2018年高考数学(理)总复习双基过关检测“基本初等函数及应用” Word版含解析

合集下载

2018届高三数学理一轮总复习练习-第二章基本初等函数

课时规范训练[A 级基础演练]1．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x －3C ．f (x )＝xD ．f (x )＝x -12解析：选B.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33代入幂函数f (x )＝x α中，得33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33α，即332＝3－α2，所以α＝－3，故解析式为f (x )＝x －3.2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A.∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b2a ＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D.∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数， ∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．6．(2017·石家庄调研)已知幂函数f (x )＝k ·x α(k ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝ .解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入得22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，从而α＝12，故k ＋α＝32.答案：327．(2017·中山模拟)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：18．(2017·陕西质量检测)若x >1时，x a －1<1，则a 的取值范围是．解析：因为x >1，x a －1<1，所以a －1<0，解得a <1. 答案：a <19．已知幂函数y ＝f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)，(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数， ∴函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且函数y ＝f (x )在其定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝21m 2＋m ，即212＝21m 2＋m ，∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0.∴m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)补全函数f (x )的图象；(2)写出函数f (x )，x ∈R 的增区间； (3)求函数f (x )，x ∈R 的解析式；(4)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2，x ∈[1,2]，求函数g (x )的最小值．解：(1)函数f (x )图象如图所示．(2)f (x )的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)设x >0，则－x <0，∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋2x .∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x (x ≤0)，x 2－2x (x >0).(4)当x ∈[1,2]时，g (x )＝x 2－(2＋2a )x ＋2，其图象的对称轴为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ；当1<a ＋1<2，即0<a <1时，g (x )min ＝g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1；当a ＋1≥2，即a ≥1时，g (x )min ＝g (2)＝2－4a . 综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0<a <1)，2－4a (a ≥1).[B 级能力突破]1．(2017·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)>0，f (p )<0，故－10，所以f (p ＋1)>0.2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：选A.作出函数的图象如图所示，从图可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，故选A.3．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m －1m ＋3<0， ③由①②③解得－3<m <0. 答案：(－3,0)4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1ax 2＋x ＋1，x <1，在R 上是单调增函数，则实数a 的取值范围是．解析：f (x )在R 上是单调增函数，需满足a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1，a <0，－12a ≥1.解得－12≤a ≤0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，05．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测导数及其应用Word版含解析

“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝sin x －12x ，则f ′(x )＝( )A ．sin x －12B ．cos x －12C ．－cos x －12D ．－sin x ＋12解析：选B f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x －12x ′＝(sin x )′－⎝⎛⎭⎫12x ′＝cos x －12. 2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 3．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0<x ≤2，则 f(x)d x 的值为( )A. 43 B ．4 C ．6 D.2038．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，1>f (x )＝1－2x ≥0；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得1≥a －2≥0，解得2≤a ≤3，选A .二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋aln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x)＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f(1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x<0时，g ′(x)<0，当x>0时，g ′(x)>0， ∴当x ＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m －1≥g(x)min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f(x)＝x ＋ax＋b(x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－ax 2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。

