高等数学(下册)期末复习试题及答案
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高数下册期末试题及答案
高数下册期末试题及答案第一部分：选择题（共50题，每题2分，共100分）1. 某函数的导函数为f(x)=3x^2+2x-1，则该函数f(x)在x=1处的导数值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 92. 下列哪个极限是不存在的？A. lim(x→∞) 1/(1+x)B. lim(x→0) sin(1/x)C. lim(x→1) (x-1)/(x-1)D. lim(x→∞) e^(-x)3. 物体在空气中自由下落的速度v(t)与时间t之间的关系可以用下列哪个微分方程描述？A. v'(t) = g - kv(t)B. v'(t) = g - ktC. v'(t) = g - kv(t)^2D. v'(t) = g - k/v(t)...第二部分：填空题（共30题，每题3分，共90分）31. 若a=3，b=-2，则方程组3x+ay=1，bx-2y=5的解为x=___，y=___。
32. 设函数f(x)=sin(x)，则f''(x) = ___。
33. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必在该区间上有___。
...第三部分：解答题（共4题，每题15分，共60分）问题一：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，求f(x)的极值及对应的取值范围。
解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x，令其等于零，得到极值点x=0和x=2。
将这两个极值点代入原函数f(x)，可以求得f(0) = 1和f(2) = -1。
因此，函数f(x)的极值为1和-1，取值范围为[-1, 1]。
问题二：已知函数y = e^x / (1 + e^x)，求该函数的反函数及其定义域。
解答：为求反函数，首先将y = e^x / (1 + e^x)改写为x = ln(y / (1-y))。
然后交换x和y，得到y = ln(x / (1-x))。
因此，函数y = ln(x / (1-x))为原函数的反函数。
高等数学下期末试题七套附答案
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ） A.dx dy +B.dx +D.dx（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin)()yLxy x dx x e dy++-⎰，其中L为摆线sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O到(,2)Aπ的一段弧6、求微分方程xxy y xe'+=满足11xy==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z=与上半球面z=(10)'2、（1）判别级数111(1)3nnnn∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x∈-求幂级数1nnnx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z=的定义域为；（2）已知函数xyz e=，则在(2,1)处的全微分dz=；（3）交换积分次序，ln10(,)e xdx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L是抛物线2y x=上点(0,0)O与点(1,1)B之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y'''-+=，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L为30x y zx y z++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z--+=，则L与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a-=确定，则zx∂=∂（）；A.2yzxy z- B. 2yzz xy- C. 2xzxy z- D. 2xyz xy-（3）微分方程256xy y y xe'''-+=的特解y*的形式为y*=（）；A.2()xax b e+ B.2()xax b xe+ C.2()xax b ce++ D.2()xax b cxe++（4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）；A222000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰B.22000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.2000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰D.22000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 12D. 三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin 3n nnn π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面22z xy =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx = .二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高数下册期末考试和答案
高数下册期末考试和答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3x^2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。
A. e^xB. -e^xC. 0D. 1答案：A4. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
A. 1/xC. xD. -x答案：A6. 求定积分∫(0,1) e^x dx的值。
A. e-1B. eC. 1D. 0答案：A7. 已知函数f(x)=x^2，求f''(x)的值。
A. 2xB. 2C. 0答案：B8. 求极限lim(x→∞) (1/x)的值。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A9. 已知函数f(x)=x^3，求f'(x)的值。
A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^3答案：A10. 求定积分∫(0,1) 1/x dx的值。
A. ln(1)-ln(0)B. ln(1)-ln(1)C. ln(2)-ln(1)D. ln(1)-ln(2)答案：C二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f'(x)的值。
______答案：2x-412. 求极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值。
______答案：013. 已知函数f(x)=x^4-6x^2+8，求f'(x)的值。
______答案：4x^3-12x14. 求定积分∫(0,1) x^3 dx的值。
______答案：1/415. 已知函数f(x)=e^(-x)，求f'(x)的值。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=log(a,(x+y))的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分22ln(x+y)dxdy的符号为负号。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(x+y-e-1)dxdy，其值为1/2.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t),y=ψ(t)}(α≤t≤β)，则弧长元素ds=sqrt(φ'(t)^2+ψ'(t)^2)dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∬(x+y+1)ds=27√2.6、微分方程y'=ky(1-y)的通解为y=Ce^(kx)/(1+Ce^(kx))，其中C为任意常数。
7、方程y(4)d^4y/dx^4+tan(x)y'''=0的通解为y=Acos(x)+Bsin(x)+Ccos(x)e^x+Dsin(x)e^x，其中A、B、C、D为任意常数。
8、级数∑n(n+1)/2的和为S=1/2+2/3+3/4+。
+n(n+1)/(n+1)(n+2)=n/(n+2)，n≥1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x^2+y^2等于（B）x。
3、设Ω：x+y+z≤1,z≥0，则三重积分I=∭Ω2z dV等于（C）∫0^π/2∫0^1-rsinθ∫0^1-r sinθ-zrdrdφdθ。
