3.1.1两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：（一）导入：通过求柴河林业局东山公园照明灯的高度，引出课题，同时激发学生学习兴趣 问题探究：如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示cos(α-β)？思考：你认为会是cos(α-β)=cos α-cos β吗?根据带特殊值可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：教材上用两种方法探索了两角差的余弦公式，第一种方法是利用单位圆上的三角函数线知识探索 第二种方法是利用向量知识探索。
分别将两种方法展示在幻灯片上，请同学们提出问题，如有不明白的问题，由班级讨论解决，同时教师也可提出疑问：对第一种探索方法：以上结果为α、β、α-β均为锐角，且α>β的情况下得到的，此式是否对任意角都成立呢？第二种探索方法：此公式对任意角α，β都成立吗？得出结论：两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-学以致用：利用差角余弦公式求cos15的值.解：分析：把15 构造成两个特殊角的差.()12c o s 15c o s 4530c o s 45c o s 30s i n 4530222=-=+=+⨯ ()cos15cos 6045=-点评：把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，要学会灵活运用.（三）例题讲解例1、的值。
），求，（，已知)4cos(253cos απππαα-∈-=例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β=- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：若将例2中的条件），（ππα2∈去掉，对结果和求解过程会有什么影响？ （四）练习：1、不查表计算下列各式的值：2、教材P127页1、3、4题3、练习册： P106： （备用题）的值。
3.1.1两角差的余弦公式(教、优秀教案)
3.1.1 两角差地余弦公式
一、教材分析 《两角差地余弦公式》 是人教 A 版高中数学必修 4 第三章 《三角恒等变换》 第一节 《两
角和与差地正弦、余弦和正切公式》第一节课地内容
.本节主要给出了两角差地余弦公式地
推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应地结论
.b5E2RGbCAP
三、解答题、
6.已知 sin
2,
3
, 3 cos 3 ,
2
4
0, ，求 cos( 2
) 地值 .
版权申明
本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 . 版权为个人所有
This article includes some parts, including text, pictures,
9 / 11
最后要提醒学生注意，公式推导地前提条件：
、、
都是锐角，且
2. 向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
② 怎样利用向量数量积地概念和计算公式得到结果
.
③ 对探索地过程进一步严谨性地思考和处理，从而得到合理地科学结论
.
设计意图： 让学生经历利用向量知识解决一个数学问题地过程，
体会向量方法解决数学
设计意图： 由给出地背景素材， 使学生感受数学源于生活，又应用于生活， 唤起学生解
决问题地兴趣， 和抛出新知识引起学生地疑惑，在兴趣和疑惑中，
激发学生地求知欲， 引导
学习方向 .5PCzVD7HxA
（二）、研探新知
1 / 11
个人收集整理 仅供参考学习
1. 三角函数线法： 问： ①怎样作出角
、、
地终边 .
3.1.1 两角差的余弦公式 教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
二、教学重点难点重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
三、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角α、β，的正弦余弦值来表示cos(α-β)，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路本节课利用向量的数量积运算的定义来推导两角差的余弦公式，在学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两种不同的途径探索、推导公式。
六、教学过程（一）新课导入某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为60米，从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度。
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值。
我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。
若,αβ为两个任意角, 则Cos()Cos Cos αβαβ-=-成立吗？ 令60,30αβ=︒=︒，显然Cos(6030)Cos60Cos30︒-︒≠︒-︒154530,Cos15Cos(4530)︒=︒-︒∴︒=︒-︒Q 。
3.1.1两角差的余弦公式教学设计
第三章 三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式主备教师:杨宝贵一、内容及其解析本节的内容是《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
这一部分的知识是在之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
学习这一部分的内容的关键是要理解透前面的知识，进而推导这三个公式，教科书中给出了推导公式的过程，都是借助前面的知识推导而得。
学习这一部分的内容要熟悉各个公式及其推导过程，并熟悉他们内在联系。
二、目标及其解析（一）目标定位（1)了解两角差的余弦公式的推导过程.（2）掌握两角差的余弦公式的应用.（二）目标解析(1)余弦公式:C αβ-（）简记（2）要熟记两角差的余弦公式的结构特征。
三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生难以理解余弦公式推导过程。
产生这一个问题的原因是学生前面学习的知识没有掌握好，忘记了正弦与余弦之间存在的一些关系。
这样老师只能是边讲边回顾，尽可能让学生理解，最后达到应用的效果。
四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中为了增加教学容量准备使用多媒体辅助教学。
五、教学过程问题 一：如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos()αβ+呢？设计意图:直接提出问题,让学生明确目标.师生活动:以以下小问题串的形式完成.小问题1：你认为cos()cos cos αβαβ-=-吗？结论：不妨以特例作验证，容易发现cos30cos(6030)cos60cos30︒=︒-︒≠︒-︒因此cos()cos cos αβαβ-≠-。
