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专题2-6 圆综合题填空题专题-决胜2020年中考最难压轴题大挑战(解析版

决胜2020年中考最难压轴题大挑战模块二填空题篇专题2-6 圆综合题挑战突破1．（2020•大邑模拟）如图，点A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P，且FG＝FB＝3．则以下四个结论：①BF＝EF；②P A⊥OA；③tan∠P=√23；④OC＝3√2，上述结论中正确的有①②④（填番号）．【点睛】①正确，根据AD∥EB得AGEF =CGCF=GDBF即可证明．②正确，只要证明∠F AB+∠OAB＝90°即可．③错误，求出AH，FH，根据tan∠P＝tan∠AFH=AHFH=22=√24，即可解决问题．④正确，在RT△ADO中利用勾股定理即可求出半径．【解析】解：如图连接AO、AB、BG作FH⊥AD于H，∵EB是切线，AD⊥BC∴∠EBC＝∠ADC＝90°，∴AD∥EB，∴AGEF=CGCF=GDBF，∵AG＝GD，∴EF＝FB故①正确，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BAE＝90°，∵EF＝FB，∴F A＝FB＝FE＝FG＝3，∴∠F AB＝∠FBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠FBA+∠ABO＝90°，∴∠F AB+∠OAB＝90°，∴P A是⊙O的切线，故②正确．∵F A＝FG，FH⊥AG，∴AH＝HG，∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，∴四边形FBDH是矩形，∴FB＝DH＝3，∵AG＝GD，∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH=√AF2−AH2=2√2，∵FH∥PD，∴∠AFH＝∠APD，∴tan∠P＝tan∠AFH=AHFH=122=√24，故③错误，设半径为r，在RT△ADO中，∵AO2＝AD2+OD2，∴r2＝42+（r﹣2√2）2，∴r＝3√2故④正确，故答案为①②④．2．（2020•成都）如图，A ，B ，C 为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB̂=BC ̂，点E 在BC ̂上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与A ′重合，点B 与B ′重合，连接EB ′，EC ，EA ′．设EB ′＝b ，EC ＝c ，EA ′＝p ．现探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当n ＝3时，p ＝b +c ．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当n ＝4时，p ＝ c +√2b ；当n ＝12时，p ＝ c +√6+√22b ．（参考数据：sin15°＝cos75°=√6−√24，cos15°＝sin75°=√6+√24）【点睛】如解答图所示，作辅助线，构造相似三角形．首先，在AE 上取一点D ，使ED ＝EC ，连接CD ，则△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形，所以△ABC ∽△CED ，得到ACBC=CD EC；其次，证明△ACD ∽△BCE ，得到DA EB=AC BC；由EA ＝ED +DA ，整理得到p 的通项公式为：p ＝c +2cos180n•b ．将n ＝4，n ＝12代入，即可求得答案．【解析】解：如解答图所示，连接AB 、AC 、BC ．由题意，点A 、B 、C 为圆上的n 等分点，∴AB ＝BC ，∠ACB =12×360n =180n （度）．在等腰△ABC 中，过顶点B 作BN ⊥AC 于点N ，则AC ＝2CN ＝2BC •cos ∠ACB ＝2cos180n•BC ，∴AC BC=2cos 180n．连接AE 、BE ，在AE 上取一点D ，使ED ＝EC ，连接CD ． ∵∠ABC ＝∠CED ，∴△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形， ∴△ABC ∽△CED ．∴AC BC=CD EC，∠ACB ＝∠DCE ．∵∠ACB ＝∠ACD +∠BCD ，∠DCE ＝∠BCE +∠BCD ， ∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 与△BCE 中，∵AC BC=CD EC，∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ∽△BCE ．∴DA EB=AC BC，∴DA =ACBC •EB ＝2cos 180n•EB ．∴EA ＝ED +DA ＝EC +2cos180n•EB ．由折叠性质可知，p ＝EA ′＝EA ，b ＝EB ′＝EB ，c ＝EC ．∴p ＝c +2cos 180n•b ．当n＝4时，p＝c+2cos45°•b＝c+√2b；当n＝12时，p＝c+2cos15°•b＝c+√6+√22b．故答案为：c+√2b，c+√6+√22b．3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF=13，则点F与点C的最小距离为3√10−1．【点睛】如图取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△F AG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝3，可得FG＝1，推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【解析】解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF=1 3，∴AFAE=13，∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，∵AD＝9，∴AGAD=39=13，∴AFAE=AGAD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B═∠EAF＝90°，∴∠F AG＝∠EAD，∴△F AG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，∵GC=√BC2+BG2=3√10，∴FC≥GC﹣FG，∴FC≥3√10−1，∴CF的最小值为3√10−1．故答案为3√10−1．4．（2020南岗区校级模拟）如图，点O是四边形ABCD内的一点，OB＝OC＝OD，OD⊥AD，当∠BCD＝∠BAD＝75°时，AB：OD的值为√6+√22．【点睛】如图：连接BD．作△BDC的外接圆，首先证明BD＝BA，作BK⊥DO交DO的延长线于点K．设BK ＝m，求出OD，BD（用m表示），即可解决问题．【解析】解：如图：连接BD．作△BDC的外接圆，∵OD＝OB＝OC，∴点O是△BDC的外接圆的圆心，∴∠DOB＝2∠DCB＝150°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD＝15°，∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴∠ADB＝75°，∵∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴BA ＝BD ，作BK ⊥DO 交DO 的延长线于点K ．设BK ＝m ， ∵∠BOK ＝180°﹣∠DOB ＝30°， ∴OB ＝2BK ＝2m ，OK =√3m ，在Rt △DBK 中，BD =√DK 2+BK 2=√(2m +√3m)2+m 2=（√6+√2）m ，∴AB OD=BD OD=(√6+√2)m2m=√6+√22．故答案为√6+√22． 5．（2020•东台市模拟）如图，已知圆O 中，R ＝5，四边形ABCD ，EFGH 均为正方形，∠BOD ＝45°，点A ，H 在⊙O 上，O ，G ，D 三点共线，则小正方形EFGH 的边长＝−3√55+25√30 ．【点睛】如图，连接OA ，DH ，OH ，作DP ⊥OA 于P ，OT ⊥HD 交HD 的延长线于T ，设OA 交CD 于K ．三心两意勾股定理求出AB ，再证明四边形OTDP 是矩形，在Rt △ADK 中求出DP ，再利用勾股定理求出DT ，HT ，可得DH ，设HE ＝EF ＝FG ＝DF ＝y ，在Rt △DHE 中，根据EH 2+DE 2＝DH 2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA ，DH ，OH ，作DP ⊥OA 于P ，OT ⊥HD 交HD 的延长线于T ，设OA 交CD 于K ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCO＝90°，∵∠BOD＝45°，∴∠DOC＝∠CDO＝45°，∴CD＝OC，设AB＝CD＝BC＝OC＝x，在Rt△AOB中，∵AB2+OB2＝OA2，∴x2+（2x）2＝52，∴x=√5（负根已经舍弃），∴CD＝OC=√5，∴DO=√10，∵tan∠AOB=ABBO=12，tan∠HDE=HEDE=12，∴tan∠AOB＝tan∠HDE，∴∠AOB＝∠HDE，∵∠DGA＝∠BOD＝45°，∴∠GDH＝∠DOA，∴DT∥OA，∵DP⊥OA，OT⊥DT，∴PD∥OT，∴四边形OTDP是平行四边形，∵∠T＝90°，∴四边形OTDP是矩形，∵CK∥AB，∴CKAB=OCOB=12，∴CK＝DK=√5 2，∴AK=√AD2+DK2=5 2，∵DP⊥AK，∴DP=AD⋅DKAK=1，∴OT＝DP＝1，在Rt△OHT中，HT=√OH2−OT2=2√6，在Rt△DTO中，DT=√OD2−OT2=3，∴DH＝2√6−3，设HE＝EF＝FG＝DF＝y，在Rt△DHE中，∵EH2+DE2＝DH2，∴y2+（2y）2＝（2√6−3）2，∴y=−3√55+2√305，故答案为−3√55+2√305．6．（2020•锦江区模拟）如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足CFFD =13，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF＝2；③tan∠E=√52；④S△ADE＝7√5．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）【点睛】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：AD̂=AĈ，DG＝CG，继而证得△ADF∽△AED；②由CFFD =13，CF＝2，可求得DF的长，继而求得CG＝DG＝4，则可求得FG＝2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=√54；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积．【解析】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AD̂=AĈ，DG＝CG，∴∠ADF＝∠AED，∵∠F AD＝∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵CFFD =13，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF+CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴GF＝CG﹣CF＝2；故②正确；③∵AF＝3，FG＝2，∴AG=√AF2−FG2=√5，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG =AG DG =√54，∴tan ∠E =√54；故③错误；④∵DF ＝DG +FG ＝6，AD =√AG 2+DG 2=√21，∴S △ADF =12DF •AG =12×6×√5=3√5，∵△ADF ∽△AED ，∴S △ADFS △AED=（AF AD ）2， ∴3√5S △ADE =（√21）2，∴S △AED ＝7√5，故④正确．故答案为：①②④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．注意证得△ADF ∽△AED 是解此题的关键．7．（2020•成都校级模拟）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是AB 的中点，⊙O 过C 、D 两点且分别交边AC 、BC 于点E 、F ，连接CO 、EF ．下列结论：①AE 2+BF 2＝EF 2；②设⊙O 的面积为S ，则254π≤S ≤62536π；③当⊙O 从过点A 变化到过点B 时，点O 移动的路径长为5；④当CO ⊥AB 时，△CEF 面积的最大．其中正确的结论的序号是 ①②④ （把所有正确结论的序号都填上）．【点睛】（1）由中线倍长将三条线段转移到一个三角形当中，然后判定这个三角形为直角三角形即可．（2）要求圆的面积的取值范围，就是求半径的取值范围，而EF 是直径，从而将问题转化为求EF 长度的取值范围．注意到CD长度是不变的，且是圆的一条弦，连接OD由三角形三边关系可知CD就是直径的最小值，由于E点只能在AC上运动，所以当E点取极端位置（与A点或C点重合）时，EF取最大值，由此确定圆面积的取值范围．（3）当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长不为5，此论断描述有误．（4）设CE＝b，CF＝a，由勾股定理得出4a+3b＝25，和为定值，由此考虑利用均值不等式判断出△CEF面积最大时的条件为4a＝3b，再看这一条件能否等价推出CO垂直AB，从而作出判断．【解析】解：（1）如图1，连接DF、DE，延长FD至G，使DG＝DF，连接EG、AG．∵AD＝BD，∠ADG＝∠BDF，从而△AGD与△BFD全等，∴AG＝BF，∠FBD＝∠GAD，∴AG∥BF，∵∠ACB＝90°，∴∠EAG＝90°，∴AE2+AG2＝EG2，又∵EF是直径，∴∠EDF＝90°，∴EF＝EG，∴AE2+BF2＝EF2，故①正确．（2）设圆的半径为R，连接CO、OD，如图1，则CO+OD≥CD，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝10，∴CD＝5，∵CO＝OD＝R，∴2R≥5，∴R≥5 2，∴S≥254π，当E点与C点重合，F与B重合时，如图所示，连接OD交BC与H，设EO＝OD＝x，则OH＝x﹣3在直角三角形OCH中，HC2+OH2＝OC2，即16+（x﹣3）2＝x2，解得x=25 6∴S≤62536π，故②正确；（3）当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长不为5，故此判断描述错误；（4）如图3，设CF＝a，CE＝b，则AE＝6﹣b，BF＝AG＝8﹣a，∵EG＝EF，∴AE2+AG2＝CE2+CF2，即（6﹣b）2+（8﹣a）2＝a2+b2，∴4a+3b＝25，∵4a+3b≥2√12ab，∴12ab≤62596，当且仅当4a＝3b，ab=34时，△CEF取最大值，∵ACBC=34，故△CEF∽△CBA，∴∠OCF＝∠OFC＝∠CAB，∠OCE＝∠OEC＝∠CBA，∴∠OCF+∠CBA＝90°，即CO⊥AB，由此可知④正确．故答案为①②④．8．（2020•海曙区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，AE＝1，点P是对角线BD上一动点，当△APE的周长最小时，过B，P，E三点的圆的直径为15√27．【点睛】连接AC，由正方形的性质可知A和C关于BD对称，再连接CE交BD为P，则此时三角形APE的周长最小，求出P的坐标，即可求出答案．【解析】解：连接AC，连接CE交BD为P，∵四边形ABCD是正方形，∴直线BD是正方形的一条对称轴，∴此时三角形APE的周长最小，∠DBA＝45°，P A＝PC，∵AE＝1，AB＝BC＝4，PM＝BM，∴BE＝3，设P A＝PC＝x，PM＝BM＝a，由勾股定理得：P A2﹣AM2＝PE2﹣EM2，PE2＝PM2+EM2，即x2﹣（4﹣a）2＝（5﹣x）2﹣（3﹣a）2，（5﹣x）2＝（3﹣a）2+a2，解得：x=207，a=127，即PM＝BM=12 7，由勾股定理得：BP=12√2 7，∵∠PBN＝90°，∠PBM＝45°，建立如图坐标系：即C（0，4），B（0，0），D（﹣4，4），E（﹣3，0），则P的坐标为（−127，127），∵直线BD 的解析式为y ＝﹣x ，∴线段PB 的中垂线的解析式为y ＝x +127，线段BE 的中垂线的解析式为x =−32，∴△PBE 的外接圆的圆心O ′（−32，314）， ∴PO ′=√(−127+32)2+(127−314)2=15√214，∴过B ，P ，E 三点的圆的直径为15√27，故答案为：15√279．（2020•成都模拟）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：y ＝kx +3．设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则S △AMN =3225时，k ＝ 2±√6或﹣2 ．【点睛】首先连接DN ．由直径所对的圆周角是直角，可得∠AND ＝90°，易证得△AMN ∽△ABP ；又由OA 与PB 都是⊙C 的切线，易证得四边形OADB 是矩形，把x ＝0代入y ＝kx +3得y ＝3，即OA ＝BD ＝3，然后由勾股定理求得AB ＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．然后分两种情况进行讨论：①当点P 在B 点上方时，由相似三角形的面积比得到k 2﹣4k ﹣2＝0，解关于k 的一元二次方程；②当点P 在B 点下方时，由相似三角形的面积比得到k2+1＝﹣（4k+3），解关于k的一元二次方程．【解析】解：连接DN．∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP，∵OA与PB都是⊙C的切线，∴AD⊥OA，AD⊥PB，∵∠AOB＝90°，∴四边形OADB是矩形，∴OB＝AD＝4，OA＝BD，把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，∴在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5，∵S△ABD=12AB•DN=12AD•BD，∴DN=AD⋅BDAB=125，∴AN2＝AD2﹣DN2＝42﹣（125）2=25625，∴S△AMNS△ABP=(ANAP)2，∴S △AMN ＝（AN AP ）2•S △ABP =AN 2⋅S△ABPAP 2，∵点P 的横坐标为4，且直线P A 的解析式为：y ＝kx +3，∴点P 的纵坐标为：4k +3，当点P 在B 点上方时，∵AP 2＝AD 2+PD 2＝AD 2+（PB ﹣BD ）2＝42+（4k +3﹣3）2＝16（k 2+1），或AP 2＝AD 2+PD 2＝AD 2+（BD ﹣PB ）2＝42+（3﹣4k ﹣3）2＝16（k 2+1），∴S △ABP =12PB •AD =12（4k +3）×4＝2（4k +3），∴S △AMN =AN 2⋅S △ABP AP 2=256×2(4k+3)25×16(k 2+1)=32(4k+3)25(k 2+1)=3225，整理得：k 2﹣4k ﹣2＝0，解得：k 1＝2+√6，k 2＝2−√6；当点P 在B 点下方时，∵AP 2＝AD 2+PD 2＝42+（3﹣4k ﹣3）2＝16（k 2+1），S △ABP =12PB •AD =12[﹣（4k +3）]×4＝﹣2（4k +3）， S △AMN =AN 2⋅S △ABPAP 2=−256×2(4k+3)25×16(k 2+1)=3225，化简得：k 2+1＝﹣（4k +3），解得：k ＝﹣2，综上可得：当S △AMN =3225时，k ＝2±√6或k ＝﹣2．故答案为：2±√6或﹣2．10．（2020•富顺县校级模拟）①半径为13cm圆内的两条平行弦分别为10cm和24cm长，则两条平行弦之间距离是17cm或7cm；②△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，BC＝20cm，点O到BC的距离为6cm，则△ABC的面积是（20√34−60）cm2或（20√34+60）cm2；③两个圆相切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径为3或7；④若O为△ABC的外心，∠C＝n°，用n°表示∠AOB为2n°或360°﹣2n°；⑤OA、OB是⊙O的半径，且互相垂直，延长OB到C，使BC＝OB，CD是⊙O的切线，D为切点，则∠OAD的度数为75°或15°；⑥已知两圆的半径分别为4和5，公共弦长6，则两圆的圆距为4+√7或4−√7；⑦若一个点到圆的最长距离为a，最短距离为b，则此圆的半径a−b2或a+b2．【点睛】①可分AB和CD在O的两旁和同旁两种情况讨论，然后运用垂径定理和勾股定理就可解决问题；②可分圆心O在△ABC的外部和内部两种情况讨论，然后运用垂径定理和勾股定理就可解决问题；③由于两圆的圆心距小于一个圆的半径，因此两圆内切，可分所求圆的半径大于5和小于5两种情况讨论，然后运用切线的性质就可解决问题；④可分点C与点O在AB的同侧和异侧两种情况讨论，然后运用圆周角定理和圆内接四边形的性质就可解决问题；⑤可分点A与点D在直线OC的同侧和异侧两种情况讨论，然后运用切线的性质和特殊三角函数值就可解决问题；⑥可分两圆的圆心在公共弦的两侧和同侧两种情况讨论，然后运用相交两圆的性质和勾股定理即可解决问题；⑦只需可分点在圆内和圆外两种情况讨论即可解决问题．【解析】解：①若AB和CD在O的两旁，如图①a，过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB、OD，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴BM=12AB＝12cm，DN=12CD＝5cm，∵OB＝OD＝13cm，∴OM=√OB2−BM2=5cm，同理ON＝12cm，∴MN＝OM+ON＝5+12＝17（cm），若AB和CD在O的同旁，如图①b，同理可得：MN＝12﹣5＝7（cm）．故答案为：17cm或7cm．②若圆心O在△ABC的外部，连接OA、OB，如图②a，则有OA⊥BC，BD＝DC=12BC＝10，∴OB2＝BD2+OD2＝100+36＝136，∴OB＝2√34，∴AD＝OA﹣OD＝OB﹣OD＝2√34−6，∴S△ABC=12BC•AD=12×20×（2√34−6）＝20√34−60（cm2）．若圆心O在△ABC的内部，连接OA并延长交BC于D，连接OB，如图②b，则有AD⊥BC，BD＝DC=12BC＝10，同理可得：S△ABC=12BC•AD=12×20×（2√34+6）＝20√34+60（cm2）．故答案为：（20√34−60）cm2或（20√34+60）cm2．③不妨设⊙O2的半径为5，由题可得O1O2＝2．∵O1O2＜5，∴两个圆相内切．若⊙O2的半径比⊙O1的半径大，连接AO2，如图③a，则AO2必过点O1．∴AO1＝AO2﹣O1O2＝5﹣2＝3．若⊙O2的半径比⊙O1的半径小，连接AO1，如图③b，则AO1必过点O2，同理可得：AO1＝AO2+O1O2＝5+2＝7．故答案为：3或7．④若点C与点O在AB的同侧，如图④a，则∠AOB＝2∠C＝2n°．若点C与点O在AB的异侧，如图④b，在弦AB所对的优弧上取一点D，连接DA、DB，则有∠C+∠D＝180°，∠AOB＝2∠D．∴∠AOB＝2（180°﹣∠C）＝2（180°﹣n°）＝360°﹣2n°．故答案为：2n°或360°﹣2n°．⑤若点A与点D在直线OC的同侧，连接OD，如图⑤a，∵CD与⊙O相切于D，∴OD⊥DC即∠ODC＝90°．∵BC＝OB，OD＝OB，∴OC＝2OD，∴cos∠DOC=ODOC=12，∴∠DOC＝60°．∵OA⊥OB即∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA=180°−30°2=75°．若点A与点D在直线OC的异侧，连接OD，如图⑤b，同理可得∠OAD＝15°．故答案为：75°或15°．⑥不妨设⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为4．若圆心O1与圆心O2在公共弦AB的两侧，连接AO1、AO2，如图⑥a，则有O1O2⊥AB，AH＝BH=12AB＝3．在Rt△AHO1中，O1H=√O1A2−AH2=√52−32=4．同理可得O2H=√7，∴O1O2＝O1H+O2H＝4+√7．若圆心O1与圆心O2在公共弦AB的同侧，连接AO1、AO2，如图⑥b，同理可得：O1O2＝O1H﹣O2H＝4−√7．故答案为：4+√7或4−√7．⑦若点P在圆外，连接PO交⊙O于点A，延长PO与⊙O交于点B，如图⑦a，则PB ＝a ，P A ＝b ，∴AB ＝PB ﹣P A ＝a ﹣b ，∴OA =12AB =a−b 2．若点P 在圆内，延长OP 交⊙O 于点A ，延长PO 与⊙O 交于点B ，如图⑦b ，同理可得：OA =12AB =a+b 2．故答案为：a−b 2或a+b 2．11．（2020•锦江区校级模拟）如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是AÊ的中点；（2）求证：∠DAO ＝∠B +∠BAD ；（3）若S △CEF S △OCD =12，且AC ＝4，求CF 的长．【点睛】（1）判断出OD ⊥AE ，则利用垂径定理可得出点D 是AÊ的中点；（2）延长AD交BC于H，利用外角可得出∠AHC＝∠B+∠BAD，再由OA＝OD，可得出结论．（3）根据OA＝OC可得出△OCD和△ACD的面积比，从而结合S△CEFS△OCD =12可得出△CEF和△ACD的面积比，判断出△ACD∽△FCE，利用面积比等于相似比的平方即可解出CF的值．【解析】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC，∵OD∥BC∴AE⊥OD，∴D是AÊ的中点（垂径定理）．（2）如图，延长AD交BC于H，则∠ADO＝∠AHC，∵∠AHC＝∠B+∠BAD，∴∠ADO＝∠B+∠BAD，又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DAO＝∠B+∠BAD．（3）∵AO＝OC，∴S△OCD=12S△ACD，∵S△CEFS△OCD=12，∴S△CEFS△ACD=14，∵∠ACD＝∠FCE，∠ADC＝∠FEC＝90°，∴△ACD∽△FCE，∴S△CEFS△ACD=(CFAC)2，即：14=(CF4)2，∴CF＝2．12．已知A，B，P是⊙O上不同的三点，∠APB＝α，点M是⊙O上的动点，且使△ABM为等腰三角形．若α＝45°，则所有符合条件的M共有4个；若满足题意的点M有2个，则α＝90°、60°或120°．【点睛】①分类讨论：当MA＝MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为45°，135°；当AM＝AB，以A为圆心，AB为半径交⊙O于M，此时等腰三角形只有一个，且底角为45°；同理当BM＝BA，满足条件的等腰三角形也只有一个．②当△AMB为直角三角形，且满足题意得到点M只有2个，得到AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠APB为直角，此外当∠APB＝α＝60°，120°也符合题意，故符合条件的α的值有3个．【解析】解：①△ABM为等腰三角形．当MA＝MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为45°，135°，如图1中的M1、M2；当AM＝AB，以A为圆心，AB为半径的圆交⊙O于M3，此时等腰三角形只有一个，且底角为45°；同理当BM＝BA，满足条件的等腰三角形也只有一个，如图1中的M4，所以满足条件的等腰三角形有4个．②由满足题意的M只有2个，得到以AB为直径圆O，则∠APB＝α＝90°，如图2所示．当∠APB＝α＝60°或120°也符合题意，则符合条件的α值有3个：90°、60°或120°．故答案分别为：4；90°、60°或120°．。

