1.6 电场强度与电势的微分关系
电势与电场强度的微分关系
Eห้องสมุดไป่ตู้
p
u p uQ
q0 E cosdl 0
dl
Q
cos 0
2
等势面疏
(2) 规定相邻两等势面间的电势差都相同
等势面密
E
大
E小
(3) 电场强度的方向总是指向电势降落的方向
二. 电势与电场强度的微分关系
，设 的方向与 取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 n E n 相同，把点电荷从P移到Q，电场力作功为： n u+du dA qE dl qE cosdl E qEdn Q dn dA q[u (u du )] qdu u dl E cosdl Edn du
2 2
求 （2，3，0）点的电场强度。 解
u Ex (6 12 xy ) 66 x u u 2 Ez 14 z 0 E y 6 x 24 z y E Exi E y j 66i 24 j
du E dn
P
任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方
向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减 小的方向。
另一种理解
E cosθ dl Edn du
El dl du
du El dl
电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
dl dn
§8.6 等势面 电势与电场强度的微分关系
一. 等势面
电场中电势相等的点连成的面称为等势面。
等势面的性质: (1) E 等势面
证明: 设等势面上P点的电场强度与等势面夹角为 , 把q0 在等势面上移动 dl ,电场力作功为
电场强度与电势
电场强度与电势
电场强度（E）和电势（V）是描述电场特性的两个重要参数。
电场强度是指单位正电荷在某点所受到的力的大小。
它的方向与力的方向相同，单位是牛顿/库仑（N/C）。
电势是指单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的功。
它的单位是伏特（V）。
电势是标量量，它描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在以下关系：
1. 电场强度为负梯度电势：E = -∇V
这个公式表示电场强度是电势的负梯度，其中∇是梯度算子。
2. 电场强度和电势的关系：E = -dV/dr
这个公式表示电场强度是电势对位置的导数，其中dV/dr表示电势对位置的变化率。
3. 电场强度和电势的关系：V = -∫E·dl
这个公式表示电势是电场强度积分后的结果，其中∫E·dl表示电场强度沿路径l的线积分。
在一维情况下，电势和电场强度之间的关系可以通过上述公式进行计算。
在三维情况下，电势和电场强度之间的关系需要考虑电场的分布情况，并使用泊松方程或拉普拉斯方程进行计算。
总之，电场强度描述了电场中的力的大小和方向，而电势描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
电场强度和电势之间的关系
电场强度和电势之间的关系
（实用版）
目录
1.电场强度和电势的定义
2.电场强度和电势的关系
3.电场强度和电势的计算公式
4.电场强度和电势的实际应用
正文
电场强度和电势是电学中非常重要的两个概念。
电场强度是指单位正电荷所受到的电力，用 E 表示，单位是牛顿每库伦（N/C）。
电势是指单位正电荷在某一点所具有的电势能，用 V 表示，单位是伏特（V）。
电场强度和电势之间的关系可以通过一个简单的公式来描述，即电势等于电场强度乘以该点沿电场方向的距离。
用数学公式表示就是：V = Ed，其中 V 表示电势，E 表示电场强度，d 表示距离。
从这个公式可以看出，电场强度和电势是密切相关的，它们共同描述了电场的特性。
电场强度和电势的计算公式分别为：
电场强度 E = F/q，其中F表示电力，q表示电荷量；
电势 V = U/q，其中U表示电势能，q表示电荷量。
在实际应用中，电场强度和电势常常一起使用，比如在电路分析中，通过计算电势差可以确定电路中电流的方向和大小，从而设计出符合要求的电路。
另外，在电场力的计算中，也需要用到电场强度和电势，通过计算电场强度可以确定电荷在电场中所受的力，通过计算电势可以确定电荷在某一点的电势能。
总的来说，电场强度和电势是电学中非常重要的两个概念，它们共同描述了电场的特性，并通过计算公式相互联系。
10-4电势与场强的微分关系 静电平衡_
根据孤立导体电荷守恒
A
-q B
r
R1 R2
Q
University physics
Q内 Q外 q
B 球圆心处的电势
Q外 q q
q q q q UB 0 4 0 r 4 0 R1 4 0 R2
A
-q B r R1
E dS E表 dS
S
dS
S dS
E dS
dS E表 E表dS 0 0
说明
思考？
E表 n
0
1. E表为表面附近的场强 2. E表为所有电荷的场强
+ E0 + + + ds 为导体外 法线方向
在内外表面都有电荷分布
q q
q
S
University physics
3. 静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响) 导体 腔外 外表面 腔内 内表面 静电屏蔽:
(1) 空腔导体不论接地与否，其内部电场不受空腔外电荷 的影响。空腔内的电场是由空腔内电荷及内壁上电荷 决定。
University physics
E0
3. 导体静电平衡的条件
E'
E0
E内 0
F内 0
E 表面 导体表面
University physics
4. 静电平衡导体的电势
导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体， E 表面是等势面。
a
dl
b
b
a
dl
b
U a U b E dl 0
1 2 3 4
S'
大学物理7.10 场强与电势的微分关系 电势梯度.