2018年高考数学(理)一轮复习文档第二章基本初等函数、导数及其应用第7讲函数的图象Word版含答案

第7讲函数的图象1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．1．辨明三个易误点(1)图象左右平移仅仅是相对x 而言的，即发生变化的只是x 本身，利用“左加右减”进行操作．如果x 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．(2)图象上下平移仅仅是相对y 而言的，即发生变化的只是y 本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y ＝f (x )中的f (x )进行操作，满足“上加下减”．(3)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别． 2．会用两种数学思想 (1)数形结合思想借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．(2)分类讨论思想画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．1．函数y ＝|x －1|，则图象关于________对称( ) A ．(1，0) B ．(－1，0) C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－1C y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，0，x ＝1，－x ＋1，x ＜1.其图象如图所示．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln x ，x ≥1，x 3，x <1，则f (x )的图象为( )A 由题意知函数f (x )在R 上是增函数，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ＝0时，f (x )＝0，故选A.3．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1D 曲线y ＝e x关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x，将y ＝e －x向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.4．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．因为 f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，所以4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. －25．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．(0，＋∞)作函数的图象分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝|lg x |； (3)y ＝x ＋2x －1. 【解】 (1)将y ＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图所示．(3)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图．将本例(3)的函数变为“y ＝x ＋2x ＋3”，函数的图象如何？ y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(3)y ＝log 2|x －1|.(1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图中实线部分．(3)作y ＝log 2|x |的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y ＝log 2|x －1|的图象．识图与辨图(1)(2017·广西第一次质量检测)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )(2)(2015·高考安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0【解析】 (1)易判断函数为奇函数．由y ＝0得x ＝±1或x ＝0且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B.(2)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，所以c <0. 令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，所以b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，所以a <0. 故选C.【答案】 (1)B (2)C识辨函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．)}1．如图，矩形ABCD 的周长为4，设AB ＝x ，AC ＝y ，则y ＝f (x )的大致图象为( )C 法一：由题意得y ＝x 2＋（2－x ）2＝2x 2－4x ＋4，x ∈(0，2)不是一次函数，排除A 、B.当x →0时，y →2，故选C.法二：由法一知y ＝2（x －1）2＋2在(0，1]上是减函数，在设经过两次平移后所得图象对应的函数为h (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－2≤x ≤0，2x ＋1，0＜x ≤1，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤2，2x －4，2＜x ≤3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ≤0，12x ＋2，0＜x ≤2.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ≤0，12x ＋2，0＜x ≤2函数图象的应用(高频考点)函数的图象因其直观而形象地显示了函数的性质而成为高考命题的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现．高考对函数图象应用问题的考查主要有以下四个命题角度： (1)利用函数图象研究函数性质； (2)利用函数图象研究不等式的解； (3)利用函数图象求参数的取值范围；(4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)．(1)(2015·高考北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}(2)函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．【解析】 (1)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，知g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．(2)作出函数y ＝log2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．【答案】 (1)C (2)(－∞，－1) (－1，＋∞)函数图象应用的求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．角度一利用函数图象研究函数性质1．下列区间中，函数f (x )＝|lg(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．用图象法解决，将y ＝lg x 的图象关于y 轴对称得到y ＝lg(－x )的图象，再向右平移两个单位，得到y ＝ lg 的图象，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到f (x )＝|lg(2－x )|的图象．由图象，在选项中的区间上f (x )是增函数的显然只有D.角度二利用函数图象研究不等式的解2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1) D 因为f (x )为奇函数，所以不等式f （x ）－f （－x ）x <0可化为f （x ）x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．角度三利用函数图象求参数的取值范围3．函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________．当x ≤0时，f (x )＝2－x－1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1<x ≤2时，－1<x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图，欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，则a 的取值范围是(－∞，1)．(－∞，1)1．函数y ＝x 2－2|x |的图象是( )B 由y ＝x 2－2|x |知是偶函数，故图象关于y 轴对称，排除C.当x ≥0时，y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.即当x ＝0时，y ＝0，当x ＝1时，y ＝－1，排除A 、D ，故选B.2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2C 由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C. 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．4．(2017·滨州二模)函数y ＝sin xx，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )A 函数y ＝sin xx，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，又当x →π时，y ＝sin xx→0，故选A.5．已知y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝－12D ．x ＝12D 因为函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (2x )的图象是将函数y ＝f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位，所以对称轴也向右平移12个单位，所以函数y ＝f (2x )的图象的对称轴为x ＝12.6．(2017·贵阳一模)已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )B 因为f (x )＝ax －2>0恒成立，又f (4)g (－4)<0，所以g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，所以0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2，1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．7.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2.28．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________．函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1，当a ＝2时， f (x )＝2(x ≠1)，函数f (x )的图象不关于点(1，1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，所以a ＝1.19．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则不等式f (－|x |)＞1的解集为________．与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.所以f (－|x |)＝e|x |－1＞1.即|x |＞1，则有x ＜－1或x ＞1. {x |x ＜－1或x ＞1}10．(2017·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________．当x ≤0时，0<2x≤1，画出f (x )的图象，由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，此时0<a ≤1.(0，1]11．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．(1)f (x )＝x1＋x＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为，．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0D 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在 y ＝2x －1x －2＝2（x －2）＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示．可知②③正确．②③15．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围． (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，即y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是 (1)证明：设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)．设P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)．由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f＝f ＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上．所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．所以|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又因为a ≠0，所以2a －1＝0，得a ＝12.。

