材料设计原理与方法考试答案

1答：

原数据可能含有大量的噪声，去除噪声是有必要的。

原数据可能数据量很大，维数很高，计算机处理起来时间复杂度很高，预处理可以降低数据维度。在模式识别中, 数据的预处理很重要的另一个原因是用于同一分类的各个特征可能差别很大, 例如对金属间化合物的分类, 有的特征量为原子半径, 有的为熔点, 有的则为原子电荷密度。数据间不仅量纲不一样, 其绝对值大小有时会有几个数量级之差。因此, 应用表度化方法使个特征量变化幅度处于同一水平上。

最常用的预处理方法是标准化处理(autoscaling), 设a ij 为原始数据

a n a i ij j n

-

==∑11 ( 1)

s a a i n ij i j n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=∑112

1_ ( 2) x a a s ij ij i i =

-_ ( 3)

X x x x x x x x x x n n m m mn =⎤⎦

⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢111212122212........::....:.... ( 4) 其中x ij 为标准化数据,经过标准化处理的变量权重相同,均值为零, 方差为1。

2答：

（一）蒙特卡罗方法的基本思想

蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概率统计理论为基础的一种方法。 当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。可以把MC 解题归结为3个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量

（二）蒙特卡罗方法的特点

蒙特卡罗方法在实际的运用当中具有以下几个特点：

① 够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程

蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。

② 受几何条件限制小

在计算s 维空间中的任一区域D s 上的积分，无论区域D s 的形状多么特殊，只要能给出描述D s 的几何特征的条件，就可以从D s 中均匀产生N 个点

③收敛速度与问题的维数无关

由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的收敛速度为)(2/1-N O ，与问

题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。此外，在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。（三）蒙特卡罗方法的局限性

蒙特卡罗方法的局限性主要包括三方面。首先，收敛速度慢。蒙特卡罗方法的收敛为N

O，一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数少（三维以下）的问题，不(2/1

)

如其他方法好。其次，误差具有概率性。由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。随机数选择问题是蒙特卡罗方法的局限性。在运用在运用蒙特卡罗算法求解定积分的解时，程序中的核心问题是随机数发生器的选用，选用不同的随机数发生器对定积分的计算结果有着不同的计算精度。数学上，对重积分和定积分的传统计算方法是将复杂的重积分和定积分化简为类次积分，来求原函数和积分结果。这种数学方法在理论上没有任何问题，但是在实际应用中，原函数难以得到，或者是原函数根本不能用初等函数来表示，而蒙特卡罗方法为此提供了一个新的途径，它是利用计算机的计算快速和计算高精度来模拟物理上的随机投点实验，最后通过概率计算来解决问题。蒙特卡罗方法中的关键之处是随机数发生器的选用。其选择共有三种方法：（1）乘同余法：这种方法在初始值给定时整个随机数数列就已经确定，但是整个随机数数列仍具有随机特性。人们通过大量的研究发现可通过选择恰当的数值使得乘同余法的周期可以达到满周期。（2）VEN DER法。（3）取小数法：其原理是将前一次随机数平方后的数，取其小数点后第一个非零数字后面的尾数作为下一个所求随机数。此算法简单易读，除初值外，没有其他参数，并且计算过程与初值的取值关系不大，几乎可以取所有的非负有理数和非平方数（即该数的开根是无理数）；只要取得一个适当的种子，该算法所得到的随机数序列就具有周期长，不易退化，统计性质好的优点。通过随机数发生器对蒙特卡罗算法求解定积分的影响的比较试验，得到了可以满足模拟要求的随机数发生器----乘同余法

（四）蒙特卡罗方法的主要应用范围

蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面，特别适用于在计算机上对大型项目、新产品项目和其他含有大量不确定因素的复杂决策系统进行风险模拟分析。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。

3答：量子化学中的基组是用于描述体系波函数的若干具有一定性质的函数。基组是量子化学从头算的基础，在量子化学中有着非常重要的意义。基组的概念最

早脱胎于原子轨道，随着量子化学的发展，基组的概念已经大大扩展，现已不局限于原子轨道的原始概念。在量子化学计算中，根据体系的不同，需要选择不同的基组，构成基组的函数越多，基组便越大，计算的精度也越高，计算量也随之增大。

1.斯莱特型基组

斯莱特型基组就是原子轨道基组，基组由体系中各个原子中的原子轨道波函数组成。 Slater 轨道的选取形式为

（2.24）

的函数，这里A 是归一化常数

n 、l 、m 依次为主量子数、角量子数和磁量子数，ζ称轨道指数．可以用拟合的办法选取ζ，使(2.24)更接近真正的原子轨道，下面是对简单的双原子分子氮化氢HF 的计算实例，

计算时将F 原子核固定在原点，H 位于(0，0，R)，R 是键长1.733au 或0.9171Å这里au 表示原子单位，即玻尔半径a 。．选取基集合为F 原子的1s ，2s ，2p x ，2p y 和2p z 轨道，以及H 原子的1s 轨道．这是最小基集合轨道．采用的Slater 函数为

对F ：

对H ：

而 ζ1＝8.7；ζ2＝2.62；ζ3＝1.0。这是闭壳层分子，总共10个电子，共占有5个轨道．6个基函数得到6阶的久期方程组．经过6次迭代收敛．在迭代过程中总能量的变化如下： 第一次迭代：-103.93973au 第二次迭代：-104.66070au 第三次选代：-104.67676au 第四次迭代：-104.67184au 第五次迭代：-104.67184au 第六次迭代：-104.67184au 最终得到的分子轨道总能量和分子波函数系数i C 见表2.2-1