信号相位匹配原理的正弦信号参数总体最小二乘估计方法
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信号相位匹配原理的正弦信号参数总体最小二乘估计方法
刘理 朱维杰 孙进才
（ 西北工业大学航海工程学院，西安，７０７ ） １０２
摘要 利用信号相位匹配原理进行正弦信号最小二乘估计可提高低信噪比时的估计 精度， 在此基础上进行改进， 应用总体最小二乘方法对正弦信号进行参数估计， 能进一步提 高精度。 利用信号增强技术对观测序列进行预处理， 能改善估计效果。 仿真实验表明， 本文 方法性能优于最小二乘方法。
一２－ １８
Ｘ ） 凡（ ＋ （） ｍ ＝ ｋ 戈 ｋ （ ｋ ）
根据文献〔［证明结果， ４５ Ｊ」 对于信号有以下关系
（ ２）
Ｓ（ ＝ ， ’） Ｓ（ ｍ Ｓ ｋ 一 ＋ 二 ） ｋ （嵘（， ） ） ‘ ｋ
当Ｎ ＞ ＞ Ｍ时，有
＜ ３）
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而 采 总 最 二 （ Ｓ６ 法 解。 Ｌ 方 主 想 是： 到Ｓ 最 解 应当 用“ 体 小 乘”Ｔ ）方 求 ＴＳ 法的 要 法 找 的 优 Ｌ１ ］
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（ ＥＳ＝Ｐ ￡ Ａ＋ ） 一
（ ３） １
方 中 扰 矩 Ｅ ： 总 误 ｝－ｚ刁 这 ｝ 为 阵 Ｆｂｉ范 ， 程 的 动 阵 和 的 体 差Ｅ Ｉ最、 里． 矩 的ｒ ｎ 数 将 ＩＦ ， ｛ ， ｝ ； ｏｕ ｅｓ
方法求解， 可部分消除噪声对被估信号的影响， 从而提高了低信噪比情况下的正弦信号参数 估计精度。 如果考虑到观测数据的误差， 那么它的解是不准确的。 因此， 本文在此基础上进
行了 改进， 采用总体最小二乘（ Ｓ （ ） Ｔ 估计， 减小 Ｌ 它能 误差的影响。 另外， 信噪比 较低时， 利
用信号增强技术对信号进行预处理后再进行估计，也可改善估计性能。
１ １２ １ ．
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பைடு நூலகம்
将式 （）写为矩阵形式 ９
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关键词：信号相位匹配原理，总体最小二乘，奇异值分解，信号增强
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一２－ １９
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那么，期望信号Ｓ的最小二乘解为
Ｓ （＇ 一 Ｔ＝ 十 二 Ａ ）Ａ ＡＰ Ａ，
文献［ 也正是采用了这种方法。 ［ ３ ］
（２ １）
但是， 传统的最小二乘方法问题中， 系数矩阵Ａ是没有噪声干扰的，而在本文问题中，
Ａ和尸均受到观测误差的影响。所以这里求解期望信号Ｓ 传统最小二乘方法并不准确， 时，
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（） １ 写成增广矩阵的形式 ３
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（４ １）
令Ｃ ［Ｐ，由 ＝ ， 于误差的 Ａ］ 影响， 通常为满秩矩阵；另 Ｃ 外， ＝Ｅ司为总扰动矩阵； 记Ｌ ［，
