高一数学解斜三角形

解 斜 三 角 形

一、基本知识：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．

（2）能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．

（3）能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题．

二、例题分析：

例1 在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b

分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对

角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．

解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2

＜a ， ∴此题有两解． sinC=csinA a = 33×12 3 = 3 2

， ∴∠C=60°，或∠C=120°． ∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．

当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．

点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．

分析 欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以

进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．

解 方法一：由余弦定理，得 a ·（b 2+c 2—a 22bc ）=b ·（a 2+c 2—b 2

2ac ）

， ∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ．

∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ．

∴a 2－b 2=0，或c 2－a 2－b 2=0．

∴a=b ，或c 2=a 2+b 2．

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．

方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．

∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或2A=π－2B ． ∴A=B ，或A+B=π2

． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．

例3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，

BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．

分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的

面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需

求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程．

解 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积

S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12

BC ·CD ·sinC ． ∵A+C=180°， ∴sinA=sinC ．

故S=12

（2×4+6×4）sinA=16sinA ． 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·ADcosA=20－16cosA ．

在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ．

∴20－16cosA=52－48cosC ．

∵cosC=－cosA ， ∴64cosA=－32，cosA=－ 12

． 又∵0°＜A ＜180°，∴A=120°．

故S=16sin120°=8 3 ． 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用． 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b 下端距水平视线a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．

分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB

最大，所以需寻找∠APB 的目标函数．由于已知有关边长，

所以考虑运用三角函数解之．

解 设观察者距墙壁x 米的P 处观察，PC ⊥AB ，AC=b ，BC=a(0＜a ＜b)，

则∠APB=θ为视角． y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =x

a x

b x a x b ⋅+-1 =

b —a x+ab x ≤b —a 2ab ， 当且仅当x= ab x , 即x=ab 时，y 最大．

由θ∈（0，π2）且y=tan θ在（0，π2

）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大． 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． · A B C D O

三、训练反馈：

1．在△ABC 中，已知a= 2 ，b=2，∠B=45°，则∠A 等于 （ A ）

A ．30°

B ．60°

C ．60°或120°

D ．30°或150°

2．若三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为 （ C ）

A ．60°

B ． 90°

C ． 120°

D ． 150°

3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方

位角∠NBC=140°，A 处有灯塔，其方位角∠NBA=110°，

在C 处观测灯塔A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需

航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 （ C ）

A ．10 6 km

B ．10 2 km

C ．10( 6 － 2 ) km

D ．10（ 6 ＋ 2 ）km

4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA=

3 4，则该三角形是 （ A ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形或直角三角形

5．在△ABC 中，已知（b+c ）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ A ）

A ．120°

B ．150°

C ．60°

D ．90°

6．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在 （ B ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

7．△ABC 中，若sinAsinB ＜cosAcosB ，则△ABC 的形状为 ．钝角三角形

8．在△ABC 中，已知c=10，A=45°，C=30°，则b= ．5（ 6 + 2 ）

9．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．1213

10．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 ．π6

11．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，s=5 3 ，