高中数学巩固练习二项式定理理基础

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2023年高考数学一轮复习点点练37二项式定理含解析理

点点练37二项式定理一基础小题练透篇1．已知(2x ＋1)n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．42．[2022·上海市月考]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第________项( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．1204．[2022·福建省莆田市月考]若(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 8(x ＋1)8，则a 3＝( )A ．56B ．448C ．－56D ．－4485．[2022·重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2022·江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2022·上海市模拟]已知(3x －1x)n展开式各项系数之和为64，则展开式中第5项的二项式系数是________．8．[2022·福建省质检]若二项式(1x＋2x )n的展开式中二项式系数和为64，则该二项展开式的常数项的值为________．二能力小题提升篇1.[2022·辽宁省凤城市月考]在(x －1)n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2022·江西省赣抚吉联考](2x －x －1)6的展开式中含x －3项的系数为( )A ．－60B ．－240C ．60D ．2403．[2022·上海市一模]二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2022·吉林省吉林市月考]若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x n的展开式中所有项的系数和为164，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52x 3B ．154x 4C ．－20x 3D ．15x 45．[2022·广东省广州市调研]若(1－x )5(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则a 1＋a 2＋…＋a 9的值为________．6．[2022·浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝________；展开式中的系数最大的项是________．三高考小题重现篇1.[2020·北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5B ．5C ．－10D ．102．[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．243．[2020·全国卷Ⅰ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．204．[2020·全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021·上海卷]若(x ＋a )5，则x 2的系数为80，则a ＝________．6．[2021·浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2022·江苏省镇江市模拟]已知(x 2＋2x)m的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.(1)求m 的值；(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．点点练37 二项式定理一基础小题练透篇1．答案：C解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝（－1）r C r 7x 7－2r ，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：B解析：根据题意可得2n＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6展开式的通项为C r 6 x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 6 x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为：C 36x 6－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝C 36 ＝20.4．答案：D解析：由题意，（2x ＋1）8＝[2（x ＋1）－1]8＝a 0＋a 1（x ＋1）＋a 2（x ＋1）2＋…＋a 8（x ＋1）8，通项T r ＋1＝C r 8 [2（x ＋1）]8－r×（－1）r ，0≤r ≤8，r ∈N *，令r ＝5，可得a 3＝C 58 ×23×（－1）5＝－448.5．答案：D解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×（－2＋1）8＝54，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54＝－14.6．答案：C解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：15解析：取x ＝1代入二项式得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n＝（3－1）n ＝2n＝64，解得n ＝6，第5项的二项式系数为C 46 ＝15.8．答案：240解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x n展开式的二项式系数和为2n＝64，解得n ＝6，故展开式中第r ＋1项为：T r ＋1＝C r6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r （2x ）r ＝C r 6 2r x 3r2－6，r ＝0，1， (6)令3r 2－6＝0，得r ＝4，所以展开式中的常数项为T 5＝C 46 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2()2x 4＝15×16＝240. 二能力小题提升篇1．答案：C解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C解析：二项式（2x －x －1）6的展开式T r ＋1＝C r 6 ·（2x ）6－r ·（－x －1）r ＝（－1）r ·26－r·C r6 ·x 6－3r2，当r ＝4，此时T 5＝60x －3，可得（2x －x －1）6展开式中x －3项的系数为60. 3．答案：D解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r30·x 15－56r ，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝164＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－126，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫126－3x 3＝－52x 3.5．答案：－1解析：由条件得：在等式左右两边取x ＝0，计算得a 0＝1，令x ＝1，计算得a 0＋a 1＋…＋a 9＝0，于是a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.6．答案：4 108x 5解析：⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n－（3＋1）n＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x 4，展开式中的系数最大的项是108x 5.三高考小题重现篇1．答案：C解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r ＝C r5 （－2）rx 5－r2，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：C解析：要求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x （x ＋y ）5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出（x ＋y ）5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得（x ＋y ）5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15＝5，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x （x ＋y ）5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.4．答案：240解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x 12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10解析：（x －1）3＝x 3－3x 2＋3x －1，（x ＋1）4＝x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1，所以a 1＝1＋4＝5，a 2＝－3＋6＝3，a 3＝3＋4＝7，a 4＝－1＋1＝0，所以a 2＋a 3＋a 4＝10.四经典大题强化篇1．解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1. （2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5. 由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r·x5－r，知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．解析：（1）展开式的通项为T r ＋1＝C rm·（x 2）m －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12r＝C r m ·2r ·x 2m －5r 2， ∴展开式中第4项的系数为C 3m ·23，倒数第4项的系数为C m －3m ·2m －3，∴C 3m ·23C m －3m ·2m －3＝12，即12m －6＝12，∴m ＝7. （2）令x ＝1可得展开式中所有项的系数和为37＝2187，展开式中所有项的二项式系数和为27＝128.（3）展开式共有8项，由（1）可得当2m －5r2为整数，即r ＝0，2，4，6时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为A 44 A 45 A 88 ＝114.。