4、球面x^2+y^2+z^2=4a^2与柱面x^2+y^2=2ax所围成的立体体积V=（A）4∫0^π/4∫0^2acosθ∫0^4a-rsinθ rdrdφdθ。
高等数学下册期末考试题及答案
高等数学下册期末考试题及答案一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= .2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 .4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ .6、微分方程x y xy dx dy tan+=的通解为 . 7、方程04)4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）yy x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x .2、设),()(x yxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 .3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdVI 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdrr d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdrr d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin drr d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin drr d d .4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ） （A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa drr a d ； （B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa drr a r d ；（C ）⎰⎰-2cos 202248πθθa drr a r d ； （D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa drr a r d .5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(.6、下列说法中错误的是（ ） （A ）方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程；（B ） 方程x y dx dyx dx dy ysin =+是一阶微分方程；（C ）方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ）方程x y x dx dy 221=+是伯努利方程.7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin .8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛. 三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y ux u ∂∂∂∂,. 2、（8分）设⎰+-=t x tx dzz f t x u )(),(，求t ux u ∂∂∂∂,. 四、求解下列问题（共计15分）.1、计算=I ⎰⎰-2022xy dye dx .（7分）2、计算⎰⎰⎰Ω+=dVy x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向.六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f .七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间.高等数学（下册）考试试卷（二）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂y z x z .2、=+-→→xyxy y x 93lim 03、设⎰⎰=202),(xxdyy x f dx I ，交换积分次序后，=I .4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ .5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分 ⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( .6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(222，则=A div .7、通解为xx e c e c y 221-+=的微分方程是 .二、选择题（每小题2分，共计16分）.1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂y u ，则（ ）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上.3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较.4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =（ ）（A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641.5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(（ ）(A) ⎰βαψϕdtt t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdtt t t t f )()())(),((22 ；(C) ⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((.6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分 ⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4.7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y .8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数.2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域.2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dvy x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF. 五、求解下列问题（15分）1、（8分）求⎰-+-=Lx x dym y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧.2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdyz dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧. 六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dyx ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ.高等数学（下册）考试试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设⎰=yzxzt dte u 2， 则=∂∂z u.2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数)0,0(lf ∂∂= .3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= .4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+.5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+.6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式.7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y . 