中考数学专题17 四川中考填空题压轴专题(解析版)

专题17 四川中考填空题压轴专题【典例1】（2019•眉山）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 4 ．【点拨】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、▱OABC 的面积与|k |的关系，列出等式求出k 值．【解答】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k |，S △OAD =12|k |，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k |，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k |，由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则k2+k 2+12＝4k ，∴k ＝4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．【典例2】（2019•凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE =14AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 4 ．【点拨】先证明△BPE ∽△CQP ，得到与CQ 有关的比例式，设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【解答】解：∵∠BEP +∠BPE ＝90°，∠QPC +∠BPE ＝90°， ∴∠BEP ＝∠CPQ ．又∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BPE ∽△CQP ． ∴BE PC=BP CQ．设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ． ∴912−x=xy ，化简得y =−19（x 2﹣12x ），整理得y =−19（x ﹣6）2+4，所以当x ＝6时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【典例3】（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝√217．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE =√3a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE ，如图所示．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α．又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DE AD =√217．故答案为：√217．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．【典例4】（2019•雅安）已知函数y ={−x 2+2x(x ＞0)−x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为 0＜m ＜14 ．【点拨】直线与y ＝﹣x 有一个交点，与y ＝﹣x 2+2x 有两个交点，则有m ＞0，x +m ＝﹣x 2+2x 时，△＝1﹣4m ＞0，即可求解．【解答】解：直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y ＝﹣x 有一个交点， ∴m ＞0，∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x，△＝1﹣4m＞0，∴m＜1 4，∴0＜m＜1 4；故答案为0＜m＜1 4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．【典例5】（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是﹣6＜M＜6．【点拨】将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，可知b＝a+2，利用对称轴可知：a＞﹣2，从而可知M的取值范围．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，∴0＝a﹣b+c，2＝c，∴b＝a+2，∵−b2a＞0，a＜0，∴b＞0，∴a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6＝6（a+1）∴﹣6＜M＜6，故答案为：﹣6＜M＜6；【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【典例6】（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16√3．【点拨】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P=√34BP2+12×PP'×AP＝24+16√3故答案为：24+16√3【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．【典例7】（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3+√3．【点拨】连接OE ，作OF ⊥DE ，先求出∠COE ＝2∠D ＝60°、OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF =√3，DE ＝2DF ＝2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE ，作OF ⊥DE 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠A ＝150°， ∴∠D ＝30°，则∠COE ＝2∠D ＝60°， ∵CD ＝4， ∴CO ＝DO ＝2，∴OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF ＝2×√32=√3， ∴DE ＝2DF ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积为60⋅π⋅22360+12×2√3×1=2π3+√3，故答案为：2π3+√3．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S =nπr 2360是解题的关键．【典例8】（2019•泸州）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为 9√2 ．【点拨】过D 作DH ⊥AC 于H ，根据等腰三角形的性质得到AC ＝BC ＝15，∠CAD ＝45°，求得AH ＝DH ，得到CH ＝15﹣DH ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D 作DH ⊥AC 于H ， ∵在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15， ∴AC ＝BC ＝15， ∴∠CAD ＝45°， ∴AH ＝DH ， ∴CH ＝15﹣DH ， ∵CF ⊥AE ，∴∠DHA ＝∠DF A ＝90°， ∴∠HAF ＝∠HDF ， ∴△ACE ∽△DHC ， ∴DH AC=CH CE，∵CE ＝2EB ， ∴CE ＝10， ∴DH 15=15−DH 10，∴DH ＝9， ∴AD ＝9√2，故答案为：9√2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例9】（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，直线l ⊥AB ．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是．【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．【解答】解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【典例10】（2019•攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是（47，16），．【点拨】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y=13x+13，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y=13x+13，∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y＝16代入y=13x+13，解得x＝47，∴C5的坐标是（47，16），故答案为（47，16）．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．【典例11】（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt △OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为（﹣22017，22017√3）．【点拨】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，√3），A3的坐标为（﹣2，2√3），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8√3），A6的坐标为（16，﹣16√3），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017√3，故答案为：（﹣22017，22017√3）．【点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．【典例12】（2019•南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB ＝24，BC ＝5．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为（25√2626，125√2626）．其中正确的结论是 ②③ ．（填写序号）【点拨】①由条件可知AB ＝24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD ＝25，证明△DF A ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出．【解答】解：∵点E 为AB 的中点，AB ＝24， ∴OE =12AB =12，∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， ∵∠AOB ＝90°， ∴点E 经过的路径长为90×12×π180=6π，故①错误；当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ， ∵E 为AB 的中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =12，∴S △AOB =12×24×12=144，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD ＝BC ＝5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD ＝DE +OE ＝13+12＝25，设DF ＝x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝90°， ∴∠DF A ＝∠AOB ， ∴∠DAF ＝∠ABO ， ∴△DF A ∽△AOB ∴DF OA =DA AB ，∴x OA=524，∴OA =24x5， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴OD AB =OF OA，∴2524=√252−x 224x 5，解得x =25√2626，x =−25√2626舍去，∴OF=125√26 26，∴D(25√2626，125√2626)．故③正确．故答案为：②③．【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【典例13】（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝√2+√6．【点拨】如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，根据性质的性质得到D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2，∴AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H=√22BE′=√2，在Rt△BCH中，CH=√BC2−BH2=√6，∴CE′=√2+√6，故答案为：√2+√6．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例14】（2019•宜宾）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN=1AC+1CE【点拨】①根据等边三角形性质得出AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，求出∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据∠ABC ＝60°＝∠BCD ，求出AB ∥CD ，可推出△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得∠AFB ＝60°，可求得MFN ＝120°，根据∠BCD ＝60°可解题； ④根据CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，可求得∠CNM ＝60°，可判定MN ∥AE ，可求得MN AC=DN CD=CD−CN CD，可解题．【解答】证明：①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°， ∴∠ACB +∠ACE ＝∠ECD +∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中， {BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ，∠CAD ＝∠CBE ，在△DMC 和△ENC 中， {∠MDC =∠NEC DC =BC ∠MCD =∠NCE =60°， ∴△DMC ≌△ENC （ASA ）， ∴DM ＝EN ，CM ＝CN ，∴AD ﹣DM ＝BE ﹣EN ，即AM ＝BN ； ②∵∠ABC ＝60°＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠CDF ， ∵∠AFB ＝∠DFN ，∴△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件；③∵∠AFB +∠ABF +∠BAF ＝180°，∠FBC ＝∠CAF ， ∴∠AFB +∠ABC +∠BAC ＝180°， ∴∠AFB ＝60°， ∴∠MFN ＝120°， ∵∠MCN ＝60°， ∴∠FMC +∠FNC ＝180°； ④∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC ＝60°， ∵∠DCE ＝60°， ∴MN ∥AE ， ∴MN AC=DN CD=CD−CN CD，∵CD ＝CE ，MN ＝CN ， ∴MN AC =CE−MN CE ，∴MNAC=1−MNCE ，两边同时除MN 得1AC=1MN−1CE，∴1MN=1AC+1CE．故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．【典例15】（2019•资阳）如图，在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′＝95．【点拨】如图，作CH ⊥AB 于H ．首先证明∠ACB ＝90°，解直角三角形求出AH ，再证明CE ′＝AH 即可．【解答】解：如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE ′C ＝∠AEC ＝90°，∠ACE ＝∠ACE ′， ∵CE ′∥AB ， ∴∠ACE ′＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD ， ∴DC ＝DA ， ∵AD ＝DB ， ∴DC ＝DA ＝DB ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB =√AC 2+BC 2=5， ∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，∴AH =√AC 2−CH 2=95， ∵CE ′∥AB ，∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°， ∵∠AHC ＝90°， ∴∠E ′CH ＝90°， ∴四边形AHCE ′是矩形， ∴CE ′＝AH =95，故答案为95．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【典例16】（2019•达州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为√34+√2．其中正确判断的序号是 ①③④ ．【点拨】①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC 边一定，只要其他三边和最小便可，作点B 关于y 轴的对称点B ′，作C 点关于x 轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：√B′M2+C′M2+√BM2+CM2=√32+52+√12+12=√34+√2，故此小题结论正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【典例17】（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y=12x经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为y=12x2−114x+3．（填一般式）【点拨】点C （0，3），反比例函数y =12x 经过点B ，则点B （4，3），由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可求解．【解答】解：点C （0，3），反比例函数y =12x经过点B ，则点B （4，3），则OC ＝3，OA ＝4， ∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，P A ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2，由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，解得：x =32，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：{c =394a +32b +c =014a +4b +c =0，解得：{ a =12b =−114c =3，故答案为：y =12x 2−114x +3．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG 的长度，是本题解题的关键．【典例18】（2018•凉山州）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA ＝4，将△AOC 绕O 点，逆时针旋转90°得到△A 1OC 1，A 1C 1，交y 轴于B （0，2），若△C 1OB ∽△C 1A 1O ，则点C 1的坐标（43，83）．【点拨】如图作C 1H ⊥x 轴于H ．由△C 1OB ∽△C 1A 1O ，推出OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，由tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1K A 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作C 1H ⊥x 轴于H ．∵△C 1OB ∽△C 1A 1O ， ∴OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，∵tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1HA 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，∴A 1C 1=√5m ，OC 1=√m 2+(2m −4)2， ∴√5m ＝2√m 2+(2m −4)2，解得m =83或85（舍弃），∴C 1（43，83）．（本题也可以证明tan ∠OC 1H =OH HC 1=12，S 设C 1（m ，2m ），根据A 1H ＝4m ，构建方程）【点睛】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【精练1】（2019秋•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为．【点拨】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上， ∴xy ＝﹣6，易得四边形PMON 为矩形， ∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6，故答案为6．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．【精练2】（2016秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，则△ADN 的最小面积为．【点拨】设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ，当AM ⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM ∽△MCN ，利用相似比求CN ，根据三角形的面积公式表示出△ADN 的面积，用二次函数的性质求面积的最小值．【解答】解：设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ， ∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB +∠NMC ＝90°，∠NMC +∠MNC ＝90°， ∴∠AMB ＝∠MNC ，又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABM ∽△MCN ，则AB MC=BM CN，即11−x=x CN，解得：CN =x(1−x)1=x （1﹣x ）， ∴S △ADN ＝S 正方形ABCD =12×1×[1﹣x （1﹣x ）]=12x 2−12x +12， ∵12＜0，∴当x =12cm 时，S △ADN 最小，最小值是4×12×12−(−12)24×12=38（cm 2）．故答案是：38cm 2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．【精练3】（2019秋•香坊区期末）等边△ABC 中，点P 是BC 所在直线上一点，且PC ：BC ＝1：4，则tan ∠APB 的值是．【点拨】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，然后分别利用正切的定义求解即可．【解答】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ，在Rt △ADP 中，tan ∠APD =AD DP =2√3a 3a =2√33；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，在Rt △ADP ′中，tan ∠AP ′D =AD DP′=2√3aa =2√3．故答案为2√3或2√33．【点睛】本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．【精练4】（2019秋•长清区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC =√2，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与点B 、C 重合），且∠ADE ＝45°，若△ADE 是等腰三角形，则CE ＝．【点拨】可得∠B ＝∠C ＝45°，可证得△DCE ∽△ABD ，由于D 与B 、C 不重合，显然∠ADE ＝∠AED＝45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：①AD＝DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值．【解答】解：∵点D不能与B点重合，∴AD＝AE不能成立，（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，即B与D重合，这与已知条件矛盾）．①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图1），∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），且E也为AC边的中点，∴CE＝AE=√2 2；②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图2），∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC +∠B +∠BAD ＝180，∠DEC +∠C +∠CDE ＝180°， ∴∠ADC +∠B +∠BAD ＝∠DEC +∠C +∠CDE ， ∴∠EDC ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△DCE 此时AD 与DE 为对应边，∴△ABD ≌△DCE ，DC ＝AB =√2， CE ＝BD ＝BC ﹣CD ＝2−√2．因此CE 的长为2−√2或√22．故答案为：2−√2或√22．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解答时证明三角形相似是关键．【精练5】（2019秋•江岸区校级月考）我们把函数y ={x 2−2x −3(x ≥0)x 2+2x −3(x ≤0)的图象记为C ，若直线y ＝x +b与图象C 有且只有三个公共点，则b 的取值是．【点拨】画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点（0，﹣3）时；直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时．【解答】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示：当直线经过点（0，﹣3）时，此时函数与直线y ＝x +b 恰有三个交点， ∴b ＝﹣3，当直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时， ∴x 2+2x ﹣3＝x +b ， ∴b =−134； ∴b ＝﹣3或b =−134时两图象有三个交点；故答案为−134或﹣3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【精练6】（2018秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（填写所有正确判断的序号）【点拨】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴−b2a=−1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确；∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，c＝﹣3a，∴6a﹣2b+c＝6a﹣4a﹣3a＝﹣a＜0，故④正确；∵抛物线对称轴x＝﹣1，∴x＝﹣0.5与x＝﹣1.5的函数值相等，∵﹣1.5＞﹣2，∴则y1＜y2；故⑤错误；故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．【精练7】（2019春•东海县期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接BQ，若P A＝3，PB＝4，PC＝5，则四边形APBQ的面积为【点拨】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝3，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S＝S△BPQ+S△APQ进行计算．四边形APBQ【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝3，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，且AC＝AB，AP＝AQ∴△APC≌△ABQ（SAS），∴PC＝QB＝5，在△BPQ中，∵PB2＝42＝16，PQ2＝32＝9，BQ2＝52＝25，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ=12BP×PQ+√34×PQ2＝6+9√34故答案为：6+9√3 4【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是本题的关键．【精练8】（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在AB̂上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．【点拨】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积=90⋅π×102360−8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【精练9】（2019•虞城县一模）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为．【点拨】根据题意和函数图象可以得到BE和BC的长，然后根据当t＝5时，y＝10可以得到AB的长，然后根据QD平分∠PQC，可得DG＝DC，进而可以求得相应的t的值．【解答】解：由题意可得，BE ＝5，BC ＝12， ∵当t ＝5时，S ＝10， ∴10=5×AB2，得AB ＝4，作EH ⊥BC 于点H ，作EF ∥PQ ，P 1Q 2∥EF ，作DG ⊥P 1Q 2于点G ，则EH ＝AB ＝4，BE ＝BF ＝5， ∵∠EHB ＝90°， ∴BH =√52−42=3， ∴HF ＝2，∴EF =√42+22=2√5， ∴P 1Q 2＝2√5，设当点P 运动到P 1时，Q 2D 平分∠P 1Q 2C ，则DG ＝DC ＝4，P 1D ＝17﹣AE ﹣EP 1＝12﹣3﹣（t ﹣5）＝14﹣t ， ∴(14−t)×42=2√5×42，解得，t ＝14﹣2√5，故答案为：14﹣2√5．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【精练10】（2018秋•市中区期末）将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，则点B 2019的横坐标是．【点拨】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2019的横坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），当y＝0时，x＝﹣1，∴直线与x轴的交点（﹣1，0）∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B2的横坐标为1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的横坐标为1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，B5的横坐标为25﹣1，……B2019的横坐标为22019﹣1，故答案为：22019﹣1．【点睛】此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21﹣1，B2的横坐标为22﹣1，B3的横坐标为23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，……进而得到B n的横坐标为2n﹣1．【精练11】（2019•鄂尔多斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得，第56个点的坐标为．【点拨】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第56个点的坐标．【解答】解：由题意可得，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，∵56＝（1+2+3+…+10）+1，∴第56个点的坐标为（11，10），故答案为：（11，10）【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．【精练12】（2019春•徐州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P 在运动过程中所经过的路径长度为cm．【点拨】根据题意可以判断出点P的运动轨迹是4段弧长和2段线段的长度．【解答】解：连接BP，如图所示：∵P是EF的中点，∴BP=12EF=12×2＝1，如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，即4×90π×1180+2×1＝2π+2．故答案为：2π+2．【点睛】本题考查了轨迹、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及弧长的计算．判断出点的P运动的轨迹是解题的关键．【精练13】（2018秋•雨花区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，直角∠EDF的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①AE＝BF；②S四边形BEDF=12S△ABC；③EF＝BD；④∠BFE＝∠CDF；⑤△DEF是等腰直角三角形，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终成立的有个．。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

精选高难度压轴填空题——三角函数（附解析）家有高中生收了！

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三角函数在现代科技的发展当中，举足轻重。

如果三角函数学不好，就无法进入气势恢宏的现代数学殿堂，就无法欣赏数学那令人陶醉的逻辑之美，我们对数学的认知永远只能停留于肤浅的“算术”层面。

“三角函数”是一个重要的数学工具，也是现代数学的重要基础。

自然而然，三角函数在我们高中阶段就成了是重点考察的内容，是决定高考胜败的关键所在。

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中考数学压轴题60例(填空题)

本章学习内容由店主精心收集整理，请家长下载打印，祝学习顺利！其余系列请关注店铺或私信留言中考数学压轴题60例（填空题）一、填空题（共60小题）1．（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．2．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A 作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．3．（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．4．（2015•永州）设a n为正整数n4的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6．则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=．5．（2015•义乌市）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm．（1）开始注水1分钟，丙的水位上升cm．（2）开始注入分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．6．（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为．7．（2015•孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是．8．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．9．（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）10．（2015•潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是．11．（2015•十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）12．（2015•深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=．13．（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC 的延长线于点E，那么线段DE的长等于．14．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为．15．（2015•盘锦）如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x 轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=．16．（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．17．（2015•南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1=，则y2与x的函数表达式是．18．（2015•眉山）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．19．（2015•聊城）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．20．（2015•乐山）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．21．（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．22．（2015•荆门）如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x 轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．23．（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是，S3的值为．24．（2015•湖北）在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为．25．（2015•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为．26．（2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．27．（2015•广元）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．28．（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．29．（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．30．（2015•东营）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是．31．（2015•德阳）下列四个命题中，正确的是（填写正确命题的序号）①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②函数y=（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a=；③半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；④若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．32．（2015•丹东）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△A n A n+1B n均为等边三角形，点A1、A2、A3…A n+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…B n在直线OD上依次排列，那么点B n的坐标为．33．（2015•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为．34．（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c 上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．35．（2015•滨州）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．36．（2015•本溪）在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE 与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED=1：8，则AD=cm．37．（2015•北海）如图，直线y=﹣2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n P n﹣2P n﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+S n﹣1=．﹣138．（2015•安顺）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．39．（2015•遵义）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．40．（2015•资阳）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A 在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．41．（2015•南昌）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．42．（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．43．（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是（填写序号）44．（2015•凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．45．（2015•黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．46．（2015•宁德）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=．47．（2015•攀枝花）如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．48．（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为．49．（2015•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）50．（2015•张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=．51．（2015•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为．52．（2015•烟台）如图，直线l：y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m 的值为．53．（2015•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．54．（2015•通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．55．（2015•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．56．（2015•丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．（1）k的值为．（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是．57．（2015•黑龙江）正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形，则腰长为．58．（2015•杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=．59．（2015•贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是．60．（2015•恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于．2015年全国中考数学压轴题60例（填空题卷）参考答案与试题解析一、填空题（共60小题）1．（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是a，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是17.5．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；新定义．分析：分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示图上的格点数的字母，图2中代入有关数据即可求得图形的面积．解答：解：如图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4=1+﹣1；矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6=2+﹣1；∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；图2中，a=15，b=7，故S=15+﹣1=17.5．故答案为：a，17.5．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目，难度不大．2．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为1．考点：二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．解答：解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为1．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．3．（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．4．（2015•永州）设a n为正整数n4的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6．则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=6652．考点：尾数特征．专题：压轴题；规律型．分析：正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，先求出2015÷10的商和余数，再根据商和余数，即可求解．解答：解：正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，1+6+1+6+5+6+1+6+1+0=33，2015÷10=201…5，33×201+（1+6+1+6+5）=6633+19=6652．故a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=6652．故答案为：6652．点评：考查了尾数特征，本题关键是得出正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环．5．（2015•义乌市）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm．（1）开始注水1分钟，丙的水位上升cm．（2）开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．考点：一元一次方程的应用．专题：压轴题．分析：（1）由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm；（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时，②乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．解答：解：（1）∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，∵注水1分钟，乙的水位上升cm，∴得到注水1分钟，丙的水位上升cm×4=cm；（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时；由题意得，t﹣1=0.5，解得：t=，∵×=6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，∵5÷=分钟，×=，即经过分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，∴+2×（t﹣）﹣1=0.5，解得：t=；②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为；+（5﹣）÷÷2=分钟，∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，解得：t=，综上所述开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．故答案为cm；或．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为3．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，得到抛物线的对称轴等于=﹣，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得结果．解答：解：设y=x2﹣2x+3，∵当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，∴=﹣，∴m+n=2，∴当x=m+n时，即x=2时，x2﹣2x+3=（2）2﹣2×（2）+3=3，故答案为：3．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键．7．（2015•孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是①④⑤．考点：几何变换综合题．专题：压轴题．分析：①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°．②首先根据∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根据AB=2，求出AM的大小即可．③首先根据EF∥BC，QN是△MBG的中位线，可得QN=BG；然后根据BG=BM=，求出QN的长度即可．④根据∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得⑤首先根据△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等边三角形．出BN的大小；然后根据E点和H点关于BM称可得PH=PE，因此P与Q重合时，解答：解：如图1，连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，根据折叠的性质，可得AB=BN，∴AN=AB=BN．∴△ABN为等边三角形．∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，即结论①正确；∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，∴AM=，即结论②不正确．∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，∴QN=BG；∵BG=BM=，∴QN=，即结论③不正确．∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG为等边三角形，即结论④正确．∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，∴BN⊥MG，∴BN=BG•sin60°=，根据条件易知E点和H点关于BM对称，∴PH=PE，∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，∵EN==，∴PN+PH=，∴PN+PH的最小值是，即结论⑤正确．故答案为：①④⑤．点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．8．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．解答：解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．故答案为．点评：本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．9．（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是①③⑤．（填写正确结论的序号）考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．解答：解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+2，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+2＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x=﹣时，y=0，即，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故答案为：①③⑤．点评：本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．10．（2015•潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：由反比例函数图象的对称性可得：点A和点B关于原点对称，再根据△AMB的面积为8列出方程×4n×2=8，解方程求出n的值，然后利用图象可知满足y1＞y2的实数x的取值范围．解答：解：∵正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，∴B（﹣n，﹣4）．∵△AMB的面积为8，∴×8×n=8，解得n=2，∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）．由图形可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数y1=mx（m＞0）的图象在反比例函数y2=（k≠0）图象的上方，即y1＞y2．故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想．11．（2015•十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．解答：解：如图，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，。

