第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
高中数学双曲线常用二级结论
高中数学双曲线常用二级结论什么是双曲线？双曲线是一种函数图形，它是代数曲线中的一种，由经验公式y=a/x所定义，其中x和y均为实数，a为正常数，x不等于0。
双曲线有两条渐近线，它们与横轴的夹角为+/-45度，与纵轴的夹角为0度。
双曲线的形状呈现两条分离的曲线，这些曲线在图形中心相交，从而分离成两个分支。
双曲线的基本图形如下所示。
在数学中，双曲线具有广泛的应用。
它们可以用于估计斜率和角度，催化反应，评估化学反应和蒸汽轮机热力学等方面。
因此，高中数学教育中，双曲线是一个重要的主题。
下面将介绍一些关于双曲线常用二级结论的知识点。
1. 集中组成单胞双曲线常用二级结论的第一个知识点是：单胞可以由两个集中组成。
在双曲线上，我们可以定义一个“单胞”，它是双曲线上的一个面积单位。
一般地，单胞可以由两个集中组成。
单胞可被定义为椭圆和双曲线的交集所构成的图形。
如果我们仔细研究双曲线的图形，我们会发现它由两个分支组成。
这两个分支之间的夹角是一个重要的几何量，可以用来计算单胞的面积。
2. 平行轴切线相等双曲线的第二个常用二级结论是：双曲线上任意两个平行于其中一条渐近线的切线长度相等。
这个结论非常有用，因为它可以用来解决许多和双曲线有关的问题。
例如，如果我们知道了两条平行于渐近线的切线，那么我们就可以计算出这些切线的长度。
这个结论是由于双曲线的形状导致的。
3. 线段的长度与双曲线的距离比例这一结论的具体形式如下：如果我们从一个点x到双曲线上的两条分支的距离为h(x)，线段的长度为l(x)，那么h(x)/l(x)是一个常数，即与x无关。
这个关系可以被用来证明角度的迹线。
例如，如果我们想要找到从双曲线上一个点观察到的最小角度，我们可以在该点处画一条切线，然后将切线向上和向下平移，直到它们与双曲线的两个分支相交。
然后，我们可以应用上述比例关系来计算角度的迹线，从而找到角度的最小值。
4. 焦点、顶点和焦率的关系双曲线上很重要的一个概念是焦点、顶点和焦率。
双曲线必备二级结论
双曲线必备二级结论摘要：1.双曲线二级结论概述2.双曲线二级结论详解3.结论应用实例4.总结与建议正文：**双曲线二级结论概述**在数学领域，双曲线是一个重要的几何图形。
双曲线的研究不仅包括基本性质和定义，还包括许多有用的二级结论。
这些结论可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并解决与双曲线相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨一些双曲线必备的二级结论。
**双曲线二级结论详解**1.双曲线标准方程：双曲线的一般形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。
2.焦点和焦点距离：双曲线的焦点到中心的距离为c，满足关系式c^2 = a^2 + b^2。
3.顶点：双曲线的顶点是双曲线与坐标轴的交点，分别为(-a, 0)和(a, 0)。
4.渐近线：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，表示双曲线在无穷远处趋近于直线。
5.焦距：双曲线的焦距为2c，其中c为焦点到中心的距离。
6.离心率：双曲线的离心率e定义为焦点到顶点的距离与焦点到双曲线中心距离的比值，即e = c/a。
**结论应用实例**以下是一些双曲线二级结论的应用实例：1.如果知道双曲线的焦点和一点到焦点的距离，可以确定该点在双曲线上的位置。
2.如果知道双曲线的中心、顶点和一点到顶点的距离，可以确定该点在双曲线上的位置。
3.通过双曲线的渐近线，可以预测双曲线在无穷远处的行为。
4.使用双曲线的离心率，可以计算双曲线的焦距，从而解决焦点相关问题。
**总结与建议**掌握双曲线的二级结论对于解决实际问题非常有帮助。
通过学习这些结论，我们可以更深入地理解双曲线的性质，并提高解决与双曲线相关问题的能力。
建议在学习双曲线时，重点关注这些结论的应用，加深对双曲线的理解。
双曲线必备二级结论
双曲线必备二级结论摘要：1.双曲线简介2.双曲线二级结论的重要性3.双曲线必备二级结论详解4.结论应用实例正文：在数学领域，双曲线是一种重要的曲线类型。
它不仅具有优美的几何形状，而且在实际问题中具有广泛的应用。
双曲线的研究不仅仅局限于一级结论，二级结论同样具有重要的理论价值和实用意义。
本文将详细阐述双曲线必备的二级结论，并通过对实例的分析，展现这些结论在实际问题中的重要作用。
首先，我们来简要了解一下双曲线。
双曲线是一种平面曲线，它的方程一般形式为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。
其中，a和b分别表示双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。
双曲线具有两个分支，分别是左支和右支，它们分别位于横轴的负半轴和正半轴。
接下来，我们来探讨双曲线二级结论的重要性。
在双曲线的性质研究中，一级结论主要关注曲线的几何形状、基本性质和坐标方程。
而二级结论则进一步揭示了双曲线与直线、圆等曲线之间的内在联系，以及双曲线在更复杂数学问题中的应用。
这些二级结论不仅丰富了双曲线理论，还为实际问题的求解提供了更多的工具和方法。
那么，双曲线必备的二级结论有哪些呢？1.双曲线与直线的位置关系：当直线的斜率存在且不为零时，双曲线与直线有且仅有两个交点。
这两个交点分别位于双曲线的左支和右支上。
2.双曲线与圆的位置关系：双曲线与圆相交当且仅当圆的半径与双曲线焦距之比满足一定条件。
此外，双曲线与圆的交点个数还与圆心到双曲线焦点的距离有关。
3.双曲线焦点的性质：双曲线的焦点到曲线上的任意一点的距离之差为一个定值，这个定值即为双曲线的离心率。
4.双曲线的渐近线：当双曲线的参数a和b趋于无穷大时，双曲线趋于两条直线，这两条直线即为双曲线的渐近线。
5.双曲线的对称性：双曲线具有关于横轴和纵轴的对称性，即曲线上的任意一点关于横轴和纵轴的对称点仍在曲线上。
了解了这些二级结论后，我们来看一个实际应用实例。
已知双曲线方程为：(x^2/4) - (y^2/3) = 1，现有一直线方程为：y = kx + 1。
高二数学双曲线方程知识点总结
高二数学双曲线方程知识点总结高二数学双曲线方程知识点总结导语：没有别的事情能比阅读古人的名着给我们带来更多的精神上的乐趣，这样的书即使只读半小时，也会令人愉快清醒高尚刚强，仿佛清澈的泉水沁人心脾。
下面是小编为大家整理的，数学期末考复习计划，希望对大家有所帮,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLAz学习网!1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的`直线，合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.。
归纳与技巧：双曲线(含解析)