小问题2：你认为要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？结论： 由于这里涉及的是三角函数的问题，是α-β 这个角的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识。
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.三、教学设计（一）导入新课(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题1：出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.图2问题2：教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =c osθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题3：:教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题4：对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业。
教学设计2：3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等.三、教学过程：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.（三）例题讲解例1.利用差角余弦公式求cos15的值.解：()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+= 例2.已知sin α＝45，α∈(π2，π)，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值． 解：由sin α＝45，α∈(π2，π)，得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35. 又由cos β＝－513，β是第三象限角，得 sin β＝－1－cos 2β＝－1－(－513)2＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－35)×(－513)＋45×(－1213)＝－3365. （四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）课堂检测：1．cos(－75°)的值是( )A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.6＋24【解析】cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝22×⎝⎛⎭⎫－12＋22×32＝6－24，故选C. 【答案】C2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( ) A ．－6365 B ．－3365C.6365D.3365【解析】∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 【答案】A3．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小． 解：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437. 因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17. 因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π2， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 因为0<β<π2， 所以β＝π3.。
教学设计1：3.1.1 两角差的余弦公式
必修四第3章 三角恒等变形 3．1.1 两角差的余弦公式教学目的：知识目标：掌握应用两角差的余弦公式求三角函数值 能用所学知识解决有关综合问题能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值 教学难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值 教学过程： 一、复习准备：上节课我们学习了两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
这节课我们将学习一下如何应用两角差的余弦公式求三角函数值 例一： 用两角差的余弦公式证明问题（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β证明（1） cos(π—β) ＝ cosπ·cosβ＋sinπ·sin β＝－1·cosβ +0·sinβ＝－cosβ 左边=右边 所以cos(π—β)＝－cosβ得证证明（2） cos(2π—β) ＝ cos2π·cosβ + sin 2π·sinβ＝1·cosβ + 0·sinβ＝cosβ 左边=右边 所以cos(2π—β)＝cosβ得证 前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 例二: 用两角差余弦公式求cos15°.解法一:cos15° ＝cos(45°—30°)＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°12⨯+解法二: cos15°= cos(60°—45°)= cos60°·cos45°＋sin60°·sin45° （分成17°-2°是否可行?） 练习：证明: cos(α＋β)= cosα·cos β－sinα·sinβ思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β）证明:∵ cos (α＋β)= cos [α－(- β）]=cosα·cos( -β) +sin α ·sin(-β)= cosα·cosβ－sinα·sin β ∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ 课后作业1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3、利用和、差角余弦公式求、的值.解：6cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304-=+=-=6cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15cos(6045)=-，要学会灵活运用.4、已知4sin 5α=，(,)2παπ∈5,cos 13β=-是第三象限角， 求cos()αβ-的值. 解：因为(,)2παπ∈，4sin 5α=由此得3cos5α==- 又因为5cos 13β=-，β是第三象限角，所以12sin 13β==- 所以33cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ-=+=-课后小结：cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ板书设计：cos 75cos15。