8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x ),(),(lim--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x '.2、设2yx z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y zy x z ； （C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂x y zy x z .3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ.4、设Ω：2222R z y x ≤++，则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22=（ ）（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516Rπ.5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（ ）（Ａ）x =⎰Ldsy x x M),(1ρ； （B ）x =⎰Ldxy x x M),(1ρ；（C ）x =⎰Ldsy x x ),(ρ； （D ）x =⎰LxdsM1, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量.６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分⎰⎰∑++ydxdzx xzdydz zdxdy y22＝（ ）（A ）0； （B ）4π-； （C ）245π； （D ）4π.７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(； （C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=.８、设⎩⎨⎧≤<<≤--=ππx x x f 010,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ）（A ）])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4.三、（１２分）设tt x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，求dx dy.四、（８分）在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短. 五、（８分）求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ.六、（１２分）计算⎰⎰∑=xyzdxdyI ，其中∑为球面1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧.七、（10分）设xx d x df 2sin 1)(cos )(cos +=，求)(x f .八、（10分）将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数.高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ； 2、负号； 3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx x y=sin；7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ；三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂；2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u-++=∂∂；四、1、)1(214220220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y yy xy ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标；五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则x Qy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ；于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，x Q y P ∂∂∂∂,在D 内连续.所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，x Qy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得：)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0 x f x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'=又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴ 七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t Θ212321232lim t n t n t n n n =++++∞→∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n n n 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3].高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32f '；5、π8-；6、)(2z y x ++；7、02=-'+''y y y ；8、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ；三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且 )1,0,1(221z y x xuA ++=∂∂2/1=； 01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y y z y x y uA ；2/11)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z z y x z uA 而),1,2,2(-==AB l 所以)31,32,32(-=ο,故在A 点沿=方向导数为： =∂∂A l uA x u ∂∂αcos ⋅+A y u ∂∂βcos ⋅+A z u ∂∂γcos ⋅ .2/13121)32(03221=⋅+-⋅+⋅=2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ，又0)0,(,0),0(==x f y f而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f令0)122(23='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010: 所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(x y x z y x dz dy dx I ⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]41)1(1[21 ⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x2、在柱面坐标系中⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(t h rdz r f z dr d t F ⎰+=t dr r h r r hf 032]31)([2π 所以 ]31)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π五、1、连接→OA ，由Green 公式得： ⎰⎰⎰-+=OA OA L I ⎰⎰-=+OA OA L⎰⎰=≥≤+++-0,220)cos cos (y ax y x x x Green dxdy m y e y e 公式281a m π=2、作辅助曲面⎩⎨⎧≤+=∑2221:a y x a z ，上侧，则由Gauss 公式得：⎰⎰∑=I +⎰⎰∑1⎰⎰∑-1=⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11=⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤+≤+-++a z z y x a y x dxdya dxdydz z y x 0,2222222)(2=⎰⎰⎰≤+-az y x a zdxdy dz 042222π 4043212a a dz z a πππ-=-=⎰六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ϕϕϕ''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''ϕϕϕ特征方程0232=+-r r ，特征根2,121==r r对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+= 又因为2=λ是特征根.