全同费米子问题
全同粒子的散射
σ (θ ) =
s +1 s σ S (θ ) + σ A (θ ) （8.6.18） 2s + 1 2s + 1 1 2 2 f (θ ) f * (π − θ ) + f * (θ ) f (π − θ ) = f (θ ) + f (π − θ ) + 2s + 1
同理，全同玻色子的微分散射截面
s1 1 s2 2 s2 1 s1 2
（8.6.12）
综上所述，在总的 (2s+1)2个自旋波函数中，自旋对称的 波函数的数目是： (2 s + 1) + s (2 s + 1) = ( s + 1)(2 s + 1) （8.6.13）
8.6
全同粒子的散射
s (2 s + 1)
（8.6.14）
自旋反对称的波函数的数目是
v v ψ ( r1 s2 , r2 s2 ) = ψ ( r1 , r2 ) χ ( s1 , s2 )
（8.6.8）
8.6
全同粒子的散射
v 在质心坐标系，要使ψ ( r )反对称，可以由两种情况：一 v v ψ (r )对称， 反对称；另一种是ψ ( r )反对称， 对称 χ χ 种是 两个电子组成的自旋态，反对称态是 χ A ，对应的 s = 0 是单态。对称态 χ s ，是三重态，对应于 s = 1 。于是有 2 σ 空间对称，s (θ) = f (θ) + f (π −θ) ，自旋态反对称，对应于 s = 0 的单态。或者空间反对称 σA(θ) = f (θ)− f (π −θ)2 ，自旋 态对称，对应于 s = 1 的三重态。如果入射电子束和靶 的电子都不极化，即它们的自旋取向都是无规则的，从 统计的结果上看，有 1 / 4 的几率处于单态，有 3 / 4 的 几率出于三重态，因此，总的微分散射截面是
什么是全同粒子
| 1 , 1 现在的问题是
22
j1
s1
1, 2
j2
s2
1 2
22
，故耦合后的
总角动量
j
j1
j1
j2
j2
s1
s1
s2 s2
1 2
1 2
1 2
1 2
1,
m 0,
1,0,1 m0
• 可见，对应 j 1 的耦合态矢有三个：
| 1 , 1 ,1,1 22
| 1 , 1 ,1,0 22
n1 n2 nl N
C C C n1 n2 N N n1
nl N n1 nl 1
N! n1!(N
n1 )!
n2
(N n1 )! !(N n1 n2
)!
nl
(N n1 nl1 )! !(N n1 nl1 nl
)!
所以n1N!n个2N!!玻n色l ! 子体Nl n!系l ! 的对称波函数为
A (q1, q2 )
1 2
[
i
(q1
)
j
(q2
)
i
(q
2
)
j
(q1
)]
1 i (q1 ) i (q2 ) 2 j (q1 ) j (q2 )
（15）
由上式可以看出，当 i j时，则 A 0 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能
有两个或两个以上的费米子处于同一状态
www.sys m www.hzdi
• 1.2 全同性原理：
由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系
中，任意两个可观测的物理效应，该论断称
三大规则
3 保里不相容原理在一个原子中没有两个或两个以上电子具有完全相同的四个量子数(在主量子数n、角量子数l、磁量子数ml、自旋磁量子数ms表象中的表达)。
或者说一个原子轨道上（主量子数n、角量子数l、磁量子数ml 相同时）最多只能排两个电子，而且这两个电子自旋方向必须相反。
因此一个s轨道最多只能有2个电子，p轨道最多可以容纳6个电子。
按照这个原理，表1-1归纳了各个原子轨道上可容纳最多的电子数，从表中可得出第n电子层能容纳的电子总数为2n2个。
泡利不相容原理：指在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子。
又称泡利原子、不相容原理。
一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子。
如氦原子的两个电子，都在第一层（K 层），电子云形状是球形对称、只有一种完全相同伸展的方向，自旋方向必然相反。
每一轨道中只能客纳自旋相反的两个电子，每个电子层中可能容纳轨道数是n2个、每层最多容纳电子数是2n2。
核外电子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理和洪特规则．能量最低原理就是在不违背泡利不相容原理的前提下，核外电子总是尽先占有能量最低的轨道，只有当能量最低的轨道占满后，电子才依次进入能量较高的轨道，也就是尽可能使体系能量最低．洪特规则是在等价轨道(相同电子层、电子亚层上的各个轨道)上排布的电子将尽可能分占不同的轨道，且自旋方向相同．后来量子力学证明，电子这样排布可使能量最低，所以洪特规则可以包括在能量最低原理中，作为能量最低原理的一个补充．自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理。
简称泡利原理。