填空压轴题(函数篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(解析版)

填空压轴题(函数篇)1.压轴题速练1一．填空题(共40小题)1(2023•上虞区模拟)已知点A 在反比例函数y =12x(x >0)的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若△OAB 为等腰直角三角形，则AB 的长为23或26　．【答案】23或26．【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：当AO =AB 时，此时∠OAB =90°；∵A 在函数y =12x(x >0)上，∴S △OAB =12，∴12×OA ×AB =12，即12AB 2=12，∴AB =24=26；当AB =BO 时，此时∠ABO =90°；∵A 在函数y =12x (x >0)上，∴S △AOB =122=6，∴12×OB ×AB =6，即12AB 2=6，∴AB =23，当OA =OB 时，A 点落在y 轴上，故不合题意，综上所述，AB 的长为23或26．故答案为：23或26．2(2023•姑苏区校级一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a ，b )，若点P '的坐标为ka +b ，a +b k(其中k 为常数且k ≠0)，则称点P '为点P 的“k -关联点”．已知点A 在函数y =3x (x >0)的图象上运动，且A 是点B 的“3-关联点”，若C (-1，0)，则BC 的最小值为　3105　．【答案】3105．【分析】由A 是点B 的“3-关联点”，可设点B 坐标，表示出点A 坐标，由点A 在函数y =3x(x >0)的图象上，就得到点B 在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M 、N ，过C 作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段CB ，此时CB 最小，由题中的数据，可以证明出△MON ∽△MBC ，进而得出MNMC =ONBC，进而求出BC ．【详解】解：过点B 作QB ⊥MN ，垂足为B ，设B (x ，y )，∵A 是点B 的“3-关联点”，∴A 3x +y ，x +y3 ，∵点A 在函数y =3x (x >0)的图象上，∴(3x +y )x +y3=3，即：3x +y =3或2x +y =-3(舍去x <0，y <0)，∴y =-3x +3，∴点B 在直线y =-3x +3上，直线y =-3x +3与x 轴、y 轴相交于点M 、N ，则M (1，0)、N (0，3)，∴MN =12+32=10，MC =MO +OC =1+1=2，当CB ⊥MN 时，线段BC 最短，∵∠CBM =∠NOM =90°，∠CMB =∠NMO ，∴△MON ∽△MBC ，∴MN MC =ON BC ，即102=3BC，解得：BC =3105，故答案为：3105．3(2023•海门市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (m ，n )，B (m +4，n -2)是函数y =kx(k >0，x >0)图象上的两点，过点B 作x 轴的垂线与射线OA 交于点C ．若BC =8，则k 的值为6．【答案】6．【分析】作AD ⊥x 轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，根据AD ∥CE ，得AD CE =ODOE，所以n =32m ，即可得到点A m ，32m ，B m +4，32m -2 ，代入y =kx (k >0，x >0)即可求出答案．【详解】解：如图，作AD ⊥x 轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，∵点A (m ，n )，B (m +4，n -2)，BC =8，∴点D (m ，0)，E (m +4，0)，CE =n +6，∵AD ∥CE ，∴AD CE =ODOE ，∴n n +6=m m +4，∴n =32m ，∴点A m ，32m ，B m +4，32m -2 ，∵点A ，B 是函数y =kx(k >0，x >0)图象上的两点，∴k =m ⋅32m =(m +4)•32m -2 ，解得m =2，∴k =m ⋅32m =6，故答案为：6．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，关键是根据AD ∥CE ，得AD CE =OD OE，求出n =32m ．4(2023•建昌县一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数y =kx(k ≠0，x >0)的图象上，点C 在y 轴上，AB =AC ，AC ∥x 轴，BD ⊥AC 于点D ，若点A 的横坐标为5，BD =3CD ，则k 值为　154　．【答案】154．【分析】延长BD 交x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，设B (m ，n )，可得BD =3m ，AD =5-m ，根据勾股定理求出m =1，进一步得出AF =n -3，再根据n =5(n -3)求出n =154即可得出结论．【详解】解：延长BD 交x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥y 轴于点G ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则四边形BGCD ，COED ，ADEF 均为矩形，∴BG =CD ，AF =DE ，CD =OE ，设B (m ，n )，则有BG =CD =OE =m ，BE =n ，∵AC =AB =5，∴AD =AC -CD =5-m ，∵BD =3CD =3m ，∴AF =DE =n -3m ，在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2=AB 2，∴(3m )2+(5-m )2=52，解得m 1=1，m 2=0(不符合题意，舍去)，∴DE =n -3，AF =n -3，∴B (1，n )，A (5，n -3)，∵点A ，B 在反比例函数y =kx(k ≠0，k >0)的图象上，∴n =5(n -3)，解得n =154，∴k =1×154=154．故答案为：154．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．5(2023•碑林区校级模拟)如图，等腰直角△ABC的顶点A 坐标为(-3，0)，直角顶点B 坐标为(0，1)，反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点C ，则k =-4．【答案】-4．【分析】先利用等角的余角相等证明∠CBD =∠BAO ，则可根据“AAS ”判断△AOB ≌△BDA ，所以OB =CD =1，OA =BD =3，则OD =OC +CD =4，从而得到点C 的坐标，代入y =kx(x <0)即可求得k 的值．【详解】解：作CD ⊥y 轴于D ，∵A (3，0)，B (0，1)，∴OA =3，OB =1，∵∠ABC =90°，∴∠ABO +∠CBD =90°，∵∠ABO +∠BAO =90°，∴∠CBD =∠BAO ，在△AOB 和△BDC 中，∠CBD =∠BAO ∠AOB =∠BDC =90°AB =BC ，∴△AOB ≌△BDA (AAS )，∴OB =CD =1，OA =BD =3，∴点C 的坐标(-1，4)，∵反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点C ，∴k =-1×4=-4．故答案为：-4．6(2023•宁波模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰直角三角形，且∠A =90°，点B 的坐标为(4，0)．反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交AB 于点C ，交OA 于点D ．若C 为AB 的中点，则OD OA=32　．【答案】32．【分析】由等腰直角三角形的性质得到A (2，2)，直线OA 为y =x ，进一步求得点C (3，1)，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，与直线OA 的解析式联立，解方程组求得点D 的坐标，从而求得ODOA=32．【详解】解：∵点B 的坐标为(4，0)，∴OB =4，∵△OAB 为等腰直角三角形，且∠A =90°，∴A (2，2)，∴直线OA 为y =x ，∵C 为AB 的中点，∴C (3，1)，∵反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交AB 于点C ，交OA 于点D ，∴k =3×1=3，∴反比例函数为y =3x，由y =3x y =x，解得x =3y =3 或x =-3y =-3 ，∴D (3，3)，∴OD OA=32．故答案为：32．7(2023•龙港市二模)如图，Rt △ABO 放置在平面直角坐标系中，∠ABO =Rt ∠，A 的坐标为(-4，0)．将△ABO 绕点O 顺时针旋转得到△A ′B ′O ，使点B 落在边A ′O 的中点．若反比例函数y =kx(x >0)的图象经过点B '，则k 的值为　3　．【答案】3．【分析】连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB=12OA，得出∠A′OB′=∠AOB=60°，证得△BOB′是等边三角形，然后证得BB′垂直于y轴，BD=B′D，从而求得BD=B′D=1，OD=3，得到B′(1，3)，代入y=k x(x>0)即可求得k的值．【详解】解：连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB=12OA，∴∠OAB=30°，∴∠A′OB′=∠AOB=60°，∵BO=B′O，∴△BOB′是等边三角形，∵∠BOD=90°-60°=30°，∴OD平分∠BOB′，∴BB′垂直于y轴，BD=B′D，∴BB′∥x轴，∵A的坐标为(-4，0)，∴OA=4，∴OB=2，∴等边△BOB′的边长为2，∴BD=B′D=1，OD=3，∴B′(1，3)，∵反比例函数y=k x(x>0)的图象经过点B'，∴k=1×3=3，故答案为：3．8(2023•温州二模)如图，点A在x轴上，以OA为边作矩形OABC，反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象经过AB的中点E，交边BC于点D，连结OE．若OE=OC，CD=2，则k的值为　1633　．【答案】1633．【分析】设OC =AB =m ，则AE =12OE =12m ，利用勾股定理求得OA =32m ，即可得到D (2，m )，E 32m ，12m，由k =xy 得到k =2m =32m •12m ，解得m =833，即可求得k =2m =1633．【详解】解：设OC =AB =m ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =12AB∵OE =OC ，CD =2，∴AE =12OE =12m ，∴OA =OE 2-12OE 2=32OE =32m ，∴D (2，m )，E 32m ，12m ，∵反比例函数y =kx (k >0，x >0)的图象经过点D 、E ，∴k =2m =32m •12m ，解得m 1=833，m 2=0(舍去)，∴k =2m =1633，故答案为：1633．9(2023•石家庄二模)已知A ，B ，C 三点的坐标如图所示．(1)若反比例函数y =kx的图象过点A ，B ，C 中的两点，则不在反比例函数图象上的是点C ；(2)当反比例函数的图象与线段AC (含端点)有且只有一个y =kx公共点时，k 的取值范围是3≤k <4或k =12424　．【答案】(1)C ；(2)3≤k <4或k =12124．【分析】(1)根据反比例函数系数k =xy 判断即可；(2)求得直线AC 的解析式，与反比例函数解析式联立，整理得3x 2-11x +2k =0，当Δ=0时，反比例函数的图象与直线AC 有且只有一个公共点，求得此时k 的值，根据k =4时，反比例函数经过A 、B 两点，k =3时，反比例函数经过C 点，根据图象即可得出3≤k <4时，反比例函数y =kx的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点，从而得出3≤k <4或k =12124．【详解】解：(1)由坐标系可知，A (1，4)，B (2，2)，C (3，1)，∵1×4=2×2≠3×1，∴反比例函数y =kx的图象过点A 、B ，点C 不在反比例函数图象上，故答案为：C ；(2)设直线AC 为y =kx +b ，代入A 、C 的坐标得k +b =43k +b =1 ，解得k =-32b =112，∴直线AC 为y =-32x +112，令k x =-32x +112，整理得3x 2-11x +2k =0，当反比例函数的图象与直线AC 有且只有一个公共点时，Δ=0，∴(-11)2-4×3×2k =0，解得k =12124，由(1)可知k =4时，反比例函数图象过A (1，4)，B (2，2)两点，k =3时，反比例函数图象过C 点，∴3≤k <4时，反比例函数y =kx 的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点，综上，当反比例函数y =kx的图象与线段AC (含端点)有且只有一个公共点时，k 的取值范围是3≤k<4或k =12124．故答案为：3≤k <4或k =12124．10(2023•郫都区二模)定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(-1，-1)是函数y =2x +1的图象的“等值点”．若函数y =x 2-2(x ≥m )的图象记为W 1，将其沿直线x =m 翻折后的图象记为W 2．当W 1、W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m 的取值范围为m <-98或-1<m <2．【答案】m <-98或-1<m <2．【分析】先求出函数y =x 2-2的图象上有两个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】解：令x =x 2-2，解得：x 1=-1，x2=2，∴函数y =x 2-2的图象上有两个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，①当m <-1时，W 1，W 2两部分组成的图象上必有2个“等值点”(-1，-1)或(2，2)，W 1：y =x 2-2(x ≥m )，W 2：y =(x -2m )2-2(x <m )，令x =(x -2m )2-2，整理得：x2-(4m+1)x+4m2-2=0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ<0，∴(4m+1)2-4(4m2-2)<0，∴m<-98，②当m=-1时，有3个“等值点”(-2，-2)、(-1，-1)、(2，2)，③当-1<m<2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m=2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2，2)，⑤当m>2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<-98或-1<m<2．故答案为：m<-98或-1<m<2．11(2023•双阳区一模)如图，抛物线y=-0.25x2+4与y轴交于点A，过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y=x2于B、C两点(点B在C的左边)，连接BO、CO，若将△BOC向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线y=-0.25x2+4上，则点O平移后的坐标为(0，1.5)．【答案】(0，1.5)．【分析】先求得A的坐标，进而根据题意得到B、C两点的纵坐标为2，把y=2代入y=x2得x=±2，即可求得B(-2，2)，进一步求得x=-2时，函数y=-0.25x2+4的值，即可求得平移的距离，得到点O平移后的坐标．【详解】解：∵抛物线y=-0.25x2+4与y轴交于点A，∴A(0，4)，∴OA=4，∵过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y=x2于B、C两点(点B在C的左边)，∴B、C两点的纵坐标为2，把y=2代入y=x2得x=±2，∴B(-2，2)，把x=-2代入y=-0.25x2+4得y=-0.5+4=3.5，∴此时点B的坐标为(-2，3.5)，∴平移的距离为3.5-2=1.5，∴点O平移后的坐标为(0，1.5)，故答案为：(0，1.5)．12(2023•衡水二模)如图，点A a，-3 a(a<0)是反比例函数y=k x图象上的一点，点M(m，0)，将点A绕点M顺时针旋转90°得到点B，连接AM，BM．(1)k的值为-3；(2)当a=-3，m=0时，点B的坐标为(1，3)；(3)若a=-1，无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式．【答案】(1)-3；(2)(1，3)；(3)点B始终在函数y=x-2的图象上．【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数反比例函数y=kx即可求得；(2)作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据旋转的性质得出△BDM≌△MCA，从而得出AC=MD，CM=BD，即可得出点B的坐标；(3)由(2)可知AC=MD，CM=BD，根据题意得出B(3+m，m+1)，从而得出点B始终在函数y= x-2的图象上．【详解】解：(1)∵点A a，-3 a(a<0)是反比例函数y=k x图象上的一点，∴k=a•-3a=-3．故答案为：-3；(2)作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∵∠AMB=90°，∴∠AMC+∠BMD=90°，∵∠AMC+∠MAC=90°，∴∠BMD=∠MAC，∵∠BDM=∠MCA=90°，BM=AM，∴△BDM≌△MCA(AAS)，∴AC=MD，CM=BD，∵a=-3，m=0，∴A(-3，1)，M(0，0)，∴AC=1，MC=3，∴MD=1，BD=3，∴B(1，3)；故答案为：(1，3)；(3)若a=-1，则A(-1，3)，由(2)可知AC=MD，CM=BD，∵M(m，0)，∴B(3+m，m+1)，∴点B始终在函数y=x-2的图象上．13(2023•市中区二模)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)、(2，0)、(2，1)、(1，1)、(1，2)、(2，2)⋯根据这个规律，第2023个点的坐标(45，2)．【答案】(45，2)．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标以0结束；据此求解即可．【详解】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，∴横坐标以n结束的有n2个点，∵452=2025，∴第2025个点的坐标是(45，0)，∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，∴2023个点的坐标是(45，2)；故答案为：(45，2)．【点睛】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．14(2023•沈阳二模)某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降5元．【答案】5．【分析】设降价x元时，则日销售可以获得利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．【详解】解：设该种商品的销售单价应降价x元时，日销售可以获得利润为W元，由题意，得W=(100-70-x)(20+x)=-x2+10x+600=-(x-5)2+625，∵a=-1<0，∴当x=5时，W=625．最大故答案为：5．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润=(售价-进价)×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键15(2023•贵港二模)如图，抛物线y1截得坐标轴上的线段长AB=OD=6，D为y1的顶点，抛物线y2由y 1平移得到，y2截得x轴上的线段长BC=9．若过原点的直线被抛物线y1，y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为y =x ．【答案】y =x ．【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线y 1，y 2的解析式，设过原点的直线解析式为y =kx ，过原点的直线被抛物线y 1，y 2所截得的线段长相等，即可求解．【详解】解：∵抛物线y 1截得坐标轴上的线段长AB =OD =6，D 为y 1的顶点，∴A (-3，0)，B (3，0)，D (0，6)，设y 1的解析式为y =ax 2+6，代入(3，0)，得9a +6=0，解得：a =-23，∴y 1的解析式为y 1=-23x 2+6，∵抛物线y 2由y 1平移得到，y 2截得x 轴上的线段长BC =9，∴C (12，0)，则y 2的解析式为y =-23(x -3)(x -12)，即y 2=-23x 2+10x -24，设过原点的直线解析式为y =kx ，与y 1，y 2分别交于点F ，G ，H ，K ，如图所示，联立y =kx y 1=-23x 2+6，即-23x 2-kx +6=0，∴x 1+x 2=-3k2，x 1•x 2=-9，∴F 、G 两点横坐标之差为|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=94k 2+36，联立y =kx y 2=-23x 2+10x -24，即-23x 2+(10-k )x -24=0，∴x 1+x 2=-3k -302，x 1⋅x 2=36，∴H 、K 两点横坐标之差为|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=-3k -302 2-144，∵FG =HK ，∴94k 2+36=-3k -3022-144，解得k =1，故直线解析式为y =x ．故答案为：y =x ．16(2023•江都区一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为(3，4)，(-1，1)，点C 在线段AB 上，且AC BC=13，则点C 的坐标为　2，134 ．【答案】2，134．【分析】分别过点A ，B ，C 作x 轴的垂线垂足分别为E ，D ，F ，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，交CF 于点H ，则CF ∥AE ，BH ⊥CF ，BD =HF =EG ，设点C 的坐标为(m ，n )，则CF =n ，OF =m ，可得CH=n -1，BH =m +1，根据△BHC ∽△BGA ，可得m +14=n -13=34，即可求解．【详解】解：如图，分别过点A ，B ，C 作x 轴的垂线垂足分别为E ，D ，F ，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，交CF 于点H ，则CF ∥AE ，BH ⊥CF ，BD =HF =EG ，∵点A ，B 坐标分别为(3，4)，(-1，1)，∴BD =HF =EG =1，AE =4，BG =4，∴AG =3，设点C 的坐标为(m ，n )，则CF =n ，OF =m ，∴CH =n -1，BH =m +1，∵AC BC=13，∴BC AB=34，∵CF ∥AE ，∴△BHC ∽△BGA ，∴BH BG =CH AG =BC AB ，∴m +14=n -13=34，解得：m =2，n =134，∴点C 的坐标为2，134 ．故答案为：2，134 ．17(2023•龙华区二模)如图，在平面直角坐标系中，OA =3，将OA 沿y 轴向上平移3个单位至CB ，连接AB ，若反比例函数y =kx(x >0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，则k =25　．【答案】25．【分析】设A (m ，n )，则由题意B (m ，n +3)，进而求得D m 2，n +62，根据反比例函数系数k =xy ，得到k =mn =m 2•n +62，解得n =2，利用勾股定理求得m 的值，得到A (5，2)，代入解析式即可求得k 的值．【详解】解：设A (m ，n )，则B (m ，n +3)，∵点D 是BC 的中点，C (0，3)，∴D m 2，n +62，∵反比例函数y =kx (x >0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，∴k =mn =m 2•n +62，解得n =2，∴A (m ，2)，∵OA =3，∴m 2+22=32，∴m =5(负数舍去)，∴A (5，2)，∴k =5×2=25，故答案为：25．18(2023•乐至县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 、A 1、A 2、A 3⋯A n 在x 轴上，B 1、B 2、B 3⋯B n 在直线y =-33x +33上，若A (1，0)，且△A 1B 1O 、△A 2B 2A 1⋯△A n B n A n -1都是等边三角形，则点B n 的横坐标为1-3×2n -2(n 为正整数)．【答案】1-3×2n -2(n 为正整数)．【分析】过点B n 作B n ∁n ⊥x 轴于点∁n ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出该直线与y 轴的交点，解直角三角形，可得出∠OAB 1=30°，利用等边三角形的性质及三角形的外角性质，可得出OA 1的长度，结合B 1C 1=32OA 1可得出B 1C 1的长，同理，可求出B n ∁n =3•2n -2(n ≥2，且n 为整数)，再结合一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B n 的横坐标．