高难度压轴填空题
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1. 在△ABC中，已知
uuur uuur AB＝4， AC＝3， P 是边 BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ＝
_____________
【答案】解析：7
2
BC AP ( AC AB) (AQ QP) (AC AB) AQ (AC AB)
1
( AB AC)7
22 A
P
B Q C
2.已知OA1, OB3,OA OB 0 ，点C在AOB 内，AOC30o.
B
C
uuur uuur uuur
R) ，则m
等于
O A
设 OC mOA nOB( m,n
n 【答案】 3
[ 解析 ] ：法一：建立坐标系，设 C (x, y)
uuur uuur uuur
R) 得则由 OC mOA nOB (m,n
( x, y) m(1,0)n(0, 3)x m
而 AOC300故 tan 300y m y3n x3n
uuur uuur uuur
R) 两边同乘 OA 或 OB 得法二： OC mOA nOB (m, n
OC OA m
3
m
OC
两式相除得
m 23
OC OB3n OC 1
33n n 2
3. 在△ABC中，若AB ? AC AB?CB 4 ，则边AB的长等于22
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2 8
解析： AB ? AC AB?CB 4AB(AC CB) 8 AB
4. 已知点 G 是
ABC 的重心， 点 P 是 uuur
uuur uuur
GBC 内一点， 若 AP
AB
AC ,则
的取
值范围是 ___________ (
2
,1)
3
A
G
B
P C
Q ’’D
解析：
AP
AG GP
2
AD' t GQ'
3
1
( AB AC) t (mGB nGC) ( 其中 0
t 1, m
n 1)
3
=
1
(AB AC) t[ m 1
( AB CB) n
1
(AC
BC)]
3
3
3
=
1
(1 mt) AB
1
(1 nt) AC ，则
2
1 t (2
,1)
3
3
3
3 3
5. 已知 O 为 ABC 所在平面内一点，满足
uuur
2
uuur 2
uuur 2 uuur 2
OA
BC
OB CA
uuur 2 uuur 2
OC AB ，则点 O 是 ABC 的
心 垂心
uuur 2 uuur 2
uuur 2 uuur 2
(OA OB)(OA
OB)
( BC CA)( BC CA) 0 OA BC
OB CA
BA 2OC
0 ，可知 OC
AB ，其余同理
6. 设点 O 是△ ABC 的外心， AB ＝ c ，AC ＝ b ， b 1 2
c 2
→ →
1则 BC · AO 的取值
范围
- 1
,2
4
A
O
B
C
解析：
b 1 2
c 2 1 c 2 2b b 2
0 0 b 2
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BC AO ( AC
AB) AO
bRcos cRcos
bR
b cR c
1 (b
2 c 2 )
2R
2R
2
b 2 b (b
1) 2 1 - 1
,2
2
4
4
7. 在△ ABC 和△ AEF 中， B 是 EF 的中点， AB =EF =1， BC =6，
CA 33 ，若 AB AE
AC AF
2 ，则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于
2 _____
解析：（2007
38.39
3
全国联赛类似 题）因为
AB AE
AC AF 2
，
所 以 AB (AB BE) AC (AB BF ) 2
，
即
2
AB BE
AC AB AC BF
2
2
1 ，
AB
。因为 AB
AC AB 33 1 33 1 36 1，BE
BF
， 所 以
2
33 1
1 BF (AC
AB) 1
2，即 BF
BC
2。设 EF 与 BC 的夹
角为 θ，则有 | BF | | BC | cos θ 2 ，即 3cos θ=2，所以 cos θ
2
ur ur r
ur
ur ur ur ur r ur
r
3 ur
uur 8. 已知向量
, ,
满足 |
| 1 , | | | |, ( ) (
) 0 . 若对每一确定的
,| |的
最大值和最小值分别为
m, n , 则对任意
ur
m n 的最小值是
1
,
2
C
D
B
A
解析：数形结合 .
AB
, A C , BC , AD
,
CD
, BD
CD BD ，点 D 在以 BC 为直径的圆上运动， m
n 就是 BC ，
而 AC BC,AB 1
2BC
1
BC
1
9题相同.
（ A, B, C 共线时取等号）和
2
9. 已知向量 a ， b ，c 满足 | a | = 1 ， | a - b | = | b | ， ( a - c ) ( b - c ) = 0 ，
若对每一个确定的 ，| c
| 的最大值和最小值分别为 ， ，则对于任意的向量 b ， m +
n 的
b
m n
最小值为 _________ ．
3
2
解析：本题和 8完全相同。数形结合，具体参见
8
10.
设 e 1 ,e 2
是夹角为600 的两个单位向量，已知OM
e 1 , ON e 2 ，
OP xOM yON ，若
PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形， 则实数 x y 取值的集
合为 _____________{1} 解析：画图解即可