它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态。
电子的自旋，电子遵从泡利原理。
1925年W.E.泡利为说明化学元素周期律提出来的。
原子中电子的状态由主量子数n、角量子数l、磁量子数ml以及自旋磁量子数ms所描述，因此泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n、l 、ml 、ms 。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
专题讲座9-全同粒子
专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
量子力学简答题题库 (1)
处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？ 在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原 子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称 为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂 为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿 算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学 量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。 （1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述； （2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程； （3）力学量由相应的线性算符表示； （4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直 角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条 件决定。 （5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色 子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简 并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。 答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置 与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源 于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有 两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
第六章：对称性与全同粒子
第六章：对称性与全同粒子对称性是一个体系最重要的性质。
1.守恒量定义：若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=，则称力学量F 为守恒量。
由ˆF Fψψ=和Schroedinger 方程ˆi H tψψ∂=∂ ，有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d F F F F dtt t t F F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂ =+∂若ˆF不显含时间t ， 1ˆˆ,d F F H dt i =按照定义，若ˆF与ˆH 对易，则ˆF 为守恒量。
例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m=，动量ˆp 不显含时间t ，且ˆˆ,0p H = ，有动量守恒；b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+，ˆˆ,0p H ≠ ，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()222222ˆˆˆ222p L H V r r V r m mr r r mr∂∂ =+=−++ ∂∂ ，轨道角动量算符2ˆL , ˆi L 均不显含时间t ，且2ˆˆˆˆ,,0i L H L H ==，有轨道角动量及其任意分量守恒；d ）若ˆH 不显含时间t ，ˆˆ,0H H =，有能量守恒。
一个力学量是否为守恒量，由体系的ˆH决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：ˆˆ,0F H =，ˆF ，ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆnF n F n =，ˆn Hn E n =对于任一态()()nt nn t ψψ=∑， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为n F 的几率为2()n C t 。
