时域、S域、Z域转换资料

自动控制中，基于时间考虑，控制系统包括时间连续和时间离散两种，对于连续时间控制系统，一般会考虑将其转换为s 域进行分析处理；对于离散时间控制系统，则一般考虑将其转换到z 域进行分析处理。在这几种空间域中，存在相互转换的关系。下面分别进行分析描述：

1 时域

时域是对控制系统最直观的描述，不管是连续还是离散控制系统，其结构都可以用时间来进行描述。

2 s 域

s 域又称为频域，其对控制系统的分析是纯数学分析，而时域则是对控制系统和控制过程的直观描述。一般将正弦波视为频域中唯一存在的波形（因为时域中的任何波形都可以用正弦波进行合成）注：任

何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量

相互分离开

。

3 z 域

z 域是对离散时间系统的描述，其来源于连续系统的拉氏变换，z 变换时对采样函数拉氏变换的变形。对连续时间系统进行采样，并对采样信号进行处理的空间域就称为z 域。

4 域间转换 4.1

时域到s 域

对于时域到s 域的转换可以跟踪积分、微分关系进行转换。如，

对于系统22()d i di

f t A B C idt dt dt

=++⎰，可根据积分、微分的对应，直接

将其转换为2()C

F s As Bs s

=++

。对于系统的积分，一般都是考虑将积分转换为微分进行处理的。

结合拉普拉斯变换0()()st F s f t e dt ∞

-=⎰，可以对时域到S 域进行转换，另外，令s j ω=，则可以对S 域进行频域分析。

4.2

时域到z 域

对于时域到z 域的转换可以根据各次时间量的时间次序进行转换。如，对于系统()(1)(2)()(1)y t Ay t By t Cx t Dx t =---++-，则可以将

其转换为1

12

()()()1Y z C Dz G z X z Az Bz ---+==-+。 结合z 域的含义，定义0

()()n n E z e nT z ∞

-==∑，然后结合等比级数求

和的方法进行整合。

4.3

s 域与z 域

z 域可来自于时域，也可来自于s 域。

设连续函数()e t 是可拉氏变换的，且在0t p 时，存在()0e t =，则拉氏变换式可以写为()()st E s e t e dt ∞

--∞=⎰。

对于采样信号()e t *

，存在0

()()()n e t e nT t nT δ∞

*

==-∑。对此采样信号

进行拉氏变换，则可得：0()()()st

n E s e nT t nT e dt δ∞

∞

*

--∞=⎡⎤=-⎢⎥

⎣⎦

∑⎰。 结合()()()t nT f t dt f nT δ∞

-∞-=⎰，可以知道：0

()()nsT n E s e nT e ∞

*

-==∑

其展开各相中均含有sT e ，令sT z e =，即1ln s z T

=，则可得：

1

ln 0

()()|

()n s z n T

E z E s e nT z ∞

*

-====∑。

附录：

1 z 域、s 域分析

令()1()e t t =，则存在123()1n E z z z z z ----=++++++K K ，对()E z 进行求和，则得1

1

()1E z z

-=

-，则当11z -<，此无穷级数收敛。 因为11,Re()sT T z e e s σσ---==<=，所以在级数收敛时，存在条件

0σ>。

2 z 变化表