2018辽宁省大连市双基考试数学试卷及答案理科

页脚内容1页脚内容2页脚内容3页脚内容4页脚内容5页脚内容6页脚内容72018年大连市高三双基考试数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.C2.D3.B4.A5.B6.D7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.B二．填空题13.6014. 15.2 16.{1}-三．解答题17. 解：（Ⅰ）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，在ACD ∆中，由正弦定理可得sin sin AC DC ADC CAD =∠∠，页脚内容8因为sin sin ,sin sin ADB ADC BAD CAD ∠=∠∠=∠，所以12AB BD AC DC ==. ┄┄┄┄┄┄4分（面积法、平面几何法酌情给分）（Ⅱ）法一：因为12BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，┄┄┄┄┄┄8分所以2221()33AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，即8448++cos<,9999AB AC =>u u u r u u u r ，所以cos<,0AB AC >=u u u r u u u r ，所以<,=2AB AC π>u u u r u u u r ，所以ABC ∆面积为112=12⨯⨯. ┄┄┄┄┄12分法二：设BAD α∠=，则ABD ∆面积为11sin 2α⨯，ACD ∆面积为12sin 23α⨯⨯，ABC ∆面积为112sin 22α⨯⨯⨯，所以11sin 2α⨯1+2sin 23α⨯⨯⨯112sin 22α=⨯⨯⨯，┄┄┄┄┄┄8分sin 22sin cos αααα==，所以sin cos 2αα==，所以ABC ∆面积为112sin 2=12α⨯⨯⨯.┄┄┄┄┄┄12分法三：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别利用余弦定理，得到：页脚内容9222222(12()2t t +-+-=（），解得3t =，┄┄┄┄┄┄8分所以BC ==ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分法四：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别对BAD CAD ∠∠、利用余弦定理，22222212(2)33t t +-+-=，解得t =8分所以BC ==ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分 18.解：（Ⅰ）设移动支付笔数为X ，则4~(10,)5X B ， ┄┄┄┄┄┄2分所以4418108,105555EX DX =⨯==⨯⨯=. ┄┄┄┄┄┄6分（Ⅱ）因为222()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯（，┄┄┄┄┄9分所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.┄┄┄┄┄┄12分19. （Ⅰ）法一：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥平面ABD ，┄┄┄┄┄┄2分页脚内容10 因为AD ⊂平面ABD ，所以'C O ⊥AD ，假设'90ADC ∠=o ，即'AD DC ⊥，因为'''C O DC C =I ，'C O ⊂平面'BC D ，'DC ⊂平面'BC D ，所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ⊂平面'BC D ，所以AD BD ⊥，与已知90ADB ∠≠o 矛盾，所以假设不成立.所以'90ADC ∠≠o .┄┄┄┄┄┄4分法二：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥平面ABD ， ,,'OD OE OC 为过O 作OE BD ⊥交AB 于点E ，以O 为坐标原点，,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：所以13'(0,0,(,0,0),(0,0),(1,2222C B D A -，，所以，13(,'(,0,2222AD C D =-=-u u u r u u u u r ，所以3'04AD C D ⋅=≠u u u r u u u u r ，所以'90ADC ∠≠o .┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）由（Ⅰ）的方法二可知，31'(1,'(,0,'(,0,222222C A C D C B =-=-=--u u u u r u u u u r u u u u r页脚内容11设平面'ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z =r ，所以有'0'0m C A m C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r，即111110302x y z x z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，不妨令11x =，则113z y ==，即(1,3m =r ，┄┄┄┄┄┄6分设平面'ABC 的一个法向量为222(,,)n x y z =r ，所以有'0'0n C A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r，即2222201-022x y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，不妨令23x =，则22z y ==-(3,n =-r ，┄┄┄┄┄┄8分所以3cos ,||||13m n m n m n ⋅<>===-r r r r r r .┄┄┄┄┄┄10分由题可得，二面角'B AC D --的余弦值为313-.┄┄┄┄┄┄12分 20.解：（Ⅰ）显然点A 在椭圆外，所以1||||PF PA -22(||||)a PA PF =-+，当P 在线段2AF 上时2||||PA PF +取到最小值，1||||PF PA -取到最大值2a 2分又12c a =，化简22a a a ==，为长半轴长.┄┄┄4分（Ⅱ）由12c a =，可得2b a =，所以椭圆方程可化简为222343x y a +=，2AF斜率为b a c =- 所以可以设直线l 方程为y m =+，其与椭圆联立可得：22215430x m a ++-=，且页脚内容1222180480a m ∆=->┄┄┄┄┄┄5分设1122(,),(,)M x y N x y ，根据两点间距离公式及韦达定理可得||MN == 根据点到直线距离公式可得，O 到直线l 的距离为||2m ，┄┄┄┄┄8分所以222212212(4512)9024OMN m S m a m ∆=⎫+-=≤=⎪⎝⎭当224524a m =时，上式的等号成立，面积取到最大值24，所以2422=4,3a b =，即椭圆C 的方程为22143x y +=.┄┄┄┄┄12分 21.解：（Ⅰ）法一：()0f x ≤可得ln 2x a x +≥，┄┄┄┄┄┄1分设ln 2()(0)x g x x x +=>，则2ln 1'()(0)x g x x x --=>，1'()00g x x e >⇒<<，1'()0g x x e<⇒>，所以函数()g x 在区间1(0,)e 上为增函数，在1(+)e∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分所以max 1()()g x g e e==.所以实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分页脚内容13法二：显然0a ≤时，(1)0f >，不符合题意；┄┄┄┄┄1分当0a >时，1'()ax f x x -=，1'()00f x x a >⇒<<，1'()0f x x a <⇒>，所以函数()f x 在区间1(0,)a 上为增函数，在1(+)a∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分所以max 11()()ln 10f x f a a==+≤，解得实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知+1212ln 222x x e e e x x e x ex +--≥--+，┄┄┄┄┄6分设12()2(0)2x e h x e x ex x +=--+≥，则1'()x h x e ex e +=--，令()'()x h x φ=，则1'()x x e e φ+=-，当0x >时，恒有'()0x φ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以0x >时，()(0)2 4.72h x h e >=+≈，┄┄┄┄┄9分又112211ln 4.85222e e +-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分法二：设2()1(0)2xx h x e x x =---≥，则'()1x h x e x =--，令()'()x h x ψ=，则'()1x x e ψ=- 当0x >时，恒有'()0x ψ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以'()'(0)0h x h >=，页脚内容14所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以()(0)0h x h >=，所以当0x >时，2+122ln (1)ln ln 222x e x e e x x e x x x ex e x -->++--=+-，设()+ln t x ex e x =-，则1'()t x e x=-， 1'()0t x x e >⇒>，1'()00t x x e<⇒<<，所以函数()t x 在区间1(0,)e 上为减函数，在1(+)e∞，上为增函数，所以1()()2 4.72t x t e e≥=+≈，┄┄┄┄┄9分又112211ln 4.85222e e +-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 22.解：（Ⅰ）4sin ((0,))2πρθθ=∈可以化为224(0)x y y x +=>，其参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（参数(,)22ππβ∈-）. ┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ)由题得||4sin OP α=，6||sin cos OQ αα=+，其中(0,)2πα∈，┄┄┄┄┄6分所以2||221cos 2sin 22sin 2cos 21(sin sin cos )()=()||3322322OP OQ ααααααα--=+=++21=[)]32423πα-+≤，┄┄┄┄┄8分因为32(,)444πππα-∈-，所以当242ππα-=即38πα=时取到等号，页脚内容15 所以||||OP OQ的最大值为3.┄┄┄┄┄10分 23. 解：（Ⅰ）当1a =时，1()|21|||02f x x x =+--<，即1|21|||2x x +<-，两边平方可得221(21)()2x x +<-，解得31(,)26x ∈--.┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）1,2211()3,22211,22a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧---≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪++>⎪⎩，所以()f x 在(,)2a -∞-上为减函数，在(,)2a -+∞为增函数，┄┄┄┄┄6分()f x的最小值1()()1222a a m f a =-=-+≤-=-，当且仅当122a a=即1a =时取到等号. ┄┄┄┄┄8分所以32+10,10m m ≤-≥，所以532322321()(1)1(1)(1)0m m m m m m m m ---=--+=+-≤. 所以5321m m m -≤-┄┄┄┄10分。

