华南理工大学 复变函数2.2(3)初等函数

a
因此，对同一个 z 0, w z 的不同数值 a2 k i 的个数等于不同数值的因子 e (k Z ) 个数 。
幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是
整个复平面上的多值函 (不同数值的个数等于 数
e 不同因子的个数)。 2、当是正整数n时, n nLnz n[ ln| z| i (arg z 2 k )] n in arg z w z e e | z | e 0. 是一个单值函数； 3、当 1 (n是正整数)时, n
幂函数的定义:
w z e
a aLnz
( z 0)
a
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
0.
幂函数的基本性质：
当是正整数n时, 是一个单值函数；
3、当 1 (n是正整数)时, 是一个n值函数； n
等于n次方根.
幂函数的基本性质：
当是0时, z 1;
0
当 是有理数时，即 ( p与q为互素
幂函数的基本性质:
而且，由
a
z e
a
aLnz
及复合函数求导法则得
a
dz 1 z aL n z a 1 e a a az dz z z
其中 z 应当理解为某个分支， Lnz理解为相应的分支。
a
双曲函数
e z e z e z e z e z e z ch z , sh z , th z z z 2 2 e e
6、当是无理数或非实数的复数时，幂函数是无穷 多值函数；
事实上，当是无理数时，有
z e
Lnz
当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e
(b 0时模无穷多值,a为有理数时幅角mod2
e
[ln|z|i ln z i 2 k
(幅角无穷多值)
e
[ a ln|z| b (arg z 2 k )]i [ b ln|z| a (arg z 2 k )]
有限多值,a为无理数时幅角mod2 无穷多值)
分别称为双曲余弦、双曲正弦、双曲正切函数. chz和shz都是以2i为周期的函数,
chz为偶函数, shz为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导 数为:(chz)'=shz, (shz)'=chz shz=-isiniz, chz=cosiz等等三角与 双曲函数关系式。
不难证明
反双曲函数
定义与计算公式的推导类似于反三角函数
反双曲正弦 反双曲余弦 反双曲正切
Ar c sh z Ln( z z 2 1) Ar c ch z Ln( z z 2 1) 1 1 z Ar c th z Ln 2 1 z
它们都是多值函数.
小结
2.2(3)初等函数 （3） 幂函数 双曲、反双曲函数
例如 2 k i iLni i[ln 1i (arg i 2 k )] i e e e 2 (k 0,1,2,)
幂函数的基本性质：
2
1i
e e e eln 22kii ln 22k e(ln 22k )i (ln 22k ) 2 k 2e (cos ln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2,, )
p q
的整数，q 0）时 是一个q值的函数；
当是无理数或非实数的复数时，是无穷 多值函数；
幂函数的基本性质：
幂函数在C \{Im z 0, Re z 0}上解析，且
dz a 1 az dz
其中
a
z
a
应当理解为某个分支。
双曲函数
e z e z e z e z e z e z ch z , sh z , th z z z 2 2 e e
chz和shz以2i为周期,
chz偶, shz奇
(chz)'=shz, (shz)'=chz
反双曲函数
计算公式的推导方法类似于反三角函数
本章习题答疑
本讲结束
How beautiful the sea is!
第二章复变函数:
2.2(3)初等函数 （3） 幂函数 双曲、反双曲函数
幂函数的定义:
利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任 何复数，则定义z的a次幂函数为
w z e
a
a
aLnz
( z 0)
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
由于
a
0.
w z e
a ln z a 2 k i
e
( arg z )
的整数，q 0）： p p p p Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ln z 1 i 2 pk q q q q q z e e e 由于p与q为互素，所以不难看到 ，当k取 0，2， , q 1时，得到q个不同的值，即这 1， 时幂函数是一个q值的函数；
(1i ) Ln2
(1i )[ln 2i (arg 22 k )]
(1i )[ln 22 ki )]
2
2
e e 2 2 2ki 2 e
2Ln2
2[ln 2i (arg 22 k )]
e (k 0,1,2,)
2 ln 22 2ki
7、幂函数在 C \ {Im z 0, Re z 0}上解析，
w z e
1 n 1 Ln z n
2ki
e
1[ ln| z| i (arg z 2 k )] n
| z | e
1 n
i arg z n 2 k
(k 0,1,2,, n 1).
是一个n值函数；
幂函数的基本性质：
4、当是0时, 0 0 Lnz 0 z e e 1; p 5、当是有理数时，即 q ( p与q为互素