Ｃ ＝ ＋ 为 动 广 据 阵 ｄ ，］ 未 向 。 （）写 ， Ｌ 扰 增 数 矩 ； ＝ １为 知 量 则１可 为 Ｃ ［－ ＂ Ｓ ４
Ｓ 和Ｓ 众 之间的 相位差满足
（） ４
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其中ｍ １ ， ， ＝， 二Ｍａ ２ － ，
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（ ５）
一 般取ＦＴ 样本长 Ｆ的 度Ｎ远大于 程组 ， 方 数Ｍ 忽略Ｓ （） ｍ 对估计信号Ｓ（） 影响。 ｋ ， ｋ的
这样方程 （ ）可改写为 ２
Ｘ， Ｓｋ Ｎ－ ＋ Ｘ “， Ｎ－ｋ ， ） ， （） Ｎ 一 ＋ ｍ（ （ ＝ （Ｗ ｍｋ ｋ ） １ ， ‘ １ ）
当为非零值以便于利用 ｄ的末元素归一化求出Ｓ ｏ 以上最优化问题可以由矩阵 Ｃ的奇异值分解求出。将 Ｃ写成奇异值分解向量积展开形
式：
（６ １）
Ｃ 二。一 ３－ｖ 一 ” 艺＝ ＊ ｝＝、 ｋ ｋ ｋ ，ｕ ］ Ｏｋ 。＊｝
由上式可知，具有最小Ｆ范数的，可加在矩阵 Ｃ上使 Ｃ降秩的矩阵为
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用式 （）中Ｍ个等式依次相减可得（ －个线性方程， ８ ＭＩ ）
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１ 引言 ．
文献〔提出了 利用三元阵的信号相位匹配原理的相干干扰抵消原理，能降低噪声和相 １ ］ 干干扰的影响。文献「基于信号相位匹配原理进行正弦信号参数估计，频率和幅度估计精 ２ ］ 度较高， 三个序列中 但当 有两个序列的噪声“ 相” 接近 “ 相” 在该搜索频点 同 或 同 时， 将出 现奇异峰， 在低信噪比 条件下尤为严重。因 文献［增加了 此， ［ ３ ］ 方程数， 利用最小二乘（ ） （ Ｌ Ｓ
（ Ｌｄ Ｃｄ ０ Ｃ＋ ） ＝ Ｌ ＝ （５ １）
由 １， 式（ ）采用Ｔ Ｓ ５ Ｌ 方法求解期望信号Ｓ 最优解问 的 题等价于： 找到一个最小范数扰动
矩 使 ： Ｃ Ｌ 非 秩 阵； 外， Ｃ 的 空 量ｄ 最 一 元 应 阵Ｌ 得Ｃ 二 ＋ 为 满 矩 此 解出 ： 零 间向 的 后 个 素
２ 正弦信号参数总体最小二乘估计 ．
设 接收信号为数字信号ｘｎ， 传感器的 （） 信号与噪声是 线性可加的， 依次取Ｍ段长 度为Ｎ
的信号得
ｘ（ ＝ ｒ （ １＋ ［ （ １ ． Ｓ ＋ｍ一） ｎ ＋ ｍ一） Ｚ ｉ ） ］ ｉ ］
Ｆ Ｔ得 Ｆ
（） １
其中ｉ ， ．． － １． ． ｓ 为单 弦 ＝ １ ．． ｍ ，． ． （ 频正 信号， （ 斯白 声。 ０， ．Ｎ１ ２．Ｍ， ２ ． ） ＝ ． ｉ ） ｎ） ｉ 为高 噪 对式 （） １作
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刘理 朱维杰 孙进才
（ 西北工业大学航海工程学院，西安，７０７ ） １０２
摘要 利用信号相位匹配原理进行正弦信号最小二乘估计可提高低信噪比时的估计 精度， 在此基础上进行改进， 应用总体最小二乘方法对正弦信号进行参数估计， 能进一步提 高精度。 利用信号增强技术对观测序列进行预处理， 能改善估计效果。 仿真实验表明， 本文 方法性能优于最小二乘方法。
一２－ １８
Ｘ ） 凡（ ＋ （） ｍ ＝ ｋ 戈 ｋ （ ｋ ）
根据文献〔［证明结果， ４５ Ｊ」 对于信号有以下关系
（ ２）
Ｓ（ ＝ ， ’） Ｓ（ ｍ Ｓ ｋ 一 ＋ 二 ） ｋ （嵘（， ） ） ‘ ｋ