2018-2019学年高考数学(理科)一轮复习通用版：第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用

第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r ·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r)s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．③(ab )r ＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数．3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． [小题速通] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a .2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy 的值为________．解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0，故x ＝y 不符合题意，舍去．所以x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m－3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1) a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质当x ＝0时，y ＝1，即过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)．2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知：当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d 2，d ＝log 20.3<0，由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,10)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．解析：设f (x )＝x α，又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α，解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)．答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值．解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立，化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0，解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度幂函数 5年2考幂函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例] －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a 3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16，f (2)＝4a ＋c ＝4，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f (x )＝x 21．(2018·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1<a <3)，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列结论正确的是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定解析：选A f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1<a <3，则－2<1－a <0，若x 1<x 2≤－1，则x 1＋x 2<－2，不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2<1－a <0；若x 1<－1，x 2≥－1，则|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a >0(1<a <3)，此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)>f (x 1)；若－1≤x 1<x 2，则此时x 1＋x 2>－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)<f (x 2)． 2．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，且实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ①当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点；当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x ，令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a 0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1，同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a . 当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则b a ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2，则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减，故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]指数函数的性质5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝e x ·x 2e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确；C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解．角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y ，所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y ≥231x ＋1y ，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立．故1x ＋1y的最大值为1. 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．。

2018年高考数学理一轮复习文档第二章基本初等函数、

第13讲导数的综合应用利用导数研究函数的零点和方程根的问题(2016·高考北京卷节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．【解】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．(1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ）2，f (x )无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ）2.因为f (x )存在零点，所以k （1－ln k ）2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．利用导数研究不等式问题(高频考点)导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且常以解答题的形式考查，难度较大．高考对利用导数研究不等式问题的考查有以下两个命题角度： (1)证明不等式； (2)不等式恒成立问题．(2016·高考全国卷丙)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x＜x ；(3)设c ＞1，证明当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x.【解】 (1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． (2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x－1，即1＜x －1ln x＜x . (3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由(2)知1＜c －1ln c＜c ，故0＜x 0＜1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0.所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x ＞c x.(1)利用导数证明不等式的方法证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，当x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明f (x )＜g (x )．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．角度一证明不等式1．已知函数f (x )＝m e x－ln x －1.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞1.(1)当m ＝1时，f (x )＝e x －ln x －1，所以f ′(x )＝e x－1x.所以f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x .(2)证明：当m ≥1时，f (x )＝m e x－ln x －1≥e x－ln x －1. 要证明f (x )＞1，只需证明e x－ln x －2＞0. 设g (x )＝e x －ln x －2，则g ′(x )＝e x－1x.设h (x )＝e x －1x ，则h ′(x )＝e x＋1x2＞0，所以函数h (x )＝g ′(x )＝e x－1x在(0，＋∞)上单调递增．因为g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－2＜0，g ′(1)＝e －1＞0，所以函数g ′(x )＝e x－1x 在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.因为g ′(x 0)＝0，所以e x0＝1x 0，即ln x 0＝－x 0.当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞0. 所以当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．故g (x )≥g (x 0)＝e x0－ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2＞0.综上可知，当m ≥1时，f (x )＞1.角度二不等式恒成立问题2．e x≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．k ≤1 B ．k ≥1 C ．k ≤－1D ．k ≥－1A 由e x≥k ＋x ，得k ≤e x－x .令f (x )＝e x－x ，所以f ′(x )＝e x－1.f ′(x )＝0时，x ＝0，f ′(x )＜0时，x ＜0，f ′(x )＞0时，x ＞0.所以f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．所以f (x )min ＝f (0)＝1.所以k 的取值范围为k ≤1，故选A.3．(2017·长沙模拟)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x恒成立．(1)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x2. ①当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4，即实数a 的取值范围是(－∞，4]．(2)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞))．又f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max＝m (1)＝－1e ，从而对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x恒成立．利用导数研究生活中的优化问题某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．(2017·临沂模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6. 从而f ′(x )＝10 ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．——函数与导数的综合问题(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x，a ，b ∈R ，且a >0. (1)当a ＝2，b ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝a (x －1)e x－f (x )，若存在x >1，使得g (x )＋g ′(x )＝0成立，求b a的取值范围．(1)(2)(1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x e x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝（x ＋1）（2x －1）x2e x.(2分) 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，(3分)当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝1e，f (x )的极小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4 e.(6分)(2)因为g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ax －bx－2a e x，所以g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫b x 2＋ax －bx－a e x.(7分)由g (x )＋g ′(x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b x 2＋ax －b x －a e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.(8分)存在x >1，使得g (x )＋g ′(x )＝0成立等价于存在x >1，使得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立．因为a >0，所以b a ＝2x 3－3x 22x －1.(10分)设u (x )＝2x 3－3x22x －1(x >1)，则u ′(x )＝8x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋316（2x －1）2.(11分)因为x >1时，u ′(x )>0恒成立，所以u (x )在(1，＋∞)上是增函数，即b a的取值范围为(－1，＋∞)．(12分)(1)本题构造函数u (x )是求ba范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题．(2)学会利用导数法求给定区间上的函数的最值问题的步骤第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．(2017·广州市高考模拟)已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．无数个A 因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．2．(2017·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2A 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈)，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0.所以函数y ＝－13x3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x ＝9处取得最大值．94．(2017·烟台模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0时，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x <0时，即x ∈ 45．(2017·张掖市第一次诊断考试)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)判断f (x )的单调性；(2)当f (x )＜0在(0，＋∞)上恒成立时，求a 的取值范围． (1)f ′(x )＝1x－a ，函数f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)．当a ≤0时，f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上是减函数．(2)f (x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，即a ＞ln xx在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，故当x ＝e 时，g (x )取得最大值1e，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 6．(2017·贵州省七校第一次联考)函数f (x )＝(ax 2＋x )e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＞0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在上有解． (1)因为e x＞0，所以不等式f (x )≤0即为ax 2＋x ≤0，又因为a ＞0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0，所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a，0.(2)当a ＝0时，方程即为x e x＝x ＋2，由于e x＞0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令 h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x＋2x2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－2＞0，h (－3)＝e －3－13＜0，h (－2)＝e －2＞0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数t 的所有值为{－3，1}．7．(2017·广西第一次质量检测)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx，又f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝（x －1）（x －c ）x且c ≠1，b ＋c ＋1＝0.(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0；当x ＞c 时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0，1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )．(2)①若c ＜0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0，所以－12＜c ＜0；②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，因为b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0， f (x )极小值＝－12－c ，从而f (x )＝0只有一解；③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极大值＝－12－c ，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为－12＜c ＜0.8．(2016·高考四川卷)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立． (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)证明：令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以ex －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)由(2)知，当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0，因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.9．(2017·贵州省适应性考试)设n ∈N *，函数f (x )＝ln x x n ，函数g (x )＝exxn (x ＞0)．(1)当n ＝1时，求函数y ＝f (x )的零点个数；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象分别位于直线y ＝1的两侧，求n 的取值集合A ；(3)对于∀n ∈A ，∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，求|f (x 1)－g (x 2)|的最小值． (1)当n ＝1时，f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2(x ＞0)．由f ′(x )＞0得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0得x ＞e.所以函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因为f (e)＝1e ＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e ＜0，所以函数f (x )在(0，e)上存在一个零点；当x ∈(e ，＋∞)时，f (x )＝ln xx＞0恒成立，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上不存在零点．综上可得函数f (x )在(0，＋∞)上存在唯一一个零点． (2)对函数f (x )＝ln x x n 求导，得f ′(x )＝1－n ln xxn ＋1(x ＞0)，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜e 1n ；由f ′(x )＜0，得x ＞e 1n .所以函数f (x )在(0，e 1n )上单调递增，在(e 1n ，＋∞)上单调递减，则当x ＝e 1n 时，函数f (x )有最大值f (x )max ＝f (e 1n )＝1n e .对函数g (x )＝e xx n (x ＞0)求导，得g ′(x )＝（x －n ）exxn ＋1(x ＞0)，由g ′(x )＞0，得x ＞n ；由g ′(x )＜0，得0＜x ＜n .所以函数g (x )在(0，n )上单调递减，在(n ，＋∞)上单调递增．则当x ＝n 时，函数g (x )有最小值g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n. 因为∀n ∈N *，函数f (x )的最大值f (e 1n )＝1n e＜1，即函数f (x )＝ln xxn 在直线y ＝1的下方，故函数g (x )＝exxn (x ＞0)在直线y ＝1的上方，所以g (x )min ＝g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n＞1，解得n ＜e. 所以n 的取值集合A ＝{1，2}．(3)对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－g (x 2)|的最小值等价于g (x )min －f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e n n－1n e .当n ＝1时，g (x )min －f (x )max ＝e －1e ；当n ＝2时，g (x )min －f (x )max ＝e 24－12e；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24－12e ＝e 2（4－e ）－24e ＞0，所以|f (x 1)－g (x 2)|的最小值为e 24－12e ＝e 3－24e .。