2022_2023高中数学第4章计数原理-二项式定理第1课时二项式定理同步练习湘教版选择性必修第一册

4.4 二项式定理第1课时二项式定理A级必备知识基础练1.(1-2x)6展开式中,x3的系数为()A.20B.-20C.160D.-1602.(2022四川南充高二期末)在x-6的二项展开式中,常数项为()A.256B.240C.192D.1603.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=()A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+44.若(1+3x)n(n∈N+)的二项展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为()A.4B.27C.36D.1085.1-(1+x)6展开式中x2的系数为()A.-5B.5C.15D.306.在x2-9的二项展开式中,第4项的二项式系数是,第4项的系数是.7.x3+6的展开式中x6的系数为-160,则a= .8.(2022江苏泰州高二期末)已知n的二项展开式中,第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12.(1)求正整数n的值;(2)求二项展开式中的常数项.B级关键能力提升练9.使3x+n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.710.(2022河南名校联盟高二期中)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为15,则a的值为()A. B.C. D.111.(多选题)若二项式x+6展开式中的常数项为15,则实数m的值可能为()A.1B.-1C.2D.-212.(多选题)(2022山东菏泽十二校高二期中)在2x-4的展开式中,有理项为()A.16x4B.8x2C.24xD.13.(多选题)(2022福建龙岩高二期中)若二项式x-n的展开式中含x2的项,则n的取值可能为()A.6B.8C.10D.1414.对于二项式+x3n(n∈N+),有以下四种判断:①存在n∈N+,展开式中有常数项;②对任意n∈N+,展开式中没有常数项;③对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N+,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.①③B.②③C.②④D.①④15.若x+n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.16.已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:(1)n的值;(2)展开式中含x3的项;(3)二项展开式的常数项;(4)二项展开式的所有有理项.C级学科素养创新练17.(2022安徽滁州高二期中)(1)求证:32n+3+40n-27(n∈N+)能被64整除;(2)求+…+除以9的余数.参考答案4.4二项式定理第1课时二项式定理1.D(1-2x)6展开式的通项为T r+1=·(-2x)r=(-2)r··x r,则x3的系数为(-2)3·=-160.故选D.2.B x-6二项展开式的通项为T r+1=x6-r-r=(-2)r.令6-r=0,解得r=4,所以常数项为T4+1=x0·(-2)4=240,故选B.3.A S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4,故选A.4.D(1+3x)n二项展开式的通项为T r+1=(3x)r.由=6,得n=4,则T4=·(3x)3,故第四项的系数为33=108.5.A由于(1+x)6二项展开式的通项为T r+1=x r.当r=2时,x2的系数为=15;当r=3时,x3的系数为=20,故1-(1+x)6展开式中x2的系数为15-20=-5.故选A.6.84-T r+1=·(x2)9-r·-r=-r··x18-3r.当r=3时,T4=-3··x9=-x9,所以第4项的二项式系数为=84,项的系数为-.7.-2x3+6的二项展开式的通项为T r+1=·a r·x18-4r.令18-4r=6,解得r=3.可得展开式中x6的系数为·a3=-160,则a=-2.8.解(1)∵第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12,∴=1∶12,即,化简可得n2-3n-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).(2)由(1)得二项展开式的通项为T r+1=·()10-r-r=(-2)r.令=0,则r=2,∴常数项为第3项,即T3=(-2)2=180.9.B由题得,T r+1=(3x)n-r r=.当T r+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时,成立.故最小的n为5.10.C(1+ax)(1+x)5的展开式中含x3的项为1×x3+ax×x2=(10+10a)x3,所以10+10a=15,解得a=,故选C.11.AB x+6二项展开式的通项为T r+1=x6-r·r=m r.令6-r=0,得r=4.故常数项为m4=15,m4=1,解得m=±1.故选AB.12.ACD2x-4的二项展开式的通项为T r+1=(2x)4-r-r=·24-r·(-1)r.因为4-∈Z,且0≤r≤4,所以r=0,2,4.当r=0时,T1=24x4=16x4,故A正确;当r=2时,T3=·22·(-1)2x=24x,故C正确;当r=4时,T5=·20·(-1)4x-2=,故D正确.故选ACD.13.BD x-n的二项展开式的通项为T r+1=·x n-r·(-x-2)r=(-1)r··x n-3r.由题意知可得r=∈N,故n=3r+2,r∈N,故n是被3除余2的正整数,故8,14符合题意.故选BD.14.D的二项展开式的通项为T r+1=x4r-n,由通项公式可知,当n=4r(k∈N+)和n=4r-1(k∈N+)时,展开式中分别存在常数项和一次项.15.56由题意知,,则n=8.∵T r+1=·x8-r·r=·x8-2r,当8-2r=-2时,可得r=5,∴的系数为=56.16.解(1)n的二项展开式的通项为T r+1=)n-r-r=(-2)r(0≤r≤n).由题意可得,4-(-2)=2n(n-1)+2n=2n2=162,解得n=9或n=-9(舍去).(2)由(1)可得n展开式的通项为T r+1=(-2)r(0≤r≤9).令=3,可得r=1,则含x3的项为T2=-18x3.(3)令=0,可得r=3,则二项展开式的常数项为(-2)3=-672.(4)求展开式的有理项,则为整数,即r为奇数.因为0≤r≤9,可得r=1,3,5,7,9,则二项展开式中的所有有理项为T2=-18x3,T4=-672,T6=-4032x-3,T8=-4608x-6,T10=-512x-9.17.(1)证明由题得,32n+3+40n-27=3×(8+1)n+1+40n-27=3×(·8n+1+…+·8+)+40n-27=3×(·8n+1+…+·82)+24(n+1)+3+40n-27=3×82×(·8n-1+…+)+64n,故原式能被64整除.(2)解由题得,(1+x)29=·x+·x2+·x3+…+·x29,令x=1,得+…+=229-1=4×(23)9-1=4×(9-1)9-1=4×(×99-×98+…+×91-×90)-1=4×(×99-×98+…-×92+×9)-4-1=9×[4×(×98-×97+…-×9+)-1]+4,故原式除以9的余数是4.。