2015/2/5
DUT 常葆荣
1
1、等势面
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
A12 Q U1 U2
同一等势面上
0
P2
特 点
（2）dA等势Q面E处 d处r 与同电一力等势线面正上交0。
Q 0 E 0 d r 0
U1 U2 dU E cos dl
E
dU dl
U
l
E cos
El El
l 为任 意方向
电场强度在某方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
U x
Ex
0 dl dn
U y
Ey
dU E dn
U z
Ez
沿着 E 的方向
举例说明。
r
U E
（1）场强相等的区 域，电势处处相等 （）
Q
（3）电势为零处， 场强一定为零 （）
q
-
.
O
+q
Q
（2）场强为零处，
电势一定为零 （）
R
（4）场强大处，电 势一定高
（5）电势不变的空间，场强处处为0 （）Biblioteka （）2015/2/5
DUT 常葆荣
E
dr
（3）电场线总是指向电势降低的方向
+
UaUb Uc
P1
（当规定相邻两等势面的电势差为定值后） （4）等势面稠密处 —— 电势变化快
电场强度大
2015/2/5
9.4场强与电势的微分关系
q R) (r 4 R 0 u q (r R) 4 0 r
q u R) (r 4 0 r
20
10.
(r 0 R) 无限长均匀带电圆柱面： E R) (r 2 0 r
延长线场强 E A
(1) 分割带电体直接积分法
(2) 用结论公式迭加
（球面、圆柱面）
(3) 场强与电势微分关系
u u u Ex Ey Ez x y z
(4) 挖补法 (5) 高斯定理
E挖后 E整个 E补
1 SE ds 0 Σ q内
13
2. 电势
L E dl 0
2. 环流定理：
14
三、基本公式 1. 电场力计算公式
(1) 两点电荷之间相互作用力：
(2) 点电荷在外电场中：
f qE
1 q1q2 f 40 r 2
(3) 任意带电体在外电场中：
(c ) f d f
(a ) 任取电荷元 dq (b ) df dqE
M M M
正方向
lqE sin Pe E sin 力矩的作用总是使电偶 M Pe E 极子转向外电场的方向
9
的作用，会发 生转动。 u u 4 r 4 r 0 0 r r q ( r r ) l r
1 2
e s E ds
e s E ds
17
四、几种特殊带电体场强、电势结论公式 1. 点电荷
q E 2 4 0 r
q u 4 0 r
p
2. 有限长均匀带电直线外任意一点：
Ex (si n 2 si n 1 ) 40a Ey (cos 1 cos 2 ) 40a
电势和电场强度的关系
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 电 场 强 度 与 电 势 的 关系
03 电 势 和 电 场 强 度 的
计算方法
05 电 势 和 电 场 强 度 的
测量方法
02 电 势 与 电 场 强 度 的 物理意义
04 电 势 和 电 场 强 度 的 应用实例
电场强度：表示电场中某点的电场 强度，与电荷在该点的受力有关
电势与电场强度的物理意义：电势 与电场强度是描述电场特性的两个 重要物理量，它们之间的关系反映 了电场中电荷受力的大小和方向。
3
电势和电场强度的 计算方法
电场强度的计算公式
电场强度E与电势V的关系：E=V/d 电场强度E与电荷q的关系：E=kq/r^2 电场强度E与电流I的关系：E=I/d 电场强度E与电压U的关系：E=U/d
电势的计算公式
电势的定义：电势是单位 电荷在电场中受到的电场
力与其电荷量Biblioteka 比值电势的单位：伏特（V）
电势的计算公式： V=W/q，其中V表 示电势，W表示电场 力，q表示电荷量
电势的零点：通常选择无 限远处的电势为零点，以
便于计算电势差
电场强度和电势的数值关系
电场强度与电势的关系：电场强度是电势 的负梯度
汇报人：XX
静电计：通过测量 静电力来计算电势
