第五章 运动学基础

第五章运动学基础第1节运动学基本概念运动学是研究物体运动几何性质的科学。

运动学仅从几何的角度来研究物体运动的规律，而不考虑引起物体运动的物理因素。

在运动学中，常把物体抽象简化为点或刚体。

如果物体的几何尺寸在运动过程中不起主要作用，则可以忽略物体的大小把它抽象为没有大小的点；否则，把物体抽象为具有大小的在任何情况下保持其形状和大小不变的物体，即刚体。

点的运动学主要介绍用矢量法、直角坐标法、自然法三种方法研究点的运动方程、轨迹、速度、加速度。

对点的复杂的运动，介绍点的合成运动的分析方法，讨论点相对于不同参考系的运动以及各种运动之间的关系。

此方法也是研究刚体平面运动的基础。

刚体的运动主要介绍刚体的平行移动、刚体的定轴转动、刚体的平面运动。

研究刚体做各种运动时的运动规律和特点，以及刚体上各点的速度、加速度的计算。

研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为参考，这个参考的物体称为参考体。

与参考体固连的坐标系称为参考系。

一般工程问题中，都取与地面固连的坐标系为参考系。

第2节点的运动学一、矢量法如图5-2-1-1所示，选取参考系上某确定点为O坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。

图5-2-1-1以矢量表示的点的运动方程为r=r( t )动点M在运动过程中，其矢径r的末端描绘出的一条连续曲线，称为矢端曲线。

矢端曲线就是动点M的运动轨迹。

点的速度矢量为v= dr dt点的加速度矢量为a= dv dt = d 2 r d t 2二、直角坐标法图5-2-1-2如图5-2-1-2所示，取固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在空间的位置可用三个直角坐标x，y，z表示，动点M的运动方程为x= f 1 (t) y= f 2 (t) z= f 3 (t) }消去时间t可得动点M的轨迹方程。

它们与矢量法中的矢径的关系为r=xi+yj+zk动点M的速度在三个坐标轴上的投影为v x = dx dt v y = dy dt v z = dz dt }即v= v x i+ v y j+ v z k动点M的加速度在三个坐标轴上的投影为a x = dvx dt = d 2 x d t 2 a y = d v y dt = d 2 y d t 2 a z = d v z dt = d 2 z d t 2 }即a= a x i+ a y j+ a z k三、自然法图5-2-1-3在已知点的运动轨迹的情况下，可用自然法。

如图5-2-1-3所示，动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正，动点M在轨迹上的位置由动点M到参考点O的弧长s确定，称弧长为动点M在轨迹上的弧坐标。

用弧坐标表示的运动方程为s=f( t )点的速度大小为v= ds dt方向沿轨迹的切线方向，即v=vτ= dv dt点的加速度在自然轴系（切向、法向、副法向）三个坐标轴下的投影为a τ = dv dt = d 2 s d t 2 a n = v 2 ρ ab =0 }即a= a τ + a n = dv dt τ+ v 2 ρ n例1如图5-2-1-4所示, 飞轮半径R=50cm，绕轴O转动，轮上直线OM与水平线间的夹角ϕ随时间的变化规律为ϕ=2 t 2 。

求M点的运动方程以及速度、加速度图5-2-1-4解：(1)自然法如图5-2-1-4所示，取水平线与轨道的交点A 为弧坐标原点，正负号规定如图。

点M 的运动方程为s=Rϕ=2R t 2 =100 t 2 cm= t 2 m速度大小为v= ds dt =200tcm/s=2tm/s切向及法向加速度大小为a τ = d 2 s d t 2 =200 cm/s 2 =2 m/s 2 a n = v 2 R =800 t 2 cm/s 2 =8 t 2 m/s 2 }(2)直角坐标法图5-2-1-5如图5-2-1-5所示，建立直角坐标系，则动点M的运动方程为x=Rcos⁡ϕ=50cos⁡2 t 2 y=Rsin⁡ϕ=50sin⁡2 t }对其求一次导数，可求速度的投影为v x = dx dt =−200tsin⁡2 t 2 v y = dy dt =200tcos⁡2 t 2 }再求一次导数可得加速度的投影为a x = d v x dt =−200sin⁡2 t 2 −800 t 2 cos⁡2 t 2 a y = d v y dt =200cos⁡2 t 2 −800 t 2sin⁡2 t 2 }第3节刚体的基本运动1、刚体的平衡移动刚体在运动过程中，若其上任意一条直线始终保持平行于它的初始位置，称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。