二项式定理-高考数学复习

＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x －）5的展开式中 x 的系数是（

A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x －）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5

－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
⁠
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝

二项式定理专题训练——2023届高三数学一轮复习

二项式定理专项训练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．160B ．192C ．184D ．1862．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项是常数项，则n ＝( ) A ．6B ．5C ．4D ．33．(1＋3x )2＋(1＋2x )3＋(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝( )A ．49B ．56C ．59D ．644．(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．805．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2n 的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是( )A ．72B ．358C ．7D ．70 6．多项式(x 2＋1)(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)展开式中x 3的系数为( )A ．6B ．8C ．12D ．137．(1＋x ＋x 2＋x 3)4的展开式中，奇次项系数的和是( )A ．64B ．120C ．128D ．256二、选择题：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －ax 2n (a <2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( )A ．a ＝1B ．展开式中偶数项的二项式系数和为512C ．展开式中第6项的系数最大D ．展开式中的常数项为459．关于多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －24的展开式，下列结论中正确的有( ) A ．各项系数之和为0B ．各项系数的绝对值之和为256C ．存在常数项D ．含x 项的系数为－4010．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C m n ＝C n －m nB ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C k n ＋1＝C k －1n ＋C k n C ．由“n 行所有数之和为2n ”猜想：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2nD ．由“111＝11,112＝121,113＝1 331”猜想115＝15 101 051三、填空题：11.已知(x ＋1)n 的二项式系数和为128，则C 0n －C 1n 2＋C 2n 4＋…＋C n n (－2)n ＝________．12．若(1＋2x )2 022＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 022x 2 022(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02222 022的值为________．13．已知(33＋2x )n (n ∈N ＋，1≤n ≤12)的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值________．四、解答题：14．在(1＋x )5＋(1－2x )6的展开式中，（1）所有项的系数和（2）含x 4的项的系数15．已知(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －15的展开式中的常数项为13 （1）则实数a 的值（2）展开式中的各项系数之和。