电位计：通过测量 电位差来计算电势
电感计：通过测量 电感系数来计算电 势
电势的测量方法
电势差测量法：通过测量两个点之间的电势差来间接测量电势 电荷守恒定律测量法：通过测量电荷的流动来间接测量电势 电场强度测量法：通过测量电场强度来间接测量电势 电压测量法：通过测量电压来间接测量电势
10-4电势与场强的微分关系 静电平衡_解析
E
E表 2 0
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2.导体中的净电荷只能分布在导体的表面 由高斯定理
S
q E dS
i
0
0Ein 0Fra bibliotekS 0
q dV 0
i i V
S
如果有空腔,且空腔中无电荷,则 电荷只能分布在外表面
如果有空腔,且空腔中有电荷,则
E0
3. 导体静电平衡的条件
E'
E0
E内 0
F内 0
E 表面 导体表面
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4. 静电平衡导体的电势
导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体， E 表面是等势面。
a
dl
b
b
a
dl
b
U a U b E dl 0
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等势面 电势与电场强度的微分关系
电场分布 一、等势面 电场线 电势分布 等势面（线）
电场中电势相等的点连成的面称为等势面。U x, y, z C
等势面的性质: (1) 电荷在等势面上移动，电场力不作功 E 等势面
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a
二、静电平衡状态的导体的性质
由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，可以得出导体 上的电荷分布(有外场而且导体带电)。
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1.静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系 设导体表面电荷面密度为 ( x, y, z ) n E + PP 设 P 是导体外紧靠导体表面的一点, + + 相应的电场强度为 E表 ( x, y, z ) ds + 确定电场强度E 和电荷密度 的关系:
场强与电势的关系公式
场强与电势的关系公式
电势与电场强度的关系：场强与电势无直接关系。
因为某点电势的值是相对选取的零
点电势而言的，选取的零点电势不同，电势的值也不同，而场强不变。
零电势可人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定。
强与电势没关系，但场强和“电势差（电压）”是有关的，关系就是e=u/d。
其中e
是场强，u是电势差（电压），d就是板间距离。
电势的概念
电势是描述静电场特性的基本物理量之一，标量。
库仑定律指出，两静止点电荷之间
的相互作用力是向心力，其方向沿两者的连线，其大小只依赖于两者的距离。
根据库仑定
律和场强叠加原理可以证明，静电力对试验电荷所作的功与路径无关，仅由起点、终点的
位置确定。
若试验电荷在静电场中沿闭合路径移动一周，则静电力对它所作的功为零，这
就是静电场的环路定理。
它表明静电场是保守场或势场，存在着一个可以用来描述静电场
特性的、只与位置有关的标量函数——电势。
1.6 电势差与电场强度的关系
C 三点为电场中的三点，电势分别为 φA＝24 V，φB＝12 V，φC ＝－24 V，试用作图法作出该电场的电场线。
图 1－6－8
[思路点拨] 匀强电场的特点：电场线等距离且平行， 不沿电场线的其他任意直线上电势均匀分布。
[解析] 在图示的匀强电场中，沿 AB 方向和 AC 方向 电势都是均匀降低的，因 φA＝24 V，φC＝－24 V，则 AC 连线的中点 O 的电势必为零，而 AO 的中心点 O′的电势 一定等于 12 V， 即 O′和 B 在同一等势面上， 连接 BO′即 为该匀强电场中的一条等势线， 根据电场线与等势面垂直可 画出电场的电场线，如图所示，作图步骤如下：