高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道cos 452=o，cos302=o ，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=o o o 大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-o o 呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75o 、cos15o的值.解：分析：把75o 、15o 构造成两个特殊角的和、差. ()1cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=o o o o o o o ()1cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+==o o o o o o o 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-o o o ，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα ⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解: ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．。
两角差的余弦公式教案
《3.1.1两角差的余弦公式》德育渗透教案执笔者：黄晓如 审核人：李培庆一、教学内容：人教版必修4 P 124-1271、教材分析：这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。
教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
2、学情分析：本课时面对的学生是高一年级的学生，而且针对的是我们学校文科B 层学生，接受理解能力不是很好，所以只采用向量的方法来推导。
着重在于让学生理解，并学会应用。
二、教学三维目标：1.知识目标：理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
三、教学重难点1、重点：两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用2、难点：两角差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广*突破措施：先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。
四、教学过程 师：上课 生：老师好！ 师：同学们好，请坐！师：今天我们要学习的是3.1.1两角差的余弦公式（教师板书）师：首先我们来看一下知识链接，大家核对下答案，有问题的我们就讲一下。
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
两角差的余弦公式教学设计
=OAcos+APsin
=coscos+sinsin
cos（-）=coscos+sinsin
用非锐角的特殊角或任意角进行验证
coscos+sinsin等于两向量
OA与OB的数量积
进一步培养学生的探究意识，让学生学会以退为进，思维受阻时怎样转化为直角三角形或单位圆中构造角进行讨论的方法。
让学生感受化陌生问题为熟悉问题的过程，通过作辅助线，用“割补法”寻找量与量之间的联系．
引导学生构造图中的直角三角形，用三角函数线证明
问题3：上述公式是否对任意角、都成立？
问题4：:仔细观察上面式子的构成要素和结构特征，看看从中会产生怎样的联想？或有什么新的发现？
设∠XOQ=，∠POQ=，作PA⊥OQ，PC⊥AB，AB⊥OX，PM⊥OX，则有∠PAC=∠QOX=，故
cos（-）=OM
=OB+BM
让学生通过观察联想到两角差的公式与向量的关系，为下一步用向量证明公式打下基础。
三、学生自主探究
如何证明
cos（-）=coscos+sinsin
？
、终边与单位圆的交点分别为A(cos,sin),B(cos,sin),
向量OA·OB=coscos+sinsin
cos（-）=OA·OB
所以sin（±）=sin±sin，
cos（±）=cos±cos，
验证：取特殊值，发现猜想错误。
由学生已有知识出发，从联系与变换的角度自然提出接近研究水平的问题，增强学生的问题意识。不用课本上的问题情境改为开门见山直奔主题，能为学生在情境理解上节省时间，更贴近教学主题。
二、明确探索目标及途径
问题2：cos（-）该是怎样的结果呢？若、、+都是锐角的话，同学们能否用学过的知识得出其结果？（本节课只引导学生研究cos（-）的结果）
两角差的余弦公式教案
数学与信息科学学院教案课题两角差的余弦公式专业数学与应用数学指导教师班级姓名学号§ 3.1.1 两角差的余弦公式【教学目标】 1、知识与技能目标掌握采用向量的数量积推导“两角差的余弦公式”；掌握公式的特征；了解特殊角与任意角之间的内在联系。
2、过程与方法目标理解数学中的转化思想，增强学生对向量方法的应用意识。
3、情感、态度、价值观目标培养学生主动参与、合作交流的意识；了解世间万物的联系与转化；养成探索的习惯。
【教学重、难点】重点：两角差的余弦公式的推导及其运用 难点：两角差的余弦公式的探究过程 【教学方法】教法：问题引导法、探究法 学法：自主探究法 【教学手段】多媒体辅助教学 【教学过程】 1、问题引入有一个物体A 位于水平桌面上，而且已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为015，且大小为9N ，物体在力F 的作用下移动了3m ，求物体在力F 下所做的功W ？cos1527cos15W F S =⨯⨯=2、探索新知问：两个向量的数量积可以怎样表示？生答：一种是等于两个向量的模乘以夹角的余弦，另一种是两个分别用坐标表示时，向量数量积是等于横坐标乘积加上纵坐标乘积。
之前研究正弦线，余弦线等都是在单位圆当中研究的，因此，两角差的余弦也在单位圆中讨论。
对于一个给定的坐标系中，以原点为圆心，作出一个单位圆，再以Ox 为始边分别作角α，β，它们的终边与单位圆分别相交于两点1P 、P 。
xyθβα(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)OP P 1图1在图1中，以OP 和1OP 分别作为一个向量，可以知道向量的坐标可以分别表示为：1(cos ,sin )OP αα= ，(cos ,sin )OP ββ=在已知向量坐标的情况下，可以知道向量1OP与向量OP 的数量积可以表示为：1cos cos sin sin OP OP αβαβ=+令两终边的夹角记为θ，即有： 11cos cos cos sin sin OP OP OP OP θαβαβ⋅==+ (1)α与β终边相同时αβ-是与零角终边相同的，即有()2k k z αβπ-=∈，可以知道：cos()cos(2)cos k αβπθ-==(2)α与β终边不相同时 ①当αβ>时图形为图1所示，对于任意角αβ、此时，αβ-是θ终边相同的，则()2+k k z αβπθ-=∈，则有：()()cos cos 2cos k αβπθθ-=+=②当αβ<时同理，由()2k k z αβπθ-=-∈以及余弦函数是偶函数，可得：()()cos cos cos αβθθ-=-=综上所述：对任意角α与β，两角差的余弦公式都可以表示为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3、例题讲解例1：已知4sin 5α=，(,)2παπ∈，5cos 13β=-，且β是第三象限角，求cos()αβ-的值。