若平动刚体内各点的轨迹是直线，则称刚体作直线平动；若平动刚体内各点的轨迹是曲线，则称刚体作曲线平动。

如图5-3-1-1所示，沿直线运行的汽车，车厢的运动即为直线平动；如图5-3-1-2所示，振动筛子的运动即为曲线平动。

图5-3-1-1图5-3-1-2由图5-3-1-3容易证明，作平动的刚体有如下特点：刚体上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，刚体上各点的速度相同；在每一瞬时，各点的加速度也相等。

因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动来研究。

例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。

例1荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图5-3-1-4所示。

钢索长为长l，长度单位为m。

当荡木摆动时钢索的摆动规律为ϕ= ϕ 0 sin⁡π 4 t ，其中t为时间，单位为s；转角ϕ 0 的单位为rad，试求任意瞬时，荡木的中点M的速度和加速度。

图5-3-1-4解：由于两条钢索O 1 A 和O 1 B 的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O 1 O 2 ，故荡木作平动。

为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。

点A 在圆弧上运动，圆弧的半径为l。

如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为s=l ϕ 0 sin⁡π 4 t对其求一次导数可得速度大小为v= ds dt = π 4 l ϕ 0 cos⁡π 4 t进一步可得切向与法向加速度为a τ = dv dt =− π 2 16 l ϕ 0 sin⁡π 4 t a n = π 2 16 l ϕ 0 2 cos⁡2 π 4 t }2、刚体的定轴转动刚体运动时，若其上(或其延展部分)有一条直线始终保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。

这条不动的直线称为转轴。

图5-3-2-1作定轴转动刚体的位置可由固结于刚体的过转轴的动平面与过转轴的固定面的夹角?确定，如图5-3-2-1所示。

于是刚体作定轴转动的转动方程为ϕ=f(t)角速度ω= dϕ dt = ϕ˙角加速度α= dω dt = d 2 ϕ d t 2 = ϕ ¨刚体定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内绕转轴作圆周运动。

由自然法容易得出刚体上各点的速度大小为v=Rω切向加速度、法向加速度大小为a τ =Rα, a n =R ω 2全加速度大小和方向为a= a τ + a n =R α 2 + ω 4tg(a,n)= | α | ω 2在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。

在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间的夹角都相同。

例如图5-3-2-2所示，滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，已知滑轮绕轴O的转动规律ϕ=0.15 t 3 ，其中t以s计，φ 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。

图5-3-2-2解：首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度分别为ω= dϕ dt =0.45 t 2 =1.8rad/sα= dω dt =0.9t=1.8 rad/s 2轮缘上M点上在t =2 s时的速度、加速度为v M =rω=0.09 t 2 =0.36m/sa M τ =rα=0.36 m/s 2a M n =r ω 2 =0.648 m/s 2全加速度a M 的大小和方向为a M = a M τ + a M n =0.741 m/s 2tgϕ= α ω 2 =0.556,ϕ=29°因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。

由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有v A = v M =0.36m/sa A = a M τ =rα=0.36 m/s 23、定轴轮系的转动化在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的，故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。

常用的有带传动和齿轮传动。

一般将主动轮转速与从动轮转速之比称为传动比i 12 = ω 1 ω 2 = α 1 α 2 = R 2 R 1 = Z 2 Z 1其中Z1和Z2分别为主动轮与从动轮的齿数。

对于外啮合，两轮的转向相反；对于内啮合，两轮的转向相同。