因为1ˆ()()()()()n n n n E E dC t n t n H t n t C t dtt i i i ψψψ∂====∂，故()(0)n i E t n n C t C e−= ，22()(0)n n C t C =与时间无关。
推论：a ）若体系初始时处于守恒量的本征态，则恒处于该本征态；b ）若体系初始时不处于守恒量的本征态，则恒不处于该守恒量的本征态；c ）量子力学中习惯用描述力学量本征值的量子数来标志状态，例如中心场中的状态nlm 用能量，角动量，角动量分量的量子数描述。
量子力学考研真题与量子力学考点总结
量子力学考研真题与量子力学考点总结8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。
[中国科学院2006研]【解题的思路】直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。
【分析】在势场V中，粒子所受作用力为因此作用力F的平均值为得证。
【知识储备】①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。
②即③在某一表象下，算符F ∧在ψ态中的平均值为29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：（1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。
[中国科学院2007研]【解题的思路】对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。
【分析】（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为本征能量为对于两个可区分粒子基态能量波函数因此，能级简并度为4。
第一激发态或者能量波函数因此，能级简并度为8。
（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。
基态能量波函数能级非简并。
第一激发态或者能量波函数能级简并度为4。
【知识储备】①一维无限深方势阱若势能满足在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是体系的能量本征值本征函数②全同粒子a．全同粒子定义在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。
b．全同性原理全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。
c．两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为【拓展发散】两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。
量子力学--第九章 全同粒子体系
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
A
1 2
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
可以证明，上面四个波函数是正交归一的见习题。
（二）自旋单态与三重态
上面我们从全同粒子波函数的对称性角度来考虑，构造了
七. 两个电子的自旋函数
两个电子系统是很重要的，氦原子，氢原子都是两个
电子的系统。另外它是多粒子系的最简单情况，
因此理论上也很重要。
（一）两电子的自旋波函数（不计自旋―自旋相互作用）
1、自旋波函数
电 子 的 两 个 单 粒 子 自 旋态：
这四个自旋波函数
1 Sz 1 Sz
2
四个对称化的自旋波函数，
下面我们从两个角动量的耦合角度来考察这个问题。
1、两电子体系总自旋角动量算符
定 义：
Sˆ Sˆ1 Sˆ 2
或者
Sˆ x Sˆ1x Sˆ 2x Sˆ y Sˆ1 y Sˆ 2 y Sˆ z Sˆ1z Sˆ 2z
再 引 入 Sˆ 2 Sˆ x 2 Sˆ y 2 Sˆ z 2
为泡利不相容原理
(2) 玻色子系的对称波函数
S C Pi (q1 ) j (q2 )k (qN )
P
(7.7 7)
（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函数中的某一种排列， 表
P
示对所有可能的排列求和.
i) Hˆ S ES E i j k
全同粒子的散射
8.6 全同粒子的散射
有s(2s 1)个，这可以很容易从总的波函数个数中减
去 ms1 ms2 的个数，在除以二得出
[(2s 1)2 (2s 1)] / 2 s(2s 1)
（8.6.11）
之所以要除以二，是因为还有同样多的反对称波函数