归纳与技巧：双曲线基础知识归纳1．双曲线的定义平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质基础题必做1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，0 B.⎝⎛⎭⎫－52，0 C.⎝⎛⎭⎫－62，0D.()－3，0解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233D ．2解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3， 故e ＝2a 2＝23＝233. 3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意知a 2＋1a ＝1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .答案：y ＝±3x5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝43.∴|k |·e ＝43×54＝53.答案：53解题方法归纳1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足1<e <2； 当a ＝b >0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)； 当b >a >0时，e > 2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．双曲线的定义及标准方程典题导入[例1] (1) 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 (2) 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[自主解答] (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2 3.[答案](1)A(2)2 3解题方法归纳1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．以题试法1．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：选B由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.双曲线的几何性质典题导入[例2] 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． ∵B (0，b )，∴F 1B 所在的直线为－x c ＋yb ＝1.①双曲线渐近线为y ＝±bax ，由⎩⎨⎧ y ＝b ax ，－x c ＋yb ＝1，得Q ⎝⎛⎭⎫ac c －a ，bcc －a .由⎩⎨⎧y ＝－b ax ，－x c ＋yb ＝1，得P ⎝⎛⎭⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ， ∴PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c c 2－a 2，bc2c 2－a 2.由a 2＋b 2＝c 2得，PQ 的中点坐标可化为⎝⎛⎭⎫a 2c b 2，c 2b .直线F 1B 的斜率为k ＝b c，∴PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b⎝⎛⎭⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝a 2cb2＋c ，∴M ⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ，0，∴|F 2M |＝a 2c b 2. 由|MF 2|＝|F 1F 2|得 a 2c b 2＝a 2c c 2－a 2＝2c ， 即3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.[答案] B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2. 即离心率的取值范围为( 2，2)．解题方法归纳1．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时，若焦点位置不确定时，m ＝b a (m ＞0)或m ＝ab ，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．以题试法2．(1) 已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C 由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.(2) 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x解析：选B 设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .直线与双曲线的位置关系典题导入[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP |2＋1|OQ |2的值．[自主解答] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， 双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得⎩⎨⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.则OQ 的方程为y ＝－1kx ，同理有|OQ |2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k 23－1k2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16.解题方法归纳1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．以题试法3． F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF,|＝3b .在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x1． 已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 22－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1D.x 28－y 224＝1 解析：选A 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝3，c ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．若双曲线过点(m ，n )(m ＞n ＞0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上解析：选A ∵m ＞n ＞0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上．3． 已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32或 52B.32 C. 5D.32或 5 解析：选D ∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝32.