全同费米子问题

质心坐标和相对坐标下

两电子（费密子）之间的库仑能和交换能只和相对坐标有关系，与质心坐标以及电子自旋无关，但是总的波函数必须是反对称的，满足L+S 为偶数，因此电子的自旋会影响库仑能以及交换能的表达形式。假定)(r n φ是它们的相对坐标本征函数，

L 为偶数时，空间波函数是对称的，记为S φ;自旋波函数是反对称的，A X ， L 为奇数时，空间波函数是反对称的，记为A φ；自旋波函数是对称的，S X

总波函数 ⎩⎨⎧=ψS

A A S A X X φφ 考虑到电子是费米子，总的波函数要求交换反对称，考虑到当n m ≠时，有

0)()(12*==r H r E m n ψψ假如)(1r n ψ是电子1的本征函数，)(2r m ψ是电子2的本征函

数, 考虑电子自旋波函数后，两电子的归一化对称本征函数为

)()(),(2121)0(r r r r m n S ψψψ= )]()()()([2

1),(122121)0(r r r r r r m n m n S ψψψψψ+= （2） 归一化的反对称本征函数为 )]()()()([2

1),(122121)0(r r r r r r m n m n A ψψψψψ-= （3） 两电子能级)(m n ≠的情况0)()(12*==r H r E m n

ψψ J K r r r r H r r r r E m n m n m n m n ±=±±=

)()()()()()()()(2

11221121*2*2*1* ψψψψψψψψ （4）式中

⎰⎰=21122221)()(ττψψd d H r r K m n (两个电子相互作用的库仑能) ⎰⎰=2112122*1*)()()()(ττψψψψd d H r r r r J m n m n (两电子的交换能，没有经典对应)

两电子能级可表示为

⎩⎨⎧-=+=J K E J

K E A

S （5） 尊敬的曾老师：

您好！非常感谢您的答复，您的答复对我非常有帮助，回答非常中肯。你的答复里面隐藏着下面问题

L为偶数时，因为要满足L+S=偶数；空间波函数F(S)是对称的，自旋波函数X(A)必须是反对称的，f(总)=F(S)X(A)(反对称)，因此只要有L为偶数时，必有空间波函数对称，自旋波函数反对称，总波函数反对称。

同样的道理

L为奇数时，空间波函数F(A)必须反对称的，自旋波函数X(S)必须是对称的，f(总)=F(A)X(S) (必须反对称)

L的奇偶性已经把自旋波函数的部分容纳到里面去了，交换能和库仑能由L的奇偶性判断。

谢谢您曾老师，祝福您身体健康，注意身体，多多休息。

王建华敬上