【详解】解：过点B n 作B n ∁n ⊥x 轴于点∁n ，如图所示．∵直线的解析式为y =-33x +33，∴该直线与y 轴交于点0，33，∴tan ∠OAB 1=331=33，∴∠OAB 1=30°．∵△A 1B 1O 是等边三角形，∴∠A 1OB 1=60°，∴∠AB 1O =30°=∠OAB 1，∴OA 1=OB 1=OA =1，∴B 1C 1=32OA 1=32；同理：A 1A 2=AA 1=2，A 2A 3=AA 2=4，A 3A 4=AA 3=8，⋯，∴A n -1A n =AA n -1=2n -1(n ≥2，且n 为整数)，∴B n ∁n =32A n -1A n =3•2n -2(n ≥2，且n 为整数)，∴点B n 的纵坐标为3•2n -2(n 为正整数)．当y =3•2n -2时，3•2n -2=-33x +33，解得：x =1-3×2n -2，∴点B n 的横坐标为1-3×2n -2(n 为正整数)．故答案为：1-3×2n -2(n 为正整数)．19(2023•玄武区一模)已知函数y =2x 2-(m +2)x +m (m 为常数)，当-2≤x ≤2时，y 的最小值记为a ．a 的值随m 的值变化而变化，当m =2时，a 取得最大值．【答案】2．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m 的范围即可．【详解】解：由二次函数y =2x 2-(m +2)x +m (m 为常数)，得到对称轴为直线x =m +24，抛物线开口向上，当m +24≥2，即m ≥6时，由题意得：当x =2时，a =8-2m -4+m =4-m ，a 随m 增大而减小，a 的最大值为-2；当-2<m +24<2，-10<m <6时，由题意得：当x =m +24时，a =2×m +24 2-(m +2)•m +24 +m =-18(m -2)2+32，则m =2时，a 取得最大值32；当m +24≤-2，即m ≤-10时，由题意得：当x =-2时，a =8+2m +4+m =3m +12，a 随m 增大而增大，a 的最大值为-18；综上，当m =2时，a 取得最大值．故答案为：2．20(2023•萧山区一模)已知点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上．(1)若x 1x 2=2，则y 1y 2=　12　．(2)若x 1=x 2+2，y 1=3y 2，则当自变量x >x 1+x 2时，函数y 的取值范围是y <-32　．【答案】(1)12；(2)y <-32．【分析】(1)把P 、Q 代入解析式得到y 1=6x 1，y 2=6x 2，进一步得到y 1y 2=6x 16x 2=x 2x 1=12；(2)由x 1=x 2+2，y 1=3y 2得到x 1=-1，x 2=-3，即可得到x 1+x 2=-4，求得x =-4时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到函数y 的取值范围．【详解】解：(1)∵点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上，∴y 1=6x 1，y 2=6x 2，∵x 1x 2=2，∴y 1y 2=6x 16x 2=x 2x 1=12，故答案为：12；(2)∵点P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)在反比例函数y =6x图象上，∴y 1=6x 1，y 2=6x 2，∵y 1=3y 2，∴6x 1=3×6x 2，∴x 2=3x 1，∵x 1=x 2+2，∴x 1=3x 1+2，∴x 1=-1，x 2=-3，∴x 1+x 2=-4，当x =-4时，y =6-4=-32，∵反比例函数y =6x中k >0，∴x <0时，y 随x 的增大而减小，∴当自变量x >x 1+x 2时，函数y 的取值范围是y <-32，故答案为：y <-32．21(2023•灞桥区校级模拟)如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y=k x(k≠0)的图象上，点E在BC延长线上，CE=BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y=k x(k≠0)的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S=k2+12，则k的值为8．【答案】8．【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA=b，OB=a．首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a=b，再构建方程求出k的值．【详解】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA=b，OB=a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠DAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠AOB=∠DAM=90°，∴△AOB≌△BNC(AAS)，同理△BNC≌△DMA，∴DM=OA=BN=b，AM=OB=CN=a，∴D(b，a+b)，C(a+b，a)，∵点C，D恰好都落在反比例函数y=k x(k≠0)的图象上，∴b(a+b)=a(a+b)，∵a+b≠0，∴a=b，∴OA=OB，∴∠ABO=45°，∠EBF=45°，∵BE⊥EF，∴△BEF是等腰直角三角形，∵BC=EC，∴可得E(3a，2a)，F(5a，0)，∴12×4a×2a=k2+12，∴4a2=k2+12，∵D(a，2a)，∴2a2=k，∴2k=k2+12，∴k =8．故答案为：8．【点睛】本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．22(2023•东莞市校级一模)如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．以AB 为边长作正方形ABCD ，S 正方形ABCD =50，点C 在反比例函数y =k /x (k ≠0，x >0)的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，则k 的值是8．【答案】8．【分析】作DF ⊥y 轴于点F ，CE ⊥x 轴于点E ，通过证得△OAB ≌△EBC ≌△FDA 可得出BE =OA =DF ，CE =OB =AF ，设OA =a ，OB =b ，即可得出C (a +b ，b )，D (a ，a +b )，进而把点C 和平移后的D 点坐标代入反比例函数的解析式求出k 的值即可．【详解】解：作DF ⊥y 轴于点F ，CE ⊥x 轴于点E ，正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠ABO +∠CBE =90°，Rt △ABO 中，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE =∠BAO ，在△OAB 与△EBC 中，∠CBE =∠BAO ∠BEC =∠AOB =90°BC =AB ，∴△OAB ≌△EBC (AAS )，∴BE =OA ，CE =OB ，同理△OAB ≌△FDA ，∴DF =OA ，AF =OB ，设OA =a ，OB =b ，则C (a +b ，b )，D (a ，a +b )，∵点C 在反比例函数y =k /x (k ≠0，x >0)的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，∴k =b (a +b )=(a -6)•(a +b )，∴a -6=b ，∵S 正方形ABCD =50，∴AB 2=50，∵OA 2+OB 2=AB 2，∴a 2+b 2=50，即a 2+(a -6)2=50，解得a =7(负数舍去)，∴b =a -6=1，∴k =b (a +b )=8．故答案为：8．23(2023•长春一模)如图，正方形ABCD 、CEFG 的顶点D 、F 都在抛物线y =-12x 2上，点B 、C 、E 均在y 轴上．若点O 是BC 边的中点，则正方形CEFG 的边长为1+2　．【答案】1+2．【分析】设OB =OC =12BC =a ，且a >0，即可得D (-2a ，-a )，根据D (-2a ，-a )在抛物线y =-12x 2上，可得a =12，设正方形CEFG 的边长为b ，且b >0，同理可得F b ，-12-b ，代入y =-12x 2中，问题得解．【详解】解：∵点O 是BC 边的中点，∴设OB =OC =12BC =a ，且a >0，在正方形ABCD 中，DC =BC =2a ，DC ⊥BC ，∴D (-2a ，-a )，∵D (-2a ，-a )在抛物线y =-12x 2上，∴-a =-12(-2a )2，解得：a =12，设正方形CEFG 的边长为b ，且b >0，∴CE =EF =b ，∴OE =OC +CE =12+b ，∴结合正方形的性质，可知F b ，-12-b ，∵F b ，-12-b 在抛物线y =-12x 2上，∴-12-b =-12b 2，解得：b =1+2(负值舍去)，故答案为：1+2．24(2023•成都模拟)如图，在△AOB 中，AO =AB ，射线AB 分别交y 轴于点D ，交双曲线y =kx(k >0，x >0)于点B ，C ，连接OB ，OC ，当OB 平分∠DOC 时，AO 与AC 满足AO AC=23，若△OBD 的面积为4，则k =　407　．【答案】407．【分析】通过证得△AOD ∽△ACO ，得到AD AB=23，即可求得△AOB 的面积为12，进一步求得△BOC 的面积为6，根据S △BOC =S 梯形BMNC 得出k 的值即可．【详解】解：作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵AO =AB ，∴∠AOB =∠ABO ，∴∠AOD +∠BOD =∠OCB +∠BOC ，∵∠BOD =∠BOC ，∴∠AOD =∠ACO ，∵∠OAD =∠CAO ，∴△AOD ∽△ACO ，∴AD OA =AO AC=23，∴AD AB=23，∵△OBD 的面积为4，∴△AOB 的面积为12，∵AO AC=23，∴AB AC=23，∴△BOC 的面积为6，∴COD 的面积为10，∴x B x C =410=25，∴设B 2x ，k 2x ，则C 5x ，k5x，∵S △BOC =S △BOM +S 梯形BMNC -S △CON ，S △BOM =S △CON =12|k |，∴S △BOC =S 梯形BMNC =12k 2x +k5x⋅(5x -2x )=6，解得k =407，故答案为：407．25(2023•北仑区二模)如图，将矩形OABC 的顶点O 与原点重合，边AO 、CO 分别与x 、y 轴重合．将矩形沿DE 折叠，使得点O 落在边AB 上的点F 处，反比例函数y =kx(k >0)上恰好经过E 、F 两点，若B 点的坐标为(2，1)，则k 的值为10-221　．【答案】10-221．【分析】连结OF ，过E 作EH ⊥OA 于H ，由B 点坐标为(2，1)，即可得出E 点的坐标为(k ，1)，F 点的坐标为2，k 2 ，证得△EHD ∽△OAF ，得到EH OA =HD AF，求得HD =k4，进而求得OD =HD +OH =k 4+k =5k 4，AD =2-5k 4，由折叠可得DF =OD =5k 4，利用勾股定理得到关于k 的方程，解方程即可求得k 的值．【详解】解：连结OF ，过E 作EH ⊥OA 于H ．∵B 点坐标为(2，1)，∴E 点的纵坐标为1，F 点的横坐标为2，∵反比例函数y =kx(k >0)上恰好经过E 、F 两点，∴E 点的坐标为(k ，1)，F 点的坐标为2，k2，∵∠EDH +∠AOF =∠EDH +∠HED =90°，∴∠AOF =∠HED ，又∠EHD =∠OAF =90°，∴△EHD ∽△OAF ，∴EH OA =HD AF，即12=HD k 2，∴HD =k4，∴OD =HD +OH =k 4+k =5k 4，AD =2-5k4，由折叠可得DF =OD =5k4，在Rt △DAF 中，由勾股定理可得2-5k 4 2+k 2 2=5k 44，解得k 1=10-221，k 2=10+221(舍)．∴k 的值为10-221．故答案为：10-221．26(2023•合肥二模)已知函数y =x 2+mx (m 为常数)的图形经过点(-5，5)．(1)m =4．(2)当-5≤x ≤n 时，y 的最大值与最小值之和为2，则n 的值n =-3或n =10-2　．【答案】(1)4；(2)n =-3或n =10-2．【分析】(1)把已知坐标代入解析式计算即可．(2)根据抛物线额性质，分类计算．【详解】解：(1)∵函数y=x2+mx(m为常数)的图形经过点(-5，5)，∴5=(-5)2-5m，解得m=4，故答案为：4；(2)由(1)得m=4，∴函数的解析式为y=x2+4x，∴y=x2+4x=(x+2)2-4，故抛物线的对称轴为直线x=-2，二次函数的最小值为-4，∵(-5，5)的对称点为(1，5)，当-5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，当-5≤n<-2时，最大值为5，x=n时，取得最小值，且为y=n2+4n，根据题意，得n2+4n+5=2，解得n=-3，n=-1(舍去)，故n=-3；当-2≤n≤1时，最大值为5，x=-2时，取得最小值，且为-4，根据题意，得5-4=1，不符合题意；当n>1时，x=-2时，取得最小值，且为-4，x=n时，取得最大值，且为y=n2+4n，根据题意，得n2+4n-4=2，解得n=10-2，n=-10-2(舍去)，故n=10-2；故答案为n=-3或n=10-2．27(2023•仓山区校级模拟)下表记录了二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)中两个变量x与y的6组对应值，x⋯-5x1x21x33⋯y⋯m020n m⋯其中-5<x1<x2<1<x3<3．根据表中信息，当-52<x<0时，直线y=k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为2<k<83　．【答案】2<k<8 3．【分析】由抛物线经过(-5，m)，(3，m)可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再将(1，0)代入解析式可得二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．【详解】解：∵抛物线经过(-5，m)，(3，m)，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=-1，∴b=2a，y=ax2+2ax+2，将(1，0)代入y=ax2+2ax+2得0=a+2a+2，解得a=-2 3，∴y =-23x 2-43x +2=-23(x +1)2+83，∴x =-1时，y =83为函数最大值，将x =-52代入y =-23x 2-43x +2得y =76，将x =0代入代入y =-23x 2-43x +2得y =2，∴2<k <83满足题意．故答案为：2<k <83．28(2023•西安二模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx(k <0)的图象在第二象限交于点C ，若AB =BC ，则k 的值为-2．【答案】-2．【分析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．求出点C 的坐标，可得结论．【详解】解：过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．∵直线y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A (1，0)，B (0，1)，∴OA =OB =1，∵OB ∥CH ，∴△AOB ∽△AHC ，∴OA AH =AB AC ，∴AO OH =AB CB=1，∴OA =OH =1，∴CH =2OB =2，∴C (-1，2)，∵点C 在y =kx的图象上，∴k =-2，故答案为：-2．29(2023•龙泉驿区模拟)在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t ≤x ≤t +1时，一次函数y =kx +1(k >0)的界值大于3，则k 的取值范围是k >3；当t ≤x ≤t +2时，二次函数y =x 2+2tx -3的界值为2，则t =-1+22或-22　．【答案】k >3；-1+22或-22．【分析】y =kx +1：根据k >0时，y 随x 的增大而增大，根据最大值-最小值>3列不等式可解答；y=x2+2tx-3：先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数y=x2 +2tx-3的界值为2列方程可解答．【详解】解：当t≤x≤t+1时，一次函数y=kx+1(k>0)的界值大于3，∴y最大值-y最小值>3，∵k>0，y随x的增大而增大，∴x=t时，y最小值=tk+1，x=t+1时，y最大值=k(t+1)+1，∴k(t+1)+1-(tk+1)>3，∴k>3；y=x2+2tx-3=(x+t)2-3-t2，当x=-t时，y最小值=-3-t2，当x=t时，y=3t2-3，当x=t+2时，y=3t2+8t+1，①当-t≤t≤t+2时，t≥0，此时，当x=t时，y取最小值，当x=a+2时，y取最大值，∴y最大值=3t2+8t+1，y最小值=3t2-3，∴3t2+8t+1-(3t2-3)=2，解得t=-14(舍去)；②当t≤-t≤t+2时，-1≤t≤0，当-12≤t≤0时，y最大值=3t2+8t+1，y最小值=-3-t2，∴3t2+8t+1-(-t2-3)=2，解得t=-1+22或t=-1-22(舍)；当-1≤t≤-12时，y最大值=3t2-3，y最小值=-3-t2，3t2-3-(-t2-3)=2，解得t=-22或t=22(舍)；③当t≤t+2≤-t时，t≤-1，y最小值=3t2+8t+1，y最大值=3t2-3，∴3t2-3-(3t2+8t+1)=2，解得t=-34(舍去)；综上所述，t的值为-1+22或-22．故答案为：k>3；-1+22或-22．30(2023•姑苏区一模)如图①，四边形ABCD中，AB∥DC，AB>AD．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD-DC-CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则y与t的函数图象如图②所示，则AB=15cm．【答案】15．【分析】结合图象可知当t =13时，点P 到达点D ，此时y =90，AQ =13cm ，从而可求出此时△APQ 的高DE =12cm ，当t =18时，点P 到达点C ，点Q 已经停止，此时y =90，AQ =AB ．由AB ∥DC ，可知此时△APQ 的高也为12cm ，再根据三角形的面积公式即可求出AB 的长．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，如图所示：当t =13时，P 到达D 点，即AD =AQ =13cm ，此时y =78，∴12AQ •DE =12×13•DE =78，∴DE =12，当t =18时，点P 到达点C ，此时点Q 已停止运动，此时y =90cm 2，AQ =AB ，∵AB ∥DC ，∴此时△APQ 的高也为12cm ，∴S △APQ =12AB •DE =12AB ×12=90，∴AB =15(cm )，故答案为：15．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，平行线间的距离，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．31(2023•宁波模拟)如图，点B 是反比例函数y =8x(x >0)图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数y =kx(x >0)的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．则k =2；△BDF 的面积=3．【答案】2，3．【分析】连接OD ，表示出点M 的坐标，即可求得k 的值，根据△BDF 的面积=△OBD 的面积=S △BOA -S △OAD ，即可求得．【详解】解：连接OD ，设点B (m ，n )，则点M 12m ，12n，∵点B 是反比例函数y =8x(x >0)图象上一点，∴mn =8，∵反比例函数y =kx(x >0)的图象经过OB 的中点M ，∴k =12m ⋅12n =14mn =14×8=2，∴△BDF 的面积=△OBD 的面积=S △BOA -S △OAD =12×8-12×2=3．故答案为：2，3．32(2023•青羊区模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =3x 与反比例函数y =kx(k ≠0)的图象交于A ，B 两点，C 是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA 交y 轴于点D ，连接BC ，BD ，若CD BC=45，△BCD 的面积为30，则k =6．【答案】6．【分析】作CF ⊥y 于点I ，BF ⊥x ，交CI 的延长线于点F ，作AE ⊥CF 于点E ，设BC 交y 轴于点M ，设A (m ，3m )，则B (-m ，-3m )，k =3m 2，设点C 的横坐标为a ，则C a ，3m 2a，可证明tan ∠CAE =tan ∠CBF =a 3m ，则∠CAE =∠CBF ，即可推导出∠CDM =∠CMD ，则CD =CM ，所以CI CF =CMBC=CD BC=45，则CI =4FI ，所以a =4m ，C 4m ，3m 4 ，由CI MI =tan ∠CMD =tan ∠CBF =43，得DI=MI =3m ，则DM =6m ，于是得12×6m ×m +12×6m ×4m =30，则m 2=2，所以k =3m 2=6．【详解】解：作CF ⊥y 于点I ，BF ⊥x ，交CI 的延长线于点F ，作AE ⊥CF 于点E ，设BC 交y 轴于点M ，∵直线y =3x 经过原点，且与双曲线y =kx交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于原点对称，设A (m ，3m )，则B (-m ，-3m )，k =3m 2，设点C 的横坐标为a ，则C a ，3m 2a ，F -m ，3m 2a，∵tan ∠CAE =CE AE =a -m 3m -3m 2a =a 3m ，tan ∠CBF =CF BF =a +m 3m 2a+3m=a3m ，∴tan ∠CAE =tan ∠CBF ，∴∠CAE =∠CBF ，∵AE ∥BF ∥DM ，∠CAE =∠CDM ，∠CBF =∠CMD ，∴∠CDM =∠CMD ，∴CD =CM ，∵CI CF =CM BC =CD BC=45，∴CI =4FI ，∴a =4m ，∴C 4m ，3m4 ，∵CI MI=tan ∠CMD =tan ∠CBF =a 3m =4m 3m =43，∴DI =MI =34CI =34×4m =3m ，∴DM =DI +MI =6m ，∵12DM •FI +12DM •CI =S △BCD =30，∴12×6m ×m +12×6m ×4m =30，∴m 2=2，∴k =3m 2=3×2=6，故答案为：6．33(2023•锦江区模拟)已知关于x 的多项式ax 2+bx +c (a ≠0)，二次项系数、一次项系数和常数项分别a ，b ，c ，且满足a 2+2ac +c 2<b 2.若当x =t +2和x =-t +2(t 为任意实数)时ax 2+bx +c 的值相同；当x =-2时，ax 2+bx +c 的值为2，则二次项系数a 的取值范围是　215<x <27　．【答案】215<a <27．【分析】先根据二次函数的对称性可得其对称轴是：-b 2a =t +2-t +22=2，得b 与a 的关系：b =-4a ，将(-2，2)代入y =ax 2+bx +c 中可得：c =2-12a ，代入a 2+2ac +c 2<b 2中可解答．【详解】解：∵当x =t +2和x =-t +2(t 为任意实数)时ax 2+bx +c 的值相同，∴-b 2a =t +2-t +22=2，∴b =-4a ，∵当x =-2时，ax 2+bx +c 的值为2，∴函数y =ax 2+bx +c 经过点(-2，2)，∴4a -2b +c =2，∴4a +8a +c =2，∴c =2-12a ，∵a 2+2ac +c 2<b 2，∴(a +c )2<b 2，∴(a +c )2-b 2<0，∴(a +c +b )(a +c -b )<0，∵b =-4a ，c =2-12a ，∴(a +2-12a -4a )(a +2-12a +4a )<0，∴(2-15a )(2-7a )<0，∴215<a <27．故答案为：215<a <27．34(2023•江北区一模)如图，菱形ABCO 的顶点A 与对角线交点D 都在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，对角线AC 交y 轴于点E ，CE =2DE ，且△ADB 的面积为15，则k =8；延长BA 交x 轴于点F ，则点F 的坐标为　607，0 ．【答案】8，607，0．【分析】通过构造延长线得到直角三角形EOM ，再用射影定理求出ED 、DA 、DO 之间的数量关系，在通过△ODA 面积为15求出ED 、DA 、DO 实际长度，再通过求D 点到y 轴的距离求出D 点坐标，也解出k ，进而得出B 点坐标．再过点A 作AH ⊥ND 于H ，然后通过相似求出A 点坐标，进而得出AB 直线解析式，最后得出F 点坐标．【详解】解：延长DA 交x 轴于点M ，设DE =a ，则CE =2a ，CD =AD =3a ，∵ED =a ，∴AM =a ，∴Rt △MOE 中，OD ⊥EM ，OD 2=ED ⋅DM ，∴OD =2a ，∵S △AOD =12OD ⋅DA =15，∴2a ⋅3a 2=15，∴a =5过D 作DN ⊥y 轴，则tan ∠DOE =12，即ON =2DN ，∵OD =25，∴D (2，4)，即k =8．∵D (2，4)，∴B (4，8)，过点A 作AH ⊥ND 于H ，∵∠OND =∠H =90°，∠EDN +∠NDO =90°，∠NDO +∠HDA =90°，∴∠NDO =∠HDA ，∴△DHA ∽△OND ，∵DA =35，∴DH =6，AH =3，。