当m ＝－4时，e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.4. 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5． 已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ,·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF,|＝n ，不妨设m＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.6． 平面内有一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|OP |的最小值为( )A ．3B ．2 C.32D ．1解析：选C 依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32. 7． 若双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k ＝________. 解析：∵双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)， ∴1＋1k ＝32＝9，可得k ＝18.答案：188． 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 29． 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 答案：10210． 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：1MF ·2MF＝0.解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23， kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴1MF ·2MF ＝0.11． 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1， 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x . (2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝36＋64－10064＝0， 则∠F 1PF 2＝90°.12．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|. (1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，若OP 1·OP 2＝－274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程． 解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r )2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a )2＝4c 2.所以e ＝ 5.(2)b a＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )，则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274，所以x 1x 2＝94.① 由2PP 1＋PP 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＝－2(x 1－x )，－2x 2－y ＝－2(2x 1－y )，即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， 所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b 2＝1. 又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.② 由①②得a 2＝2，b 2＝8.故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1.1． 设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|，则e 1e 2e 21＋e 22的值为( ) A.22B ．2 C. 2D ．1 解析：选A 依题意，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，不妨设m ＞n .则由|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|得|1PF ,＋2PF ,|＝|2PF ,－1PF ,|＝|1PF ,－2PF ,|，即|1PF ,＋2PF ,|2＝|1PF ,－2PF ,|2，所以1PF ,·2PF ,＝0，所以m 2＋n 2＝4c 2.又e 1＝2c m ＋n ，e 2＝2c m －n ，所以1e 21＋1e 22＝2(m 2＋n 2)4c 2＝2，所以e 1e 2e 21＋e 22＝11e 22＋1e 21＝22. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：由题意知直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，同理得，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2ab c .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. 所以5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5. 由于e ＞1，所以e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52， 5 . 答案：⎣⎡⎦⎤ 52， 5 3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ,＋ON ,＝t OD ,，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，故一条渐近线为y ＝b 23x ， 即bx －23y ＝0，则|bc |b 2＋12＝3， 得b 2＝3，故双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，则⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，得⎩⎨⎧ x 0＝43，y 0＝3， 故t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1． 直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记1OE ,＝e 1，2OE ,＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP ,＝a e 1＋b e 2，则实数a 和b 满足的一个等式是________．