故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得：1,21-==B A即 x e x x y 2*)2(21-=故所求函数为：x x x e x x e c e c x 2221)2(21)(-++=ϕ高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 一、1、2222z x z y xe ye -； 2、5； 3、⎰⎰⎰------1111102222),,(x x y x dz z y x f dy dx ；4、325);0,0(a f π、； 6、⎰⎰⎰⎰⎰+Ω∂Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P )(， Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P .二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=，0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得： y t t x t t x F f F F f F f dx dy ''+'''-'⋅'=四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为 13326yx d --= ；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，于是由： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+---==+---=04408)326(602)326(422y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点：)53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中1313133261min =--=M y x d 即为所求. 五、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=y y x y x z 22222在yoz 面上的 投影为⎩⎨⎧=≤≤=0)0(22x z y y z于是所割下部分在yoz 面上的投影域为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y z y D yz 2020:， y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍.σd z x y x A yz D ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(12 x ⎰⎰⎰⎰=-=-=yz D y y y dz dy y y dydz 21202282222六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2221:y x z ---=∑，21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy于是： ⎰⎰⎰⎰∑--=1221dxdy y x xyzdxdy xyD 1511cos sin 201022=⋅-⋅=⎰⎰ρρρθθρθπd d 极坐标； ⎰⎰⎰⎰∑=----=2151))(1(22dxdy y x xy xyzdxdy xy D ， ⎰⎰⎰⎰∑∑+=∴21I =152 七、因为x x d x df 2sin 1)(cos )(cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +='所以22)(x x f -=' c x x x f +-=∴3312)(八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++=Θ 又]1,1(,)1()1ln(11-∈-=+∑∞=-u u n u n n n ∴∑∑∞=∞=---∈-+-=11211]1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑∞=--∈+-=11]1,1(),1()1(n n n n x x x n。
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高数高等数学A（下册）期末考试试题、填空题：（本题共5小题，每小题4分,满分20分，把答案直接填在题中横线上）r r r r r r r r r1、已知向量a、b满足a b 0, a 2, b 2,则ab .32、设z xln（xy）,贝U ---- 2x y2 23、曲面x y z 9在点（1,2, 4）处的切平面万程为 .4、设f（x）是周期为2的周期函数，它在［,）上的表达式为f（x） x,则f（x）的傅里叶级数在x 3处收敛于,在x 处收敛于.5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则L（x y）ds .※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.・1!■■■■■・ MM ■・・・・・■■■■■ ■ ■・・・■:■»■■■■■、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）C 2 c 2 2 c... 2x 3y z 9» j ....... .. ..1、求曲线2 2 2在点M0 （1, 1,2）处的切线及法平面方程.z 3x y.. 2 2 一 2 2 一2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数（1）n ln --- 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x .......... z z4、设z f （xy,—） sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求一, ------- -y x x ydS 2 2 2 25、计算曲面积分——，其中是球面x y z a被平面z h （0 h a）截出的顶部.z、（本题满分9分）抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分Je x siny m)dx (e x cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).四、(本题满分10分)n求哥级数4—的收敛域及和函数.n i 3 n五、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,2 2其中为曲面z 1 x y (z 0)的上侧.六、(本题满分6分)设f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t是由曲面z xx y2t与z t2x2y2所围成的闭区域，求lim F(t ) t3备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面不得带走试卷。
高数下期末考试复习题及答案
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ h) 的下侧。
解：补平面 Σ1 : z = h 的上侧，则 ∫∫ ( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy
∑
=
∫∫ ( y
Σ + Σ1
2
− z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy
a0 =
5分
f ( x) =
Hale Waihona Puke h 2 ∞ sin nh + ∑ cos nx, x ∈ [0, h) ∪ (h, π ) π π n =1 n h 2 ∞ sin nh 1 + ∑ cos nx 收敛于 。 π π n =1 n 2
8分
当 x = h 时，级数
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x+
7分
计算 ∫∫ ( y 2 + 3 x − 6 y + 9)dσ ，其中 D 是闭区域: x 2 + y 2 ≤ R 2 。
D
解：利用对称性，并设 x = r cosθ , y = r sin θ ，则
∫∫ ( y
D
2
+ 3 x − 6 y + 9)dσ = ∫∫ ( y 2 + 9)dσ =
D
C
0
4分
π
0
π
0
= 18 13 ∫ 2 (t sin t cos t )dt = 18 13 ∫ 2
t sin 2tdt 2
6分
t 1 = 18 13[− cos 2t + sin 2t ] 4 8
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
高数下册 期末试题及答案
高数下册期末试题及答案第一题：已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1，求 f(x) 的导函数。
解析：要求 f(x) 的导函数，即求 f'(x)。
根据求导法则，对于多项式函数 f(x) = ax^n：1. 当 n 不等于 0 时，f'(x) = anx^(n-1)。
2. 当 n 等于 0 时，f'(x) = 0（常数项的导数为 0）。
所以，对于 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1：f'(x) = d/dx (2x^3 - 4x^2 + 3x + 1)= 6x^2 - 8x + 3。