中考数学《填空压轴题》专题练习(含解析)

20XX 年中考数学《填空压轴题》专题练习（1）1. （20XX 年广东4分）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 .（第1题）（第2题） 2. （20XX 年广东深圳3分）如图，已知点A 在反比例函数(0)k y x x=<上，作Rt ABC ∆，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若B C E ∆的面积为8，则k = .3. （20XX 年广东汕尾5分）（20XX 年广东梅州3分）若()()121212121a b n n n n =+-+-+，,对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ；计算：11111335571921m =+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯ ..4. （20XX 年广东广州3分）如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 .（第4题）（第6题）（第7题）5. （20XX 年广东佛山3分）各边长度都是整数，最大边长为8的三角形共有个.6. （20XX 年陕西3分）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB =45°．若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是．7. （20XX 年浙江衢州4分）如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是 .【 8. （20XX 年浙江绍兴5分）（20XX 年浙江义乌4分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，则开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.（第8题）（第9题）9. （20XX 年浙江台州5分）如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为。

数学填空压轴题(答案与解析)

数学填空压轴题（答案与解析）一．填空题（共30小题）1．（2015•滕州市校级模拟）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【专题】压轴题；导数的概念及应用．【分析】设F（x）=f（x）﹣x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）＜可得f（x2）﹣＜f（1）﹣，最后根据单调性可求出x的取值范围．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0即函数F（x）在R上单调递减而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．2．（2014•浙江校级一模）已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是m＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇函数．【专题】压轴题．【分析】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围．再根据在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）==，构造新函数h（x）=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．【解答】解：∵M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}∵N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，所以可得N={b|1＜b≤2}∴D=M∩N=（1，]∵是定义在R上的奇函数∴f（0）=0可得n=0∴f（x）=，又在D内没有最小值∴f（x）==，定义在R上的奇函数在D内没有最小值，所以分母恒为正，即m必须为正数，若m＞0，令h（x）=，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+∞）上是增函数，当≥时，即m≥时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意当1＜＜时，即1＜m＜时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）＞h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合题意综上讨论知，m的取值范围是m＞，故答案为m＞【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．3．（2014•昆山市校级模拟）已知函数f（x）=﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a=．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据函数f（x）=﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数，可得f'（x）=﹣lnx+a﹣1≥0在（0，e）恒成立，从而f'（x）=﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可，进而可得参数的范围；利用函数．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，可求参数的值，从而可得结论．【解答】解：∵f（x）=﹣xlnx+ax，∴f'（x）=﹣lnx+a﹣1∵函数f（x）=﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数∴f'（x）=﹣lnx+a﹣1≥0在（0，e）恒成立∵y=﹣lnx是（0，e）上的减函数∴f'（x）=﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即﹣1+a﹣1≥0∴a≥2∵x∈[0，ln3]，∴e x∈[1，3]∴e x=a时，函数取得最小值为∵x=0时，；x=ln3时，3＞a≥2时，函数g（x）的最大值M=∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为∴3＞a≥2时，∴a=a＞3时，x0＞ln3，此时x在[0，ln3]内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a=不符合a大于3，所以舍去．故答案为：【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的确定，其中确定函数g（x）的最大值M与最小值m是关键．4．（2014•江苏模拟）已知函数f（x）满足f（x）=2f（），且f（x）≠0，当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是≤a ＜．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】可以根据函数f（x）满足f（x）=2f（），求出x在[，1]上的解析式，已知在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围．【解答】解：在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x＞0）g′（x）=﹣a=，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时g（x）必须在[1，3]上有两个交点，∴，解得，≤a＜①设＜x＜1，可得1＜＜3，∴f（x）=2f（）=2ln ，此时g（x）=﹣2lnx﹣ax，g′（x）=﹣，若g′（x）＞0，可得x＜﹣＜0，g（x）为增函数若g′（x）＜0，可得x＞﹣，g（x）为减函数，在[，1]上有一个交点，则，解得0＜a≤6ln3②综上①②可得≤a＜；②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx﹣ax＞0，没有零点，不满足在区间[，3]内，函数g （x ）=f （x ）﹣ax ，有三个不同的零点， ③a=0，显然只有一解，舍去综上：≤a ＜．故答案为：≤a ＜．【点评】此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a ＜0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论．5．（2014•南昌模拟）已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图示．下列关于f （x ）的命题：①函数f （x ）的极大值点为0，4； ②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点；⑤函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ①②⑤ ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2，要使当x ∈[﹣1，t]函数f （x ）的最大值是4，当2≤t ≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；由f （x ）=a 知，因为极小值f （2）未知，所以无法判断函数y=f （x ）﹣a 有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f'（x ）＞0，函数单调递增，当0＜x ＜2或4＜x ＜5，f'（x ）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2，当x=2时，函数取得极小值f （2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2，要使当x ∈[﹣1，t]函数f （x ）的最大值是4，当2≤t ≤5，所以t 的最大值为5，所以③不正确；由f （x ）=a 知，因为极小值f （2）未知，所以无法判断函数y=f （x ）﹣a 有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f （2）＜1或1≤f （2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f （x ）和y=a 的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．6．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【考点】导数的运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．7．（2013•息县校级一模）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于﹣或﹣1．【考点】导数的几何意义．【专题】压轴题．【分析】已知点（1，0）不知曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．【解答】解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），（1，0）代入方程得x0=0或①当x0=0时，切线方程为y=0，则，②当时，切线方程为，由，∴或a=﹣1．故答案为：﹣或﹣1【点评】熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax2+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．8．（2013•仙桃校级模拟）已知4个命题：①若等差数列{a n}的前n项和为S n则三点（10，），（100，），（110，），共线；②命题：“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；③若函数f（x）=x﹣+k在（0，1）没有零点，则k的取值范围是k≥2，④f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＞0，且f（2）=，则xf（x）＜1的解集为（﹣2，2）．其中正确的是①②④．【考点】利用导数研究函数的单调性；命题的否定；函数零点的判定定理；三点共线．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】利用三点连线的斜率关系判定①的正误；直接写出命题的否命题即可判定②的正误；利用函数的单调性，零点存在定理判定③的正误；通过函数的导数，以及函数的性质，求出不等式的解集，判定④的正误，即可得到结论．【解答】解：①=，=，=，设等差数列的公差为d，∴==，==，即前两个点连线的斜率等于后两个点连线的斜率，故三点共线，故①正确．②根据命题的否定的定义，“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；是正确的，故②正确．③函数f（x）=x﹣+k在（0，1）没有零点，故f′（x）=1+＞0，所以函数在（0，1）内是增函数，x﹣＜0，当k≥2时，函数有零点，③不正确．④f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＞0，且f（2）=，所以x＞0时，函数是恒为正值，f（0）=0，x＜0时函数为负值，2f（2）=1，则xf（x）＜1的解集为（﹣2，2）．正确．故答案为：①②④．【点评】本题是综合题，考查三点共线，命题的否定，零点，导数与不等式的知识，考查知识的灵活运应，是中档题．9．（2013•盐城校级三模）函数f（x）=x2﹣2tx+3lnx，g（x）=，函数f（x）在x=a，x=b处取得极值（0＜a＜b），g（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值比最小值大，若方程f（x）=m有3个不同的解，则函数y=的值域为（27，e4）．．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】由f′（x）=0解得x=t，从而可得a，b，由g′（x）=0，得x=﹣t，根据其与﹣b，﹣a的大小关系可判断g（x）在[﹣b，﹣a]上的单调性，从而可求得g（x）的最大值、最小值，根据题意可得关于t的方程，解出t，再根据方程f（x）=m有3个不同的解可得m的范围，由此可求值域．【解答】解：f′（x）=﹣x﹣2t+=，令f′（x）=0解得x=t，由题意知a=t﹣，b=t，由a＞0知t＞0，g′（x）=﹣，令g′（x）=0，得x=﹣t，[﹣b，﹣a]=[﹣t﹣，﹣t+]，且﹣t﹣＜﹣t﹣，﹣t+＞﹣t+，可知g′（x）＞0在[﹣t﹣，﹣t+]上成立，从而g（x）在[﹣t﹣，﹣t+]上递增，=，，由题意得，﹣=，解得t=2或﹣2（舍），f′（x）=，令f′（x）＞0得x＜1或x＞3；令f′（x）＜0得1＜x＜3，f（x）极小值为f（3）=﹣+3ln3，f（x）极大值为f（1）=﹣，因为方程f（x）=m有3个不同的解，所以﹣+3ln3＜m＜﹣，＜＜，即27＜＜e4，所以函数y=的值域为（27，e4）．故答案为：（27，e4）．【点评】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，考查转化思想，运算量大，综合性强，对能力要求高．10．（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．11．（2012•烟台一模）已知向量=，=（1，t），若函数f（x）=•在区间上存在增区间，则t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；平面向量数量积的运算；余弦函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】函数f（x）=•在区间上存在增区间，转化为函数的导数在区间上有大于0的区间，通过函数的最大值求解t的范围．【解答】解：函数f（x）=•=，函数f（x）=•在区间上存在增区间，所以函数f′（x）=﹣t，在区间上有﹣t＞0成立的区间，即t，∵x，∴sinx＜1，t．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积，函数的导数的应用，考查转化思想计算能力．12．（2012•新干县校级模拟）在区间[﹣6，6]内任取一个元素x0，抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；几何概型．【专题】计算题；压轴题；导数的概念及应用；概率与统计．【分析】求出导函数在[﹣6，6]的范围，就是切线的斜率的范围，通过切线的倾斜角为α，α∈[，]求出斜率的范围，利用几何概型求出概率．【解答】解：由题意可知x2=4y的导数为：y′=x，在区间x∈[﹣6，6]，切线的斜率为：[﹣3，3]．倾斜角为α，α∈[，]，斜率范围是[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]，α的斜率在[﹣3，3]内的部分是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．所以满足题意的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何概型的应用，正确理解题意是解题的关键．13．（2015•张家港市校级模拟）设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是﹣1.5＜b＜﹣．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；压轴题．【分析】题中原方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．【解答】解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于K的方程2k2+2bK+1=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．列式如下：，即，可得﹣1.5＜b＜﹣故答案为：﹣1.5＜b＜﹣【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．14．（2014•吴中区校级模拟）已知实数a，b分别满足a3﹣3a2+5a=1，b3﹣3b2+5b=5，则a+b的值为2．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a﹣1）3+2（a﹣1）=﹣2，（b﹣1）3+2（b﹣1）=2，构造函数f（x）=x3+2x，f（x）是一个单调递增的奇函数，从而可求a+b的值【解答】解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a﹣1）3+2（a﹣1）=﹣2，（b﹣1）3+2（b﹣1）=2，构造函数f（x）=x3+2x，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数∵f′（x）=3x2+2＞0∴f（x）单调递增∴f（x）是一个单调递增的奇函数，因为f（a﹣1）=﹣2，f（b﹣1）=2所以f（a﹣1）=﹣f（b﹣1）=f（1﹣b），从而有a﹣1=1﹣b，a+b=2故答案为2【点评】本题以等式为载体，考查构造法的运用，考查函数的性质，解题的关键是根据已知的两个等式结构相似，构造函数15．（2014•奎文区校级模拟）在实数集R中定义一种运算“△”，且对任意a，b∈R，具有性质：①a△b=b△a；②a△0=a；③（a△b）△c=c△（a•b）+（a△c）+（b△c）+c，则函数的最小值为3．【考点】函数最值的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】准确理解运算“△”的性质：①满足交换律，②a△0=a；③，（a△b）△c=c△（ab）+（a△c）+（b△c）+c，故有：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+1×0；代入可得答案．【解答】解：由性质知：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+c×0=ab+a+b依照上面的计算求得f（x）=（|x|△）△0=0△（|x|•）+（|x|△0）+（△0 ）+1×0=1+|x|+≥3，故答案为：3．【点评】由3个条件可得：a△b=（a△b）△0=0△（ab）+（a△0）+（b△0）+c×0=ab+a+b是解题的关键，是解题的突破口，同时考查了运算能力．16．（2013•广西一模）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为①②④（把所有正确命题的序号都填上）【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0．（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f （x+6）=f （x），得周期为6，从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．④：f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值．17．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，∴根据题意得f（x）=即f（x）=画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，∴x1x2x3=m（）=，m∈（0，）令y=，则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1∴＜0在m∈（0，）上成立，∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，∴函数的值域是（f（），f（0）），即故答案为：【点评】本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．18．（2012•山西模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，，则函数f（x）的零点个数为5．【考点】函数的零点；抽象函数及其应用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】由x∈[0，1]时，f（x）=4x，可得f（1）=4，x∈（1，2）时，=，而由函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移2个单位，画出函数y=f（x），结合函数的图象可求【解答】解：∵x∈[0，1]时，f（x）=4x，∴f（1）=4∴x∈（1，2）时，=∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移2个单位画出函数y=f（x）可知，x＞0时，f（x）没有零点，而当x＜0时，函数y=f（x）=0的x有5个故答案为：5【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．19．（2014•南京模拟）函数f（x）满足，且x1，x2均大于e，f（x1）+f（x2）=1，则f（x1x2）的最小值为．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先通过解方程得函数f（x）的解析式，由f（x1）+f（x2）=1，代入解析式并化简后得lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3，利用均值定理即可求得ln（x1•x2）的取值范围，最后将x1•x2代入解析式得f（x1x2），利用函数单调性即可得其范围【解答】解：∵，∴lnx﹣lnx•f（x）﹣1﹣f（x）=0∴f（x）=∵f（x1）+f（x2）=1，∴+===1∴lnx 1lnx 2=ln （x 1•x 2）+3 ∵x 1，x 2均大于e ∴lnx 1，lnx 2均大于1∴lnx 1lnx 2=ln （x 1•x 2）+3≤=∴ln 2（x 1•x 2）﹣4ln （x 1•x 2）﹣12≥0 ∴ln （x 1•x 2）≤﹣2（舍去）或ln （x 1•x 2）≥6 ∴ln （x 1•x 2）≥6∵f （x 1x 2）==1﹣≥1﹣=（当且仅当即x 1=x 2=e 3时取等号）故答案为【点评】本题考查了求函数解析式的方法，对数运算及对数变换技巧，利用均值定理及函数性质求最值的方法20．（2013•淇县校级一模）定义在R 上的函数f （x ）满足，则f （2009）的值为 1 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先把x=2009，代入函数推到出当x ＞3时，是周期为6的周期函数，然后可知f （2009）=f （﹣1），再把x=﹣1代入f （x ）=log 2（1﹣x ），即可求出结果．【解答】解：∵f （2009）=f （2008）﹣f （2007）=[f （2007）﹣f （2006）]﹣f （2007）=﹣f （2006）即当x ＞3时满足f （x ）=﹣f （x ﹣3）=f （x ﹣6），周期为6 ∴f （2009）=f （334×6+5）=f （5）=f （﹣1）当x ≤0时f （x ）=log 2（1﹣x ） ∴f （﹣1）=1∴f （2009）=f （﹣1）=1 故答案为1．【点评】本题主要考查了函数的周期性以及对数函数运算性质，此题的关键是判断函数是周期性．21．（2012•青浦区一模）直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数：①f（x）=sinx；②f（x）=π（x﹣1）2+3；③；④f（x）=log0.6x．其中是一阶格点函数的有①②④．【考点】对数函数的图像与性质；正弦函数的图象．【专题】压轴题；新定义．【分析】①利用正弦函数的周期性可知f（x）=sinx在[0，2π]上有（0，0）1个格点，其他周期没有格点，只有1个格点②f（x）=π（x﹣1）2+3有（1，3），当x≠1时，x=k，y=π（k﹣1）2+3∉Z，③的格点有（0，1），（﹣1，3）等④f（x）=log0.6x有（1，0）一个，从而可判断【解答】解：①f（x）=sinx在[0，2π]上有（0，0）1个格点，又因为函数的周期为2π，所以其他周期没有格点，只有1个格点②f（x）=π（x﹣1）2+3有（1，3），当x≠1时，x=k，y=π（k ﹣1）2+3∉Z，只有一个格点③的格点有（0，1），（﹣1，3）…不只一个④f（x）=log0.6x．有（1，0）一个故答案为：①②④【点评】本题以新定义为载体，考查了正弦函数、二次函数、对数函数与指数函数的图象与性质的运用，属于基础试题．22．（2012•桃城区校级模拟）设f﹣1（x）是函数的反函数，则使f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围为．【考点】反函数．【专题】压轴题；函数的性质及应用．【分析】根据函数在R上是增函数，从而得出f﹣1（x）也是在R上是增函数，设f﹣1（a）=1，将不等式f﹣1（x）＞1，转化成f﹣1（x）＞f﹣1（+1），再利用反函数的单调求解即得．【解答】解：∵函数在R上是增函数，∴f﹣1（x）也是在R上是增函数，设f﹣1（a）=1，则f（1）=a，∴a=ln（+1），则f﹣1（x）＞1，即f﹣1（x）＞f﹣1（+1），∴x＞ln（+1．则使f﹣1（x）＞1成立的x的取值范围为故答案为：．【点评】本题主要考查反函数的知识点，求反函数的方法是：根据原函数的解析式利用y表示x，即孤立出x，再以x代替y，以y代替x的位置，即可得到原函数的反函数，原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域即为反函数的定义域．但本题没有去求反函数，而是利用了反函数的单调性，显得简洁．23．（2012•博山区校级三模）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数是6．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的图象；函数的周期性；函数的零点．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意，由函数零点的判断方法，函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log5|x|的图象，分析其交点个数，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=log5|x|是偶函数，当x＞0时，y=log5x，则当x＜0时，y=log5（﹣x），做出y=log5|x|的图象，结合图象分析可得：函数y=f（x）与y=log5|x|有6个交点，则g（x）=f（x）﹣log5|x|有6个零点，故答案为6．【点评】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．24．（2011•北塘区校级模拟）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；④．当f（x）=2﹣x时，上述结论中正确结论的序号是①③④写出全部正确结论的序号）【考点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用幂的运算法则判断出①对；通过举反例判断出②错；通过函数单调性的定义判断出③对；通过基本不等式判断出④对．【解答】解：例如f（x）=2﹣x∴对于①，f（x1+x2）=，f（x1）f（x2）=，故①对对于②，f（x1•x2）=≠=f（x1）+f（x2）；故②错对于③，∵为减函数，所以当x1＞x2时，有f（x1）＜f（x2），有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0对．对于④，，，由基本不等式，所以故④对故答案为①③④【点评】判断多个命题的正误时，需要对各个命题依次判断．利用基本不等式求最值时，需要注意：一正、二定、三相等．25．（2015•黄山二模）已知集合A={a1，a2，…，a n}中的元素都是正整数，且a l＜a2＜…＜a n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥．给出下列命题：①集合{1，2，3，4}不具有性质P；②；③不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立；④A中最多可以有10个元素．其中正确命题的序号是②③（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．【专题】压轴题．【分析】①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，代入即可判断；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．由此能够证明；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，由a i≥i即可得判断；④由③，结合不等式可推导出n≤9．【解答】解：①由于|1﹣2|，|1﹣3|，|1﹣4|，|2﹣3|，|2﹣4|，|3﹣4|，∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．所以（i=1，2，n﹣1）；所以++…+，即，故正确；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，可知，又a i≥i，可得，所以不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立，故正确；④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，从而n＜10，而又当n≤9时，i（n﹣i）≤=＜25，所以n≤9，故不正确；故答案为：②③．【点评】本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化．26．（2014•南充一模）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是①④．【考点】命题的否定；函数奇偶性的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据含量词的命题的否定形式判断出①对，根据二倍角正弦公式先化简函数，再利用三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错；写出否命题，利用特例即可判断③错；根据函数的奇偶性求出f（x）在x＜0时的解析式，判断出④对．【解答】解：对于①，根据含量词的命题的否定是量词互换，结论否定，故①对对于②，，所以周期T=，故②错对于③，“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题为“函数f（x）在x=x0处没有极值，则f′（x0）≠0”，例如y=x3，x=0时，不是极值点，但是f′（0）=0，所以③错对于④，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣2﹣x，故④对故答案为①④【点评】求含量词的命题的否定，应该将量词”任意“与”存在“互换，同时结论否定；函数的极值点要满足导数为0且左右两边的导数符号相反．27．（2014•金凤区校级一模）给出下列命题：①已知a，b，m都是正数，且，则a＜b；②已知f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f′（x）≥0，则f（1）＜f（2）一定成立；③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“x≤1，且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是①③．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】命题的否定；不等关系与不等式．【专题】压轴题；阅读型．【分析】对于：①②③④中的②④可通过举反例进行否定：对于②若f（x）是常数函数，则f（1）＜f（2）不成立；故错；对于④若“x=1.8，且y=0.1”则“x+y≤2”不能推得“x≤1，且y≤1”故④错；对于①③可根据不等式的性质进行证明其正确性．【解答】解：对于：①已知a，b，m都是正数，且⇒ab+b＞ab+a⇒a＜b；正确；②若f（x）是常数函数，则f（1）＜f（2）不成立；故错；③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2﹣2x+1≥0”真命题；正确；④若“x=1.8，且y=0.1”则“x+y≤2”不能推得“x≤1，且y≤1”故④错；正确命题的序号是①③．故答案为：①③．【点评】本小题主要考查命题的否定、不等关系与不等式等基础知识，通过举反例可证明一个命题为假．属于基础题．28．（2013•北京模拟）下列命题：（1）若函数为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；（4）对于函数，若0＜x1＜x2，则．以上命题为真命题的是（1）（2）（3）．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．。

重难点填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一代数式求值类型二方程、不等式求值类型三函数求值题型02 规律探究类类型四数字规律探究类型五图形规律探究类型六函数规律探究题型03 函数最值类类型七一次函数的最值问题类型八二次函数的最值问题类型九反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十一次函数的最值问题类型十一二次函数的最值问题类型十二反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

上海中考填空压轴题训练1

中考填空压轴题训练11. 圆心O 恰好为矩形ABCD 的中心，已知4,6==AD AB ,O 的直径为1，现在将圆O 沿着某一个方向平移，当它与ABCD 的某条边刚好相切的时候停止平移，记此时平移的距离为d ，则d 的取值范围是_____________________。

解：最近距离在位置1：=mind 232124=÷-÷BAD最远距离在位置2：234)23()25(22max =+=d2. 如图，在梯形ABCD 中，已知,17,8,90,//cm BC cm AD AB A CD AB ===︒=∠，以点B 为旋转中心，将BC 逆时针旋转至BE ，使点E 恰好落在直线AD 上，直线BE交CD 于F ,那么DF 的长为_________________cm 。

CD A23423≤≤∴d2E DCA解：由已知条件易证：2ABE ∆≌HBC ABE ≌2∆;158172221=-===∴HC AE AE AB E DF E 111∆∆∽Θ ABDF A E D E 111=∴代入计算得：15184155621==DF DF 同理可得 DF ∴的长为1556或151843. 已知，ABC ∆的重心G 到BC 边上中点D 的距离为2，则BC 边上的中线长度是___________。

DBCA解：62*3*3===DG AD4. 一条上山的路得坡度为3:1，那么沿着山路走50米，那么海拔高度上升了_________米。

解：1051050h ==5. 如图，一张长方形纸条如下折叠，如果长方形纸片的宽度是cm 2，那么，折痕PQ 的长为________________。

B解：如图所示，过P 点作PC ⊥AQ 于点C ：由题意可知︒=∠-︒=∠75)180(21APB APQ 在APQ ∆中，︒=︒-︒-︒=∠753075180AQP , APQ ∆∴是等腰三角形考察PCQ RT ∆:3242-==CQ PC ，226222-=+=∴CQ PC PQ6. 如图，在等腰ABC ∆中，底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是31，将该等腰三角形绕其腰AC 上的中点M 旋转，使得旋转后的点A 的对应点'A 和点D 重合，得到'''C B A ∆,如果旋转后的底边''C B 和BC 交于点N ,那么ANB ∠的正切值等于_________。

