j 2
N 1
h(n) sin
n0
N 1 2
n
相位函数：
() N 1
2
2
为第二类线性相位
N 1
2
0 / 2
3、幅度函数的特点
1）h(n)偶对称，N为奇数
幅度函数：
H
(
)
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
1
n
cos
N
2
1
(
N
1
n)
2h
N 2
n
n 1,..., N 2
H
(
)
N /2 n 1
d
(n)
sin
n
1 2
• 0, 2 时
sin
n
1 2
0
则 H ( ) 0 z 1是零点
• H ( )对 0, 2呈奇对称 H ()对 呈偶对称
• h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和 900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时
n0
线性相位是指 是 的线性函数
即群延时 d ( ) 是常数 d
第一类线性相位： () 第二类线性相位： () 0
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
第七章学习目标
• 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 • 掌握窗函数设计法 • 理解频率抽样设计法 • 了解设计FIR滤波器的最优化方法 • 理解IIR与FIR数字滤波器的比较
第七章 FIR数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器：
可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性
FIR数字滤波器：
可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多
(N
1
n)
sin
n
N 2
1
sin
N 1 2
n
sin
N
2
1
n
对
N 1 2
呈奇对称
h(n)奇对称且N为奇数
h
N 2
1
0
N -3
令
N
1
H ( )
nm
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
2
N 1
2 m1
2h
N 1 2
m
sin(m
)
N 1 2
H () c(n)sin(n) n1
其中：c(n)
2h
N 2
1
n
n 1,..., N 1 2
N 1 2
H ( ) c(n)sin(n)
n 1
• 0, , 2 时 sin(n) 0
则 H () 0 z 1是零点
• 因sin(n)对 0, ，2 呈奇对称
故H ( )对 0, ，2呈奇对称
4）h(n)奇对称，N为偶数
n0
n0
N 1
h(m)z(N 1m)
令m N 1 n
m0
N 1
z(N 1) h(m)zm
m0
z( N 1) H ( z1 )
由 H z z(N 1)H (z1)
得
H (z)
1 2
H
(z)
z ( N 1) H
( z 1 )
1 2
N 1 n0
h(n)
z
n
z ( N 1)
幅度函数：
H
(
)
N 1
h(n) sin
n0
N 1 2
n
N 1
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
N 1
H ()
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
令 N n m
2
N
2 m1
2h
N 2
m
sin
m
1 2
H
(
)
N /2 n 1
d
(n)
sin
n
1 2
其中： d
(n)