(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率

3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率

定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。 二 欧拉公式

结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为

1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角

为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。

证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上

任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率22

22

n Ldu Ndv Edu Gdv κII +==

I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1L

E

κ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N G

κ=

. 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以

cos θ=,

所以2

2

22

cos Edu Edu Gdv θ=

+,

2

2

22sin Gdv Edu Gdv

θ=+,所以 2222

2212222222

cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdv

κκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质

命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知：

22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥,

所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。 四 主曲率的计算公式

结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v =

在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是

0N N N N L E M F M F

N G

κκκκ--=-- 即22

2()(2)()0N

N EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。 注：要求主曲率，只需求出两类基本量，然后由这个二次方程解出主曲率N k 即可。

证明 由Rodrigues 定理，N k 为主曲率dn dr λ⇔=

，即

()()()N u v N u v N Ldu Mdv Edu Fdv n du n dv r du r dv Mdu Ndv Fdu Gdv κκκ--=-+⎧+=-+⇔⎨--=-+⎩

即()()0

()()0N N N N L E du M F dv M F du N G dv κκκκ-+-=⎧⎨-+-=⎩

有非零解du:dv 0N N N N L E M F M F N G κκκκ--⇔

=-- 即22

2()(2)()0N

N EG F LG MF NE LN M κκ---++-= 五 高斯曲率、平均曲率

定义 设12,κκ为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12κκ 叫做曲面在这一点的高斯曲率，记为K, 即12K κκ=; 它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率，记为 H ，即121

()2

H κκ=+。

由主曲率的计算公式和韦达定理可知高斯曲率、平均曲率的计算

公式是：高斯曲率2

2

LN M K EG F

-=-，平均曲率222()LG MF NE H EG F -+=-。

注：由定义和前面的计算可知半径为R 的球面的高斯曲率为K=

21R ,平均曲率为1H R =或1R

- 。 例 求旋转曲面{()cos ,()sin ,()}r u u u ϕθϕθψ=

，（()0u ϕ>）的高斯曲率

和平均曲率。， 。

解 …………高斯曲率：222

()()K ϕψϕψψϕψϕ

''''''''

-=-

''+， 平均曲率：223

2

22()()

2()H ϕψϕψϕψϕψϕψϕ

'''''''''-++=-

''+ 。

特别,若旋转曲面是xoz 平面上的曲线()0x z ϕ=>绕z 轴旋转而成,

则{()cos ,()sin ,}r u u u ϕθϕθ=

，这时()z u u ψ==，所以1,0ψψ'''==，

高斯曲率：22

(1)K ϕϕϕ''-='+，平均曲率：2322

12(1)H ϕϕϕϕϕ'''+-='+ 。 六 极小曲面

定义 一个曲面如果它每一点处的平均曲率都为零，则称该曲面为极小曲面。

极小曲面的实际模型是：将在空间弯曲的铅丝侵入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面。

由习题3可知， 正螺面为极小直纹 面；下面的例子说 明，悬链面是极小 旋转曲面。

例 求极小旋转曲面

解 在上例中令2322

102(1)

H ϕϕϕϕϕ'''+-=

='+得2

10ϕϕϕ'''+-=，所以

2

11ϕϕϕ

''='+ ，所以2

121ln(1)ln 12C ϕϕϕϕϕϕϕ'''''=⇒+=+'+⇒

1

1

1

)c c a e e ϕ-===，

所以ϕ'=

1'=，积分后

得：ln(()()2z z

a

a z a z e e a a

ϕϕ-+=⇒=+是悬链线 ，因此由悬链线

旋转而成的曲面是极小旋转曲面。

习题：P 114 16, 17, 18, 22, 23