ms1 (sz1 ) ms2 (sz2 ) ms2 (sz1 ) ms1 (sz2 ) （8.6.12）
8.6 全同粒子的散射
由（8.6.4）可得
s( / 2 ) f ( / 2 ) f ( / 2 ) 2 s( / 2 ) （8.6.5）
s对 / 2对称。
再来考虑两个全同费米子 A 和 A的散射。同样，我
们先忽略粒子的自旋。在质心系中，交换反对称波
函数在 r 时的表示式为
s (rv) r eikz
取向 取向 旋取向 旋取向
微分散 射截面
h/2 h/2
h / 2 h / 2
h / 2 h / 2
h / 2 h / 2
h/2 h/2
h / 2 h / 2
h / 2 h / 2 h / 2 h / 2
h / 2 h / 2 h / 2 h / 2
f ( ) f ( ) 2
f ( ) f ( ) 2
再考虑两全同玻色子 B 和 B的散射。在质心内，体系
为对称化的散射波函数在无穷远的渐进表示式是：
式是中(r,rv,rv1)。(rvrv互2)是换两两r粒粒子子之e的i间k坐z 相标互f，(位rv)置变er矢ik为r 量。rvrv（，的(8r极.,6坐.)2标）
变为(r, )，对称波函数在无穷远的近似表示式是
对有个粒。22s子在这1 2，个自值旋。个波所波函以函数m总s数2 的中自，m2旋ss满m1也s波1足1有m函ms2数s2
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
浙江公务员考试《行测》真题模拟试题及答案解析【2022】518
浙江公务员考试《行测》通关模拟试题及答案解析【2022】：511：一名粒子物理学家开玩笑说：自1950年以来，全部的费米子都是在美国发觉的，全部的玻色子都是在欧洲发觉的。
很圆满，希格斯粒子是玻色子，所以，它不行能在美国被发觉。
必需补充下面哪一项假设，上述推理才能成立?单项选择题A、即使某件事情过去始终怎样，它将来也有可能不再那样B、假如x在过去一段时间内始终做成y，则x不行能不做成yC、假如x在过去一段时间内始终未做成y，则x不行能做成yD、假如x在过去一段时间内始终未做成y，则x很可能做不成y2：（）对于端午节相当于圣诞节对于（）单项选择题A、龙舟礼物B、元宵节中秋节C、清明节复活节D、屈原圣诞老人3：法的指引作用可以分为确定的指引和有选择的指引，其中有选择的指引是指法律规范对人们的行为供应一个可以选择的模式，依据这种指引，人们自行打算是这样行为还是不这样行为。
据此，下列哪项表述属于有选择的指引?（）单项选择题A、《宪法》规定，公民的合法的私有财产不受侵害B、《刑法》规定，间歇性的精神病人在精神正常的时候犯罪，应当负刑事责任C、《行政惩罚法》规定，对当事人的同一个违法行为，不得赐予两次以上罚款的行政惩罚D、《合同法》规定，当事人协商全都，可以变更合同4：幸运的机会似乎银河系里的星星，他们作为个体是不惹眼的，但作为整体却光辉绚烂。
同样，一个人若具备很多细小的优良素养，最终就可能成为带来幸运的机会。
这段文字主要内容是（）。
单项选择题A、一两次幸运的机会并不惹眼，若干次幸运的机会将会给人带来胜利、带来荣耀B、个别人获得幸运并不惹眼，很多人都获得幸运定将引人注目C、具备很多细小的优良素养，将可能获得幸运D、某一种优良的素养是不惹眼的，具备很多优良的素养就会显得光辉绚烂5：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现肯定的规律性："单项选择题A、请选择B、请选择C、请选择D、请选择6：养痈：成患单项选择题A、先生：女士B、哄骗：诚恳C、氧气：生态D、疏忽：遗失7：欧盟《传统植物药注册程序指令》大限将至，中药出口欧洲遭受严冬，人们不禁对中药________产生了不小的怀疑。
量子力学名词解释
m 凰好童一、名词解释1-波粒二象性:h一切微观粒子均具有波粒二彖性（2分）.满足E = hv （1分），P = - （1分人其中E为能址，v为频率，P为2动虽.>1为波长（1分九2x测不准原理:微观粒子的波粒二欽性决定了粒子的位迓与动虽不能同时准确测址（2分人其可表达为：AxAP x>A/2. AyAP>（>7i/2. AzAP z >/?/2 （2分）.式中力（或力）是决定何时使用虽子力学处理问题的判据（1分）。
3x定态波函数:在虽子力学中• 一类基木的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数^（r,t）可写成F函数和（函数的乘枳, 称为定态波函数（3分）。
4.算符使问题从一种状态变化为另一种状态的于•段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步.过程、规则.数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分九简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。
5.隧道效应在势垒一边平动的粒子.'"I动能小于势垒商度时.按经典力学.粒子是不可能穿过聘垒的。