高中数学_3.1.1 两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.1 两角差的余弦公式教学设计一教学目标知识与能力：理解用向量方法推导两角差的余弦公式并能够初步运用。
过程与方法：在两角差的余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用，分类讨论思想、化归思想的运用。
情感与态度：通过主动参与、独立探索、激发学习兴趣，形成探究、证明、应用的科学学习方式。
二教学重点难点重点：两角差的余弦公式的推导与运用难点：两角差的余弦公式的推导过程的组织与适当引导三教学方法1 通过教师设问引导，学生自主探究，小组合作、交流与讨论，培养学生的自学能力和分析解决问题的能力。
2通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论的授课方式，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学。
四教学流程五 教学情境设计问题设计意图 师生活动（一） 复习回顾 导入新课点坐标为？？？由三角函数的定义知，为轴的垂线，垂足作过点点的终边与单位圆交于已知角P MP OM M x P P ==, ,.1α？则，其夹角为已知单位向量=•==b a y x b y x a θ),,(),,(.22211？？？=-=-=-)2cos()cos()2cos(.3βπβπβπ?)cos(22=-βααπππ，则任意角换成、、思考：若将接近学生认知水平地提出问题，切合本节课的主题。
教师板书课题，学生思考回答，培养学生温故知新的习惯，引导学生思考两角差的余弦如何表示。
（二）分析问题你认为公式会是βαβαcos cos )cos(-=-吗？（1）使学生明确常犯的直觉性错误为什么是错误的。
（2）统一对探究目标中“恒等”要求的认识让学生自己动脑，动手验证，从而认识要探索的公式在“恒等”方面要求的意义。
（三）解决问题（三角函数线法） 怎样联系单位圆上的三角函数线来探 索公式?（1）加强新旧知识的联系性。
（2）使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识。
让学生亲身经历探索的过程： (1)怎样作出角βαβα-,,的终边；(2)怎样作出角βα-的余弦线(OM)以及角βα,的正弦线、余弦线；(3)怎样利用几何直观寻求OM 的表达式。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计主讲教师：卫金娟教学目标1、知识目标：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
学情分析：1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。
教学难点：两次探究过程的组织和引导。
教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式教学准备：多媒体、圆规，三角板教学流程：引入问题，提出探究明确途径，组织和引导学生自主探究例题、练习讲解，深化公式的理解与运用小结作 业教学过程（同学们好，请坐！今天大家这么精神，我想考你们一个问题：cos15︒等于多少？） 一、设置悬念、引入课题（1分钟）问题：在初中时，我们知道2245cos =︒，2330cos =︒，而)3045cos(15cos ︒-︒=︒，那么大家猜想一下，︒15cos 等于多少呢？是不是等于︒-︒30cos 45cos 呢？这就是我们今天要学习的内容：两角差的余弦公式. 二、探究新知，共同学习根据刚才的设想，我们把问题一般化，首先来做一个猜想：（1-2分钟）猜想：设αβ、是任意角，则cos()αβ-=cos cos αβ-恒成立吗？反例验证.（我们换一组角来验证一下，反例验证6030︒︒、）结论：那么如何用αβ、的函数值来表示cos()αβ-呢？我们来做下面的探究活动。
两角差的余弦公式教案
§3.1.1两角差的余弦公式教案一． 教材分析和目标：本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。
1. 知识与技能(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。
(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
2. 过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3. 情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二．教学重点、难点：重点：用向量法推导两角差的余弦公式以及公式的简单应用。
难点：两角差的余弦公式探索与证明。
教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。
学法：自主探究法三．教学流程：四．教学情境设计1.建立联系，引起注意 简单回顾：问题1：= 60cos = 45cos ()=- 4560cos ？为何？联系，注意什么？猜测，探索何用？例题，示范如何？练习，作业问题2：cos( 2π —β)＝ cos( π —β)＝ =⎪⎭⎫⎝⎛-βπ2cos =⎪⎭⎫⎝⎛-βπ4cos ？ 产生疑问，归结探索任意角βα,，()βα-cos 的结果，引出课题 2.猜测，探索猜测：cos(α－β)＝cos α－cos β？ 反例说明不一定成立，“恒等”的要求猜想结果应该由cos α，cos β，sin α，sin β组成，寻找之间的关系可以回归定义，用三角函数线探究 探索：一．用单位圆上的三角函数线探究：角α的终边与单位圆交于点P ，则：αcos =OM 余弦线αsin =MP 正弦线过程提问：①如何作角βαβα-,,的终边②如何作角βα-的余弦线以及角βα,的正弦线，余弦线③如何利用几何直观寻求OM 的表达式先带领学生探索，再用动画演示过程前提为βαβα-,,为锐角，用几何画板演示非锐角时的情况 二．用向量的数量积探索：独立思考以下问题：(1)向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅（2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→a OP 1( ) , ==→b 2OP ( )则=⋅b a _____________a =→_____________b =→过程：①结合图形，选择哪几个向量，如何表示？②如何利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果③对探索结果进一步严格的思考和处理结合几何画板的图形展示α―β与向量夹角的联系与区别 如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=实际上，当βα-为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)c o s (c o s βαθ-=。
高中数学四 3.1. 1 两角差的余弦公式 【教案】
