结构动力学4对简谐和周期荷载的反应

C
u0 ust
1
[1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
tan1 2 ( / n ) 1 ( / n )2
C
u
st
[1
(
/
1 n
( )2 ]2
/n )2 [2 (
/
n
)]2
D
u
st
[1
(
/
n )
2 /n 2 ]2 [2
(
/
n
)]2
ust
p0 k
静位移
（2）动力放大系数Rd（dynamic magnification factor）
为无阻尼自由振动：
uc (t) Acosnt B sin nt n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动 mu ku p0 sint
特荷解载—p满0s足inω运t直动接方引程起的的解振，动记解为。up(t) ，是由动
设特解为：up (t) C sint D cost
特解up可以设为如下形式 :
u p (t) C sin t D cost
u 2 nu n 2u
p0 m
sin t
(n2
2 )C
2 nD
p0 m
Hale Waihona Puke Baidu
sin
t
2 nC
(n2
2)D
cost
0
4.2 有阻尼体系的简谐振动
1
(
n
)
2
C
(2
)D
n
ust
(2
)C
n
1
(
n
)2
D
C 0, D ust
2
满足零初始条件
A
1
2
ust
,
B 2
1
1 2
ust
运动解：
u(t)
ust
2
ent (cosDt
1
2
sinDt) cosnt
当ζ=0时 ：
u(t)
u st 2
nt
c os n t
与无阻尼时的结果完全相同
（1）有阻尼体系的共振反应（ω=ωn） 图4.4 有阻尼体系共振反应时程
1 2
时， Rd
1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
1 2
时， (Rd ) max
2
1,
1 2
(
n
) 峰值
1 2 2 。
(3)
当 /n
1 （共振时）， Rd
1
2
。
(4) 当 / n 2 时， Rd 1 ，对任意 ζ 均成立。
4.2 有阻尼体系的简谐振动
（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
无阻尼体系动力放大系数
Rd
u0 u st
1
1 ( / n )2
①ω=0 ，Rd =1
②ω=ωn，Rd → ∞ 发生共振
③ω/ωn≥√2， Rd≤1
4.1 无阻尼体系的简谐振动
无阻尼体系共振时动力反应时程
共振时(ω=ωn)：
u
p
(t)
u st 2
nt
c os n t
4.2 有阻尼体系的简谐振动
运动方程：
mu ku p0 sint
其中：p0 —简谐荷载的幅值； ω —简谐荷载的圆频率。
初始条件 ：
u t0 u(0) ,ut0 u(0)
4.1 无阻尼体系的简谐振动 mu ku p0 sint
运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程， 全解=齐次方程的通解+特解
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc
运动方程：mu cu ku p0 sin t
初始条件：
u t0 u(0)
,ut0 u(0)
利用c=2mωnζ，并将运动方程两边同除m， 得到如下形式的运动方程：
u 2 nu n 2u
p0 m
sin t
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t) ent ( A cos Dt B sin Dt)
动力放大系数定义为 ：
Rd
u0 u st
1
u0 ust [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
1
Rd [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
（2）动力放大系数Rd
Rd
1
[1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
（2）动力放大系数Rd
(1) 当
C
p0 k
1
1
( /
n
)2
,
mu ku p0 sint
D0
其构中自，振ω频/ω率n—之频比率；比，外荷载的激振频率与结
p—particular
4.1 无阻尼体系的简谐振动
全解=通解+特解
u(t) uc (t) up (t)
Acosnt B sin nt
p0 k
1
1 ( / n )2
sin t
0
C
u st
[1
(
1 ( /n )2 ]2
/n )2 [2 (
/n
)]2
D
u st
[1
(
2 /n / n )2 ]2 [2
(
/
n
)]2
运动方程的全解：u(t)=uc+up ：
u(t) ent (AcosDt B sin Dt) C sin t D cost
4.2 有阻尼体系的简谐振动
待定系数A、B由初值条件确定
A u(0)
B
u(0)
n
p0 k
/n 1 ( /n )2
u t0 u(0) ut0 u(0)
4.1 无阻尼体系的简谐振动
满足初始条件的解 ：
瞬态反应
u(t)
u(0) cosnt
u(0)
n
p0 k
/ n 1 ( / n )2
sin nt
p0 k
1
1 ( / n )2
结构动力学
（2010）
结构动力学
第四章
单自由度体系对 简谐和周期荷载的反应
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是 结构动力学中的一个经典内容。
不仅工程中实际存在这种形式的荷载，而 且简谐荷载作用下单自由度体系的解提 供了了解结构动力特性和用于分析更复 杂荷载作用反应的手段和方法。
4.1 无阻尼体系的简谐振动
sin t
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应
：
u(t)
p0 k
1
1 ( / n )2
sin t
u0—稳态反应的振幅：
u0
p0 k
1
1 ( / n )2
ust—等效静位移，或静位移：
u st
p0 k
Rd—动力放大系数：
Rd
u0 u st
1
1 ( / n )2
4.1 无阻尼体系的简谐振动
4.2 有阻尼体系的简谐振动
（2）动力放大系数Rd（dynamic magnification factor） 振动的稳态解：
u(t) C sint D cost u0 sin(t )
u0 —稳态振动的振幅
φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
u0
C 2 D2 , tan1 ( D )
图4.3 有初始条件影响的动力反应时程
4.2 有阻尼体系的简谐振动
（1）共振反应（ω=ωn）
C
u st
[1
(
1 ( /n )2 ]2
/n )2 [2 (
/n
)]2
D
u st
[1
(
2 /n / n )2 ]2 [2
(
/
n
)]2
u(t)
ent ( AcosDt
B sin Dt)
ust
2
cost