解析：可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0，a －b ＝y 0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝1，得ab ＝14.答案：ab ＝142．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________________． 解析：根据已知得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，则|PF 1|＝2b 2a，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x3． 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→,·OB ―→,＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由已知得a ＝3，c ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由题意得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0，故k 2≠13且k 2＜1，① 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2， x A ·x B ＝－91－3k 2， 由OA ,·OB ,＞2得x A x B ＋y A y B ＞2， 又x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解不等式得13＜k 2＜3，② 由①②得13＜k 2＜1， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（ ）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（ ）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
高中数学双曲线知识点归纳总结
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
此文档可编辑，欢迎使用！
~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在~~~3.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
高中数学双曲线解题技巧总结
高中数学双曲线解题技巧总结引言本文旨在总结高中数学中关于双曲线解题的基本技巧和方法。
双曲线作为数学中的重要概念，应用广泛，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义可以通过焦点和准线的性质来描述。
在数学中，双曲线被广泛应用于几何推导、物理问题等领域。
双曲线的基本性质1. 双曲线有两个焦点，分别称为焦点F1和焦点F2。
焦点与曲线的准线之间的距离称为焦距。
2. 曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。
离心率大于1表示双曲线的形状更加扁平，离心率小于1表示双曲线的形状更加尖锐。
双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，常见的有标准方程和一般方程两种形式。
下面以标准方程为例，介绍解题技巧。
标准方程形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示曲线在x轴和y轴方向的半轴长。
解题技巧1. 初步了解问题，确定曲线类型：根据问题中给出的信息，确定曲线是否为双曲线。
2. 确定焦点和离心率：通过已知条件，确定双曲线的焦点和离心率。
3. 求解方程：将已知信息代入标准方程中，求解未知量。
4. 确定曲线的性质：根据已求得的方程，确定曲线的形状、焦点和离心率。
5. 进一步解题：根据问题要求，进一步求解相关的变量或问题。
示例问题1. 已知双曲线的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求双曲线方程。
2. 已知双曲线的方程为(x^2 / 9) - (y^2 / 16) = 1，求焦点和离心率。
结论通过掌握双曲线的基本性质和解题技巧，我们能够更加灵活地应用数学知识解决相关问题。
希望本文所提供的双曲线解题技巧能够对高中数学研究有所帮助。
参考资料。
双曲线常用的六个结论推导
双曲线常用的六个结论推导双曲线是一种常见的数学曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将推导出双曲线的六个常用结论，并对每个结论进行详细的解释。
一、双曲线的定义和方程双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点（焦点）的距离之差等于一个常数（离心率）与该点到直线（准线）的距离之差的绝对值。
双曲线可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1二、双曲线的焦点和准线焦点是双曲线上到两个定点距离之差等于常数e与该点到准线距离之差绝对值的点。
准线是与焦点等距离且位于坐标系y轴上方或下方的直线。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，焦点位于(±ae,0)，准线位于y = ±b/e。
三、双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们是与双曲线无穷远处相切且斜率为±b/a的直线。
双曲线的渐近线方程可以通过将x或y趋于无穷大来推导出来。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其渐近线方程为y = ±(b/a)x。
四、双曲线的对称轴和顶点对称轴是双曲线的中心轴，它是与焦点和准线垂直且经过中点的直线。
对称轴方程可以通过将x或y置零来推导出来。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其对称轴方程为y = 0。
顶点是双曲线与对称轴的交点，对于这个双曲线，顶点位于(0, 0)。
五、双曲线的离心率和焦距离心率是描述双曲线形状的一个参数，它定义为焦距与准线之间的比值：e = c/a，其中c表示焦距，a表示椭圆长半轴长度。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率小于1时，双曲线是压缩型；当离心率等于1时，双曲线是标准型；当离心率大于1时，双曲线是扩张型。
六、双曲线的参数方程双曲线也可以用参数方程表示，其中x = asecθ，y = btanθ。
参数θ的范围可以是任意实数（除了θ = ±π/2）。
通过将参数方程代入双曲线的定义方程，可以验证其正确性。
双曲线的二级结论高中常用
双曲线的二级结论高中常用双曲线的高中常用二级结论。
一、双曲线的定义相关结论。
1. 双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为定值。
- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1（a>0,b>0），其焦点为F_1,F_2，设双曲线上一点P，根据双曲线的定义|| PF_1|-| PF_2|| = 2a。