答案：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。
第二题：已知函数 f(x) = e^x * ln(x)，求其不定积分。
解析：要求函数 f(x) 的不定积分，即求∫ f(x) dx。
根据积分法则，对于函数 f(x) = e^x * ln(x)：1. 对于∫ e^x dx，由指数函数的积分法则得知∫ e^x dx = e^x + C1（其中 C1 为常数）。
2. 对于∫ ln(x) dx，由对数函数的积分法则得知∫ ln(x) d x = x * ln(x) - x + C2（其中 C2 为常数）。
所以，对于 f(x) = e^x * ln(x)：∫ f(x) dx = ∫ (e^x * ln(x)) dx= ∫ e^x dx * ∫ ln(x) dx= (e^x + C1) * (x * ln(x) - x + C2)= xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)（其中 C(x) 为常数）。
答案：∫ f(x) d x = xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)。
第三题：已知函数 f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，证明 f'(x) = 0。
高数下册期末考试题及答案
高数下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数是：A. \( 2x/(x^2 + 1) \)B. \( 2x/x^2 + 1 \)C. \( 2x/(x^2 - 1) \)D. \( 2x/(x^2 + 1)^2 \)答案：A2. 已知 \( e^x \) 的泰勒展开式为 \( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots \)，那么 \( e^{-x} \) 的泰勒展开式是：A. \( 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)B. \( 1 + x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)C. \( 1 - x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)D. \( 1 + x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)答案：A3. 若 \( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则 \( \int_0^1 x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{7} \)答案：A4. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 若 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) = \) ________。
高数下期末考试题及答案
高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x=1处的导数是：A. 8B. 6C. 4D. 2答案：B2. 若曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 6在点(1, -6)处的切线斜率为-1，则该曲线在该点的切线方程是：A. y = -x - 5B. y = x - 5C. y = -x + 5D. y = x + 5答案：A3. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -sin(x) + cos(x) + CC. sin(x) - cos(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C答案：D5. 微分方程dy/dx + y = x^2的解是：A. y = (1/2)x^3 + CB. y = x^3 + CC. y = (1/3)x^3 + CD. y = x^2 + C答案：C6. 函数f(x) = e^x - x^2的极小值点是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：A7. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B8. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e - 1C. e^e - 1D. e^e答案：C9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)答案：C10. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的拐点是：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 若f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x + 6，则f'(2) = ______。
高数下期末试题及答案
高数下期末试题及答案试题一：1. 解方程：2x^2 + 5x - 3 = 0解答：首先，可以使用因式分解、配方法或求根公式来解方程。
采用求根公式，设方程为ax^2 + bx + c = 0，则有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a对于此方程：2x^2 + 5x - 3 = 0，a = 2，b = 5，c = -3，代入公式得：x = (-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * -3)) / (2 * 2)= (-5 ± √(25 + 24)) / 4= (-5 ± √49) / 4= (-5 ± 7) / 4因此，解为：x1 = (-5 + 7) / 4 = 2 / 4 = 0.5x2 = (-5 - 7) / 4 = -12 / 4 = -3所以，方程的解为x = 0.5和x = -3。
2. 求函数y = x^3在区间[-2, 2]上的平均值。
解答：函数y = x^3在区间[-2, 2]上的平均值可以通过对该区间上的函数值进行积分求得。
∫[-2, 2] x^3 dx = [(1/4)x^4] [-2, 2]= [(1/4)(2^4)] - [(1/4)(-2)^4]= [16/4] - [16/4]= 16/4 - 16/4= 0所以，在区间[-2, 2]上，函数y = x^3的平均值为0。
3. 求曲线y = e^x在点x = 0处的切线方程。
解答：曲线y = e^x在点x = 0处的切线方程可以通过求导数和代入点坐标来确定。
首先，求曲线y = e^x的导数：(dy/dx) = d(e^x)/dx = e^x在点x = 0处，切线的斜率为e^0 = 1。
代入点坐标(0, e^0) = (0, 1)，可以得到切线方程y = mx + b中的m 和b：1 = 1(0) + bb = 1所以，曲线y = e^x在点x = 0处的切线方程为y = x + 1。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
25、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
(完整word版)高数下期末考试及解答(8份)
课程名称 高等数学试卷 （I ）一、填空（14分）1．设f(x),0,00,sin 2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x则=→)(lim 0x f x 。
2．曲线y=x 3上切线斜率等于3的点是 。
3．x x y ln 22-=区间 上单调减少。
4．)1(lim 0xctgx x -→= 。
5．⎰+dx x x )1(1= 。
6．过点A （2，-3，4）且与y 轴垂直相交的直线方程为 。
二、完成下列各题（40分） 1．)11ln 1(lim 1--→x x x 2．已知：dxdy x x y e xy求,2cos ln =+ 3．计算：⎰++dx x x 294124．计算：⎰dx x 2)(arcsin5．计算：⎰eedx x x12ln三、求函数f(x)=123+--x x x 在[-1，2]上的最大值与最小值（8分） 四、证明：当x>0时，xarctgxx +>+1)1ln( （8分） 五、设f(x)在[a ，b]上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()( （8分）六、求曲线x y ln =当x 在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与x y ln =以及x=2，x=6所围成的图形的面积最小。
（8分）七、求过点（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程。
