沪科版 21.4 二次函数的应用(1)

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沪科版数学九年级上册 21.4二次函数的应用-教案

二次函数的应用【第一课时】【教学目标】1．经历数学建模的基本过程。

2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。

【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。

由课文中的问题1引入。

例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。

要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。

二、讲授新课。

在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。

通过配方，得到S=-（x-10）2+100。

由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。

所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。

总结得出解这类题的一般步骤：（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

通过图形之间的关系列出函数解析式。

【教学过程】（一）创设情景。

欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

（挂图展示）（二）新课教学。

例题讲解：1．例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。

若两端主塔之间水平距离为900m ，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m ，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m 。

（1）若以桥面所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；（2）计算距离桥两端主塔分别为100m 、50m 处垂直钢索的长。

沪科版-数学-九年级上册 - 21.4 二次函数的应用第1课时

二次函数的应用第1课时二次函数的应用(1)教学目标1．能根据实际问题列出函数关系式，并能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．2．能利用二次函数关系式求出实际问题中的最大(小)值，发展学生解决问题的能力．教学重难点让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中最大(小)值问题；如何分析现实问题中的数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的．教学过程导入新课【导语一】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.解：(1)y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；(2)y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6)．【导语二】以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？解：函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6；函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.推进新课一、合作探究【问题1】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？它的最大面积是多少？可设计以下小问题：(1)列出所围成的水面面积与边长的函数关系式；(2)此函数有最大值还是最小值？应如何求？让学生思考、讨论后，写出解答过程，注意规范书写格式．【问题2】要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围才能使围成的花圃的面积最大？解：设矩形的宽AB为x m，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x.配方得y＝－2(x－5)2＋50.所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5 m，长10 m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．二、巩固提高【例1】一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件降价1元，每周要多卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品降价多少，才能使利润最多？让学生先列出关系式，再求最值问题．可设降价x 元，则每件的利润为(10－x －8)元，每周卖的件数为(50＋5x )件．所以可列函数关系式为y ＝(10－x －8)(50＋5x )．接下来的计算由学生独立完成，教师巡视、指导．【例2】见课本例2.三、达标训练1．已知二次函数y ＝ax 2x … －2 －1 0 1 2… y … 4 0 －2 －2 0 …2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？3．张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当x ＝－b 2a 时，y 最大(小)值＝4ac －b 24a 本课小结1．本节课所学的知识是如何利用二次函数最大(小)值来解决实际问题．2．所用的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．。

沪科版数学九年级上册21.4课件1

思维小憩：
• 用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-x1) (x-x2)比较方便？
– 知道二次函数图象和x轴的两个交点的坐标时
• 使用交点式需要多少个条件？
– 两个交点坐标再加上一个其它条件 – 其实，交点式同样需要三个条件才能求
• 求函数最值点和最值的若干方法：
– 直接代入顶点坐标公式 – 配方成顶点式 – 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x
– 设BP＝x，将S△PEF用x表示； – 当P在BC边上什么位置时，S值最大。
A
F
E
灿若寒星 B
PD
C
在取值范围内的函数最值
设0 x 3，讨论函数y x2 4x 5 的最大值和最小值。
设1 x 3，讨论函数y 1 x2 4x 4 2
的最大值和最小值。
灿若寒星
专题二：数形结合法
灿若寒星
简单的应用（学会画图）
• 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2。 – 求二次函数的解析式； – 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
• 在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4， cos∠ACB＝3/5。 – 求A、B、C三点坐标； – 若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式； – 求二次函数的对称轴和顶点坐标
经过这三点的二次函数解析式； – 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； – 分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们
的表达式的区别与联灿若系寒星，你发现了什么？
思维小憩：
• 用待定系数法求二次函数的解析式，设出一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。