【精品】2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“基本初等函数及应用”含解析

“基本初等函数及应用”双基过关检测一、选择题1．化简[(－2)6] 12－(－1)0的结果是( ) A ．－9 B ．7 C ．－10D ．9解析：选B [(－2)6] 12－(－1)0＝(26) 12－1＝23－1＝7.2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点( ) A ．(1,0) B ．(1，－2) C ．(－1，－2)D ．(－1，－1)解析：选C 令x ＝－1，得log a 1＝0，此时f (－1)＝－2，故选C.3．(2017·济宁诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选C 由幂函数的定义知k ＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.4．(2017·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知：当a <0，且abc >0时，若－b2a<0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a >0，则b >0，c <0，故排除B.当a >0，且abc >0时，若－b2a<0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合．5．(2017·成都模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 2 79，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．c ⎝ ⎛⎭⎪⎫9715>1，c ＝log 2 79<0，所以a >b >c .故选B.6．(2017·长春模拟)函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x＝t ，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.7．(2016·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x2(2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.8．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D. 二、填空题9．(2017·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．解析：设f (x )＝x a，又 f (4)＝3 f (2)， ∴4a＝3×2a，解得a ＝log 23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13. 答案：1311．若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 12．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤2，a 2≤0，即－4≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0] 三、解答题13．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x(a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.14．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )＝log a x ＋11－x 在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．。