高中数学二项式定理基础练习题

高中数学二项式定理基础练习题1.在展开式(x-3)^10中，x^6的系数为9C10.2.若(x-1)^n展开式的第4项为含x^3的项，则n等于8.3.在展开式(x^2-2x)^9中，x^9的系数是-252.4.在展开式(1/3x - 1)^12中，常数项为-2205/2.5.若(x^3 + 1/x)^n的展开式中的常数项为84，则n=6.6.已知在展开式(1/x^2 - 1/2x)^n中，第9项为常数项，则n的值为8.展开式中x^5的系数为-1260.7.(1-x)^13的展开式中系数最小的项是第7项。

8.在展开式(1-x^3)(1+x)^10中，x^5的系数为-297.9.若(x+3y)^n展开式的系数和等于(7a+b)^10展开式中的二项式系数之和，则n的值为15.10.在展开式(1/3x - 1)^4中，常数项为1/81.11.在二项式展开式(a-b)^10中，系数最小项是C^10_5.12.设(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n=a+a1x+a2x^2+…+anx^n，当a+a1+a2+…+an=254时，求n的值为6.13.在二项式展开式(1-2x)^6中，所有项的系数之和为0.14.(1-x)^10的展开式中，中间项是第6项，为C^10_5 *x^5.其余各项的系数和为0，因为展开式中x的次数总和为10，而每个二项式都有一个正次幂和一个负次幂，相加后系数和为0.展开式中系数最大的项是第1项，为1.15.已知(1-2x+3x^2)^7=a+a1x+a2x^2+…+a13x^13+a14x^14，则a1+a2+…+a14=0，因为展开式中x的次数总和为14，而每个二项式都有一个正次幂和一个负次幂，相加后系数和为0.a1+a3+a5+…+a13=C^7_1 * (-2)^1 + C^7_3 * (-2)^3 +C^7_5 * (-2)^5 + C^7_7 * (-2)^7 = -1120.a1+a2+…+a14=C^7_0 * 1 + C^7_1 * (-2) + C^7_2 * 3 + …+ C^7_14 * (-2)^7 = -2187.。

高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习

二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

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选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在－ 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在－ 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题．＋＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1．＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽＋＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝－ 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一：先形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数－1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数－34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ，， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数，n －2r∴r ＝ 5 时有＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ，令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！，k ！ (8－k)！即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。

高中数学二项式定理知识点总结

高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。

根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。

二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。

例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。

而组合数实际上就是二项式展开中的系数。

因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。

3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。

例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。

4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。

通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。

二项式定理相关练习题

二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。

3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。

4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。

5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。

二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。

2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。

3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。

4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。

5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。

三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。

2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。

3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。

4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。

5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。

四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。

2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。

二项式定理基础题精选全文

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二项式定理典型习题
【例4】已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：
(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；
(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；
(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.
()()()n n x 216123【例】已知在的展开式中，第项为常数项．求；求含的项的系数；
求展开式中所有的有理项．
n 若展开式中前三项系数成等
差数列．求：182【例】求
展开式中的常数项．)
21().()()()n n x
x n x x 22331992212【例】已知的展开式的二项式系数和比－的展开式的二项式系数和大求－的展开式中：二项式系数最大的项；
系数的绝对值最大的项．
1227272727()(*)()n n S ⋯∈⋯251511222N 312C C C 9－【例】求证：＋＋＋＋能被整除；求＝＋＋＋除以的余数．
在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。

金无足赤，人无完人，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂语言平缓，语言不够生动，理论知识不够，教学经验不足，组织教学能力还有待提高。