九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用(第一课时)课件(新版)沪科版

课堂小结
答：当矩形的宽为10m时，矩形面积最大为100m2.
[归纳总结] 求极值（或最值），是许多实际问题中需研究和解决的课题，二次函数是一种解决此类问题的模型．
探究问题二已知二次函数的表达式应用最值解决实际问题例 2 [教材变式题] 我市某镇的一种特产由于运输原
因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产销售每年的投入资金 x 万元与所获利润 P 万元之间的函数表达式为 P＝－ 1100(x－60)2＋41.当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的每年的投资金额 x 万元与所获利润 Q 万元之间的函数表达式为 Q＝－19090(100－x)2＋2594(100－x)＋160.
因此，当 40≤x≤70 时，y＝－3x＋240.
(2)当每箱售价为 x 元时，每箱利润为(x－40)元，平均每天的利润 W＝(240－3x)(x－40)＝－3x2＋360x－9600.
(3)W＝－3x2＋360x－9600 ＝－3(x2－120x＋3600－3600)－9600 ＝－3(x－60)2＋1200，
[分析] 首先根据题意建立数学模型，即写出题目中水面的面积与其一边长所反映的函数关系式，然后配方，写出顶点坐标，从而确定矩形水面的边长和面积．
解:设矩形的宽为xm,面积为Sm2,得 S=x(20-x)=-x2+20x=-(x2-20x+100-100) =-(x-10)2+100 ∵a=-1<0 ∴当x=10时，S最大=100.

沪科版九年级数学21.421.4二次函数的应用第一课时-“抛物线”型最值问题

知1－练
1 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为 y 1 x2 ，当水面离桥拱顶的高度DO
25
是4 m时，这时水面宽度AB为( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
知1－练
2 图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交
筐中心的水平距离l是
多少？
知2－讲
解：(1)因为抛物线 y 1 x2 3.5 的顶点坐标为(0，3.5)，
5
所以球在空中运行的最大高度为3.5 m.
(2)在 y 1 x2 3.5 中，当y＝3.05时，3.05 1，x2 3.5
5
5
解得x＝±1.5.
因为篮筐在第一象限，所以x＝1.5.
(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m， 50 m处垂直钢索的长．
解：(1)根据题意，得拋物线的顶点坐标为(0，0.5)，对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋0.5. 抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得 81.5＝a·4502＋0.5.
解方程，得
a
81 4502
1. 2500
4
知2－讲
知识点 2 建立坐标系解抛物线形运动的最值问题
例2 如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y 1 x2 3.5 5
运行，然后准确落入篮筐内．已知
篮筐的中心离地面的距离为3.05 m.
(1)球在空中运行的最大高度为多少米？
(2)如果该运动员跳投时，
球出手时离地面的高度
为2.25 m，则他距离篮
知2－练
2 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y 1 x2 3.5 的一部分(如图)，若命中篮 5 筐中心，则他与篮底的水平距离l是( ) A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m