精算高难度压轴填空题-----函数(二)附解析

1. 已知函数42)(,4341ln )(2+-=+-=bx x x g xx x x f ，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，则实数b 的取值范围为_______214≥b 解析：即min min )()(x g x f ≥，求导易得21)1()(min ==f x f ，)(x g 对称轴是b x = 当1≤b 时，)(x g 增，492125)1()(min≥⇒≤-==b b g x g 矛盾；当21<<b 时，2142214)()(2min ≥>⇒≤-==b b b g x g ；当2≥b 时，)(x g 减，8152148)2()(min ≥⇒≤-==b b g x g 2≥⇒b 2. 关于x 的不等式kx x x x ≥-++3922在]5,1[上恒成立，则实数k 的取值范围是____]6,(-∞解析：39-++≤x xx k ，显然3=x 时，右边取最小值 3. 如果函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间)4,1(上为减函数，在),6(+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是_________]7,5[解析：0)6(',0)4(',0)1('≥≤≤f f f4. 若关于x 的方程021=--a a x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围是____)21,0(解析：数形结合a a x 21=-，对a 分10<<a 和1>a 讨论5. 已知函数f (x )＝xx ＋a ，若函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，则实数a ＝________－2解析：ax aa x x x f ++-=-+++=-+21221)2(，显然2-=a有人说0=a 可以吗？不行！此时，)0(1)(≠=x x f ，显然y ＝f (x ＋2)－1定义域不关于原点对称！6. 已知可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '()()f x f x '>满足，则当0a >时，()f a 和(0)a e f （e 是自然对数的底数）大小关系为 )0()(f e a f a >解析：构造函数0)())()('()(',)()(2>-==x x x e x f x f e x F e x f x F ，)(x F 增， )0()0()(0f ef e a f a=> 7. 若对任意的D x ∈，均有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则称函数)(x f 为函数)(1x f 到函数)(2x f 在区间D 上的“折中函数”.已知函数x x x h x g x k x f ln )1()(,0)(,1)1()(+==--=且)(x f 是)(x g 到)(x h 在区间]2,1[e 上的“折中函数”，则实数k 的值是_______2解析：即要求x x x k ln )1(1)1(0+≤--≤在]2,1[e 恒成立.对于左边：1=x 时，2≥k ，e x 2=时，e k 211+≥，故2≥k ；右边：xx x k 1ln )1(1++≤-，对右边函数求导后得增函数，则211≤⇒≤-k k ，综上，2=k 8. 已知函数2ln )(x x a x f -=，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数q p ,，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是_________),10[+∞解析：0)1()1()]1()1([)]1()1([>+-++-+-+-+q p q q f p p f ，故x x f x g -=)()(是（1,2）上增函数，012)('≥--=x xax g 在（1,2）上恒成立，则x x a +≥22 9. 已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 不超过1516的最大自然数n 的值为 4 解析：x a x g x f x F ==)()()(单调递减，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-10<<⇒a10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1x ＋1) x ≥0，(12)x －1 x ＜0．若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 123>-<a a 或解析：不需讨论223a -，a 的正负性，可以观察出)(x f 是减函数，则a a <-223 已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题： ① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为____________．①②③④ 解析：令)(x f t =，画出1-=x t 和2t t k -=图象11. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当2x S x S ∈∈时，有，给出如下三个命题：①若{}1,1m S ==则；②若11,1;24m l =-≤≤则③若1,02l m =-≤≤则；其中正确的命题为 ①②③解析：①1],1[11222≤⇒≤⇒⊆≤≤⇒≤≤l l l l l x l x ，而1≥l ，故1=l ②l x ≤≤-21，若2121≤≤-l ，则;41],21[4102≥⇒-⊆≤≤l l x 若21≥l ，则1],21[022≤⇒-⊆≤≤l l l x ③21≤≤x m ，若0>m ，则]21,[4122m x m ⊆≤≤，12≥⇒≥m m m 矛盾，若021≤≤-m ，则]21,[4102m x ⊆≤≤，成立；若21-<m ，则212221]21,[0222-<≤-⇒≤⇒⊆≤≤m m m m x ，综上，022≤≤-m12. 已知函数12)(,1)(332++-=++=a a x x g a xx x f ，若存在)1(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得9|)()(|21≤-ξξg f ，则a 的取值范围是 (]4,1解析：即9)()(921≤-≤-ξξf f ，min max )()(9x g x f -≤-，且9)()(m a x m i n ≤-x g x f①②④13. 已知1()|1|1f x x =--，且关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有*()k k N ∈个根，则这k 个根的和可能是 .（请写出所有可能值）2、3、4、5、6、7、8解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=1,11,21)(x xx x x f ，画图14. 已知函数()213,04,0ax x x f x xx ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩，若方程()4f x =有两个不等的实根，则实数a 的取值范围___________141827a ora ><- 解析：即4312=-+x x ax 只有一个非零根，x xx a 34123++-=，令t x =1，则 0)3)(13()('),(3423=-+-==++-=t t t g t g t t t a15. 已知函数111)(2+++=x ax x x f (a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，3)(≥x f 恒成立，则a 的取值范围是 .8[,)3-+∞解析：即08)3(2≥+-+x a x 对x ∈N *恒成立，分离变量)8(3xx a +-≥-恒成立，当;3,68,2-≥=+=a x x x 当38,3-≥=a x ，故38-≥a16. 对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数.例如：2]3.2[=.直角坐标平面内，若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，则 22y x +的取值范围是 )20,10[)5,1(⋃解析：因Z y x ∈--]1[],1[，又4]1[]1[22=-+-y x ，所以⎩⎨⎧±=-=-2]1[0]1[y x或⎩⎨⎧=-±=-0]1[2]1[y x ，则⎩⎨⎧-===1][3][1][y y x 或，或⎩⎨⎧=-==1][1][3][y x x 或⎩⎨⎧<≤<≤<≤⇒01-4321y y x 或或….数形结合即可17. 设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足2()()1005x f x f x +=-的所有x 之和为 2010解析：显然10052-+=x x x 或010052=-++x x x ，然后用韦达定理即可 18. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意,a b R ∈，都有22()()2()f a b f a f b +=+成立，则(2011)f = 0或22011解析：令,0==b a 0)0(=f ；令)(2)(,022b f b f a ==，令1=b ，则0)1(=f 或21)1(=f 当0)1(=f 时，令1=b ，则)()1(a f a f =+，显然0)2011(=f 当21)1(=f 时，令1=b ，则21)()1(+=+a f a f ，22011201021)1()2011(=⨯+=f f 19. 设函数2()21f x x x =+-，若1,a b <<-且()(),f a f b =则ab a b ++的取值范围为（-1,1）1,a b <<-结合图象知，131-<<<<-b x a则)12(1222-+-=-+b b a a 2202)(22222-+-=+⇒=-+++⇒b a b a b a b aab a b ++2)(222222b a b a ab --=-+-=，而02<-<-b a ，4)(02<-<b a 20. 如果关于x 的方程312=+xax 在区间),0(+∞上有且仅有一个解，则实数a 的取值范围为___2=a 或0≤a解析：312=+xax )1(3)('013)(23-=⇒=+-=⇒ax x x f x ax x f 当0=a 时，013)(2=+-=x x f 显然满足题意；当0<a 时，如图，而01)0(>=f ，满足题意；当0>a 时，如图，极小值点20)2(=⇒=a af21. 已知函数f (x)=x 2+2x+1，若存在t ，当x ∈[1，m]时，f (x+t)≤x 恒成立，则实数m 的最大值为 4 解析：数形结合)(t x f +是由)(x f 左右移动所得，要使得f (x+t)≤x 在x ∈[1，m]上恒成立，则尽量向右移动，当)(t x f +与x y =左交点横坐标为1的时候，此时m 最大.22. 已知周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 的最小正周期为3，,2)1(<fm m f 则,)2(=的取值范围为 _____),2(+∞- 解析：2)1()2()2(->-=--=f f f23. 设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+，且在闭区间[]0,7上，()0f x =仅有两个根1x =和3x =，则方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 ________805解析：⇒+=-)4()(x f x f 对称轴2=x ，⇒+=-)10()4(x f x f 对称轴7=x 同时，()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+⇒+=⇒)10()(x f x f 周期10=T画草图，2011]上有201个周期共有402个根，在[2010,2011]上有1个根，在]0,2010[-有201个周期，共有402个根，而]2010,2011[--与]0,1[-一样无根，共有805个根24. 已知函数是定义在(0,)+∞上的单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f (5)的值等于 8解析：令3)]1([,1==f f n ，若1)1(=f ，则1)1()]1([==f f f ，与3)]1([=f f 矛盾；故1)1(>f ，而)1()]1([3f f f >=，且()f n *∈N ，则2)1(=f ，则3)]1([)2(==f f f ，6)]2([)3(==f f f ，9)]3([)6(==f f f ，则由递增知 9)6()5()4()3(6=<<<=f f f f ，则8)5(,7)4(==f f25. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0(')1(f f 的最小值为_____________2 解析：,0)0(',2)('>=+=b f b ax x f 因为对任意实数x 都有0)(≥x f ，所以0)0(≥=c f ，0>a ，042≤-=∆ac b ，即ac b 42≤，所以c a ,同为正实数，所以2421211)0(')1(2=+≥+≥++=++=b b b ac b c a b c b a f f ，当且仅当c a b 22==时取等号.26. 设,0>a 函数xa x x f 2)(+=，x x x g ln )(-=，若对任意的],1[,21e x x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，则实数a 的取值范围为_______________ 2-≥e a解析：因为)()(21x g x f ≥，所以xa x x f 2)(+=在],1[e 上最小值大于等于)(x g 的最大值，又因为0111)('≥-=-=xx x x g ，所以)(x g 在],1[e 上递增，所以1)(m a x -=e x g ，又①e a ≥时，)(x f 在],1[e 上递减，所以1)(2min->+=e ea e x f ，故e a ≥；②10≤<a 时，)(x f 在],1[e 上递增，所以,1)(2m i n a x f +=故112-≥+e a ，2-≥e a ，此时12≤≤-a e ；③e a <<1时，a x f 2)(min =，所以12-≥e a ，即21-≥e a ，所以e a <<1，综上得实数a 的取值范围是2-≥e a 27. 定义在),0(+∞上的函数)(xf 的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若两正数y x ,满足1)(≥+y x f ，则33++x y 的取值范围是_______________)37,73( 解析：)(x f 在),0(+∞上单调递减，)4(1)(f y x f =≥+，40≤+<y x ，利用斜率数形结合可得.28. 已知函数)*,()2()(,342)(22222Z b N a x a x x g x b b ax x f ∈∈-=⋅-+--=，若存在0x ，使)(0x f 为)(x f 的最小值，)(0x g 为)(x g 的最大值，则此时数对),(b a 为____________（1,2）.解析：因为)(x f 是开口向上的抛物线，函数取最小值时x a x x g ab b x 23'2044)(,34+-=-+-=，令0)('=x g ，则a x x ±==,0，所以a x =0，即2234ab b =-+-，又因为0342>-+-b b ，所以31<<b ，故1,2==a b29. 已知t 为常数，函数|13|)(3+--=t x x x f 在区间]1,2[-上的最大值为2，则实数=t ______1解析：令13)(3+--=t x x x g ，则33)('2-=x x g =0， 1,1=-=x x ，所以)1(|1|||1)2(f t t f =+=--=-，|3|)1(t f -=-，又)(x f 在]1,2[-上的最大值2，故⎩⎨⎧≤-=+2|3|2|1|t t 或⎩⎨⎧≤+=-2|1|2|3|t t 所以1=t 法二：33|31|22312x x t x x t --+≤⇒-≤--+≤分离变量后求最值30. 已知函数],[,2)(2b a x x x x f ∈-=的值域为]3,1[-，则a b -的取值范围是___________]4,2[解析：x x x f 2)(2-= 是开口向上的抛物线，当1-=x 或3=x 时，3)(=x f ，当1=x 时1)(-=x f ，所以)(x f 的值域是]3,1[-时，定义域中一定包含,1=x 同时1-=x 或3=x 至少包含一个值，所以]4,2[∈-a b31. 已知函数12||4-+=x y 的定义域为),](,[Z b a b a ∈，值域为]1,0[，那么满足条件的整数对),(b a 共有___________个 5个解析：202241≤≤⇒≤+≤x x ，只要使得2≤x 的区间都可以，于是有]1,2[],0,2[],2,0[],2,1[],2,2[----32. 若不等式4|4|32-≥-+ax x x x 对于)6,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是________]4,(-∞.解析：|4|42-++≤x xx a 的最小值，当20≤<x 时，2244|4|4x x x x x x -++=-++，在]2,0(上递减，所以|4|42-++x xx 最小值是4；当62<≤x 时，442-++x x x 在)6,2[上递增，所以|4|42-++x xx 最小值是4，所以4≤a32. 函数|1|||)(-+=x x x f ，若a x f x g -=)()(的零点个数不为0，则实数a 的最小值是______1 解析：数形结合33. 定义在R 上的单调函数)(x f 满足3log )3(2=f ，且对任意的R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，若0)293()3(<--+⋅x x x f k f 对任意的R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____________)221,(+--∞解析：令0)0(,0===f y x ，再令x y -=得奇函数，又3l o g )3(2=f >0，)0()3(f f >，由)(x f 是单调函数，知增函数，1323-+<x x k ，而1323-+xx的最小值为122-34. 若函数tx x x f 213)(-+=*)*,(N x N t ∈∈的最大值是正整数M ，则M =_______7解析：因为**,N x N t ∈∈，所以函数取最大值M 时tx 213-也是正整数，则1213=-tx 或9213=-tx ，则当1213=-tx 时，16)(,6+==tx f t x ，故1=t 时，7)(max =x f ；当9213=-tx ，32)(+=tx f ，所以1=t 时5)(max =x f 35. 设集合3|4M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，1|3N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，且集合,M N 都是集合[]0,1的子集，定义b a -为集合[],a b 的长度，求集合M N 长度的最小值________121解析：集合M 的区间长度是43，集合N 的区间长度是31，要使得MN 区间长度最小，必须使得集合N M ,尽可能分别向0,1靠近，即最大限度拉开它们距离，左边区间的左端点=0，右边区间的右端点=1，可以分M ,N 分别左右位置讨论，结果显然一样，因为它们相对位置是不变的.36. 函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a =-对称。

中考数学备考填空压轴题精选(73题)学生版

2020年中考数学备考填空压轴题精选（73题）教师版1．（2019安徽省）在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y ＝x ﹣a +1和y ＝x 2﹣2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是． 2．（2019北京市）在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是______．3．（2019福建省）如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y ＝（x ＞0）的图象上，函数y ＝（k ＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠BAD ＝30°，则k ＝．4．（2019甘肃省）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝．5．（2019甘肃省）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为．6.（2019甘肃省武威市）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．7．（2019广东省）如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题16-2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含a 、b 代数式表示）．8．（2019广东省广州市）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF ＝BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC ，EF ，EG ，则下列结论：①∠ECF ＝45°；②△AEG 的周长为（1+）a ；③BE 2+DG 2＝EG 2；④△EAF 的面积的最大值a 2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）9.（2019广东省深圳市）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，C （0，-3），CD=3AD,点A 在xk y 上，且y 轴平分脚ACB ，求k= 。

精选高难度压轴填空题----解析几何

1.已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1，则椭圆的离心率为_______解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2121221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入方程作差得222122122212122121010))(())((ab k k b k k a b y y y y a x x x x -=⇒=+⇒=-++-+ 1212222121=⇒=≥+ab k k k k2.M 是以B A ,为焦点的双曲线222=-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-=-≥+-=+a AC MC a MA MC MB3.设B A ,为双曲线)0(2222≠=-λλby a x 同一条渐近线上的两不同点，)0,1(=m ,6||,=AB 3||=m ，则双曲线的离心率为_______________2或332 解析：3||=m 21,cos >=<⇒m AB ，故3=a b 或3=ba4.有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是 ______⎪⎭⎫⎝⎛52,31 解析：画图后，521103310252210221,22<<⇒<<⇒<-<1⇒<<=c c c c a c c PF )52,31(1512102∈+=+=cc c e5.已知曲线22:x y C =，点A (0,-2)及点B (3,a )，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是．（－∞,10）解析：关键是用什么模型，设切点),(00y x ，则切线为)(4000x x x y y -=-，过点A (0,-2)，得切于点)2,1(，切线为)1(42-=-x y ，切线与直线x =3的交点为(3,10)，故a ＜10。

压轴题28填空压轴题(函数篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(原卷版)

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题28填空压轴题（函数篇）一．填空题（共40小题）1．（2023•上虞区模拟）已知点A在反比例函数y=12x（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰直角三角形，则AB的长为．2．（2023•姑苏区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P'的坐标为（ka+b，a+b k）（其中k为常数且k≠0），则称点P'为点P的“k—关联点”．已知点A在函数y=3x（x＞0）的图象上运动，且A是点B的“3—关联点”，若C（﹣1，0），则BC的最小值为．3．（2023•海门市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，n），B（m+4，n﹣2）是函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点C．若BC＝8，则k的值为．4．（2023•建昌县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD＝3CD，则k值为．5．（2023•碑林区校级模拟）如图，等腰直角△ABC的顶点A坐标为（﹣3，0），直角顶点B坐标为（0，1），反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点C，则k＝．6．（2023•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，点B的坐标为（4，0）．反比例函数y=kx（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D．若C为AB的中点，则ODOA=．7．（2023•龙港市二模）如图，Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，∠ABO＝Rt∠，A的坐标为（﹣4，0）．将△ABO绕点O顺时针旋转得到△A′B′O，使点B落在边A′O的中点．若反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点B'，则k的值为．8．（2023•温州二模）如图，点A在x轴上，以OA为边作矩形OABC，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AB的中点E，交边BC于点D，连结OE．若OE＝OC，CD＝2，则k的值为．9．（2023•石家庄二模）已知A，B，C三点的坐标如图所示．（1）若反比例函数y=kx的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点；（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个y=kx公共点时，k的取值范围是．10．（2023•郫都区二模）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1、W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m的取值范围为．11．（2023•双阳区一模）如图，抛物线y＝﹣0.25x2+4与y轴交于点A，过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y＝x2于B、C两点（点B在C的左边），连接BO、CO，若将△BOC向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线y＝﹣0.25x2+4上，则点O平移后的坐标为．12．（2023•衡水二模）如图，点A(a，−3a)(a＜0)是反比例函数y=k x图象上的一点，点M（m，0），将点A绕点M顺时针旋转90°得到点B，连接AM，BM．（1）k的值为；（2）当a＝﹣3，m＝0时，点B的坐标为；（3）若a＝﹣1，无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式．13．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标．14．（2023•沈阳二模）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降元．15．（2023•贵港二模）如图，抛物线y 1截得坐标轴上的线段长AB ＝OD ＝6，D 为y 1的顶点，抛物线y 2由y 1平移得到，y 2截得x 轴上的线段长BC ＝9．若过原点的直线被抛物线y 1，y 2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为．16．（2023•江都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为（3，4），（﹣1，1），点C 在线段AB 上，且AC BC=13，则点C 的坐标为．17．（2023•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，OA ＝3，将OA 沿y 轴向上平移3个单位至CB ，连接AB ，若反比例函数y =kx (x ＞0)的图象恰好过点A 与BC 的中点D ，则k ＝．18．（2023•乐至县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 、A 1、A 2、A 3…A n 在x 轴上，B 1、B 2、B 3…B n在直线y =−√33x +√33上，若A （1，0），且△A 1B 1O 、△A 2B 2A 1…△A n B n A n ﹣1都是等边三角形，则点B n的横坐标为．19．（2023•玄武区一模）已知函数y ＝2x 2﹣（m +2）x +m （m 为常数），当﹣2≤x ≤2时，y 的最小值记为a ．a 的值随m 的值变化而变化，当m ＝时，a 取得最大值．20．（2023•萧山区一模）已知点P （x 1，y 1）Q （x 2，y 2）在反比例函数y =6x图象上．（1）若x 1x 2=2，则y 1y 2= ．（2）若x 1＝x 2+2，y 1＝3y 2，则当自变量x ＞x 1+x 2时，函数y 的取值范围是． 21．（2023•灞桥区校级模拟）如图，点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，以AB 为边构造正方形ABCD ，点C ，D 恰好都落在反比例函数y =k x(k ≠0)的图象上，点E 在BC 延长线上，CE ＝BC ，EF ⊥BE ，交x 轴于点F ，边EF 交反比例函数y =kx(k ≠0)的图象于点P ，记△BEF 的面积为S ，若S =k2+12，则k 的值为．22．（2023•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．以AB 为边长作正方形ABCD ，S 正方形ABCD ＝50，点C 在反比例函数y ＝k /x （k ≠0，x ＞0）的图象上，将正方形沿x 轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D 刚好落在该函数图象上，则k 的值是．23．（2023•长春一模）如图，正方形ABCD 、CEFG 的顶点D 、F 都在抛物线y =−12x 2上，点B 、C 、E 均在y 轴上．若点O 是BC 边的中点，则正方形CEFG 的边长为．24．（2023•成都模拟）如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，射线AB 分别交y 轴于点D ，交双曲线y =kx (k ＞0，x ＞0）于点B ，C ，连接OB ，OC ，当OB 平分∠DOC 时，AO 与AC 满足AO AC=23，若△OBD 的面积为4，则k＝．25．（2023•北仑区二模）如图，将矩形OABC 的顶点O 与原点重合，边AO 、CO 分别与x 、y 轴重合．将矩形沿DE 折叠，使得点O 落在边AB 上的点F 处，反比例函数y =kx (k ＞0)上恰好经过E 、F 两点，若B 点的坐标为（2，1），则k 的值为．26．（2023•合肥二模）已知函数y ＝x 2+mx （m 为常数）的图形经过点（﹣5，5）．（1）m ＝．（2）当﹣5≤x ≤n 时，y 的最大值与最小值之和为2，则n 的值．27．（2023•仓山区校级模拟）下表记录了二次函数y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）中两个变量x 与y 的6组对应值，x … ﹣5 x 1 x 2 1 x 3 3 … y…m2nm…其中﹣5＜x 1＜x 2＜1＜x 3＜3．根据表中信息，当−52＜x ＜0时，直线y ＝k 与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围为．28．（2023•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx (k ＜0)的图象在第二象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为．29．（2023•龙泉驿区模拟）在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t ≤x ≤t +1时，一次函数y ＝kx +1（k ＞0）的界值大于3，则k 的取值范围是；当t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝x 2+2tx ﹣3的界值为2，则t ＝．30．（2023•姑苏区一模）如图①，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞AD ．动点P ，Q 均以1cm /s 的速度同时从点A 出发，其中点P 沿折线AD ﹣DC ﹣CB 运动到点B 停止，点Q 沿AB 运动到点B 停止，设运动时间为t （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），则y 与t 的函数图象如图②所示，则AB ＝ cm ．31．（2023•宁波模拟）如图，点B 是反比例函数y =8x（x ＞0）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF ，BG ．则k ＝；△BDF 的面积＝．32．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝3x 与反比例函数y =kx (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，C 是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA 交y 轴于点D ，连接BC ，BD ，若CD BC=45，△BCD 的面积为30，则k ＝．33．（2023•锦江区模拟）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足a2+2ac+c2＜b2.若当x＝t+2和x＝﹣t+2（t为任意实数）时ax2+bx+c的值相同；当x＝﹣2时，ax2+bx+c的值为2，则二次项系数a的取值范围是．34．（2023•江北区一模）如图，菱形ABCO的顶点A与对角线交点D都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，对角线AC交y轴于点E，CE＝2DE，且△ADB的面积为15，则k＝；延长BA交x轴于点F，则点F的坐标为．35．（2023•吴兴区一模）如图1，点A是反比例函数y=kx(k＞0)的图象上一点，连接OA，过点A作AA1∥y轴交y=1x(x＞0)的图象于点A1，连接OA1并延长交y=k x(k＞0)的图象于点B，过点B作BB1∥y轴交y=kx(k＞0)的图象于点B1，已知点A的横坐标为1，S△AOA1=2S△BA1B1，连接OB1，小明通过对△AOA1和△BOB1的面积与k的关系展开探究，发现k的值为；如图2，延长OB1交y=kx(k＞0)的图象于点C，过点C作CC1∥y轴交y=kx(k＞0)的图象于点C1，依此进行下去．记S△BA1B1=S1，S△CB1C1=S2，…则S2023＝．36．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线C1：y=x2+2x−3与抛物线C2：y=ax2+bx+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果BD＝CD，那么抛物线C2的表达式是．37．（2023•蜀山区校级模拟）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h （米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差）．（1）m＝，n＝；（2）当2≤t≤3时，w的取值范围是．38．（2023•南充模拟）如图，平移抛物线y＝ax2+bx+c，使顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点．若A（﹣2，﹣3），B（4，﹣3），四边形ABDC的面积为15，则a＝．39．（2023•通州区一模）某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．40．（2023•武侯区模拟）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式h＝﹣5t2+mt+n，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筐前L的取值范围是．。