- 原因：双曲线是平面内到两个定点F_1,F_2（即焦点）的距离之差的绝对值为常数（小于| F_1F_2|）的点的轨迹。
这个常数就是2a，它反映了双曲线的形状特征，a越小，双曲线的开口越窄。
2. 焦点三角形面积公式。
- 设双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1（a > 0,b > 0）的两个焦点为F_1,F_2，双曲线上一点P，∠ F_1PF_2=θ，则焦点三角形PF_1F_2的面积S =b^2cot(θ)/(2)。
- 推导过程：- 根据双曲线定义|| PF_1|-| PF_2|| = 2a，两边平方得| PF_1|^2+| PF_2|^2-2| PF_1|| PF_2| = 4a^2。
- 在PF_1F_2中，根据余弦定理| F_1F_2|^2=| PF_1|^2+| PF_2|^2-2| PF_1|| PF_2|cosθ，又| F_1F_2| = 2c。
- 将| PF_1|^2+| PF_2|^2-2| PF_1|| PF_2| = 4a^2代入上式可得4c^2=4a^2+2| PF_1|| PF_2|(1 - cosθ)，化简得| PF_1|| PF_2|=frac{2b^2}{1-cosθ}。
- 所以三角形面积S=(1)/(2)| PF_1|| PF_2|sinθ=b^2(sinθ)/(1 -cosθ)=b^2cot(θ)/(2)。
二、双曲线的渐近线相关结论。
1. 渐近线方程。
- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1（a>0,b>0），其渐近线方程为y=±(b)/(a)x；对于双曲线frac{y^2}{a^2}-frac{x^2}{b^2} = 1（a>0,b>0），其渐近线方程为y=±(a)/(b)x。
双曲线拓展知识常用结论(应该掌握)
双曲线常用结论一、双曲线的第一定义:平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．（口诀：看到左焦点，想到右焦点）二、双曲线的第二定义:1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右） 对于12222=-b y a x ，左准线ca x l 21:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=-b x a y ，下准线ca y l 21:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
双曲线的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,双曲线上的点到焦点距离的最小值。
二、双曲线的第三定义:在双曲线()2222C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：222=1=PA PB b k k e a •- 三、双曲线的焦点三角形: 1、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB 。
坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： a b AB 22=2、焦点三角形解题主要关系式：3、涉及焦点三角形面积时，可设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，主要用结果：①定义m-n=2a ； ②|F 1F 2|=2c ；③余弦定理。
双曲线二级结论大全及证明过程
双曲线二级结论大全及证明过程一、双曲线的基本性质（1）双曲线的定义：双曲线是一类椭圆或双曲线的生成过程，例如x2/a2-y2/b2=1。
（3）双曲线的直线斜率是椭圆上反对称点的斜率。
（4）双曲线首要呈双曲线，因此其另一轴基本方向是和反对称点一致的，所以其在另一轴上拖动也就是双曲线。
二、双曲线的一级结论（1）双曲线的极点的坐标满足式(b2coshφ/acoshθ=1)，其中φ为极角；（2）双曲线的另一轴向定义的方向与反对称相同；（3）双曲线的另一轴和椭圆的两个轴长的比等于1:1。
（1）双曲线两轴间的距离满足关系式，即双曲线长轴与短轴比等于常数a/b；（2）给定双曲线的两个极点，可以求出这两个极点之间的距离等于a×b/cosh(distance between two poles/a)；（3）给定双曲线上任意点A（x，y)，可以求出到双曲线两极点之间的距离等于a×b/cosh[x×x+y×y/2a]；（4）双曲线的椭圆状线的斜率和椭圆的常数a/b有关。
四、双曲线的证明过程（1）证明第一个结论：推导双曲线上极点的坐标如下：为了计算极点，观察双曲线：双曲线上x2/a2-y2/b2=1，在双曲线函数的开口处取导等于0，得到x分量的坐标为a×coshφ，y分量的坐标为b×sinhφ，两者的乘积即为双曲线抛物线的极点a×b×sinhφ×coshφ也就是a×b/coshφ，即所求。
（2）证明第二个结论：推导双曲线的另一轴的方向的定义如下：设双曲线的另一轴的方向为α，求出双曲线的另一轴的反对称点的坐标（X0，Y0）根据双曲线的反对称，可以得出坐标为(-X0，Y0)，令X0=a×coshφ，Y0=b×sinhφ，可以求出α=φ，即所求。
（3）证明第三个结论：推导双曲线的另一轴和椭圆的两个轴长的比等于1:1。
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型(学生版)
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题(点差法)由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化(手电筒模型)由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷(理)，第10题椭圆第三定义(点差法)斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点【题型1】点差法(弦中点模型)【题型2】点差法(第三定义)【题型3】双曲线焦点三角形内切圆【题型4】焦点弦长与焦半径公式【题型5】焦点弦被焦点分为定比【题型6】 焦点三角形+几何性质求离心率【题型7】 利用对称性【题型8】渐近线的垂线模型【题型9】双焦点三角形倒边模型【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2次余弦)【题型11】取值范围问题【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题2023·新高考1卷T 161已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ,F 2A =-23F 2B ，则C 的离心率为．2022·新高考2卷16题2已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．2022年新高考I 卷第16题3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．