沪科版九年级上册数学21.4《二次函数的应用》教案

《二次函数的应用》教案教学目标能够利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而熟练运用数形结合的方法解决问题.培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题.感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣.教学重难点把实际问题转化为与二次函数有关的数学问题.教学过程一、引入练习：1、已知一次函数23+=x y ，当x =_________时，1-=y .利用简单的一次函数，学生体验“已知函数值求自变量取值”的方法，为下面的练习做铺垫.2、已知二次函数322--=x x y ，当1=x 时，y =________；当x =＿＿＿＿时，5=y .在上一题基础上解决二次函数中的问题，由此总结二次函数与一元二次方程之间的关系.二、二次函数与一元二次方程：问题情境：甲、乙两车在限速为40km /h 的湿滑弯道上相向而行时相撞.事后勘察测得，甲车刹车距离为12m ，乙车刹车距离超过10m ，但小于12m .根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离甲S (m )与车速x (m )之间的关系为201.01.0x x S +=甲，乙车的刹车距离乙S (m )与车速x 之间的关系为x S 41=乙；先由学生独立思考，再分小组与同学交流意见，讨论“用什么来衡量甲、乙谁违章”，打开解决问题的窗口．即求：(1)甲车刹车前的行驶速度？甲车是否超速？(2)乙车刹车前的行驶速度？乙车是否超速？联系实习生活，体现“二次函数与一元二次方程的联系”在实际生活中的应用.利用交通事故案例，贴近生活，充分调动学生的积极性与学习兴趣，展开讨论，做出判断.再独立解题.(学生独立计算结果，与同学交流计算结果，得到正确的结论，选代表回答问题.)解：根据题意可知：当12=甲y 时，1201.01.02=+x x即：0121.001.02=-+x x解得：40,3021-==x x (舍)∴甲车刹车前的行驶速度是30km /h .∵30<40∴甲车并不违章. 又∵124110<<x ∴4840<<x ∴乙车违章.说明：1、考虑到x 的实际意义，应舍去-40.2、对于乙车的刹车距离是个取值范围，可做适当的提示引导.三、商场中的二次函数：1、练习：某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元销售量响应减少10个．(1)假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月销售量是＿＿＿＿＿＿＿.(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？体验二次函数在市场中的运用.在学生做过类似练习的基础上，独立完成，并由学生分析，得出解决此类问题的基本模式：销售利润=(单价-进价)×销量(学生独立审题、解答.并板书问题(2)的解题过程.请同学回答问题(1)的解题思路，由其他同学对解题思路与板书过程进行修改.从而实现学生与学生之间的相互交流.最后由教师总结此类题的解题模式与方法．)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w (千克)与销售单价x (元/千克)之间存在着如图所示的一次函数关系.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y (元)，解答下列问题:(1)求w 与x 之间的函数关系式；0 50 100 40140x （元）w （千克）(2)求y 与x 之间的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？将此类问题的中考题进行简单变型，将一次函数与二次函数相结合，在相应提示下学生可以独立完成前两个问题.由学生自己分析并讨论，第三问的解题方法，以及对解的取舍问题.(前两问由学生独立解决，第三问带领学生一起分析.)解：(1)根据题意，设b kx w +=，因为图象经过(50，140)，(100，40)，可得： ⎩⎨⎧=+=+4010014050b k b k 解得：⎩⎨⎧=-=2402b k 所以：w 与x 的函数关系式为：2402+-=x y ．(2)由题意可知：()()240250+--=x x y整理可得：1200034022-+-=x x y配方得：()24508522+--=x y 所以：当x =85时，y 有最大值，最大值为2450.(3)当y =2250时，22501200034022=-+-x x即：071251702=--x x解得：95,7521==x x因为公司要求x ≤90，所以x =75即，公司要想获得2250元的销售利润，应该把单价定为75元.四、课堂小结：1、二次函数与一元二次方程的关系.2、利用二次函数解决实际问题.五、课后作业教材习题．。

沪科版九年级上册21.4二次函数的应用课件

情景导入
1．利用配方法求函数y＝－4x2＋80x的最大值．
y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400 当x＝10时，y最大值＝400
2．实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙 (墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得 S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0＜x＜ 10)．∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米．
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
仿例
图1
图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0. 解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DF＝5.EF＝10，即水面宽度为10米．
图1
图2
自学互研
知识模块三二次函数与高度问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为多少米？
解：设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)，由题意
知D坐标为(2，－2)，代入y＝ax2，得－2＝
坐标为
－3，当y＝－3时，－

沪科版-数学-九年级上册-21.4 二次函数的应用(1)

项目内容课题21.4 二次函数的应用（1）修改与创新教学目标1．知识与技能会将二次函数变形成y=a(x+h)2+k的形式，从而分析问题的极值。

2．过程与方法经历探索分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．3．情感态度与价值观发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重、难点重点、难点：二次函数的极值问题。

解决方法：将二次函数变形成：y=a(x+h)2+k的形式即可。

教学准备小黑板或PPT教学过程一、创设情境、提出问题（本章引例）问题1：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少？分析：设围成的矩形水面的长为xm，则矩形的宽为(20－x) m，它的面积S为x(20－x) m2，则有: S= x(20－x)S=－x2+20x=－(x－10)2+100.因为a<0，当x=10时，S有最大值100。