部编数学七年级下册难点特训(三)选填压轴50道(解析版)含答案

难点特训（三）选填压轴50道1．如图，AB ∥CD ，OE 平分BOC Ð，OF OE ^，OP CD ^，ABO a Ð=°，则下列结论：()11802BOE a Ð=-°①；OF ②平分BOD Ð；POE BOF Ð=Ð③；2.POB DOF Ð=Ð④其中正确的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④2．一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x 轴、y 轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度．在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（）A．（44，3）B．（45，3）C．（44，4）D．（4，45）【答案】A【分析】根据现有点(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，然后利用这个结论算出第2020分钟时点的坐标．【详解】粒子所在位置与运动的时间的情况如下：位置：(1，1)运动了2=1×2分钟，方向向左，位置：(2，2)运动了6=2×3分钟，方向向下，位置：(3，3)运动了12=3×4分钟，方向向左，位置：(4，4)运动了20=4×5分钟，方向向下；…总结规律发现，设点(n，n)，当n为奇数时，运动了n(n+1)分钟，方向向左；当n为偶数时，运动了n(n+1)分钟，方向向下；∵44×45=1980，45×46=2070∴到(44，44)处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，故到2021分钟，须由(44，44)再向下运动2021-1980=41，44-41=3，到达(44，3)．故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．3．如图，AB ∥CD ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥OE ，OP ⊥CD ，ABO a Ð=°，则下列结论：①∠BOE ＝1(180)2a -°；②OF 平分∠BOD ；③∠POE ＝∠BOF ；④∠POB ＝2∠DOF ，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知1126Ð=°，则2Ð的度数为（）A．63°B．54°C．72°D．45°【答案】A【分析】如图（见解析），先根据长方形的性质可得AB//CD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3的度数，然后根据折叠的性质列等式即可求出．【详解】如图，由长方形的性质得：AB//CD∴∠1+∠3=180°∵∠1=126°∴∠3=180°−∠1=54°由折叠的性质得：2∠2+∠3=180°，即2∠2+54°=180°解得∠2=63°故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，掌握理解折叠的性质是解题关键．5．如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹¢∥．角∠BAF＝________时，AB BDA．50°B．55°C．65°D．70°6．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【分析】根据角平分线的性质，得出∠BOD=∠DOF，然后根据对顶角相等，得出∠BOD=∠AOC，进而得出∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°；②根据∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，得出∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)，等角转换，即可得出∠EOB＝180°﹣α；③由∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF），然后等角转换，即可得出∠AOF＝360°﹣2α．【详解】①∵OD平分∠BOF，则∠BOD=∠DOF，又∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°；符合题意；②∵∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，∴∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)=180°-(∠EOD+∠DOF)=180°-∠EOF=180°-α；符合题意；③∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF）= 360°﹣2（∠EOD+∠DOF）=360°-2∠EOF=360°-2α；符合题意；故答案为D．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题．7．将正整数按如下图所示的规律排列，若用有序数对（m，n）表示从上到下第m行，和该行从左到右第n个数，如（4，2）表示整数8，则（8，4）表示的整数是（）A．31B．32C．33D．41【答案】B【详解】试题解析：根据（4，2）表示整数8，是以连续自然数的形式排列，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：第1行1个数到最后一个数为1，第2行2个数最后一个数为1＋2＝3，第3行3个数最后一个数为1＋2＋3＝6，……第7行最后一个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，而（8，4）表示第8行第四个数，所以第8行第四个数为28＋4＝32．故选B.8．如图，//AB DE ，那么BCD Ð=（）A ．18012ÐÐ°+-B ．12Ð+ÐC ．21Ð-ÐD ．180221ÐÐ°+-【答案】A 【分析】过点C 作CF ∥AB ，由AB ∥DE 可知，AB ∥DE ∥CF ，再由平行线的性质可知，∠1=∠BCF ，∠2+∠DCF =180°，故可得出结论．【详解】解：过点C 作CF ∥AB ，如图：∵AB ∥DE ，∴AB ∥DE ∥CF ，∴∠BCF =∠1①，∠2+∠DCF =180°②，∴①+②得，∠BCF +∠DCF +∠2=∠1+180°，即∠BCD =180°+∠1-∠2．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．9．如图，已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ^^Ð=°．则结论①//FG AD ；②DE 平分ADB ；③B ADE Ð=Ð；④CFG BDE Ð+Ð90=°．正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C 【分析】根据,,AD BC FG BC ^^得到FG ∥AD ，判断①正确；根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确；根据//DE AC ，证明∠BDE=∠C ，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确；证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确．【详解】解：∵,,AD BC FG BC ^^∴∠FGB=∠ADB=90°，∴FG ∥AD ，∠ADE+∠BDE=90°，故①正确；∵DE ∥AC ，∴∠DEB=∠CAB=90°，∴∠B+∠BDE=90°，∴B ADE Ð=Ð，∴③正确；∵//DE AC ，∴∠BDE=∠C ，∵∠FGC=90°，∴∠C+∠CFG=90°，∴∠BDE+∠CFG=90°，∴④正确；∵∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∴②不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是解题关键．10．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A ．(5，44)B ．(4，44)C ．(4，45)D ．(5，45)【答案】B 【分析】根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是21(1)次，到(0,2)是第8(24)´次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)´次，到(0,5)是第225(5)次，到(0,6)是第48(68)´次，依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标．【详解】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是21(1)次，到(0,2)是第8(24)´次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)´次，到(0,5)是第225(5)次，到(0,6)第48(68)´次，依此类推，到(0,45)是第2025次．2025142020--=，故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)．故选：B ．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．11．如图，AF ∥CD ，CB 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ，且BC ⊥BD ，下列结论：① BC 平分∠ABE ；② AC ∥BE ；③ ∠CBE +∠D ＝90°；④ ∠DEB ＝2∠ABC ．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可．【详解】∵AF ∥CD ，∴∠ABC =∠ECB ，∠EDB =∠DBF ，∠DEB =∠EBA ，∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB=∠BCA，∠EBD=∠DBF，∵BC⊥BD，∴∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE+∠EBC=90°，∴∠EDB=∠DBE，∴∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA，∴①BC平分∠ABE，正确；∴∠EBC=∠BCA，∴②AC∥BE，正确；∴③∠CBE+∠D=90°，正确；∵∠DEB=∠EBA=2∠ABC，故④正确；故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，∥的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿12．如图1是AD BCBF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）A．108°B．114°C．116°D．120°【答案】B【分析】如图，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则∠BFC=x−18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x−18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF=180°−∠B′FE=114°，据此即可求得．【详解】解：如图，设∠B′FE＝x，∵纸条沿EF折叠，∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，∴∠BFC ＝∠BFE ﹣∠CFE ＝x ﹣18°，∵纸条沿BF 折叠，∴∠C ′FB ＝∠BFC ＝x ﹣18°，而∠B ′FE +∠BFE +∠C ′FE ＝180°，∴x +x +x ﹣18°＝180°，解得x ＝66°，∵A D B C ¢¢¢¢∥，∴∠A ′EF ＝180°﹣∠B ′FE ＝180°﹣66°＝114°，∴∠AEF ＝114°．故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．13．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A = 50°,∠D =10°，则∠P 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】B 【分析】利用三角形外角的性质，得到∠ACD 与∠ABD 的关系，然后用角平分线的性质得到角相等的关系，代入计算即可得到答案．【详解】解：延长DC ，与AB 交于点E ．∵∠ACD 是△ACE 的外角，∴∠ACD =∠A +∠AEC =50°+∵∠AEC 是△BDE 的外角，∴∠AEC =∠ABD +∠D =∠ABD 14．如图，E 在线段BA 的延长线上，∠EAD ＝∠D ，∠B ＝∠D ，EF HC ∥，连FH 交AD 于G ，∠FGA 的余角比∠DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使∠CKG ＝∠CGK ，在∠AGK 内部有射线GM ，GM 平分∠FGC ．则下列结论：①AD BC ∥；②GK 平分∠AGC ；③GK CD ∥；④∠MGK ＝16°．其中正确结论的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理得到AD BC ∥，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK =∠CKG ，等量代换得到∠AGK =∠CGK ，求得GK 平分∠AGC ；故②正确；根据平行线同旁内角互补得180D DCG GCK Ð+Ð+Ð=°，再根据题目已知∠CKG ＝∠CGK ，得2D DCG GKC Ð+Ð=Ð，又根据AD BC ∥，得2D DCG AGK Ð+Ð=Ð，但根据现有条件无法证明GD =GC ，故③错误；设∠AGM =α，∠MGK =β，得到∠AGK =α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠EAD =∠D ，∠B =∠D ，∴∠EAD =∠B ，∴AD BC ∥，故①正确；∴∠AGK =∠CKG ，∵∠CKG =∠CGK ，∴∠AGK =∠CGK ，∴GK 平分∠AGC ；故②正确；∵AD BC ∥，∴180D DCG GCK Ð+Ð+Ð=°，∵∠CKG ＝∠CGK ，∴1802180D DCG GKC Ð+Ð+°-Ð=°，∴2D DCG GKC Ð+Ð=Ð，又∵AD BC ∥，∴AGK CKG Ð=Ð，∴2D DCG AGK Ð+Ð=Ð，要使GK CD ∥，就要使D AGK Ð=Ð且D DCG Ð=Ð，∴就要GD =GC ，但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD =GC ，∴故③错误；设∠AGM =α，∠MGK =β，∴∠AGK =α+β，∵GK 平分∠AGC ，∴∠CGK =∠AGK =α+β，∵GM 平分∠FGC ，∴∠FGM =∠CGM ，∴∠FGA +∠AGM =∠MGK +∠CGK ，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK =18.5°，故④错误，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．15．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]44=，1=，[]2.53-=-．现对82进行如下操作：82931¾¾¾®=¾¾¾®=¾¾¾®=第一次第二次第三次，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（）次操作后变为1．A ．4B ．3C ．2D ．116．如图，已知点A （4，0），B （0，2），C （﹣5，0），CD //AB 交y 轴于点D ．点P （m ，n ）为线段CD 上（端点除外）一点，则m 与n 满足的等量关系式是（）A ．m +2n ＝﹣5B ．2m +n ＝﹣10C ．m ﹣n ＝﹣5D ．2m ﹣n ＝﹣6【答案】A 【分析】利用平移的性质得到点D 的坐标，由点C 、D 、P 在一条直线上，则三点的坐标都符合同一个关系式，由此解答即可．【详解】∥Q AB CD ，A （4，0），B （0，2），C （﹣5，0），设A 的平移后的对应点位H ，当B 与C 对应时，先向下平移2个单位，再向左平移5个单位，12H \--（，）将点C 、H 代入答案中，\ m +2n ＝﹣5的解析式符合两个点，故选：A ．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，平移的性质，掌握坐标变化规律时关键．17．如图，已知80F FGD Ð+Ð=°（其中E FGD Ð>Ð），添加一个以下条件：①280FEB FGD Ð+Ð=°；②180F FGC Ð+Ð=°；③180F FEA Ð+Ð=°；④100FGC F Ð-Ð=°．能证明AB CD ∥的个数是（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【分析】过点F 作CD 的平行线FH ，结合条件①可证AB ∥CD ；条件②得到EF ∥CD ；条件③得到AF ∥FG ；条件④的结果得到恒等式．【详解】解：①过点F 作FH ∥CD ，则：∠HFG ＝∠FGD ，∵∠EFG ＝∠EFH +∠HFG ，∠EFG +∠FGD ＝80°，∴∠EFH+2∠FGD＝80°，∵∠FEB+2∠FGD＝80°，∴∠EFH＝∠FEB，∴AB∥FH，∴AB∥CD，故①符合题意；②∵∠F+∠FGC＝180°，∴CD∥FE，故②不符合题意；③∵∠EFG+∠FEA＝180°，∴AB∥FG，故③不符合题意；④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°，∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°，∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．18．如图，动点P从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．(0,3)B．(5,0)C．(1,4)D．(8,3)【答案】A【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2022除以6得到337，说明点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组最后一次，因此点P的坐标为(0,3)．【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，∵第6次反弹时回到出发点，∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，∵2022÷6=337，∴点P第2022次碰到矩形的边时是第337个循环组最后一次，坐标为(0,3)．故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．19．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C′，B′处．若∠DFC′＝α，则∠FEA－∠AEB′的度数为（）A．45°＋12αB．60°－12αC．90°－12αD．90°－32α20．如图：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④∴∠ACF=∠4=20°，∴∠ACB=90°-20°=70°，∴∠BCD=70°，∵CD∥AB，∴∠2=∠BCD=70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°，故③正确；∵∠BCD=70°，∴∠ACB=70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE=30°，∴①∠ACE=2∠4错误；∵∠4=20°，∠3=40°，∴∠3=2∠4，故④正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，理清图中角之间的和差关系是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（）A ．（505，1010）B ．（﹣506，1010）C ．（﹣506，1011）D ．（506，1011）【答案】D 【分析】设第n 次跳动至点An ，根据部分点An 坐标的变化找出变化规律“A 4n （-n -1，2n ），A 4n +1（-n -1，2n +1），A 4n +2（n +1，2n +1），A 4n +3（n +1，2n +2）（n 为自然数）”，依此规律结合2022=505×4+2即可得出点A 2022的坐标．【详解】解：设第n 次跳动至点An ，观察，发现：A （-1，0），A 1（-1，1），A 2（1，1），A 3（1，2），A 4（-2，2），A 5（-2，3），A 6（2，3），A 7（2，4），A 8（-3，4），A 9（-3，5），…，∴A 4n （-n -1，2n ），A 4n +1（-n -1，2n +1），A 4n +2（n +1，2n +1），A 4n +3（n +1，2n +2）（n 为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A 2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D ．【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点An 坐标的变化找出变化规律“A 4n （-n -1，2n ），A 4n +1（-n -1，2n +1），A 4n +2（n +1，2n +1），A 4n +3（n +1，2n +2）（n 为自然数）”是解题的关键．22．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点(,)P x y ，规定：,(,),x x y f x y y x y ì³ï=í<ïî；比如34,4,(2,3)32f f æö-=--=ç÷èø．当(,)2f x y =时，所有满足该条件的点P 组成的图形为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）=2可知|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．【详解】解：∵f（x，y）=2，∴|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|y|＜2．①当|x|=2，|y|≤2时，点P满足x=2，-2≤y≤2或x=-2，-2≤y≤2，在图象上，线段x=2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x=-2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；②当|y|=2，|x|＜2时，点P满足y=2，-2＜x＜2，或y=-2，-2＜x＜2，在图象上，线段y=2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y=-2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．故选：D．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征．23．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（）x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917 2x256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289=1.67②265的算术平方根比16.3大③只有4个正整数n满足16.416.5<④若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44A．①④B．②③C．③④D．②③24．我们规定：在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点()11,M x y ，()22,N x y 之间的折线距离为1212(,)d M N x x y y =-+-，例如图中，点(2,3)M -与(1,1)-N 之间的折线距离为(,)|21||3(1)|347d M N =--+--=+=．已知点(3,4)P -，若点Q 的坐标为(1,)t ，且(,)8d P Q =，则t 的值为（）A ．0B ．1-C ．1-或7D ．0或8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题25．如图所示，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ^于D ，若()()(),3,,5,4,0B m C n A -，则AD BC ×=________．∥；②DE平分26．如图，已知AD^BC，FG^BC，ÐBAC=90°，DE AC∥．则结论：①FG ADÐADB；③ÐB=ÐADE；④ÐCFG+ÐBDE=90°．正确的是______．【答案】①③④【分析】利用平行线的判定与性质以及直角三角形中两个锐角互余的知识即可求解．∥，∠BAC=90°，【详解】∵DE AC∴∠BED=90°，∠CAD+∠BAD=90°，∴∠B+∠BDE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE=∠BAD，∴∠B=∠ADE，故③正确；∵AD⊥BC，FG⊥BC，∥，故①正确；∴FG AD∥，∵DE AC∴∠C =∠BDE ，∵∠B =∠ADE ，显然∠C 与∠B 不一定相等，∴∠BDE 与∠ADE 不一定相等，∴DE 就不一定平分∠ADB ，故②错误；∵FG AD ∥，∴∠CFG =∠CAD ，∵∠BDE =∠BAD ，∠CAD +∠BAD =90°，∴∠CFG +∠BDE =90°，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，直角三角形中两锐角互余以及叫角平分线的定义的知识，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -，一智能机器人从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB BC CD DA ®®®方向匀速循环前行．当机器人前行了2022秒时，其所在位置的点的坐标为______．【答案】(1,1)-【分析】由点可得ABCD 是长方形，智能机器人从点A 出发沿着A B C D ---回到点A 所走路程是10，即每过10秒点P 回到A 点一次，判断202010¸的余数就是可知智能机器人的位置．【详解】解：由点()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -，可知ABCD 是长方形，2AB CD \==，3CB AD ==，\机器人从点A 出发沿着A B C D ---回到点A 所走路程是：223310+++=，202210202¸=Q ...2，\第2022秒时机器人在B 点处，\机器人所在点的坐标为()1,1-，故答案为：()1,1-．【点睛】本题考查动点运动，探索规律，平面内点的坐标特点．能够找到点的运动每10秒回到起点的规律是解题的关键．28．如图，动点P 从坐标原点(0,0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点(1,0)，第2秒运动到点(1,1)，第3秒运动到点(0,1)，第4秒运动到点(0,2)…则第2068秒点P 所在位置的坐标是_______________．【答案】(45,43)【分析】分析点P 的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．【详解】解：由题意分析可得，动点P 第8=2×4秒运动到（2，0）动点P 第24=4×6秒运动到（4，0）动点P 第48=6×8秒运动到（6，0）以此类推，动点P 第2n(2n+2)秒运动到（2n ，0）∴动点P 第2024=44×46秒运动到（44，0）2068-2024=44∴按照运动路线，点P 到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位∴第2068秒点P 所在位置的坐标是（45，43）故答案为：（45，43）【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．29．如图，在一个单位面积为1的方格纸上，123A A A △，345A A A △，567A A A V ……是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若123A A A △的顶点坐标分别为1(2,0)A ，2(1,1)A -，3(0,0)A ，则依图中所示规律，点2019A 的横坐标为______．1a +【答案】7或1【分析】根据二次根式有意义的条件，确定290a -=，计算a ，b 的值，再计算a +b 即可．31．如图，已知,70,140AB DE ABC CDE °Ð=Ð=°∥，则BCD Ð的度数为__________．【答案】30°【分析】过点C 作CF ∥AB ，根据平行线的传递性得到CF ∥DE ，根据平行线的性质得到∠BCF ＝∠ABC ，∠CDE ＋∠DCF ＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF ＝70°，由等式性质得到∠DCF ＝30°，于是得到结论．【详解】过点C 作CF ∥AB ，∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE （平行公理的推论），∴∠BCF ＝∠ABC ＝70°，∠DCF ＝180°−∠CDE ＝40°，∴∠BCD ＝∠BCF −∠DCF ＝70°−40°＝30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同们角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．32．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，点D 、C 分别落在点D '、C ′的位置处，若∠1＝56°，则∠EFB 的度数是___．【答案】62°【分析】根据折叠性质得出∠DED ′=2∠DEF ，根据∠1的度数求出∠DED ′，即可求出∠DEF 的度数，进而得到答案．【详解】解：由翻折的性质得：∠DED ′=2∠DEF ，∵∠1=56°，∴∠DED ′=180°-∠1=124°，∴∠DEF =62°，又∵AD ∥BC ，∴∠EFB =∠DEF =62°．故答案为：62°．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．33．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0-，()3,0，现将线段AB 向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB 的对应线段CD ，连接AC ，BD ．（1）点D 的坐标为______ ；（2）在y 轴上存在一点P ，连接PA ，PB ，且2=V PAB S ，求出满足条件的所有点P 的坐标______ ．34．如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1）…，则点A2021的坐标为________．【答案】（506，﹣505）【分析】根据题意逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2021的坐标．【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，∵2021÷4＝505…1，∴点A 2021在第四象限，且转动了505圈以后，在第506圈上，∴A 2021的坐标是（506，﹣505）．故答案为：（506，﹣505）．【点睛】本题考查规律型：点的坐标问题，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，本题的突破点是判定A 2021在第四象限．35．如图，//AB CD ，点P 为CD 上一点，EBA Ð、EPC Ð的角平分线交于点F ，已知42F Ð=°，则E Ð=________度．【答案】84【分析】设2EPC x Ð=，2EBA y Ð=，根据角平分线的定义得到CPF EPF x Ð=Ð=，EBF ABF y Ð=Ð=，根据外角的性质得到142F ABF y Ð=Ð+Ð=°+，22EBA E y E Ð=Ð+Ð=+Ð，由平行线的性质得到1CPF x Ð=Ð=，22EPC x Ð=Ð=，于是得到方程()2242y E y +Ð=°+，即可得到结论．【详解】解：设2EPC x Ð=，2EBA y Ð=，EBA Ð、EPC Ð的角平分线交于点F ，∴CPF EPF x Ð=Ð=，EBF ABF y Ð=Ð=，∴142F ABF y Ð=Ð+Ð=°+，22EBA E y E Ð=Ð+Ð=+Ð，∵//AB CD ，∴1CPF x Ð=Ð=，22EPC x Ð=Ð=，∴221Ð=Ð，∴()2242y E y +Ð=°+，∴84E Ð=°．故答案为：84．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角的和．正确识别图形并通过设未知数建立方程是解题关键．36．如图，点O 是△ABC 的三条角平分线的交点，连结AO 并延长交BC 于点D ，BM 、CM 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角，直线MC 和直线BO 交于点N ，OH ⊥BC 于点H ，有下列结论：①∠BOC +∠BMC ＝180°；②∠N ＝∠DOH ；③∠BOD ＝∠COH ；④若∠CBA ＝∠CAB ，则MN ∥AB ；其中正确的有 _____．（填序号）37．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在AB ，BC 边上，将纸片沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ¢处，然后再次折叠纸片使点F 与点B ¢重合，点C 落在点C ¢，折痕为GH ，若24C B D AB E ¢¢¢Ð=Ð+°，则∠EFC ＝______度．【答案】147【分析】根据将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，得出∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F＝90°，根据四边形ABCD为长方形，得出AD P BC，可得∠DB′F＝∠B′FB ＝2∠EFB，可求∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，可得∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，根据∠C′B′D ＝∠AB′E+24°，列方程180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，解方程即可．【详解】解：∵纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，∴∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F＝90°，∵四边形ABCD为长方形，∴AD P BC，∴∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB，∴∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，∵再次折叠纸片使点F与点B'重合，点C落在点C'，折痕为GH，∴四边形GHC′B′与四边形GHCF关于EG对称，∴∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，∵∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D，∴∠C′B′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，∵∠C′B′D＝∠AB′E+24°，∴∠C′B′D﹣∠AB′E＝24°，∴180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，∴∠EFB＝33°，∴∠EFC＝180°﹣∠EFB＝147°，故答案为：147．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理，恰当应用折叠的性质是解题的关键．38．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则ÐEPF的度数为_____．39．请先计算下列四个式子的值：；的值是_____．40．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 、B 、C 的坐标分别为（1m n -，），（16m n -+，），（5t ，），若△ABO 的面积为△ABC 面积的3倍，则m 的值为____________．41．把如图①中的长方形分割成A ，B 两个小长方形，现将小长方形B 的一边与A 重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C 是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为_________．42．某计算器上的三个按键1x、2x1x将屏幕显示的数变成它的倒数；2x将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______．43．如图，AB ∥CD ，点E 是直线AB 上一点，若52AED BED CDE Ð+Ð=Ð，则AED Ð的度数为______．【答案】30°【分析】根据平行的性质可得∠AED +∠CDE =180°，∠CDE =∠BED ，从而得到∠BED =∠CDE =180°-∠AED ，再由52AED BED CDE Ð+Ð=Ð，可得()51802180AED AED AED Ð+°-Ð=°-Ð，即可求解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠AED +∠CDE =180°，∠CDE =∠BED ，∴∠BED =∠CDE =180°-∠AED ，∵52AED BED CDE Ð+Ð=Ð，∴()51802180AED AED AED Ð+°-Ð=°-Ð，解得：∠AED =30°．故答案为：30°【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．443…．，3；．．．．．的位置记为（1，4）的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为_____．45．①如图1，若AB CD ∥，则360A E C Ð+Ð+Ð=°；②如图2，若AB CD ∥，则-P A Ð=Ð∠C ；③如图3，若AB CD ∥，则1E A Ð=Ð+Ð；④如图4，若AB CD EF ∥∥，点O 在直线EF 上，则180a b g Ð-Ð+Ð=°．以上结论正确的序号是_____．【答案】①②④【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；②先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C +∠P ，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC-∠1=180°，即得∠AEC=180°+∠1-∠A；④根据平行线的性质得出∠α=∠BOF，∠γ+∠COF=180°，进而利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠AEC=360°，故本结论正确，符合题意；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1=∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A=∠1，∴∠A=∠C+∠P，∴∠P=∠A-∠C，故本结论正确，符合题意；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3=180°，∠1=∠2，∴∠A+∠AEC-∠1=180°，即∠AEC=180°+∠1-∠A，故本结论错误，不符合题意；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α=∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF=180°，∵∠BOF=∠COF+∠β，∴∠COF=∠α-∠β，∴∠γ+∠α-∠β=180°，故本结论正确，符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．46．定义“在四边形ABCD中，若AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD叫做平行四边形．”若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，3），则第四个顶点的坐标是__．【答案】（4，3）或（-2，3）或（2，-3）．【分析】根据题意画出平面直角坐标系，然后描出（0，0）,（3，0）,（1，3）的位置，再找第四个顶点坐标．【详解】解：如图所示，∴第四个顶点的坐标为（4，3）或（-2，3）或（2，-3）．故答案为：（4，3）或（-2，3）或（2，-3）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．47．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．【答案】6013##841348．一副三角板ADE 和ABC 按如图1所示放置，点B 在斜边AD 上，其中∠E ＝∠BAC ＝90°，∠D ＝45°，∠C ＝30°．现将三角板ADE 固定不动，三角板ABC 绕点A 顺时针旋转()0180a a °<<°，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD ＝15°时，BC DE ∥，则∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为______．【答案】45°或60°或105°或135°【分析】分四种情形：当AC∥DE时，当BC∥AD时，当AE∥BC时，当AB∥DE时，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可．【详解】解：如图3-1中，当AC∥DE时，∠BAD=45°．如图3-2中，当BC∥AD时，∠BAD=∠B=60°．如图3-3中，当AE∥BC时，∠BAE=∠B=60°，∴∠BAD=∠EAB+∠DAE=60°+45°=105°．如图3-4中，当AB∥DE时，∠EAB=∠E=90°，∴∠BAD=∠EAB+∠DAB=90°+45°=135°．综上所述，∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为45°或60°或105°或135°．故答案为：45°或60°或105°或135°．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，含特殊角的三角形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．49．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），所连线段AB 的中点是M ，则M 的坐标为（122x x +，122y y +），例如：点A （1，2）、点B （3，6），则线段AB 的中点M 的坐标为（132+，262+），即M （2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E （a ﹣1，a ），F （b ，a ﹣b ），线段EF 的中点G 恰好位于x 轴上，且到y 轴的距离是2，则2a ＋b 的值等于_____．50．在平面直角坐标系中，我们定义，点P 沿着水平或竖直方向运动到达点Q 的最短路径的长度为P ，Q 两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A 的坐标为（2，3），则A ，O 两点之间的“横纵距离”为5（1）若点B 的坐标为（-3-1，），则A ，B 两点之间的“横纵距离”为_________；（2）已知点C 的坐标为（0，2），D ，O 两点之间的“横纵距离”为5，D ，C 两点之间的“横纵距离”为3，请写出两个满足条件的点D 的坐标：___________， ____________．【答案】 9 （1，4）（-2，3）【分析】（1）根据A ，B 两点之间的“横纵距离”的意义求解即可；（2）画出图形，找到同时满足“D ，O 两点之间的“横纵距离”为5，D ，C 两点之间的“横纵距离”为3”的两个点即可．【详解】（1）点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为（-3-1，），∴A ，B 两点之间的“横纵距离”为：()()A B A B x x y y -+-=2+3+3+1=9，故答案为：9；（2）如图：由题意得：①点D ¢（1，4），O 两点之间的“横纵距离”为：4+1=5，点D ¢（1，4），点C （0，2）两点之间的“横纵距离”为：()()3D C D C x x y y ¢¢-+-=；②点D ¢¢（-2，3），O 两点之间的“横纵距离”为5，点D ¢¢（-2，3），点C （0，2）两点之间的“横纵距离”为：()()3D C D C x x y y ¢¢¢¢-+-=；故答案为：（1，4）；（-2，3）．【点睛】本题考查了坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．第2问要注意同时满足两个条件．。