（8分）八、求抛物线x y 82=与其上点（2，4）处的法线所围成图形的面积。
并求该图形在x 轴上方部分绕y 轴旋转后所得旋转体的体积。
（6分）课程名称 高等数学试卷 （I ）九、填空（14分）1．0 2．（1，+1），（-1，-1） 3．（0，)2π4．0 5．2arctg x +C 6．⎩⎨⎧-==32y xz十、完成下列各题（40分） 1．))1(ln ln 1(lim )11ln 1(lim 11---=--→→x x xx x x x x （2'）=x x xxx ln )1(111lim1+--→ （2'）=211ln 11limln 11lim11=⋅++=+--→→xx x x x x x x x （4'） 2．等式两边对x 求导x x y x y y x y e xy 2sin 21ln )(-=⋅+'+'+ （3'） xy xyye xyx x xe y ---=+'2sin 2)ln ( （3'）xxe ye x yx y xyxy ln 2sin 2+++-=' =xx e x xye y x x xyxyln 2sin 22+++- （2'） 3．⎰⎰++=++=++''C x arctg dx x dx x x 525125)2(1294132)5(24．⎰⎰--=dx xxx x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin （3'）=⎰--+)1(11arcsin )(arcsin 22x d xxx x⎰-+=)12(arcsin )(arcsin 22x xd x x （2'）=⎰----+dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsin （2'）=C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22 （1'）5．⎰⎰=+==='''ee e ee e x x xd x x 11)2(13)3(2)3(2323131|3ln ln ln ln三、（8分）令)1)(13(123)(2-+=--='x x x x x f （2'） 得：1,3121=-=x x （1'）01111)1(,273213191271)31(=+--==++--=-f f （2'）31248)2(,01111)1(=+--==++--=-f f （2'）最大值为3，最小值为0 四、（8分）证明：令xarctgxx x f +-+=1)1ln()( （1'） 22)1(1111)(x arctgx x xx x f +-++-+='=222)1(1)1(x arctgx x x x ++++ （3'） Θx>0时，,0)(>'x f ∴ x>0时，f(x)递增 （2'） 又f(0)=0, ∴当x>0时，f(x)>0 （1'）即xarctgxx +>+1)1ln( （1'） 五、（8分）⎰⎰-+-+-=-+babax b a d x b a f dx x b a f )()()( （2'）令t=a+b-x ，则x=a+b-t ，代入上式 （3'）⎰⎰⎰⎰==-=-+bab ab abadx x f dt t f dt t f dx x b a f )()()()( （3'）六、（8分）设该切线的切点对应处，则0x x =该切线为：)(1ln 000x x x x y -=- （2'） 则x=2时，切线上)2(1ln 0001x x x y -+= x=6时，切线上)6(1ln 0002x x x y -+= （2'） 围成图形面积为：)]2(1ln 2[421000x x x S -+⋅==,416ln 400-+x x 令0164200=-='x x S （2'） ,411,400===x k x 该切线为：)4(414ln -=-x y （2'） 七、（8分）平面3x-4y+z-10=0的法矢量}1,4,3{-=→n （1'） 设交点为),,(000z y x （即两直线交点）则所求直线的方向矢量为}4,,1{000-+z y x （1'）则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+-+223210)4(4)1(3000000z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===321915000z y x （3'）所求直线的方向矢量为{16,19,28} （1'） 所求直线为：28419161-==+z y x （2'）八、（6分）在x y 82=两边对x 求导，xy y y 84,82='='当x=2时，1|2='=x y ，则法线的斜率为-1法线方程为：y=-1(x-2)+4=-x+6 （2'）与抛物线的另一个交点为：(18,-12) （1'） 所围成圆形如图，它的面积为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+=+=12241228182168D D y x xdy dx dx dy d d S σσ=⎰⎰-++-+-4121822)86()82(dx x x dy y =18223182********|3222|6|2|24162x x x y ⋅++--⋅-=)316144(12108)1622()3872(32-+---+--+=14496160840++---=32 （2'）法线与x 轴交于⎰⎰-=-=624022218)0,6(dy y dx x V V V ππΛ =]|24|3[403623y x -π =)24643872(--π=)383872(--π=π3200（3'）一、填空（14分）1、 若)1(x x f +=2x +21x+3，则=)(x f 2、 设=)(x f 12-x e ，则)(x f ''= 3.xxx 3sin 5sin limπ→=4、设点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b5、=+⎰x t dxd sin 021 6、在xoz 面上的曲线13222=+z x 绕z 轴旋转所得曲面方程是二、完成下列各题（35分）1、2)1(lim 1xtgx x π-→2、⎰+dx x x 2473、xdx x ⎰2sin4、dx xx⎰+3122115、dx x x ex⎰-2)(ln 11三、求曲线)1ln(2x y +=的拐点。
高数下期末考试题及答案
高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0, 6]上的值域是：A. [2, 9]B. [3, 9]C. [1, 9]D. [2, 12]答案：C2. 若f(x)=3x^2+2x-5，求f(-1)的值：A. -12B. -8C. -4D. -2答案：A3. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1, 4)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D4. 根据定积分的性质，∫[0, 1] x dx等于：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 5，那么∫[a, b] 2f(x) dx等于：A. 10B. 5C. 2D. 1答案：A6. 函数y=sin(x)在区间[0, π]上的原函数是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. 2sin(x) + C答案：A7. 若∫[0, 1] f(x) dx = 3，且f(x) = 6x - 2，求∫[0, 1] x(6x -2) dx的值：A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C8. 曲线y=x^2与直线y=4x在点(2, 4)处的切线相同，求该点处的切线方程：A. y = 4x - 4B. y = 8x - 12C. y = 4xD. y = x^2答案：A9. 若f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)的值：A. 3x^2-6x+2B. x^2-6x+2C. 3x^2-9xD. x^3-3x答案：A10. 若f(x)=e^x，求f'(x)的值：A. e^xB. x*e^xC. e^-xD. 1答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。
答案：2x-412. 曲线y=x^3-2x^2+x在x=1处的导数为________。
高数下 期末考试复习题(附答案)
一。
微分方程 1. 一阶微分方程 (1)．微分方程12'x y e -=的通解是 （ C ）A ．2x y eC -=+ B ．2x y e C =+C ．22x y e C -=-+ D ．2x y Ce -=(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。