当Ｎ ＞ ＞ Ｍ时，有
＜ ３）
１）（鲁 Ｓ Ｉ‘ ；／ ， （Ｉ｝ ｋＩ‘ Ｓ
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使得以一 卜
（ ＥＳ＝Ｐ ￡ Ａ＋ ） 一
（ ３） １
方 中 扰 矩 Ｅ ： 总 误 ｝－ｚ刁 这 ｝ 为 阵 Ｆｂｉ范 ， 程 的 动 阵 和 的 体 差Ｅ Ｉ最、 里． 矩 的ｒ ｎ 数 将 ＩＦ ， ｛ ， ｝ ； ｏｕ ｅｓ
方法求解， 可部分消除噪声对被估信号的影响， 从而提高了低信噪比情况下的正弦信号参数 估计精度。 如果考虑到观测数据的误差， 那么它的解是不准确的。 因此， 本文在此基础上进
行了 改进， 采用总体最小二乘（ Ｓ （ ） Ｔ 估计， 减小 Ｌ 它能 误差的影响。 另外， 信噪比 较低时， 利
用信号增强技术对信号进行预处理后再进行估计，也可改善估计性能。
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（０ １）
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１ ， ｅ ． ， ｗｅ ．． ｌ ｌ ｌ ｓｅ
关键词：信号相位匹配原理，总体最小二乘，奇异值分解，信号增强
Ｍｅ ｏ ｏｔ ａｌ ｓｓｕｒ ｏｐｒｍ ｔ ｅ ｉａｏ ｆ ｓ ｕｏ ａｓ ｎｌｕｉ ｔ ｄ ｏ ｌ ｔ ａｅ ｆ ａ ｅ ｒ ｍ ｔ ｎ ｉ ｓｉ ｌ ａ ｓ ｇ ｈ ｆ ｅ ｑ ｓ ａ ｔ ａ ｅ ｓ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｇ ｎ
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若 知 号 率 ｋ时 根 信 相 匹 原 ［ｌ用叫，） 式（ 两 己 信 频 为 ｏ ， 据 号 位 配 理ｌ， ｔ ｌ ｔ ２ 一乘 ３ 边 ， ｋ ）
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那么，期望信号Ｓ的最小二乘解为
Ｓ （＇ 一 Ｔ＝ 十 二 Ａ ）Ａ ＡＰ Ａ，
文献［ 也正是采用了这种方法。 ［ ３ ］
（２ １）
但是， 传统的最小二乘方法问题中， 系数矩阵Ａ是没有噪声干扰的，而在本文问题中，
Ａ和尸均受到观测误差的影响。所以这里求解期望信号Ｓ 传统最小二乘方法并不准确， 时，
Ａ ｓ ａｔ ａｃｒ ｙ ｐｒ ｅ ｒ ｍ ｔ ｎ ｓ ｕｏ ａｓ ｎｌｃｎ ｐｏｅ ｉｔ ｃｓ ｏ ｂｔ ｃＴ ｅ ｕ ｃ ｏ ａ ｍ ｔ ｅ ｉａｏ ｆ ｉ ｓｉ ｌ ａ ａ ｂ ｒｖｄ ｈ ａｅ ｒ ｈ ｃ ａ ｆ ａ ｅ ｓ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｓ ｅ ｔ ｒ ｇ ｎ ｅ ｆ ｌ ｅｒｉ ｏ ｓ ｎｌ ｏ ｅ ｕｉ ｔ ｍ ｔ ｄ ｌ ｓｓｕｒ ， ｃ ｉｂｓ ｏ ｔ ｐ ｎｉｅ ｏ ｒ ｏ ｉ ａｔ ｎｉ ｂ ｓ ｇ ｅ ｏ ｏ ｅ ｔ ａ ｓｗ ｉ ｓ ｅ ｎ ｒ ｃ ｌ ｗ ａ ｆ ｏ ｓ ｙ ｎ ｈ ｔ ｇ ｅ ｈ ｆ ｑ ｅ ｈ ｈ ａ ｄ ｈ ｉ ｐ ａ ｅ
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（） １ 写成增广矩阵的形式 ３
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（４ １）