期末压轴题型专练(填空题35题)(学生版)

2023-2024学年苏科版数学七年级上册期末压轴题型专练（填空35题）试题满分：100分考试时间：90分钟试卷难度：0.45试题说明：精选各地名校期中期末真题中难度题目，对苏科版七年级上册1-6章知识点内容强化巩固，优选35道填空题，结合易错，常考类题型着重复习，进一步提升学生的解题技巧，减少失误，优化方法。

加强几何与计算的综合能力1．（2分）（2020秋•盐城期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有升酒．2．（2分）（2020秋•姜堰区期末）已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，则b a＝．3．（2分）（2022秋•亭湖区期末）已知x﹣3y＝3，那么2x﹣6y﹣5的值是．4．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）若一个角的补角等于它的余角4倍，则这个角的度数是度．5．（2分）（2022秋•海门市期末）一个角的余角比它的补角的大15°，则这个角的度数是°．6．（3分）（2022秋•句容市校级期末）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝．7．（3分）（2022秋•姑苏区校级期末）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为cm3．8．（3分）（2022秋•秦淮区期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A、B两村庄的距离之和最小．数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是：．9．（3分）（2022秋•兴化市期末）如图，OE⊥AB于点O，∠COE＝∠DOE＝15°，射线OM从OA出发，绕点O 以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设∠MOC ＝x°，∠NOE＝y°，则x与y之间的数量关系为．10．（3分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D 从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．11．（3分）（2022秋•大丰区期末）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时，按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．12．（3分）（2022秋•邗江区校级期末）同一数轴上有点A，C分别表示数a，c，且a，c满足等式（16+a）2+|c﹣12|＝0，点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A向左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．若存在m使得AB﹣m•BC的值不随时间t的变化而改变，则AB﹣m•BC的值为．13．（3分）（2022秋•句容市校级期末）如图，正方形的边长为6，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是．14．（3分）（2019秋•建湖县期末）小峰在2020年某月历上圈出如图所示的呈十字形的5个数，如果圈出的五个数的和为60，那么其中最大的数为．（2018秋•广陵区校级期末）已知关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，则整数k的值为．（3分）15．16．（3分）（2021秋•广陵区校级期末）如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，若∠A′BD＝70°，则∠ABC＝．17．（3分）（2021秋•启东市期末）某玩具店销售一种玩具，按规定会员购买打八折，非会员购买打九折，同样购买一样玩具，小芳用会员卡比小明不用会员卡购买少花了3元钱，则这种玩具用会员卡购买的价格是元．18．（3分）（2019秋•铜山区期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为．（2021秋•镇江期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则|c﹣a|﹣|a﹣b|﹣|b+c|的值为．19．（3分）20．（3分）（2021秋•兴化市期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为．21．（3分）（2021秋•姑苏区校级期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为．22．（3分）（2022秋•句容市校级期末）如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是．23．（3分）（2021秋•启东市期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为．24．（3分）（2014秋•句容市期末）如图，一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相等，则x+y＝．25．（3分）（2017秋•秦淮区期末）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付款70元和288元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则应付款元．26．（3分）（2021秋•射阳县校级期末）某城市下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要10天和15天完成，如果两队从两端同时施工2天，然后由乙单独完成，还需天完成．27．（3分）（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为．28．（3分）（2021秋•高新区期末）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3+5+7+9＝34；步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2+4+6+8＝26；步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×34+26＝128；步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝130；步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝130﹣128＝2．如图，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右边的数字是．29．（3分）（2022秋•兴化市校级期末）将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图：将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图二，则这9个数的和为（用含a的整式表示）30．（3分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．31．（3分）（2019秋•溧水区期末）数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是．32．（3分）（2021秋•秦淮区期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝度．33．（3分）（2019秋•苏州期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是．34．（3分）（2019秋•建湖县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有．（填序号）35．（3分）（2019秋•句容市期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE ＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝°．（用含n的代数式表示）。

压轴题：填空题

ＢＥＤＡｘｙ0 1 2n压轴题：填空题(1)1．如图，直线1+=x y 33-和x 轴、y 轴分别交于点A 、B .，若以线段AB 为边作等边三角形ABC ，则点C 的坐标是 .2．如右图，是反比例函数1k y x=和2k y x=（12k k <）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AO B S ∆=，则21k k -的值为．3．已知M(a ，b)是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a 是从l ，2，3三个数中任取的一个数，b 是从l ，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M(a ，b)在直线x+y=n 上”为事件Q n (2≤n ≤7，n 为整数)，则当Q n 的概率最大时，n 的所有可能的值为_ _.4.如图，直线y ＝k 和双曲线y ＝k x（k ＞0）相交于点P ，过点P 作PA 0垂直于x 轴，垂足为A 0，x 轴上的点A 0，A 1，A 2，…，A n 的横坐标是连续整数，过点A 1，A 2，…，A n 分别作x 轴的垂线，与双曲线y ＝k x（k ＞0）及直线y ＝k 分别交于点B 1，B 2，…，B n 和点C 1，C 2，…，C n ，则n n n nA B B C 的值为 .（n 为正整数）5.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（7，0）， D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得DE A '∆，点A '恰好在x 轴上，若D A O '∆与△OAB 相似，则O A '的长为．（结果保留2个有效数字）6.已知A ，B ，C 是反比例函数y ＝4x（x ＞0）图象上的三个整点（即横、纵坐标均为整数的点），分别以这8题些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段为边作出三个正方形，再以正方形的边长为直径作两个半圆，组成如图所示的阴影部分，则阴影部分的面积总和是 .（用含π的代数式表示）8.如图，30°角的直角三角板ABC,∠ACB=90°，短边BC=1cm ，将Rt △ABC 在直线上绕三角形右下角的顶点顺时针翻转1次，点A 经过的路径长为_______,顺时针连续翻转2次，点A 经过的路径长为_______,顺时针连续翻转2n 次，点A 经过的路径长为___________.顺时针连续翻转2n+1次，点A 经过的路径长为___________.9.如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2B D A C =，则224OC OD - 的值为 .压轴题：填空题(2)1．在平面直角坐标系xOy 中，正方形O C B A 111、1222B C B A 、2333B C B A ，…，按如图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A ，…和点1B 、2B 、3B ，…分别在直线b kx y +=和x 轴上.已知1C （1，1-），2C （27，23-），则点3A 的坐标是________________；点n A 的坐标是___________.2．如图，一次函数y3＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，在第二象限内有一点P(a ，12)，满足S △ABP ＝S 正方形ABCD ，则a 的值为3．如图，⊙O 的半径OD 经过弦AB （不是直径）的中点C ，OE //AB 交⊙O 于点E ，PE ∥OD ，延长直径AG ，交PE 于点H ，直线DG 交OE 于点F ，交PE 于K .若EF =2，FO =1，则KH 的长度等于 .4．如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是；（2）若CE =1nCB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是（用含n 的式子表示，n是正整数）．5．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ―1在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ―1B n ―1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ―1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ―1A n B n ―1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，A△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．6．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，BC = 8，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A 1C 1= ,A n C n ＝．7．在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是，跳动第2012次到达的顶点是．8．如图，点A 在⊙O 上，⊙O 的直径为8，∠B =30°，∠C =90°，AC=8．将△ABC 从AC 与⊙O 相切于点A 的位置开始，绕着点A 顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜120°），旋转后AC ，AB 分别与⊙O 交于点E ，F ，连接EF ．当BC 与⊙O相切时，①旋转角β＝度；②△AEF 的面积为．9．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1、A 2B 2C 2D 2、A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形A n B n C n D n 时，整点共有1680个，则n= ．1 23 4 5 ABCA 1A 2A 3A 4A 5 C 1 23 4 5 12题图第6题图A DCBBC第9题。

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精品文档1. 在△ABC中，已知uuur uuur AB＝4， AC＝3， P 是边 BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ＝_____________【答案】解析：72BC AP ( AC AB) (AQ QP) (AC AB) AQ (AC AB)1( AB AC)722 APB Q C2.已知OA1, OB3,OA OB 0 ，点C在AOB 内，AOC30o.BCuuur uuur uuurR) ，则m等于O A设 OC mOA nOB( m,nn 【答案】 3[ 解析 ] ：法一：建立坐标系，设 C (x, y)uuur uuur uuurR) 得则由 OC mOA nOB (m,n( x, y) m(1,0)n(0, 3)x m而 AOC300故 tan 300y m y3n x3nuuur uuur uuurR) 两边同乘 OA 或 OB 得法二： OC mOA nOB (m, nOC OA m3mOC两式相除得m 23OC OB3n OC 133n n 23. 在△ABC中，若AB ? AC AB?CB 4 ，则边AB的长等于22精品文档2 8解析： AB ? AC AB?CB 4AB(AC CB) 8 AB4. 已知点 G 是ABC 的重心，点 P 是 uuuruuur uuurGBC 内一点，若 APABAC ,则的取值范围是 ___________ (2,1)3AGBP CQ ’’D解析：APAG GP2AD' t GQ'31( AB AC) t (mGB nGC) ( 其中 0t 1, mn 1)3=1(AB AC) t[ m 1( AB CB) n1(ACBC)]333=1(1 mt) AB1(1 nt) AC ，则21 t (2,1)3333 35. 已知 O 为 ABC 所在平面内一点，满足uuur2uuur 2uuur 2 uuur 2OABCOB CAuuur 2 uuur 2OC AB ，则点 O 是 ABC 的心垂心uuur 2 uuur 2uuur 2 uuur 2(OA OB)(OAOB)( BC CA)( BC CA) 0 OA BCOB CABA 2OC0 ，可知 OCAB ，其余同理6. 设点 O 是△ ABC 的外心， AB ＝ c ，AC ＝ b ， b 1 2c 2→ →1则 BC · AO 的取值范围- 1,24AOBC解析：b 1 2c 2 1 c 2 2b b 20 0 b 2精品文档BC AO ( ACAB) AObRcos cRcosbRb cR c1 (b2 c 2 )2R2R2b 2 b (b1) 2 1 - 1,22447. 在△ ABC 和△ AEF 中， B 是 EF 的中点， AB =EF =1， BC =6，CA 33 ，若 AB AEAC AF2 ，则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于2 _____解析：（200738.393全国联赛类似题）因为AB AEAC AF 2，所以 AB (AB BE) AC (AB BF ) 2，即2AB BEAC AB AC BF221 ，AB。

因为 ABAC AB 33 1 33 1 36 1，BEBF，所以233 11 BF (ACAB) 12，即 BFBC2。

设 EF 与 BC 的夹角为 θ，则有 | BF | | BC | cos θ 2 ，即 3cos θ=2，所以 cos θ2ur ur rurur ur ur ur r urr3 uruur 8. 已知向量, ,满足 || 1 , | | | |, ( ) () 0 . 若对每一确定的,| |的最大值和最小值分别为m, n , 则对任意urm n 的最小值是1,2CDBA解析：数形结合 .AB, A C , BC , AD,CD, BDCD BD ，点 D 在以 BC 为直径的圆上运动， mn 就是 BC ，而 AC BC,AB 12BC1BC19题相同.（ A, B, C 共线时取等号）和29. 已知向量 a ， b ，c 满足 | a | = 1 ， | a - b | = | b | ， ( a - c ) ( b - c ) = 0 ，若对每一个确定的，| c| 的最大值和最小值分别为，，则对于任意的向量 b ， m +n 的bm n最小值为 _________ ．32解析：本题和 8完全相同。

数形结合，具体参见810.设 e 1 ,e 2是夹角为600 的两个单位向量，已知OMe 1 , ON e 2 ，OP xOM yON ，若PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形，则实数 x y 取值的集合为 _____________{1} 解析：画图解即可精品文档11. 如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A, D 分别在 x 轴， y 轴上正半轴上滑动，则 OB OC 的最大值为 ________2yCDBOAx解析：(OA AB)(OD DC) sin 2 112. 给定两个长度为1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 1200。

如图所示，点 C 在以 OAB 上变动，若 OC xOA yOB ，其中 x, yC为圆心的圆弧 R ， B则 x y 的最大值是 ___2 解析：OC 2y 2 2xyOA OBx 2 y 2 xy( x y) 23xy1OAx 2( x y)21 3xy13 (xy ) 22【研究】如果要得到x, y 满足的准确条件，则建系，OA(1,0), OB ( 1 ,3) 则2 2 OC (x1y,3y) ，则满足 ( x1 y)2 (3 y) 21xy 2xy 1 ，且2222x 1 y1, y 02 2【变题】给定两个长度为 1 且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB上运动，若 OCxOA yOB ，其中 x 、 y R ，则 ( x 1) 2 y 2 的最大值为2解析：建系，利用坐标法是可以得到x, y 最准确的满足条件，如 OA (1,0),OB(0,1)OC(x, y) ，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动，故满足 x 2y 2 1( x 0, y0)13. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 2, AD1, DAB60 ，点 M 为AB 的中点，点P 在 BC 与 CD 上运动（包括端点），则 AP ? DM 的取值范围是解析：分两种情形，结合图形分析。

（1）当 P 在 BC 上时，1[ ,1]AP AB BP ，则11AP DM AB DM BP DM 1BP [,1]；同理，当 P 在 CD 上时，AP DM1 1 [1 12DM, ]22 2uuuur uuurPMN 中， MN716，14. 在周长为 16 的6，则 PMPN 的取值范围是uuuur uuur2 22 22ab cosab abcab36 32 ab ，因 a b 10 ，解析： PMPN2ab 2故 ab(ab ) 2 uuuur uuur 32 ab 7 ，或者用消元的方法25， PM PN2uuuur uuurab a(10 a)( a 5) 22525 ，当 ab5 时取等号，故PM PN32 ab 7 ；同时 a b 6 10 a 6 a 8 ，当 a8时 ab 16 ，故 ab 16，uuuur uuur 32 ab 16PM PN另法：本题可以得出 P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设 P 坐标来解决15. uuur uuur uuur uuur uuur2 y 1 ， AOB 是钝角，若已知 |OA|4,| OB | 6, OC xOA yOB , 且 x f (t)uuuruuur2uuur6 111 | OA tOB | 的最小值为 3 ，则 | OC | 的最小值是37解析： OCxOA yOB'C, A, B' 共线，用几何图形A解） f (t )uuuruuur3根据几何意义即| OAtOB | 的最小值为22 30 ，要使 uuurCAOB120 为 A 到 OB 的距离，易得 |OC | 最小，则 OC AB'，利用面积法可求得O B ’ B16. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， P 为以 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧上uuuruuur uuur 的最小值为 1的任意一点，设向量 ACDEAP ，则2(1, 1), AP解析：坐标法解，AC(1,1),DE (cos ,sin)2uuuruuur uuur由ACDEAP得12sin 2 cos12 cos sincos，23sin 12cossin2 sin2 cos331 sin1，令2 cossinsin2cos1 sin [ 0,] ， f ' ( 22sincos0 ，故 f ( ) 最小值为f ( ),)sin) 22cossin2(2 cos11f (0)，最小值为2217. 已知P为边长为 1 的等边ABC 所在平面内一点，且满足CP CB 2CA ，则PA PB =________3PAB C解析：如图CP CB2CA BP 2CA， PA PB=( PB BA)PB2BA PB 4 12cos12003 PB18.已知向量M={a a =(1,2)+(3,4)R} ， N={ a a =(-2,2)+(4,5)R} ，则M N=________ (46,62)1324'15解析：425'219. 等腰直角三角形ABC 中， A90 ，AB 2 ，AD是BC边上的高，P为AD的中uuuur uuur1点，点 M 、N 分别为 AB 边和 AC 边上的点，且 M 、N 关于直线 AD 对称，当 PM PN时，AM2 ______3BMB解析： PM PN( PA AM )( PA AN )ED 20.如图在三角形 ABC中，E 为斜边 AB的中点， CD⊥ AB，AB＝ 1,uuur uuur uuur uuur2C A 则CACD CA CE 的最大值是27解析：uuur uuur uuur uuur1CD2CA cos A 1CA 3 sin 2 A cos A1sin 2 A cos4 A2CA CD CA CE2222721. 已知 A， B， C 是平面上不共线上三点，动点P 满足错误 ! 未找到引用源。

错误! 未找到引用源。

, 则 P 的轨迹一定通过错误 ! 未找到引用源。

的 ______________重心解析：设重心为G，OP OG(OA OB2OC) GP(CA CB )2CD333 CG ，故C,G, P三点共线精品文档22.已知点 O为ABC 的外心，且AC4, AB2,则AO ?BC6解析：AO BC AO( AC AB)4R cos CAO2R cos BAO22R14R6 R R23. 设D是ABC边BC延长线上一点，记AD AB(1) AC ，若关于x的方程2sin 2x (1) sin x 1 0在 [0,2 ) 上恰有两解，则实数的取值范围是 ____4 或221解析：令 t sin x则 2t 2(1)t 1 0在 (1,1)上恰有一解，数形结合知f ( 1) f (1)0 4 或 2 ，或者02 2 1又 AD AB(1) AC CD CB0所以 4 或2 2 124. O是锐角ABC所在平面内的一定点uuur uuur uuur,动点 P满足: OP OA uuur AB2ABCAB SinuuuruuurAC,0,, 则动点 P 的轨迹一定通过ABC的 ______心内心2AC Sin ACB解析：设高为AD ，则 APAB AC1()显然成立AB AC AD25.uuur uuura,0已知错误 ! 未找到引用源。