在今后的工
作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点。

专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)

专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。

高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳

高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳知识点梳理一、定理内容二、基本概念①二项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式②二项式系数：展开式中各项的系数中的③项数：展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.④通项：展开式的第r+1项，记作三、几个提醒①项数：展开式共有n+1项.②顺序：注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.③指数：a的指数从n到0, 降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列。

各项中a，b的指数之和始终为n.④系数：正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。

⑤通项：通项是指展开式的第r+1项.四、常用结论由此可得贝努力不等式。

当x>-1时，有：n≥1时，(1+x)n≥1+nx;0≤n≤1时，(1+x)n≤1+nx.（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩）五、几个性质①二项式系数对称性：展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。

②二项式系数最大值：展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。

即：③二项式系数和：二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：（注：凡系数和问题均用赋值法处理）④杨辉三角中的二项式系数：题型归纳一、求二项展开式二、求展开式的指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。

说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整。

说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项。

练习：1. 求常数项1、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45i B. 45i C. －45 D. 45解析：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。

二项式定理 2025年高考数学基础专项复习

D选项， +
2 5
的展开式的通项公式为+1

3
2
=
3
2
C5 5−
⋅

2 −2
=
C5
⋅
3
2 5− 2 ，0
≤ ≤ 5，且为整数，当 = 0
3
2
时，5 − = 5，满足要求，当 = 2时，5 − = 2，满足要求，当 = 4时，5 − = −1，满足要求，综上，展
（2）若 = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + ,则展开式中各项系数之和为 1 ,偶次项系数之和为
0 + 2 + 4 + ⋯ =
1 + −1
2
,奇次项系数之和为1 + 3 + 5 + ⋯ =
1 − −1
2
，令 = 0，可得0 = 0 .
结论正确的是( ACD )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
【解析】对于A， 1 − 2
= 1 − 2
32 023 −1
2
2 023 ，则
0

+ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2 023 = 1 = −1，
1 − −1
1 = C30 + C41 = 1 + 4 = 5；2 = C31 −1
2 + 3 + 4 = 3 + 7 + 0 = 10.
1
+ C42 = 3；3 = C32 −1