必修四第三章 3。
1。
1 两角差的余弦公式【教学目标】
1.知识与技能：
通过两角差的余弦公式的探究及简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能。
并为建立其他和（差)角公式打好基础。
2。
过程与方法：
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力。
3。
情感态度价值观：
使学生经历数学知识的发现、创造的过程。
体验成功探索新知的乐趣,获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识、努力分析问题、解决问题的激情。
【重点难点】
1.教学重点：两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用.
2。
教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。
【教学策略与方法】
1。
教学方法：合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.
2。
教具准备:多媒体【教学过程】
() =-或
cos4530
()
=-
cos15cos6045
3sin 5cos αβ==)54(cos(⨯-=-∴α课堂练习：。
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式教案------张金换一 教学目标1.掌握用单位圆法建立两角差的余弦公式。
2.通过简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础二 教学重难点重点：正确理解两角差的余弦公式的推导过程，并能够灵活运用 难点：掌握两角差的余弦公式的基础运用和技巧应用三 新课引入某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高为BC ，在地平面上有一点A,测得A 、C 两点间距离约为60米,从A 观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°, ∠CAB=15o.求这座电视发射塔的高度.当βα,是任意角时，能不能用βα,的三角函数值把βαβα-或+的三角函数值表示出来呢？下面我们来研究如何让用角βα,的正弦余弦来表示)cos(βα-的问题四 探究新知思考1 设βα,是任意两个角，你能判断)cos(βα-=βαcos cos -恒成立吗？反例 思考2 设想)cos(βα-的值与βα,的三角函数值有一定关系，观察下表数据，得到什么结论？α-等于什么？思考3：一般地，你能猜想)cos(β思考4：（此处涉及三角函数问题，故可考虑联系单位圆上的三角函数线的知识）如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？五公式两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ用－β替换上式中的β，得到两角和的余弦公式：cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ公式的结构特征：.①任意角②同名积③符号反强化练习正向运用公式例1 利用余弦公式求cos15°的值解法一：解法二：（此题即是公式的简单应用，可以提问学生，是学生自身体会公式）例2逆向运用公式例3：1）55cos 10cos 35cos 80cos +2）8cos 8sin 15sin 7cos - 3）19sin 79sin 71sin 11sin +例4：已知31sin )sin(cos )cos(=+++ββαββα，且)2,23(ππα∈求)4cos(πα-（注意公式的形式，在什么样的情况下适合）转化思想：变角例5：已知βα,都是锐角，54cos =α，135)cos(-=+βα，求βcos 的值 （变角：αβαβ-+=)(）（灵活运用公式，深切体会公式的妙处） 思考（1）：若cos α＋cos β＝a ，sin α＋sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？),23,(,53cos ),,2(,32sin ππββππαα∈-=∈=已知)cos(βα-求思考（2）若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？延伸拓展例6 已知0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα且，求证21)cos(-=-βα例7：已知22sin sin =+βα求βαcos cos +补充知识的坐标分别是多少？，在如图所示的单位圆中4321,,,P P P P ()0,11P ()ααsin ,cos 2P ()()()β+αβ+αsin ,cos 3P ()()()β-β-sin ,cos 4P 42314231P OP P OP P P P P ∆≅∆则，连接。
3.1.1两角差的余弦公式教案(示范课)
《3.1.1两角差的余弦公式》教案玉林高中数学科授课人：饶蔼一. 教材分析本节课选自人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节课“3.1.1两角差的余弦公式”。
变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。
两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。
教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。
教材里面没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展.由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.二. 教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.三．教学重、难点1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.四．学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别.五. 教法、学法1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.六. 教学过程（一）创设情境，引入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？答：2445cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？ 答：︒=15cos 8x 米问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；（二）探究归纳，提出猜想问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？ 1. 思考：︒15能否用特殊角表示？ 预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？ 预案2：)4560cos(15cos ︒-︒=︒问：︒-︒=︒45cos 60cos 15cos 是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