1.(2012· 济南高二检测)如图 1－6－5 所示，一电场的电场线 分布关于 y 轴(沿竖直方向)对称，O、M、N 是 y 轴上的三 个点，且 OM＝MN。P 点在 y 轴右侧，MP⊥ON。则( )
图 1－6－5
A.M 点的电势比 P 点的电势高 B.将负电荷由 O 点移动到 P 点，电场力做正功 C.M、N 两点间的电势差大于 O、M 两点间的电势差 D.在 O 点静止释放一带正电粒子，该粒子将沿 y 轴做直线运 动
(3)在应用时，我们更多地把公式 UAB＝Ed 简化为 U＝Ed， 即我们只是把两点间的电势差大小、电场强度大小通过公式联 系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们根据题意另 作判断，这样处理可以避免引起不必要的混淆。 (4)在非匀强电场中，E 和 U 也有一定的关系，但不像在匀 强电场中的关系式那么简单，虽然公式 UAB＝Ed 只适用于匀强 电场的定量计算，但对一些非匀强电场的问题，也可以运用公 式进行定性的判断。
的关系式的推导：如图1－6－1所示，
在匀强电场中，把一点电荷q从A移到 B，则电场力做功为：WAB＝qUAB 图 1－6－1
21. 电场强度和电势的微分关系
电场方向与电势梯度方向相反，为电势降低的法线方向。
（３）等势面与其上的电场线处处正交。
9
计算电场强度的方法：
(1)E dE
场的叠加原理。一般情况复杂。
(2)
E
dS
qi
0
高斯定理，要求电场的对称性。
(3)V dV E ▽V
因为静电场的保守性，引入了电势的概念。 电势与电场的对应关系（即保守力与势能函 数的关系），电势也反映了电场的属性。 前面，讨论了电场与电势的积分关系
微分关系如何？
1
等势面
2
点电荷势场
3
电偶极势场
4
电容器势场
5
电导块势场
6
场势微分式
7
续78
8
电势梯度
电场强度与电势的微分关系表明： （１）电势空间的微分（变化率）与电场有关，电势本身 的大小与电场大小无关。
两步，但标量叠加与微分运算都相对简单。 在理论上，实际中的常用方法（对数运算，Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换……）。 在目前涉及的简单问题中，还无法看到这种方法的优越性。
10
例：
V
q
40 r 2 x2
Ex
dV dx
qx
3
40 (r 2 x2 ) 2
ｘ
11
电场中的电势和电场强度的关系
电场中的电势和电场强度的关系电场是由带电粒子所产生的力场，它是描述电荷间相互作用的重要概念。
在电场中，电势和电场强度是两个关键参数，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨电场中的电势和电场强度的关系，并解释它们的物理意义。
一、电势和电场强度的定义在开始讨论电势和电场强度的关系之前，先来了解一下它们的定义。
1. 电势（Potential）电势是电场对单位正电荷所做的功的比值。
在电势的定义中，我们假设单位正电荷是静止的，不受电场力的影响。
单位正电荷在电场中不发生运动，而是处于稳定的平衡状态。
电势的单位是电伏特（V）。
2. 电场强度（Electric Field Strength）电场强度是电场力对单位正电荷的大小。
它描述了电场对电荷施加的力的强度和方向。
电场强度的单位是牛顿/库仑（N/C）。
二、电场中电势和电场强度的关系在电场中，电势和电场强度之间存在着一种重要的关系，这就是电场中的电势梯度。
电势梯度可以用来描述电势随距离变化的快慢。
电势梯度可以表示为以下公式：E = -∆V/∆d其中，E表示电场强度，∆V表示电势变化，∆d表示距离的变化。
从上述公式可以看出，电势梯度是电位能（电势）随距离变化的速率，它等于单位距离上电势的变化率，也就是单位正电荷在电场中所受到的力。
在电场中，沿着电场线方向，电势下降得越快，电场强度就越大。