4(2023·全国·高考真题)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-232022年全国甲卷(理)T 10--第三定义5椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.132023全国乙卷·理11·文126设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-47(2021·全国·高考真题)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为()A.13B.12C.9D.6【题型1】点差法(弦中点模型)中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理)k AB ⋅k OM =e 2-1k AB ⋅k OM =-1½椭圆垂径定理(中点弦模型)：已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上任意2点，且弦AB 不平行x 轴，M 为线段AB 中点，则有k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则M x 1+x 22,y 1+y 22，k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆上，代入A ，B 坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1【思考】(1)椭圆焦点在y 轴上时，结论是否仍然成立？；(2)在双曲线中是否有类似的性质？(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则Mx 1+x 22,y 1+y 22 ，仍有k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆x 2b 2+y 2a2=1上，代入A ，B 坐标得①:x 12b 2+y 12a 2=1②：x 22b 2+y 22a2=1两式相减得：x 12-x 22b 2+y 12-y 22a 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-a 2b 2∴k AB ⋅k OM =-a 2b2(2)∵A ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入A ，B 坐标得x 12a 2-y 12b 2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：k AB ⋅y M =p2024·江西鹰潭·一模1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60°的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM =OF (O 为坐标原点)，则椭圆E 的离心率为()A.33B.63C.223D.2772024·湖南邵阳·二模1已知直线l :x -2y -2=0与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点.若弦AB 被直线m :x +2y =0平分，则椭圆C 的离心率为()A.12B.24C.32D.542024·宁波十校·3月适应性考试1已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，斜率为-19的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P 的坐标为-1,1 ，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D .若直线CD 的斜率为-19，则E的离心率为.2024·福建龙岩·一模1斜率为-1的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于A ,B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA ⊥TB ，点P ,Q 分别是△OAT ,△OBT 的重心，点R 是△TAB 的外心.记直线OP ,OQ ,OR 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，若k 1k 2k 3=-18，则椭圆C 的离心率为.2024·浙江温州·一模1斜率为1的直线与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)交于两点A ,B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC ⊥BC ，△OAC 和△OBC 的重心分别为P ,Q ，△ABC 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为k 1，k 2，k 3，若k 1k 2k 3=-8，则双曲线E 的离心率为.2024·吉林白山·一模1不与坐标轴垂直的直线l 过点N x 0,0 ，x 0≠0，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上存在两点A ,B 关于l 对称，线段AB 的中点M 的坐标为x 1,y 1 ．若x 1=2x 0，则C 的离心率为()A.33B.12C.22D.322024·浙江省强基联盟联考1(多选)已知抛物线E :y 2=4x 上的两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 关于直线x =ky +4对称，直线AB 与x 轴交于点C x0,0 ，下列说法正确的是()A.E 的焦点坐标为1,0B.x +xC.x 1x 2是定值D.x 0∈-2,2【题型2】点差法(第三定义)第三定义k PA ⋅k PB =-1k PA ⋅k PB =e 2-1½点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a 2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a 2．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点A (m ，n )，B (-m ，-n )的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a2．