切比雪夫不等式及大数定律

1 1 n
C
2
D( ni1
Xi)n2.
从而：ln i m P {|n 1i n 1X in 1i n 1E (X i)|0 }0 证毕 .
推论： 设 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X1,X2L,Xn,L服从相同
的 分 布 ， 且E ( X i) ,D ( X i) 2 ,i 1 ,2 L ,
（2） P|fnp| 0 或 P|fnp|1
（3） lni m P|fnp|0或 lni m P|fnp|1
为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式—— 切比雪夫不等式.
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一 . 切比雪夫不等式
定理1（切比雪夫定理） 设随机变量 X
的数学期望 E(X) 方差 D(X)2 存在，则对任意的
解：设X表示事件A在1000次独立试验中发生的次
则：数X ,~B (1000,0.5),E ( X ) n P 1 0 0 0 0 . 5 5 0 0
D ( X ) n P ( 1 P ) 1 0 0 0 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) 2 5 0 2 .
由切比雪夫不等式有：
则 对 任 意 > 0 ， 有 lni m Pn 1i n1Xi 0
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推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平 均值与它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数 的概率可任意地小.这一理论正好回答了问题2.
分别具有有 限 的 数 学 期 望 E (X 1 ) ,E (X 2 ) L ,E (X n ) ,L ，
及方差 D (X 1 ) ,D (X 2 ) L ,D (X n ) ,L ，
若 存 在 常 数 C 使D (X i) C ,i 1 ,2 ,L
则 对 任 意 > 0 ， 有 ln i m P n 1i n 1X in 1i n 1EX i 0
二 . 大数定律
贝努里大数定律
定理2 设 Y n 是 n 重 B e r n o u l l i 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 ，
p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ， 则 对 任 意 的 0 有
lni mPYnn p0
贝努里大数定律说明，在相同条件下独立地重复 做 n 次
P { 4 5 0 X 5 5 0 } P { 4 5 0 5 0 0 X 5 0 0 5 5 0 5 0 0 }
P { 5 0 X 5 0 0 5 0 } P { |x 5 0 0 | 5 0 }
1
250 502
0.9
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由于 fn是 随 机 变 量 ， ,其随机性使不论 N 取多大的值,
也 不 可 能 保 证对 一 切 的 n N ,有 fnp成 立 。
请看下面的图示:
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fn
p p
p
n
N
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因此，只能求其次，去求证下面两式成立：
证：
1 n
1n
E(n(i1Xi)ni1E(Xi)
1n
1n
1n
D (ni 1X i)n 2i 1D (X i)n 2i 1C
C n
.
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由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0P {|n 1i n 1X in 1i n 1E (X i)|}
试验，当 n 较大时，事件 A 发生的频率
fn
nA n
与在每
次试验中发生的概率 p 之差的绝对值大于任意指定正数
的概率可任意地小（接近于0）. 因此，在实践中可以通 过反复试验，用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.
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证: QYn~B(n,p), EYnnp, D (Y n )n p (1p ),
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E (X ) 1 0 0,
方差为D(x)102,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P { 8 0 X 1 2 0 }
P { 8 0 1 0 0 X 1 0 0 1 2 0 1 0 0 }
从而
E
Yn n
p,
DYnn
p(1 n
p),
所以由切比雪夫不等式， 对任意的 0有下式成立
0
P
Yn n
p
1 2
D
Yn n
1
2
p(1 p) n
让n两边取极限，得
lni mP
Yn n
p
0
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切比雪夫大数定理
定理3： 设 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X1,X2L,Xn,L
0 即有
P , 有：XP X1 2 2 （225）
证: 仅就连续型随机变量的
情形进行证明.
（4）
f (x)
设 X 的概率密度函数为 f ( x )
则有 PX
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(x)2
P X
f (x)dx
|x|
|x|
2
f(x)dx
1
2
(x)2f(x)dx
P { 2 0 X 1 0 0 2 0 } P { |X 1 0 0 | 2 0 }
121002 0.975
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例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
第一节
第五章
切比雪夫不等式
与大数定律(13)
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
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引言:
问题 1 频率稳定性的问题
在相同条件下进行 n 次重复试验，事件 A 发生的频率
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nA n
总是在 [0,1] 上的一个确定的常数 p 附近摆动，并且随着
试验次数 n 的增大，越来越稳定地趋于 p 。 如何从理论上说明这一现象？
问题 2 在精密测量时要反复测量然后再取平均值？
这样作的理论依据是什么？
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对于问题1，要说明频率 f n 趋于常数 p ，自然会想到
极限概念. 如果能证明
lim
n
fn
p
（1）
问题1 就能得以解决.
即对任意的 0, 存在正整数N，对于 nN,有
fn p