反之，电势下降得越慢，电场强度就越小。
这表明电势和电场强度之间存在着直接的关系。
三、电势和电场强度的物理意义1. 电势的物理意义电势实际上是描述电场能量变化的量度。
单位正电荷在电场中沿某一路径移动所获得的能量变化就是电势。
电势可以用来计算电势能，即单位正电荷在电场中由于位置变化而具有的能量。
在电势中，如果两个点之间的电势差为正，表示电场力是由第一个点指向第二个点。
如果电势差为负，表示电场力是由第二个点指向第一个点。
电势的正负号反映了电场力的方向。
2. 电场强度的物理意义电场强度表示了电荷在电场中受力的强度和方向。
电场强度和电势之间的关系
电场强度和电势之间的关系1. 引言电场强度和电势是电学中两个重要的概念，它们描述了电荷在电场中的行为和相互作用。
本文将探讨电场强度和电势之间的关系，包括它们的定义、计算方法以及它们之间的数学关系。
2. 电场强度的定义和计算2.1 电场强度的定义电场强度是描述电场中电荷受力情况的物理量，用符号E表示。
在某一点的电场强度表示单位正电荷在该点受到的力的大小和方向。
电场强度的单位是牛顿/库仑。
2.2 电场强度的计算方法电场强度可以通过库仑定律计算得到。
库仑定律表示，两个电荷之间的电场强度与它们之间的距离和电荷量有关。
具体计算公式如下：E = k * |q| / r^2其中，E表示电场强度，k是电场常数，q是电荷量，r是距离。
3. 电势的定义和计算3.1 电势的定义电势是描述电场中某一点电势能大小的物理量，用符号V表示。
在电场中，单位正电荷所具有的电势能就是电势。
电势的单位是伏特。
3.2 电势的计算方法电势可以通过电场强度计算得到。
电场强度与电势之间存在数学关系，即电场强度是电势的负梯度。
具体计算公式如下：E = -dV / dr其中，E表示电场强度，V表示电势，r表示距离。
4. 电场强度和电势的数学关系电场强度和电势之间存在一种重要的数学关系，即电场强度是电势的负梯度。
这意味着电场强度的方向是电势下降最快的方向。
具体数学关系如下：E = -∇V其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示梯度运算符。
5. 电场强度和电势的应用电场强度和电势在电学中有广泛的应用。
它们可以用于计算电荷受力、电场中电荷的运动轨迹等。
此外，电场强度和电势也可以用于电场的建模和分析，为电学问题的解决提供重要的工具。
6. 总结本文探讨了电场强度和电势之间的关系。
电场强度是描述电场中电荷受力情况的物理量，可以通过库仑定律计算得到。
电势是描述电场中某一点电势能大小的物理量，可以通过电场强度计算得到。
电场强度是电势的负梯度，它们之间存在重要的数学关系。
电场强度和电势的关系
电场强度和电势的关系
电势与电场强度的关系：场强与电势无直接关系。
因为某点电势的值是相对选取的零点电势而言的，选取的零点电势不同，电势的值也不同，而场强不变。
零电势可人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定。
电场强度和电势关系
强与电势没关系，但场强和“电势差（电压）”是有关的，关系就是
E=U/D。
其中E是场强，U是电势差（电压），D就是板间距离。
电势的概念
电势是描述静电场特性的基本物理量之一，标量。
库仑定律指出，两静止点电荷之间的相互作用力是向心力，其方向沿两者的连线，其大小只依赖于两者的距离。
根据库仑定律和场强叠加原理可以证明，静电力对试验电荷所作的功与路径无关，仅由起点、终点的位置确定。
若试验电荷在静电场中沿闭合路径移动一周，则静电力对它所作的功为零，这就是静电场的环路定理。
它表明静电场是保守场或势场，存在着一个可以用来描述静电场特性的、只与位置有关的标量函数——电势。
9-7 电场强度与电势的微分关系
物理学教程 （第三版）
一 等势面（电势图示法）
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势
面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势
面间的电势差相等.