解: 22ln ln y x C -=(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解解：cos 3sin 1x x y e dy dx y e =-，cos 3sin 1xx y e dy dx y e =-⎰⎰ ()ln sin 3ln 1ln x y e c =-+，()3sin 1x y c e ⎡⎤=-⎣⎦(4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()()0cos 2sin 1xy x x y t tdt x +=+⎰解：原方程两端求导得cos sin 2sin cos sin 1y x y x y x y x y x ''-+=+= 即sin 1cos cos x y y x x'+=，这是标准的一阶线性微分方程 ()sin sin ln cos ln cos cos cos 11tan cos cos cos x xdx dx x x x x y e e c e e c x c x x x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 原方程令0x =得1y =，代入通解得1c =，从而sin cos y x x =+()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 cos .C xy x-=解:通解为:(6) 求微分方程212y x y '=-的通解解:原方程化为22dxx y dy-=-,这是关于未知函数为x 的一阶线性微分方程,通解为:22111224y y Ce y y -=+++ (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程1x y y xe x-'-= 由公式()111ln ln dx dx x x x x x x x x y e xe e dx c e xe e dx c x e dx c x c e -------⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解。
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一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yz x z ∂∂∂∂,． 解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ， 且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分) 八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂．解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32cos(33)32cos(1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分)3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分)5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=1046d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分)7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解．解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C eC y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解 x x e e y-+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分)四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ． 解：由xQ y P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=， 即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xee xf x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xy xf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(x y f x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x yz'=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z =，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u=，f 具有连续偏导数，则=∂∂xu21f xyxf f -+9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{ 10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(x dyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d 12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yzx z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=xyzyzxyz F x-=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx x dy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x五、（共6分） 计算⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nnn x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x 时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[ 七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2 dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(2102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分） 设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f xx )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8. 设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-． 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10.交换积分顺序：⎰⎰=100d ),(d xy y x f x⎰⎰101d ),(d y x y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．得分15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n nu的敛散性是 发散 ．16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分） 函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz ∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段OA ，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6分） 设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．得分得分得分解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f sin )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分)计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分． 解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）212121=++p p n n m m （B ）212121p pn n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p p n n m m 得分2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：100d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-2 7．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n nu的敛散性是 发散 ．3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(x y x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。