2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(九)基本初等函数、函数与方程Word版含解析

3．已知函数 f(x)＝ ax，其中 a>0 且 a≠ 1，如果以 P(x1， f(x1))， Q( x2， f(x2))为端点的线
段的中点在 y 轴上，那么 f( x1) ·f (x2)＝ ( )
A．1 C．2
B．a D． a2
解析：选 A ∵以 P(x1，f(x1)) ，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在又 f(x)＝ ax，∴ f(x1) ·f(x2)＝ ax1·ax2＝ ax1＋x2＝a0＝ 1.
C．(1，＋∞ )
D ．(4，＋∞ )
解析：选 D 由 x2－ 2x－ 8＞0，得 x＞ 4 或 x＜－ 2.因此，函数 f(x)＝ ln( x2－ 2x－8)的定
义域是 (－ ∞ ，－ 2)∪ (4，＋ ∞ )．注意到函数 y＝ x2－ 2x－ 8 在 (4，＋ ∞ )上单调递增，由复合
函数的单调性知， f(x)＝ ln( x2－ 2x－8)的单调递增区间是 (4，＋ ∞ )．
解析：选 D 设幂函数 f(x)＝ xa，则 f(3)＝ 3a＝ 3，解得 a＝ 1，则 f(x) ＝ x1＝ x，是非
2
2
奇非偶函数，且在 (0，＋ ∞ )上是增函数．
2． (2017 ·全国卷Ⅱ )函数 f(x)＝ ln( x2－ 2x－ 8)的单调递增区间是 (
)
A ． (－∞，－ 2)
B ． (－∞， 1)
)
2
A.
－ 1， 0 2
B.
－ 1，＋∞ 2
C.
－ 1， 0 2
∪ (0，＋∞
)
D.
－ 1， 2 2
解析：选 C 由题意，得 2x＋1≠ 1，解得 x>－1且 x≠ 0.
2x＋ 1>0 ，

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“平面向量” Word版含解析

“平面向量”双基过关检测一、选择题1、(2017·常州调研)已知A ,B ,C 三点不共线,且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0,则下列结论正确的是( )A 、OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B 、OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C 、OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D 、OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0, ∴O 为△ABC 的重心,∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13·(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－13(2AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→.2、(2017·合肥质检)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC ―→＋CB ―→＝0,则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B 、－13OA ―→＋23OB ―→C 、2OA ―→－OB ―→D 、－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→OC ―→－OA ―→,CB ―→＝OB ―→－OC ―→,所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0,所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3、已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a －b )·b ＝( ) A 、－1 B 、0 C 、1D 、2解析：选B (2a －b )·b ＝2a·b －b 2＝2|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉－|b |2＝2×1×1×cos 60°－1＝0.4、(2016·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中,设BC ―→＝a ,CA ―→＝b ,AB ―→＝c ,则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A 、－32B 、0 C.32D 、3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 5、若向量a 与b 的夹角为60°,a ＝(2,0),|a ＋2b |＝23,则|b |＝( )A. 3 B 、1 C 、4D 、3解析：选B 因为|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝22＋8·|b |·cos 60°＋4|b |2＝(23)2,所以|b |2＋|b |－2＝0,解得|b |＝1.故选B.6、已知向量a ,b 满足|a |＝1,|b |＝4,且a·b ＝2,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ＝a·b |a|·|b|＝12,∴θ＝π3. 7、(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中,已知向量a ＝(1,2),a －12b ＝(3,1),c ＝(x,3),若(2a＋b )∥c ,则x ＝( )A 、－2B 、－4C 、－3D 、－1解析：选D 依题意得b ＝2⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a －12b ＝(－4,2),2a ＋b ＝(－2,6),6x ＝－2×3＝－6,x ＝－1,故选D.8、在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点,且∠AOC ＝π4,且|OC |＝2,若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→,则λ＋μ＝( )A 、2 2 B. 2 C 、2D 、4 2解析：选A 因为|OC |＝2,∠AOC ＝π4,所以C (2,2), 又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→,所以(2,2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ,μ), 所以λ＝μ＝2,λ＋μ＝2 2. 二、填空题9、(2016·洛阳一模)若三点A (1,－5),B (a ,－2),C (－2,－1)共线,则实数a 的值为________、解析：∵AB ―→＝(a －1,3),AC ―→＝(－3,4), 据题意知AB ―→∥AC ―→, ∴4(a －1)＝3×(－3), 即4a ＝－5,∴a ＝－54.答案：－5410、已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ,且OA ―→＝a ,OB ―→＝b ,则DC ―→＝________,BC ―→＝________.(用a ,b 表示)解析：如图,DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ,BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b11、(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1),b ＝(1,－2),若ma ＋nb ＝(9,－8)(m ,n ∈R),则m －n 的值为________、解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,－8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－312、已知|a |＝5,|b |＝4,a 与b 的夹角θ＝120°,则向量b 在向量a 方向上的投影为________、解析：由数量积的定义知,b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2 三、解答题13、已知a ,b 不共线,OA ―→＝a ,OB ―→＝b ,OC ―→＝c , OD ―→＝d , OE ―→＝e ,设t ∈R,如果3a ＝c,2b ＝d ,e ＝t (a ＋b ),是否存在实数t 使C ,D ,E 三点在一条直线上？若存在,求出实数t 的值,若不存在,请说明理由、解：由题设知,CD ―→＝d －c ＝2b －3a ,CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋tb ,C ,D ,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ,使得CE ―→＝k CD ―→,即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ,整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ,b 不共线,所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ,D ,E 三点在一条直线上、14、(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22,n ＝(sin x ,cosx ),x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ,求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值、解：(1)若m ⊥n ,则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0, ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3,∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3,即22sin x －22cos x ＝12, ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2, ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4, ∴x －π4＝π6,即x ＝5π12.。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“椭圆、双曲线、抛物线” Word版含解析

“椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测一、选择题1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p 2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .2．(2017·济南第一中学检测)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫116，0B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1)解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则p ＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116. 3．(2017·贵州七校联考)已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是( )A ．4B ．－14 C.14 D ．－4解析：选B 由双曲线的方程知a ＝1，b ＝－1m ，又b ＝2a ，所以－1m ＝2，解得m ＝－14，故选B. 4．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选B 由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3.5．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A. 7．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b ＝( ) A.32 B.233C.932D.2327 解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，∴a b ＝32. 8．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.()－3，3 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.二、填空题9．(2016·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以b a ＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.②由①②得a ＝1，b ＝2.答案：1 210．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：211．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 12．(2017·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1三、解答题13．(2017·揭阳一中期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2. 所以y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2. 因为OM ⊥ON ，所以OM ―→·ON ―→＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p 2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223， k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。

2018年高考数学理总复习双基过关检测：“解三角形” 含解析精品

“解三角形”双基过关检测一、选择题1．(2017·兰州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A.π6 B.π4C.π3D.π2解析：选C 易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－(7)22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，故选C.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2017·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6 B.π3或2π3C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6，故选A.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC ＝107 km.7．(2017·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2. 故B ，C 两点间的距离是102海里．二、填空题9．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：211．(2016·南昌二中模拟)在△ABC 中，如果cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．解析：∵cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1， ∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1， ∴cos(A －B )＝1，在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ，所以此三角形是等腰三角形．答案：等腰三角形12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 650 三、解答题13．(2017·山西四校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝23，∴sin A ＝1－cos 2A ＝53， ∴5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝53cos C ＋23sin C . 整理得tan C ＝ 5. (2)由(1)知sin C ＝ 306，cos C ＝ 66，由a sin A ＝csin C知，c ＝ 3. ∵sin B ＝5cos C ＝5·66＝306，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×2×3×306＝52.14．(2016·石家庄二模)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＋c ＝2a.(1)求角B的大小；(2)若cos A＝17，求ca的值．解：(1)由正弦定理，得2sin B cos C＋sin C＝2sin A，∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，∴2sin B cos C＋sin C＝2(sin B cos C＋cos B sin C)，∴sin C＝2cos B sin C，∵sin C≠0，∴cos B＝1 2，∵B为△ABC的内角，∴B＝π3.(2)在△ABC中，cos A＝1 7，∴sin A＝43 7，又B＝π3，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 14，∴ca＝sin Csin A＝58.。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“三角函数及其恒等变换” Word版含解析

“三角函数及其恒等变换”双基过关检测一、选择题1.(2017·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．(2017·商丘模拟)sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1D.33解析：选A sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 5．(2016·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，把tan α＝2代入，原式＝25，故选A.6．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0，即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤712π＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故选B.二、填空题9．(2016·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或310．(2017·衡水中学检测)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________.解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋ sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 答案：011．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫712π－π3＝π， ∴ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：78 2三、解答题13．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．14．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 15．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“函数的概念及其性质” Word版含解析

“函数的概念及其性质”双基过关检测一、选择题1．函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( )A ．(6,＋∞)B ．(－3,6)C ．(－3,＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6,故函数g (x )的定义域为[－3,6)． 2．(2017·唐山期末)已知f (x )＝x ＋1x －1,f (a )＝2,则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3 解析：选A ∵f (a )＝a ＋1a－1＝2, ∴a ＋1a ＝3.f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2,则a 等于( ) A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 当a ≥0时,f (a )＝a ,由已知得a ＋1＝2,得a ＝1；当a <0时,f (a )＝－a ,由已知得－a ＋1＝2,得a ＝－1,综上a ＝±1.故选D.4．(2017·大连测试)下列函数中,与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同,且在(－∞,0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数,在(－∞,0)上为增函数,选项B 的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C 符合要求．5．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞,1)上是减函数,则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13, 由题意知－a －13≥1,即a ≤－2. 6．(2017·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”,则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知,f (x )在(0,＋∞)上单调递减．对于A,f (x )＝(x －1)2在(1,＋∞)上单调递增,排除A ；对于B,f (x )＝e x 在(0,＋∞)上单调递增,排除B ；对于C,f (x )＝1x在(0,＋∞)上单调递减,C 正确；对于D,f (x )＝ln(x ＋1)在(0,＋∞)上单调递增,排除D.7．(2017·广州模拟)已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )＝2x 2,则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x ),所以函数f (x )的周期T ＝4,又f (x )在R 上是奇函数,所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.8．(2017·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1,若f (a )＝23,则f (－a )＝( ) A.23B ．－23 C.43 D ．－43解析：选C f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1,而h (x )＝x x 2＋1是奇函数,故f (－a )＝1＋ h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43,故选C. 二、填空题9．(2017·岳阳模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－2)的值为________．解析：因为函数f (x )为奇函数,所以f (0)＝30＋a ＝0,即a ＝－1,所以f (－2)＝－f (2)＝－(32－1)＝－8.答案：－810．(2016·长春三模)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,＋∞)上单调递增,且f (1)＝0,则不等式f (x －2)≥0的解集是________．解析：由题知x －2≥1或x －2≤－1,所以不等式的解集是(－∞,1]∪[3,＋∞)．答案：(－∞,1]∪[3,＋∞)11．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增,且f ⎝⎛⎭⎫12＝0,则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析：由奇函数y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增,且f ⎝⎛⎭⎫12＝0,得函数y ＝f (x )在(－∞,0)上递增,且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0, ∴f (x )>0时,x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <0或x >12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <0或x >12 12．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ＜1时,f (x )＝2x －1,则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2,∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝212－1＋20－1 ＝2－1.答案：2－1三、解答题13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3,f (－1)＝f (1)． (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3,f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1, 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示：14．设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x ),得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x ),∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x ),得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)],即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时,f (x )＝x ,且f (x )的图象关于原点成中心对称,则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时,f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ,则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“椭圆、双曲线、抛物线”含解析