在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功
b
Wab q0 (Va Vb )
在静电场中，电场强度
Ea总q是0E与 d等l势面0垂直的，
等 势
E2 E1
面
第九章 静电场
dl1 dl2
9 – 7 电场强度与电势的微分关系
物理学教程 （第三版）
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
第九章 静电场
9 – 7 电场强度与电势的微分关系
物理学教程 （第三版）
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
+
第九章 静电场
9 – 7 电场强度与电势的微分关系
3）
E相等的地方，V
一定相等吗？等势面上
E
一定相等吗 ？
第九章 静电场
9 – 7 电场强度与电势的微分关系
物理学教程 （第三版）
例 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
解 E V
y dq dl
V
Hale Waihona Puke 4πq0(x2
R2 )1 2
E
Ex
V x
qR
o
z
r
x
Px
E
q
x
4π
0
(x2
R2
)1
2
第九章 静电场
9 – 7 电场强度与电势的微分关系 三 电场线和等势面的关系
5.5 等势面 电场强度与电势的微分关系
求电场强度的三种方法
利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系
第五章 真空中的静电场9Leabharlann 大 学 物理学5.5
等势面
电场强度与电势的微分关系
例5-13 有一半径为R、均匀带有电荷量 q (q > 0) 的细圆环， 试由电场强度与电势的微 分关系,求垂直环面轴线上任一点的电场强度。 解 由例5-9知，均匀带 电细圆环轴线上的电势 q V R 2 2 12 o 4πε0 ( x R ) x P 由电场强度与电势的关系 x 可得 P 点的电场强度 V E Ex x qx q 2 2 12 4πε0 ( x 2 R 2 )3 2 x 4 πε0 ( x R )
讨论
y
P ( x, y )
r
2p E 4πε0 p E 4πε0 1 x3 1 3 y
y0
x0
r
r
+
-
l
x
第五章
真空中的静电场
15
F
B
E
WAB
而
B
A
B qE dl qEdl 0
A
WAB q(VA VB ) 所以
电场线指向电势降落的方向。
第五章 真空中的静电场
VA VB
4
大 学 物理学
5.5
等势面
电场强度与电势的微分关系
(3) 等势面密集的地方场强大，稀疏的地方 场强小。 V V+ V V+ 2V 等势面画法的规定： 画等势面时，任何两个相邻 等势面间的电势差都相等。 等势面越密的地方，电场强度越大。
10章(4)
+
p
•q
0
9、 真空中有一电量为 的点电荷，在与它相距为 的 a 点处有 、 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 一试验电荷q 现使试验电荷q 点沿半圆弧轨道运动到b 一试验电荷 。现使试验电荷 从 a 点沿半圆弧轨道运动到 则电场力作功为[ D ] 点，则电场力作功为 Qq πr 2 Qq A) Q B) 2r 2 q 2 4 πε 0 r 2 4 πε 0 r • •
C
]
D
]
A）若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。 ）若高斯面内无净电荷， 处处为零。 B）若高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有净电荷。 ） 处处不为零，则该面内必有净电荷。 C）若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 ）若高斯面内有净电荷， 处处不为零。 D）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面内的净电荷 ）若通过高斯面的电通量为零， 一定为零。 一定为零。
E (A) O E (C) O R E∝1/r r E∝1/r r E (B) O E (D) O R E∝1/r r R E∝1/r r
6、一半径为R的均匀带电球面，其电荷面密度为 ．若规定 、一半径为 的均匀带电球面 其电荷面密度为s． 的均匀带电球面， 无穷远处为电势零点， 无穷远处为电势零点，则该球面上的电势 U＝______________． ＝ ．
S
ε0
S内
∫
L
有源场 无旋场 场是————————场和—————————场。
练习题
1、关于高斯定理，下列说法中正确的是： 、关于高斯定理，下列说法中正确的是： A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 ）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。 ） 处处为零，则面内一定不存在电荷。 C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 ）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 D）以上说法都不正确。 ）以上说法都不正确。 2、下列说法正确的是 、 [ [
大学物理-等势面-电势与电场强度的微分关系名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
(U i x
U y
j U z
k)
U
U gradU ( i j k )U x y z
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
物理意义
（1）空间某点电场强度旳大小取决于该点
领域内电势 V 旳空间变化率.