【证明】A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的一组对称点，P 为椭圆上任意点，则有k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设P x1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22∵P ，A 在椭圆上，代入坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a2=e 2-1法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的k PA ⋅k PB =k OM ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设P x 1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2-y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2=e 2-1法二：构造中位线设P x ,y ，B (x ,y )∵P ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入双曲线方程得x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =k PB ⋅k OM =b 2a2=e 2-1同理可得，当焦点在y 轴上时，椭圆有：k PA ⋅k PB =-a 2b 2；双曲线有：k PA ⋅k PB =a 2b21已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3 C.62D.522已知双曲线C 1:x 220-y 210=1的左､右顶点分别为A ,B ，抛物线C 2:y 2=4x 与双曲线C 1交于C ,D 两点，记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1k 2为.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-2,0 ，F 22,0 ，A 为椭圆C 的左顶点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一、二象限的交点分别为M ，N ，若直线AM ，AN 的斜率之积为13，则椭圆C 的标准方程为()A.x 23+y 2=1B.x 26+y 22=1C.x 29+y 25=1D.x 28+y 24=12024·浙江绍兴·二模1已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：x 2-y 2=1a >0,b >0 上，且点A ，B 关于原点对称，∠CAB =90°.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若AN =3AM，则双曲线Γ的离心率是()A.2B.3C.2D.232024届·河南天一大联考(六)·T 141已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，左､右顶点分别为A 1、A 2，点M 在C 上运动(与A 1、A 2枃不重合)，直线MA 2交直线x =54a 于点N ，若FN ⋅MA 1 =0恒成立，则C 的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试1已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.632024届·湖北省腾云联盟高三联考1已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题2已知A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan ∠AMB =-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.233【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线x=±a上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设ΔPF1F2的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为|PD|=|PE|,|F1D|=|F1B|,|F2B|=|F2E|,由双曲线定义，可知：2a=|PF1|-|PF2|=|PD|+|F1D|-(PE|+|F2E|)=|F1D|-|F2E|=|F1B|-|F2B|又因为|F1B|+|F2B|=2c，所以|F1B|=a+c=|F1O|+|OB|，所以|OB|=a。
2018届高三数学北师大版大一轮复习双曲线经典结论
2018届高三数学北师大版大一轮复习 极速秒杀法-------双曲线经典结论[结论1]：双曲线焦点三角形周长：222MF +NF -MN =4a,=4a MN MNF ∆周长+2;[例题]：(1)双曲线22143x y -=，M ，N 都在双曲线上，且MN 过左焦点1F ，求22MF +NF -MN 。
解：由题：22MF +NF -MN =4a 8=。
(1)双曲线221169x y -=，M ，N 都在双曲线上，且MN 过左焦点1F ，且2MN =5MNF ∆，求周长。
解：由题：2=4a MN =16+10=26MNF ∆周长+2。
[结论2]：焦点三角形离心率：121222F F ce a PF PF ==-；sin2sin2e αβαβ+=-； [例题]：(1)过双曲线22221x y a b-=左焦点作倾斜角为30的直线交双曲线右支为M ，且2F x M ⊥轴，求离心率。
解：121222-2t F F c e a PF PF t====-。
(2)P 在双曲线22221x y a b-=上，且1212PFF =15FPF =90∠∠，，求双曲线的离心率。
解：1575sinsin22==21575sin sin22e αβαβ++=--。
(3) 抛物线22y cx =的准线与双曲线22221x y a b-=左支交于A,B 两点，且AOB=120∠，求离心率。
解：1212212-F F c e a PF PF ====。
[结论3]：焦点三角形面积：1221212PF F PF +PF +FF S =r(=b cot 22P c y θ=内切圆）;[例题]：（1）已知双曲线22x 1y -=，点P 在双曲线上，若1260F PF ∠=，求点P 到x 轴的距离。
解：122PF F 60c=2,S =b cot22P P c y y =∴=。
（2）已知双曲线22x 1y -=，点P 在双曲线上，若1260F PF ∠=，求12PF PF 的值。
双曲线中的一些常见结论
双曲线中的⼀些常见结论双曲线中的⼀些常见结论⼀、椭圆的常⽤结论：1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外⾓.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的⽅程是2200002222x x y y x y a b a b+=+；【推论】：1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹⽅程是22002222x x y y x y a b a b +=+。
双曲线中常见结论
双曲线中常见结论： 1、离心率e=ac=21）（a b 2、焦半径3、通径及通径长ab 224、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离ca 28、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和12222=-by a x 有相同的渐近线和相同的离心率。