对于微观料子•量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分）.实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。
6.宇称宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性虽子数，它只有两个值+1和一1 （1分）。
如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换（r一一r）下改变符号.该粒子具有奇宇称（P=-l）（1分）.如果波函数在空间反演下保持不变•该粒子具有偶宇称（P= + l）（1分）.简言之.波函数的奇偶性即宇称（2分）。
7.Pauli不相容原理自旋为半整数的粒子（费米子）所逍从的一条原理.简称泡利原理（1分）。
它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的的粒子态（1分）。
泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个虽子数n、1、ml. ms,该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层.电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。
氢原子的量子理论作业含答案
氢原⼦的量⼦理论作业含答案第26章氢原⼦的量⼦理论习题 (初稿)⼀、填空题1. 氢原⼦的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=,请给出电⼦出现在~r r dr +球壳内的概率为＿_＿__＿_____，电⼦出现在(),θ?⽅向⽴体⾓d Ω内的概率为_____＿___＿_____。
2. 泡利不相容原理是指 _＿_＿_______＿＿＿，原⼦核外电⼦排布除遵循泡利不相容原理外,还应遵循的物理规律是 ___＿______ 。
3. 可以⽤⽤ 4 个量⼦数描述原⼦中电⼦的量⼦态，这 4 个量⼦数各称和取值范围怎样分别是:（1) （2) (3) (4) 。
4. 根据量⼦⼒学原理,如果不考虑电⼦⾃旋,对氢原⼦当ｎ确定后，对应的总量⼦态数⽬为_ ＿个，当n 和l 确定后,对应的总量⼦态数⽬为__ _＿个5. 给出以下两种元素的核外电⼦排布规律：钾(Z=1９）: 铜（Z=29）: ___ _＿6. 设有某原⼦核外的 3d 态电⼦，其可能的量⼦数有个,分别可表⽰为 ____＿_____________＿______＿__。
7. 电⼦⾃旋与其轨道运动的相互作⽤是何种性质的作⽤。
8. 类氢离⼦是指_＿___＿__＿__＿______＿，⾥德伯原⼦是指＿__＿______＿__＿＿_。
9. 在主量⼦数为n=２,⾃旋磁量⼦数为s=1/2的量⼦态中，能够填充的最⼤电⼦数是__＿_____。
10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现,⼀束处于s 态的原⼦射线在⾮均匀磁场中分裂为两束,对于这种分裂⽤电⼦轨道运动的⾓动量空间取向量⼦化难于解释,只能⽤____＿____来解释。
⼆、计算题11. 如果⽤13．0 eV 的电⼦轰击处于基态的氢原⼦,则: (１）氢原⼦能够被激发到的最⾼能级是多少?(2）氢原⼦由上⾯的最⾼能级跃迁到基态发出的光⼦可能波长为多少? （３）如果使处于基态的氢原⼦电离,⾄少要多⼤能量的电⼦轰击氢原⼦?12. 写出磷的电⼦排布,并求每个电⼦的轨道⾓动量。
2023年扬州大学研究生自主命题 628量子力学考试真题
扬州大学2023年硕士研究生招生考试初试试题（A 卷）科目代码628科目名称量子力学满分150注意：均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、（25分）已知某一维运动的粒子在全空间范围内其状态波函数为()ikx Ae x =ψ，其中A 和k 都是实数。
（1）问：粒子的状态是束缚态，还是散射态？为什么？（2）求：粒子的概率流密度矢量。
（3）求：粒子的动量和粒子的德布罗意波长。
（4）如果满足周期性边界条件()()x L x ψψ=+，L 为固定常数，求：动量的可能值。
二、（25分）在量子力学中，力学量算符应该是厄米算符。
（1）问：具有什么性质的算符就叫厄米算符？（2）证明：厄米算符的本征值为实数。
（3）若算符A ˆ和B ˆ都是厄米算符，它们的对易关系为[]k i B A ˆˆ,ˆ=。
证明：算符kˆ是厄米算符。
三、（25分）在量子力学中，状态确定时，微观粒子力学量的测量值往往是随机的。
（1）问：在什么情况下，力学量的测量值是确定的？此时测量值是什么？（2）问：状态确定，力学量的期望值是否确定？为什么？（3）问：为何有大量微观粒子组成的宏观体系的力学量测量值总是确定的？（4）若粒子在一维线性谐振子势场当中运动，状态波函数为科目代码628科目名称量子力学满分150()()x x x n n 32321)(+-=ψψψ，其中()x n ψ是哈密顿量算符的本征函数。