（2）电场强度旳方向恒指向电势降落旳方
向.
（3）为求电场强度E 提供了一种新旳途径
第6章 静电场
6.6 等势面 电势与电场强度旳关系
一、等势面 电场中电势相等旳点连成旳面称为等势面。
等势面上任一曲线叫做等势线或等位线。
等势面或等势线方程
u(x, y, z) C
要求：任意两相邻等势面间 旳电势差相等；等势面旳疏 密程度表达场强旳大小。
1
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
几种常见旳带电体旳等势面与电场线分布
N
AMN Wp(M ) Wp(N ) q0 (UM U N ) M q0E dl 0
(3) 等势面旳疏密反应了电场强度旳大小。
等势面密
E
大；等势面疏
E 小。
6
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
二、电场强度与电势梯度旳关系
U PQ （UQ U P） E l
El cos
E cos El
1
El
2
R
n
0
dn
P
Q
dl
dU E Enen dn en
大小 E dU
En
U U dU
dn
方向 与en相反，由高电势处指向低电势处
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
定义：
gradU
U
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
在处。根据电势叠加原理，空间 任意点P的电势是点电荷的电势V 1 与匀强电场的电势 V 2 的叠加
o
.q
E0
因此有人得出
1 q V = V1 + V2 = - E0 rcosθ 4ππ 0 r
电势场是标量场,
原因
V (O )
V ( P)
（a）电势是标量, （b）每个空间点都有电势值
o
V (Q )
V ( R)
2.方向微商：在标量场中，从某一点O出发， 沿不同方向的dl 距离内，标量函数的变化不同，对 应的变化率（方向微商）为：dV/dl，与方向有关。
方向微商必须指明方向.
1.6.2 电势梯度
方向垂直于直线 均匀带电无 限大平面 方向垂直于平面
V r 下例说法对否？ 举例说明。
（1）场强相等的区 域，电势处处相等？
Q
Q
思考
0势
E dl
V E en n
（3）电势为零处， 场强一定为零？
a
P
0
（2）场强为零处， 电势一定为零？
R
2、根据电势的定义
V
0势
r
E dl
V E
V V V Ex Ey Ez x y z
3、Gauss定理
典型电场的电势
均匀带 电球面 球面内 球面外
典型电场的场强
均匀带 电球面 均匀带电无 限长直线 球面内
球面外
均匀带电无 限长直线
电势零点距离直线垂直距离为a 均匀带电无 限大平面 零点：带电平面（）
P 1
Vb V c
同一等势面上
q0 0 E 0 dl 0
E dl
0
特点 （3）等势面密集处电场场强大，稀疏处场强小
取紧邻的等势面V、V+△V， 电场线与等势面分别交于 P、Q
V
Q
P
E dl
Q
P
E dn E n
E n
V gradV V en n
or
V
定义：电场中任一点的电势梯度矢量的大小等于电势 函数沿着等势面法线方向的导数，方向总是沿着等势面 的法线且指向电势升高的方向。
，设 E 的方向与 取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 en en 相同， 把点电荷q 从P移到Q，电场力作功为： V+dV n dW qE dl qE cos dl
电势沿等势面法线方向的变化率最大
在直角坐标系中
Ex
V x
Ey
V y
Ez
V z
V V V E x i y j z k
电势梯度
gradV
V en n
V V V gradV V i j k x y z
1.6.3 电场强度和电势梯度的关系
qEdn
dW q[ V ( V dV )] qdV
V
dn
Q
E
e