高中数学二项式定理知识点+练习

要求层次重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C*n n n r n r r n nn n n na b a a b a b b n--+=+++++∈N，．2．通项公式：展开式的第1r+项1C0r n r rr nT a b r n-+=，≤≤．3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12nk+<时，二项式系数C kn是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n是偶数时，中间项最大；n是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C2n nn n n+++=．（二）典例分析【例1】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例2】64(1)(1)x x-+的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．【例3】610341(1)(1)xx++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】在25(42)x x++的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．【例5】在25(42)x x++的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．例题精讲高考要求二项式定理板块一：二项式展开的通项与系数【例6】在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例7】求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例8】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例9】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例10】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例11】在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是．（用数字作答）【例12】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例13】若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例14】若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【例15】在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【例16】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例17】已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例18】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例19】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例21】已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【例22】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（）【例23】在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是（用数字作答）【例24】已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【例25】若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例26】设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例27】已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例28】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例29】求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例30】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例31】 64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例32】 610341(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例33】在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例34】求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例35】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例36】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例38】在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是．（用数字作答）【例39】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例40】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例41】若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【例42】在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【例43】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例44】已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例45】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例46】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例47】在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例48】已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【例49】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例50】在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是（用数字作答）【例51】若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例52】设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例54】已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例55】（2009浙江4）在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例56】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例57】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______．【例58】关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（） A ．4B ．6C ．10D ．12【例61】求二项式1532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例62】 1231x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）【例63】若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_________，其展开式中的常数项为___________．（用数字作答）【例64】已知()π0sin cos a x x dx =+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 展开式中含2x 项的系数是．【例65】设()5nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为（）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例66】 ()()6411xx -+的展开式中x 的系数是（）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例67】若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．【例68】6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例69】若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例70】在261(2)x x-的展开式中常数项是______，中间项是________．【例71】在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例72】令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例73】已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是42lg 210+，求x 的值．【例74】二项式1532()x x-的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例75】在()11332x x⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【例76】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【例77】已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例78】若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例79】在二项式412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例80】求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例81】求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例82】在312nx x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【例83】在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例84】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（用数字作答）【例85】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（） A ．20B ．40C ．80D ．160【例86】4()x y y x -的展开式中33x y 的系数为．【例87】已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例88】若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是．【例89】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例90】在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例91】已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例92】求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例93】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是．【例94】二项式41nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例95】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．板块二：二项式系数与最值（二）典例分析展开式【例1】求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例2】若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（） A ．45B ．55C ．70D ．80二项式系数的和【例3】若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例4】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例5】若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例6】若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例7】已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例8】若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例9】若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．【例10】设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（）A ．51x +B ．512x --C ．512x +-D ．51x -【例11】若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例12】已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例13】若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例15】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例16】若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（） A ．0B ．2C ．1-D ．2-最值问题【例17】如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例18】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求a的取值范围．【例20】如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例21】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例22】二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例23】已知1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例24】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例25】在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例26】 (12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【例27】已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例28】求10312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例29】已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例30】设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】计算()50.997的近似值（精确到0.001）．()()550.99710.003=-2150.003100.003=-⨯+⨯-【例2】利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．【例3】若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例4】证明：22(13)(13)(*)n n n ++-∈N 能被12n +整除．【例5】证明：2121(13)(13)(*)n n n ++++-∈N 能被12n +整除．板块三：二项式定理的应用【例6】求证：021222()()()C C C C n nn n n n +++=【例7】证明：mm k 0C C 2C n m k mn k n n --==∑【例8】求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅【例9】证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例10】证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例11】 n ∈N 且3n ≥，求证：()323238.n n n n ->++【例12】求证：()()()21sin 1sin *nnn n θθ++-∈N ≥【例13】求证：()()()()21221*nnnn n n n ++-∈N ≥【例14】已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：112n n n x y -+≥，(*)n ∈N【例15】 0*a b a b n ∈+∈R N 、，，≥，求证：()22n n na b a b ++≥11n n n n na ab ab b a b --++⋯+++【例17】设数列{}n a 是等比数列，311232C mm m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【例18】已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，，求证：对于任意正整数n ，【例19】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是．【例20】求证：()2223n n n n +∈N ，≥≥【例21】对于*n ∈N ，111(1)(1)1n n n n ++<++．【例22】求证：12(1)3*n n n+<∈N ，≤【例23】若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（）A ．45B ．55C ．70D ．80【例24】若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（）1【例25】请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例26】已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n nS n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例28】已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．【例29】在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为．【例30】 100111-的末尾连续零的个数是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【例31】设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例32】设()()21*174n n ++∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为．。

2025届高中数学要点专练50二项式定理

专练50二项式定理授课提示：对应学生用书106页[基础强化]一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为()A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为() A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为()A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝()A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2.5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S 为()A ．152B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为()A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A ．5B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝()A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则()A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为_．答案：5解析：方法一二项式(13＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13 )10－k x k . 由⎩⎨⎧C （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13 )4x 6，C 710 (13)3x 7，C 810 (13)2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_. 答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第_项．答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。

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【巩固练习】
一、选择题
1．(x －1)10的展开式的第6项的系数是（）．
A ．610C
B ．610
C - C ．510C
D ．510C -
2．4(2x +的展开式中x 3的系数是（）．
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
3．(1－x 3)(1+x)10的展开式中x 5的系数是（）．
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
4．n
B Ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭（AB≠0）的展开式中，各项都含有x 的奇次幂，则n （）． A ．必为偶数 B ．必为奇数 C ．奇偶数均可 D ．不存在这样的正整数 5．二项式10x
⎛ ⎝
的展开式中二项式系数最大的项为（） A ．第6项 B ．第5、6项 C ．第7项 D ．第6、7项
6．设1021001210)x a a x a x a x =++++，则(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2―(a 1+a 3+…+a 9)2的值
是（）
A ．1
B ．―1
C ．0
D ．101) 7．把(x―1)9按x 降幂排列，系数最大的项是（）
A ．第四项和第五项
B ．第五项
C ．第五项和第六项
D ．第六项
8．若n
⎛ ⎝
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） A ．―540 B ．―162 C ．162 D ．540
二、填空题
9．9192被100除所得的余数为________．
10．01235(21)n n n n n C C C n C +++++=________． 11．在(x 2+x―1)7(2x+1)4的展开式中，奇数项的系数的和为________。

