中职数学拓展模块1.3.1余弦定理教案教学设计人教版

课题

1.3 .1 余弦定理

课型 新授

第几

) 中职中专数学教学设计教案

课时

1～3

课 时 教 学 目 标

（三维）

理解余弦定理；

通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力

教学 重点 与 难点

教学重点：

余弦定理及其应用

教学难点：

余弦定理及其应用

教学 方法 与 手段

讲授法

使 用 教 材 的 构 想

教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用.例 1 是已知 两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例 2 是已知三边的长求最大角和最小 角的示例．由于余弦函数在区间 (0, π内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨 论

= • = AC + AB - 2 A C • AB

教师行为

中职中专数学教学设计教案

学生行为 设计意图

☆补充设计☆

一、复习

1、解直角三角形的知识

2、解斜三角形的思路

复习回顾

二、动脑思考 探索新知

如 图 1 － 8 所 示 ， 在 △ ABC 中 ，

BC = AC - AB ，所以

B

BC • BC （AC - AB ）（AC - AB )

A

C

2 2

=

AC 2 + AB 2

- 2 AC AB cos

A

= b 2 + c 2 - 2bc cos A ．

即

a 2 =

b 2 +

c 2 - 2bc cos A ．

同理可得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ．

于是得到余弦定理：

三角形中任意一边的平方等于其余两边

的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两

倍. 即

a 2 =

b 2 +

c 2 - 2bc cos A

b 2 = a 2 +

c 2 - 2ac cos B

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

(1．8)

显然，当 C = 90︒ 时，有 c 2 = a 2 + b 2 ．这

就是说，勾股定理是余弦定理的特例．

公式（1.8）经变形后可以写成

cos A = b 2 + c 2 - a 2

2bc

图 1－8

师生共同探讨求证

b c 2ab

=

2bc =

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cos B=a2+c2

-

b2

2ac

（1．9）

cos C=a2+b2

-

c2

2ab

利用余弦定理可以求解下列问题：

(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.

(2)已知三角形的三边，求三个角.

三、巩固知识典型例题

例1在∆ABC中，A=60︒，=8，=3，求a．

分析这是已知三角形的两边和它们的

夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．

解

a2=b2+c2-2bc cos A=

82+32-2⨯8⨯3⨯cos60︒=49，

所以a=7.思考：

利用余弦定理可以解决所有解斜三角形的问题吗？

经过论证分析得出结论

例2在∆ABC中，a=6，b=7，c=10，求∆ABC中的最大角和最小角（精确到1︒）.

分析三角形中大边对大角，小边对小角．

解由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9），有

cos C=a2+b2

-

c262+72-102

2⨯6⨯7

≈-0.1786，

所以C≈100︒，

cos A=b2+c2

-

a272+102-62

2⨯7⨯10

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≈0.8071，

所以A≈36︒.

练习

1．在△ABC中，B=150︒，

a=33，c=2，求b.

四、小结：

余弦定理：

a2=b2+c2-2bc cos A

b2=a2+c2-2ac cos B

c2=a2+b2-2ab cos C

利用余弦定理可以求解下列问题：

(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.

(2)已知三角形的三边，求三个角.

2.在△ABC中，三边之比a:b:c=3:5:7，求三角形最大内角.

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☆补充设计☆

板书设计

1.3.1余弦定理

一、复习：正弦定理及可解决的两类问题例题分析：

二、新课：

1、余弦定理

2、适用范围（可解决的问题）

作业设计

P18练习1、2

教学后记