求：能量的可能值、概率和期望值。
四、（25分）已知在A 表象中，力学量算符Aˆ和B ˆ的矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001ˆA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221ˆB 。
（1）求：算符Bˆ的本征值和归一化的本征矢量。
（2）求：在B 表象中，算符Aˆ和B ˆ的矩阵形式。
五、（25分）一体系未受微扰作用时0ˆH 有三个不相等的能级：01E 、02E 和03E ，今受到微扰H 'ˆ的作用，微扰矩阵元a H H ='='2112、b H H ='='3223、c H H H ='='='332211，其它微扰矩阵元都为零，a 、b 、c 是实数小量。
量子力学考研核心题库
一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。
【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。
【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。
【答案】二、选择题7．__________。
【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。
【答案】9．（1）_____；（2）_____。
【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第 4 页，共 47 页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。
n个全同粒子,其费米子量子态的个数
n个全同粒子,其费米子量子态的个数
我们要找出n个全同粒子中，费米子量子态的个数。
首先，我们需要了解费米子和玻色子的基本概念。
费米子和玻色子是两种不同类型的粒子。
费米子遵循泡利不相容原理，即两个全同的费米子不能处于相同的量子态。
玻色子则没有这种限制。
对于n个全同粒子，费米子的量子态个数可以用组合数学中的排列公式来计算。
费米子的量子态个数 = n! （n的阶乘）
现在我们将n=3代入上述公式，即可求出答案。
计算结果为：费米子的量子态个数是 6。
所以，3个全同粒子中，费米子的量子态个数是 6 个。
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质心坐标和相对坐标下
两电子（费密子）之间的库仑能和交换能只和相对坐标有关系，与质心坐标以及电子自旋无关，但是总的波函数必须是反对称的，满足L+S 为偶数，因此电子的自旋会影响库仑能以及交换能的表达形式。
假定)(r n φ是它们的相对坐标本征函数，
L 为偶数时，空间波函数是对称的，记为S φ;自旋波函数是反对称的，A X ， L 为奇数时，空间波函数是反对称的，记为A φ；自旋波函数是对称的，S X
总波函数 ⎩⎨⎧=ψS
A A S A X X φφ 考虑到电子是费米子，总的波函数要求交换反对称，考虑到当n m ≠时，有
0)()(12*==r H r E m n ψψ假如)(1r n ψ是电子1的本征函数，)(2r m ψ是电子2的本征函
数, 考虑电子自旋波函数后，两电子的归一化对称本征函数为
)()(),(2121)0(r r r r m n S ψψψ= )]()()()([2
1),(122121)0(r r r r r r m n m n S ψψψψψ+= （2） 归一化的反对称本征函数为 )]()()()([2
1),(122121)0(r r r r r r m n m n A ψψψψψ-= （3） 两电子能级)(m n ≠的情况0)()(12*==r H r E m n
ψψ J K r r r r H r r r r E m n m n m n m n ±=±±=
)()()()()()()()(2
11221121*2*2*1* ψψψψψψψψ （4）式中
⎰⎰=21122221)()(ττψψd d H r r K m n (两个电子相互作用的库仑能) ⎰⎰=2112122*1*)()()()(ττψψψψd d H r r r r J m n m n (两电子的交换能，没有经典对应)
两电子能级可表示为
⎩⎨⎧-=+=J K E J
K E A
S （5） 尊敬的曾老师：
您好！非常感谢您的答复，您的答复对我非常有帮助，回答非常中肯。
你的答复里面隐藏着下面问题
L为偶数时，因为要满足L+S=偶数；空间波函数F(S)是对称的，自旋波函数X(A)必须是反对称的，f(总)=F(S)X(A)(反对称)，因此只要有L为偶数时，必有空间波函数对称，自旋波函数反对称，总波函数反对称。
同样的道理
L为奇数时，空间波函数F(A)必须反对称的，自旋波函数X(S)必须是对称的，f(总)=F(A)X(S) (必须反对称)
L的奇偶性已经把自旋波函数的部分容纳到里面去了，交换能和库仑能由L的奇偶性判断。
谢谢您曾老师，祝福您身体健康，注意身体，多多休息。
王建华敬上。