12．8
展开式中系数最大的项为________。

三、解答题
13．求4
⎛ ⎝的展开式．
14．已知二项式1023x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭：（1）求展开式第四项的二项式系数．
（2）求展开式第四项的系数．
15．在(5x―2y)20的展开式中，第几项的系数最大？第几项的系数最小？【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵555610(1)T C x =-，∴系数为510C -。

2．【答案】C
【解析】 (4)442144(2)2r r r
r r r
r r T C x C x -+--+=⋅=⋅⋅，由题意知：
4322
r r r -+=⇒=，则x 3的系数为224224C ⋅=。

3．【答案】D
【解析】 (1－x 3)(1+x)10=(1+x)10－x 3(1+x)10展开式中含x 5项的系数为：521010207C C -=。

4．【答案】B
【解析】展开式中的一般项为21()r r n r r n r r n r r n n B T C Ax C A B x x ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
，要使n －2r 都是奇数，必须使n 为奇数。

5．【答案】A
【解析】 10为偶数，故10
612T T +=为二项式系数最大的项。

6．【答案】A
【解析】令x=1，―1，则10012101)a a a a ++++=，
100123101)a a a a a -+-++=，
∴(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2―(a 1+a 3+…+a 9)2
=(a 0+a 1+a 2+…+a 10)(a 0―a 1+a 2―a 3+…+a 10)
10101)1)1=⨯=.
7．【答案】B
【解析】 (x―1)9的展开式共有10项，中间项第五、第六项的二项式系数相等且最大，
(x―1)9的展开式的各项系数的绝对值等于它的二项式系数，且展开式的奇数项
的系数为正，偶数项的系数为负，所以第五项的系数最大。

8．【答案】A
【解析】令x=1，2n =64⇒n=6。

由
6663221663(1)(1)3r
r
r
r r r r r T C x r x rC x -----+=⋅⋅⋅-⋅=-，令3―r=0⇒r=3。

所以常数项为33632027540C -=-⨯=-。

9．【答案】81
【解析】利用9192=(100－9)92的展开式，或利用(90+1)92的展开式解题
10．【答案】(n+1)·2n
【解析】设0113(21)(21)n n n n n n S C C n C n C -=+++-⋅++，
∴011(21)(21)3n n n n n n S n C n C C C -=++-+++。

∴01222(1)()2(1)2n n n n n n S n C C C C n =++++
+=+⋅。

∴S=(n+1)·2n 。

11．【答案】40
【解析】设(x 2+x―1)7(2x+1)4=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 18x 18，则令x=1，得a 0+a 1+…+a 18=34=81 ①。

令x=－1，得a 0+a 2+…+a 18―(a 1+a 3+…+a 17)=―1 ②。

①+②得2(a 0+a 2+…+a 18)=80，
∴a 0+a 2+…+a 18=40。

即展开式中奇数项系数之和为40。

12．【答案】70x
【解析】此二项展开式中的二项式系数与系数相等，所以第5项的系数最大。

4
44
5870T C x =⋅=。

13．
【解析】41131404213222244(3)33x x C x C x x --⎛=+=⋅+⋅⋅ ⎝
1
32213422224442121338110854C x x C x x
C x x x x x ---+⋅⋅+⋅+=++++。

14．
【解析】1023x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
的展开式通项是1011023r r r r T C x -+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭（r=0，1，…，10）。

（1）展开式的第四项的二项式系数为310120C =。

（2）展开式的第四项的系数为3
3
71023777603C ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭。

15．【解析】T k+1的系数为20205
(2)k k k C --，所以，当k 为偶数时，系数才有可能最大；k 为
奇数时，系数才有可能最小。

下面研究T r+1的系数的绝对值。

设20120(1)1202020120(1)120205252525
2k k k k k k k k k k k k C C C C ------+-++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，由此可得25215220
1k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩。

又k ∈Z ，且k≥0，∴k=5，或k=6。

∴展开式的第7项的系数最大，第6项的系数最小。