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第二章函数与基本初等函数I2.5含解析

1．分数指数幂（1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝错误!（a 〉0，m ，n ∈N *，且n >1）．于是，在条件a 〉0,m ,n ∈N ＊,且n 〉1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1m na（a 〉0，m ,n ∈N *，且n 〉1)。

0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．（2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ,(a r ）s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ,其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa 〉1 0<a 〈1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞）性质(3)过定点（0，1)(4）当x>0时，y>1；当x〈0时，0〈y〈1（5)当x>0时，0〈y〈1；当x<0时,y>1（6)在（－∞,＋∞)上是增函数（7)在（－∞，＋∞）上是减函数【知识拓展】1．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，（0,1),(－1，错误!）．2。

指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（1）y＝a x，（2)y＝b x，（3)y＝c x，（4）y＝d x的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d〉1>a>b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内，指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1)的图象越高,底数越大．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) （1）n ，a n ＝（错误!)n ＝a 。

（ × ）(2）分数指数幂m na 可以理解为错误!个a 相乘．( × ）（3)2142(1)(1) 1.-=-=-（× )(4）函数y ＝a －x 是R 上的增函数．（ × )（5）函数21x y a ＋＝(a >1)的值域是(0，＋∞)．( × ）(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( × ）1．(教材改编)若函数f (x ）＝a x （a >0，且a ≠1）的图象经过点P （2，12）,则f (－1）等于（） A 。

【高考复习】2018年高考数学(理)总复习《函数的概念及其性质》双基过关检测试卷含解析

“函数的概念及其性质”双基过关检测一、选择题1．函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( )A ．(6，＋∞)B ．(－3,6)C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6，故函数g (x )的定义域为[－3,6)． 2．(2017·唐山期末)已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( ) A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3 解析：选A ∵f (a )＝a ＋1a－1＝2， ∴a ＋1a＝3. f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于( ) A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.故选D.4．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．5．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 6．(2017·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.7．(2017·广州模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.8．(2017·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( ) A.23B ．－23 C.43 D ．－43解析：选C f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋ h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C. 二、填空题9．(2017·岳阳模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－2)的值为________．解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝30＋a ＝0，即a ＝－1，所以f (－2)＝－f (2)＝－(32－1)＝－8.答案：－810．(2016·长春三模)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．解析：由题知x －2≥1或x －2≤－1，所以不等式的解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)11．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <0或x >12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <0或x >12 12．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝212－1＋20－1 ＝2－1.答案：2－1三、解答题13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示：14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.。

2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第二章基本初等函数、导数及其应用2-9Word版含答案

课时规范训练[A级基础演练]1．(2017·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60 元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费()A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元解析：选A.由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()解析：选 A.汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元解析：选D.设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a ＝108，故选D.4．(2017·四川南充模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt( cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a·e－b×8＝12a，∴b＝ln 2 8，∴y ＝a ·e －ln 28·t .若容器中只有开始时的八分之一，则有a ·e －ln 28·t ＝18a .解得t ＝24，∴经过的时间为24－8＝16 min.答案：165．(2017·山东省实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．[B 级能力突破]1．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n ＞10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 (n ≤10)，100 (10＜n ≤15)，200 (15＜n ≤20)，300 (20＜n ≤25)，400 (n ＞25).现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：选D.∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D.2．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5＜P A ＜5.5(注：lg 2≈0.3)．其中正确的说法为．(写出所有正确说法的序号) 解析：当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A ＝lg n A ＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A ＜5.5，故③正确．答案：③3．(2017·河南郑州质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，由已知得⎩⎨⎧ 20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4－18x ＋52，4<x ≤20. (2)设鱼的年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．4．随着全球债务危机的深化，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f (x )(单位：件)与产量x (单位：件)之间的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1625x 2(0≤x ≤400)x －144(400<x <500)，每件产品的售价g (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －58x ＋750(0≤x ≤400)，－x ＋900(400<x <500).(1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润．解：(1)设总成本为c (x )(单位：元)，则c (x )＝14 000＋210x ，所以日销售利润Q (x )＝f (x )g (x )－c (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －11 000x 3＋65x 2－210x －14 000(0≤x ≤400)，－x 2＋834x －143 600(400<x <500).(2)由(1)知，当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝－31 000x 2＋125x －210.令Q ′(x )＝0，解得x ＝100或x ＝700(舍去)．易知当x ∈[0,100)时，Q ′(x )<0；当x ∈(100,400]时，Q ′(x )>0.所以Q (x )在区间[0,100)上单调递减，在区间(100,400]上单调递增．因为Q (0)＝－14 000，Q (400)＝30 000，所以Q (x )在x ＝400时取到最大值，且最大值为30 000.当400<x <500时，Q (x )＝－x 2＋834x －143 600.当x ＝－8342×(－1)＝417时，Q (x )取得最大值，最大值为Q (x )max ＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．。

2018年高考数学(理)总复习 双基过关检测“基本初等函数及应用” Word版含解析

2018届高三数学理一轮总复习练习-第二章 基本初等函数

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测导数及其应用Word版含解析

2018年高考数学(理)一轮复习文档第二章基本初等函数、导数及其应用第7讲函数的图象Word版含答案

2018辽宁省大连市双基考试数学试卷及答案理科

2018-2019学年高考数学(理科)一轮复习通用版：第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用

2018年高考数学理一轮复习文档 第二章 基本初等函数、