令Ｃ ［Ｐ，由 ＝ ， 于误差的 Ａ］ 影响， 通常为满秩矩阵；另 Ｃ 外， ＝Ｅ司为总扰动矩阵； 记Ｌ ［，
Ｃ ＝ ＋ 为 动 广 据 阵 ｄ ，］ 未 向 。 （）写 ， Ｌ 扰 增 数 矩 ； ＝ １为 知 量 则１可 为 Ｃ ［－ ＂ Ｓ ４
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（） ４
Ａ二 、１ Ｏ竺 、
其中ｍ １ ， ， ＝， 二Ｍａ ２ － ，
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（ ５）
一 般取ＦＴ 样本长 Ｆ的 度Ｎ远大于 程组 ， 方 数Ｍ 忽略Ｓ （） ｍ 对估计信号Ｓ（） 影响。 ｋ ， ｋ的
这样方程 （ ）可改写为 ２
Ｘ， Ｓｋ Ｎ－ ＋ Ｘ “， Ｎ－ｋ ， ） ， （） Ｎ 一 ＋ ｍ（ （ ＝ （Ｗ ｍｋ ｋ ） １ ， ‘ １ ）
当为非零值以便于利用 ｄ的末元素归一化求出Ｓ ｏ 以上最优化问题可以由矩阵 Ｃ的奇异值分解求出。将 Ｃ写成奇异值分解向量积展开形
式：
（６ １）
Ｃ 二。一 ３－ｖ 一 ” 艺＝ ＊ ｝＝、 ｋ ｋ ｋ ，ｕ ］ Ｏｋ 。＊｝
由上式可知，具有最小Ｆ范数的，可加在矩阵 Ｃ上使 Ｃ降秩的矩阵为
ｌ ５ 一ＲＰＲＳ一ＩＰＩＳ Ｉ． ２ （） 一Ｎ１ （ Ｐ２ ２ ） ｍｍ ， Ａ ２ ８ ｍ １ ｅ ｅ， １１ （ （ ＋１ ２ ｍ ） ｍ ） （ ）
用式 （）中Ｍ个等式依次相减可得（ －个线性方程， ８ ＭＩ ）
Ｉ１ Ｉ２２ ＋凡ＲＳ＋ＩＰ， ）（）Ｉ，’｝． ） Ｐ１ Ｐ ＝ＲＰ， ）（） ｍｍ一 ＩＳ＋ Ｎ， Ａ １ ｍ’ ｍ ｅ．一 ｅ，２ （＋凡 Ｍ ，（ 十一Ｎ２（ 十一 １ （ Ａ Ｉ ）９
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１ 引言 ．
文献〔提出了 利用三元阵的信号相位匹配原理的相干干扰抵消原理，能降低噪声和相 １ ］ 干干扰的影响。文献「基于信号相位匹配原理进行正弦信号参数估计，频率和幅度估计精 ２ ］ 度较高， 三个序列中 但当 有两个序列的噪声“ 相” 接近 “ 相” 在该搜索频点 同 或 同 时， 将出 现奇异峰， 在低信噪比 条件下尤为严重。因 文献［增加了 此， ［ ３ ］ 方程数， 利用最小二乘（ ） （ Ｌ Ｓ
（ Ｌｄ Ｃｄ ０ Ｃ＋ ） ＝ Ｌ ＝ （５ １）
由 １， 式（ ）采用Ｔ Ｓ ５ Ｌ 方法求解期望信号Ｓ 最优解问 的 题等价于： 找到一个最小范数扰动
矩 使 ： Ｃ Ｌ 非 秩 阵； 外， Ｃ 的 空 量ｄ 最 一 元 应 阵Ｌ 得Ｃ 二 ＋ 为 满 矩 此 解出 ： 零 间向 的 后 个 素
２ 正弦信号参数总体最小二乘估计 ．
设 接收信号为数字信号ｘｎ， 传感器的 （） 信号与噪声是 线性可加的， 依次取Ｍ段长 度为Ｎ
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ｘ（ ＝ ｒ （ １＋ ［ （ １ ． Ｓ ＋ｍ一） ｎ ＋ ｍ一） Ｚ ｉ ） ］ ｉ ］
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其中ｉ ， ．． － １． ． ｓ 为单 弦 ＝ １ ．． ｍ ，． ． （ 频正 信号， （ 斯白 声。 ０， ．Ｎ１ ２．Ｍ， ２ ． ） ＝ ． ｉ ） ｎ） ｉ 为高 噪 对式 （） １作
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