3.1.1两角差的余弦公式教案
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3.1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构
及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点
重点两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点探索过程的组织和引导。
四、学情分析
之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角 的正弦余弦值来表示 ，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
解法1：
解法2：
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1） ； （2）百度文库
（让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得
又由 ， 是第三象限角，得
所以
让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
变式训练：
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
九、板书设计
两角差的余弦公式
1.三角函数线法 2.向量法
例1 变式训练 例2 变式训练
当堂训练1. 2.
3.4.
十、教学反思
本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、
猜想、论证的数学化的过程）的理解。
问题：（1）能不能不用计算器求值： ， ，
（2）
设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角 、 、 的终边。
②怎样作出角 的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
（1）设角 终边与单位圆地交点为P1， 。
（2）过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。
（3）过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用.
2.求值
3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
五、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
六、课前准备
1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。
由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有
因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。
于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）
（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4
(设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)
七、课时安排：1课时
八、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
教师问：想一想:学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)
那么
OA表示 ，AP表示 ，并且
于是OM=OB+BM
=OB+CP
=OA +AP
=
最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：
、 、 都是锐角，且
2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
2怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
3对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构
及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点
重点两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点探索过程的组织和引导。
四、学情分析
之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角 的正弦余弦值来表示 ，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
解法1：
解法2：
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1） ； （2）百度文库
（让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得
又由 ， 是第三象限角，得
所以
让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
变式训练：
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
九、板书设计
两角差的余弦公式
1.三角函数线法 2.向量法
例1 变式训练 例2 变式训练
当堂训练1. 2.
3.4.
十、教学反思
本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、
猜想、论证的数学化的过程）的理解。
问题：（1）能不能不用计算器求值： ， ，
（2）
设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角 、 、 的终边。
②怎样作出角 的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
（1）设角 终边与单位圆地交点为P1， 。
（2）过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。
（3）过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用.
2.求值
3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
五、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
六、课前准备
1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。
由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有
因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。
于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）
（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4
(设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)
七、课时安排：1课时
八、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
教师问：想一想:学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)
那么
OA表示 ，AP表示 ，并且
于是OM=OB+BM
=OB+CP
=OA +AP
=
最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：
、 、 都是锐角，且
2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
2怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
3对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。