（x=10，具体含义是什么？）你能知道问题2的解答吗？二、观察分析，研究问题例1：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?(1)学生阅读第2页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程：解：设每件商品降价x 元(0≤x ≤2)，该商品每天的利润为y 元。

商品每天的利润y 与x 的函数关系式是： y ＝(10－x －8)(100＋1OOx)即y ＝－1OOx 2＋1OOx ＋200 配方得y ＝－100(x －12)2＋225因为x ＝12时，满足0≤x ≤2。

所以当x ＝12时，函数取得最大值，最大值y ＝225。

所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。

二次函数在面积最值问题中的应用教案(新版)沪科版

21.4 二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。

初中数学沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用

B(0,-3) C(1,-4) D(1,0)
S△BCD=2
（3）若点P是直线BD 下方抛物线上的任一点，且 S△PBD = S△BCD，求出点P的坐标.
（4）若点P是抛物线上不同于点C的任一点，且 S△PBD = S△BCD，求出点P的坐标.
（3）若点P是直线 BD下方抛物线上的任一点，且 S△PBD = S△BCD，求出点P 的坐标.
函数的应用
杜集区实验中学赵琴
已知抛物线y=x2+bx+c过点A(-1，0)，点 B(0，-3),其顶点C点,对称轴与x轴交于点D
（1）求抛物线的解析式. （2）求△BCD的面积. （3）若点P是直线BD下方抛物线上的任一点，
且 S△PBD = S△BCD，求出点P的坐标. （4）若点P是抛物线上不同于点C的任一点，且
直线yBD = 3x - 3
过点C平行于BD的直线： y=3x-7
联立直线和抛物线即可
（5）设E为抛物线与 X轴另一个交点，点P 为直线 BE下方抛物线上一个动点，求点 P到直线BE 的最大距离
（5）设E为抛物线与X 轴另一个交点，点P为直线 BE下方抛物线上一个动点，求点P到直线 BE 的最大距离
S△PBD = S△BCD，求出点P的坐标. （5）设E为抛物线与X轴另一个交点，点P为直线
BE下方抛物线上一个动点，求点P到直线BE 的最大距离
已知抛物线y=x2+bx+c过点A(-1，0)，点 B析式.
y=x2-2x-3
(2) 求△BCD的面积.

沪科版-数学-九年级上册-21.4 二次函数的应用教案

21.4 二次函数的应用┃教学整体设计┃第1课时二次函数的应用（1）┃教学过程设计┃例2(教材第37页例2)如图1,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图2,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长.教师引导学生(1)这个抛物线的顶点坐标是什么？对称轴是什么？你还能写出这个抛物线上哪几个点的坐标？(2)这个抛物线对应的函数表达式可设什么形式？(3)第(2)题中离两端主塔分别为100 m,50m的点的横坐标各是多少？(4)第(2)题转化为数学语言是什么？思考：如果本题不给出坐标系,你还有没有其他方法建立坐标系,从而解决问题？初步了解建立平面直角坐标系解决实际问题.三、运用新知,解决问题 1.教材第38页练习第1题.2.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.根据设计图纸已知：如图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式是y ＝－x 2＋2x ＋45.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ (2)如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？教师板演,纠错,巡视指导,讲评. 及时巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点1.通过学习本节,你有哪些收获？2.对本节课你还有什么疑惑？总结回顾学习的重点、难点内容,巩固所学知识.五、布置作业,巩固提升 1.教材第42页习题21.4第1、2题. 2.(选做题)教材第42页习题21.4第5题. 体现分层,加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】二次函数的应用(1)例1 S ＝x (20－x ),配方,得S ＝－(x －10)2＋100.因为a ＝－1＜0,所以当x ＝10时,S 取得最大值,最大值为100.21.4二次函数的应用┃教学整体设计┃第2课时二次函数的应用（2）┃教学过程设计┃┃教学小结┃。