《3.1.1 两角差的余弦公式》教案
教学设计一回顾复习（2分钟）在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？问题引入:（4分钟）我们在前面所学三角函数值时就知道，，而，大家猜想一下，等于多少呢？是不是等于？（学生猜测答案）（几何画板演示的答案）根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的，也就是不会等于问：那么会是多少呢？（学生大胆猜测两角差余弦的表达式）［设计意图］：通过问题的提出，吸引学生的兴趣，鼓励学生小组讨论，大胆的进行猜测，让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误．二新知探究（15分钟）（学生拿出小纸片，小组合作，在圆上做出角）归纳：我们发现，通过割补法很难得出两角差的余弦值，那现在应该如何考虑？［设计意图］：引导学生关注两个向量的夹角q与a-b的联系与区别，让学生通过观察，联想到a,b终边与单位圆的交点分别为A(cosa,sina),B(cosb,sinb),同时发现（二）得出新知所以，（三）定义解析（3分钟）1成立条件：是不是对于任意的a，b都适用于差的余弦公式?等价于a-b不属于[0，p]时是否成立？2 结论：归纳为“余余正正符号异”（四）定义巩固（10分钟）例1 利用差角余弦公式求cos15°的值分析：引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．(2)= ．(3)= ．例2 已知是第三象限角，求cos(a-b)的值．分析：注意各角所在象限的符号，对于基础好的学生，把条件去掉，结果又如何？例3 公式逆用求的值［设计意图］：定义，概念结束之后，紧接着应对定义进行巩固，最好的办法就是运用实例。
通过两个既简单又具代表性的题目对公式的应用进行巩固，效果很好，之中还加入了例题的变换条件，扩展学生的思维。
（五）回顾提高（5分钟）刚才我们经历了两角差的余弦公式的完整、曲折探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？（引导学生从思想方法，思路转换等方面去总结提高）公式探究的一般步骤：特殊®猜想®证明根据你所总结的知识，能否证明下面的公式：对于任意的a，b分析：可以把+b看成是-（-b）；或者根据两角差的余弦公式探索过程，重新证明两角和的余弦公式［设计意图］：学生经历探索的过程之后，适当的我们应该做一些总结，而总结的最好方法就是用一些相似的题目去加以巩固提高，培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，这样对培养学生的自学能力的提高有很好的效果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解法2：
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1） ； （2）
（让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。） 解：由 ，得
又由 ， 是第三象限角，得
所以
让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
变式训练：
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
七、课时安排：1课时
八、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的 用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
教师问：想一想:学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)
设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。
由向量数量积的概念,有
由向量数量积的坐标表示,有
因为 、 、都是任 意 角,所以 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ，使得 。
于是对于任意角 、 都有
例1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）
问题：（1）能不能不用计算器求值： ， ，
（2）
设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角 、 、 的终边。
②怎样作出角 的余弦线OM
设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、
猜想、论证的数学化的过程）的理解。
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用.
2.求值
3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点
重点两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点探索过程的组织和引导。
四、学情分析
之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角 的正弦余弦值来表示 ，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
3.1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构
九、板书设计
两角差的余弦公式
1.三角函数线法 2.向量法
例1 变式训练 例2 变式训练
当堂训练1. 2.
3.4.
十、教学反思
本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
那么
OA表示 ，AP表示 ，并且
于是OM=OB+BM
=OB+CP
=OA +AP
=
最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：
、 、 都是锐角，且
2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
2怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
3对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4
(设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
（1）设角 终边与单位圆地交点为P1， 。
（2）过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。
（3）过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
五、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
六、课前准备
1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。