9、P 为双曲线上一点，则21F PF ∆的面积为S=θsin b2121212的离心率为e=αββαsin sin sin -+）（例（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（D ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则nm 的值为（ ） A ．3 B ．31C ．3或31D ．以上都不对椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书设计。
y等于xy初中双曲线二级结论
y等于xy初中双曲线二级结论摘要：一、双曲线概念介绍1.双曲线的定义2.双曲线的性质二、双曲线二级结论1.y等于xy初中双曲线二级结论的推导2.结论的含义与意义三、实际应用举例1.应用背景2.具体案例分析四、总结1.双曲线二级结论的重要性2.对初中数学教育的启示正文：一、双曲线概念介绍双曲线是数学中的一种曲线，它的定义是：平面内到两个固定点F1和F2的距离之差为常数的点的集合。
双曲线具有对称性，可以分为椭圆双曲线和双曲线两种类型。
双曲线有许多性质，如离心率、渐近线、焦点等。
二、双曲线二级结论在初中阶段，双曲线的一个重要结论是y等于xy，这个结论是通过将双曲线方程进行整理得到的。
具体推导过程如下：设双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示横轴和纵轴的半轴长度。
将y^2/b^2移到等式左边，得到x^2/a^2 - y^2/b^2 + y^2/b^2 = 1，即x^2/a^2 = 1 + y^2/b^2。
两边同时除以a^2，得到x^2/(a^2 * (1 + y^2/b^2)) = 1，进一步得到x = ±a * sqrt(1 + y^2/b^2)。
将x代入双曲线方程，得到y^2/b^2 = (a^2 * (1 + y^2/b^2) -a^2)^2，化简得到y^2 = a^2 * (1 + y^2/b^2)^2。
再次化简，得到y = a * sqrt(1 + y^2/b^2)。
因此，我们得到了y等于xy初中双曲线二级结论。
三、实际应用举例双曲线二级结论在实际生活中有许多应用，例如在物理、工程、计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，双曲线可以用来绘制光滑的曲线，从而提高图像的质量。
四、总结双曲线二级结论y等于xy是初中阶段双曲线知识的一个重要内容，它不仅可以帮助我们更好地理解双曲线的性质，还能为实际应用提供便利。
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第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab ．二．双曲线经典结论汇总1．AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM =⋅，即 0202y a x b k AB =． 等价形式：21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A =⋅． 2．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= （常数）．4．P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．5．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -．6．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=． 7．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式：),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x ． 12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-．13．若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2cot 2tan αβ=+-a c a c ）．14．设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+．15．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．17．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角．18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，若点)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（ ）A ．x y 33±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点，且→→=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ）A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图，已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2 【课堂练习】【1】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．332 D ．3 【2】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ，a P F =→||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→→=Q F P F 225， 则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则||||21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ∆的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立，则λ的值为_______．【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∆为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．【课后作业】 【1】双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．2【4】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（ ） A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．62【6】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则 面积的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【10】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时， ．2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。