21.4 二次函数的应用(课件)沪科版数学九年级上册

知1－练
感悟新知
(1) 求点 P 的坐标和 a 的值；
知1－练
解题秘方：利用待定系数法可求得 a 的值；
解：在一次函数 y=－0.4x+2.8 中，令 x=0，得 y=2.8，∴ P(0， 2.8)．将点 P(0， 2.8)的坐标代入 y=a( x－1) 2+3.2 中，得 a+3.2=2.8，解得 a=－0.4．
感悟新知
如图②，当两辆消防车喷水口 A， B 的水平距离为知1－练 80 m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 20 m，喷水口 A， B 距地面均为4 m. 若两辆消防车同时后退 10 m，两条水柱的形状及喷水口 A′， B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 H′距地面 ___1_9_____m．
感悟新知
解： ∵ OA=3 m， CA=2 m，∴ OC=5 m．
若选择扣球，则令－ 0.4x+2.8=0，解得 x=7，
知1－练
即落地点到 O 点的距离为 7 m，
∴落地点到 C 点的距离为 7 － 5=2(m)；
若选择吊球，则令－ 0.4(x － 1) 2+3.2=0，
解得 x=±2 2 +1(负值舍去)，
∴落水点 C， D 之间的距离为 22 m.
感悟新知
(3) 若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF， OE=10 m知，1－练
EF=1.8 m， EF ⊥ OD．问：顶部 F 是否会碰到
水柱？请通过计算说明 .
解：当
x=10
时，
y=
－
1 6
×(10
－
5)
2+6=

沪科版九年级数学上册21.二次函数的应用(第1课时)课件

即x在对称轴的右侧.
函数的值随着x的增大而减小.

∴当x＝－3时，y最大值＝；

当x＝1时，y最小值＝－ .
x＝－5
y
－3
O
1
x
知识归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
(1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
(2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明
例题与练习
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，
由题意得
S＝x(20－2x)
＝－2x2＋20x
＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)．
∵－2＜0，
∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大
值为50平方米．
例题与练习
例3 如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大
可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)
的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2.
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) y是否有最大值？如果有，
要求出y的最大值．
例题与练习
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.

(2)由题意得：0＜30－3x≤10，即
直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5.
抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5＝a·4502＋0.5.

解得 a＝
＝

2020沪科版九年级数学上册 21.4 第1课时几何图形的最大面积

变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
4
当x=20时，y最大＝300.
E
30m D
C
B
F
A
40m
练一练
1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙
长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，
面积是多少？
解：设矩形菜园的长为xm，则宽为15 x m.
2
S 15 x x 1 x2 15 x
2
S 60 x x 1 x2 30x
2
2
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？不正确. 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), ∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）

沪科版九年级上册二次函数的应用面积、利润最值问题精品课件PPT

分析： 1.审题：理解题意、数形结合 2.设变量：建立模型，设出自变量、因变量 3.列函数：找出数量关系、等量关系，列出函数 4.解决问题：注意自变量取值范围，解决实际问题 5.答
沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用（1）面积、利润最值问题课件
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当堂训练
3.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动
服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量（件）200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元/件．
（1）请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是（x－60）元； ②月销量是（400－2x）件；（直接写出结果）
沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用（1）面积、利润最值问题课件
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一、复习引入二次函数最值的理论
思考：你能说明当为 x什 b么时，函数的最 2a
y4acb2 呢？此时是最大最值小还值是呢？ 4a
二次函数的一 y般 ax2式 b： xc（a0）
沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用（1）面积、利润最值问题课件
解设围成的矩形水面的一边长为xm,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是Sm2，则有它的面积是Sm2由题可得 S=x（20-x）.
将这个函数的表达式配方，得 S= -（x-10）2+100（0＜x＜20）.
C．4＜x＜16
D．x＞4或x＜16
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