E cos dl Edn dV
dV V E dn n
q
dl
P
任意场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电 势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。
（ 1）
分析以上结果，可以看出：
点电荷的电势 V 1 是选取无限远为电势的零点
匀强电场的电势V 2 是选取坐标原点o点的电势为零
在同一问题中选了两个电势零点， 即电势零点不统一。因此V也就没有 明确的意义
a）若选取无限远为共同的电势零点，匀强电场 的电势便是无穷大 b）若选取坐标原点为共同的电势零点，则点电 荷的电势为无穷大
V
V V
沿电场线积分， V 很小时 dl 近似平行 dn 。
dl
P
Q
V n 0 时， E lim
n 0
△n大，等势面疏,E小 △n小，等势面密,E大
n
两等势面之间，△V相同
预备概念：
1.标量场：在空间的每一点上都有一个标量值， 这些作为坐标函数的标量组成标量场，如温度场。
1
0
q 1 1 ( ) 40 r 0
导致在
r 0 处任意点的电势失去意义
P Q
另外，从P或者Q点移动单位正电荷 到点电荷所在处，做功都为零。那 么P、Q两点之间的电势差就会被掩 盖。
+
2.无限大的带电平面不能选无穷远电势为零.
设无限大的均匀带电平面，电荷 面密度为正，如果取无限远处为 电势零点，则电场中某点P的电 势为： ∞
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值， 这就是电势与电场强度的微分关系。
另一种理解:
e n
V+dV
dV dl
Ecos θdl = Edn = dV
El dl = dV
dln
El =
Q
V
q
电场强度在 l 方向的投影等于电 势沿该方向变化率的负值
dl
P
E
dV dV ≤ dl dn
dl ≥ dn
Vx
p0
E dl
p
+
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
Edx
x
dx x 0
0
x
0
o d
(2)若取负极板电势为零 则
Vx
x
d
x
dx 0
(d x )
0
虽然选择不同的电势零点,空间各点的 说明： 电势值不同,但电势值仅相差一个常数, 不影响空间的电场分布.任意两点间的 电势差不变.
r1
过 P 点沿 x 轴积分可算得 P 点 与参考点P1的电势差
O
r P
x r1 P1
由于 ln1=0 ，所以若选离直线为 1 ln r1=1 m 处作为电势零点，则可得 P V P 2 0 r 点的电势为
只有当电荷分布在有限区域时，我们才能选无限远处电势 为零.例如点电荷的场、带电球体、有限大带电平面等。
V 沿△n的方向微商 n 最大,其余方向上的 V V 方向微商 l 是它（ 即 n ）的投影。
V V cos l n
大小： V
n
P n l
V E
定义矢量：
方向： 垂直等势
面，并指 向电势增 加方向
Q R
V V
记号： gradV 电势的梯度
因此以上两种电势零点选取也没有意义
我们不妨选取 r ra , 0
则点电荷在p点的电势为
V1
点的电势为零
p
p0
q 1 q 1 q dr 40 r 2 40 r 40 ra
1
V2
匀强电场的电势为 p E dl E l p
电势场中的方向微商
V E
P n l
两个紧邻的等势面V、V+△V 在等势面V上的P点，沿两个不同方
向做直线，交等势面 V+△V 于 Q,R, PQ为垂线、PR为斜线
Q R
V V
沿斜线PR的方向微商为：
沿垂线PQ的方向微商为：
V V lim l l 0 l
L
E
(Q )
dE
i内
V
(Q )
dV
E ds
S
q
i
0
V E dl
(P)
P (0)
5. 强调两句话
注重典型场
注重叠加原理
点电荷 均匀带电球面 无限长的带电线 (柱) 无限大的带电面 (板)
电势零点选取的几个问题