2014-2015高考理科数学《二次函数与幂函数》练习题

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2015年高考数学理一轮复习精品资料专题2.5 二次函数与幂函数含解析

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第04节二次函数与幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1. 【2014福建三明一模】已知幂函数()f x x α=的图像过点(4,2)，若()3f m =，则实数m 的值为（）A B ． C ．9± D ．92. 【2014安徽涡阳蒙城一模】函数2)1(2)(2+-+-=x a x x f 在)4,(-∞上是增函数，则实数a 的范围是（） A ． a ≥3B ．a ≥5 C ．a ≤3 D ．a ≤5-3. 函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上 ( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增【答案】D【解析】由()f x 为偶函数可得0m ＝，∴()23f x x ＝－＋，∴()f x 在区间()53－，－上单调递增．4. 已知函数223y x x ＝－＋在闭区间[0]m ，上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为（） A ．[1,2]B ．[1,3]C ．(1,3)D ．(1,2)5. 若(2m ＋1)21 >(m 2＋m －1) 21，则实数m 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，26.【改编题】设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x<0，x ，x ≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】当0a <时，a1()-7<12，即322a <－，∴3a >－，∴30a <<－，当0a ≥，∴01a ≤<，故31a <<－．7. 已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，且a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m|f(m)<0}，则( ) A ．∀m ∈A ，都有f(m ＋3)>0 B ．∀m ∈A ，都有f(m ＋3)<0 C ．∃m 0∈A ，使得f(m 0＋3)＝0 D ．∃m 0∈A ，使得f(m 0＋3)<08. 关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．30m <<－B ．03m <<C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3【解析】由题意知21212164(3)(2m 1)0,4x x 0,321x x 0,3m m m m m m ⎧⎪∆=-+->⎪⎪+=<⎨+⎪-⎪=<⎪+⎩得30m <<－，故选A. 9. 【成都七中2014届高三上学期期中考试数学（理）】若函数()f x 其定义域为(]1,∞-，则a 的取值范围是（） A ．94-=aB ．94-≥a C ．94-≤a D ．094<≤-a10. 已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当)3,1(∈x 时，有2)2(81)(+≤x x f 成立，又0)2(=-f ，则b 为（） A ．1B ．21C ．2D ．0【答案】B ．【解析】由条件对任意实数x ，都有x x f ≥)(，知22f ≥（）成立，∵当)3,1(∈x 时，有2)2(81)(+≤x x f 成立，∴取2x =时，21(2)(22)28f ≤+=成立，∴22f =（）．∴422a b c ++=① ∵20f =（－），∴420a b c +=－②，由①②可得，∴421a c b +==，∴b=21，故选B ．二、填空题11. 【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 .【答案】3【解析】由题意得：1916404,3ac ac c a ∆=-=⇒=∴+≥. 12. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．13. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】函数a y xx421++=在]1,(-∞∈x 上0>y 恒成立，则a 的取值范围是.__________.【答案】),43(+∞-【解析】本题不等式恒成立问题采用分离参数法，转化为求函数的最值，由21240xa ++>得1211()()4442x x x x x a -<+=+，故a -小于11()()42x x y =+的最小值，而11()()42x x y =+是减函数，因此当1x ≤时，34y ≥，即34a -<，也即34a >-. 三、解答题14. 已知函数()2220()f x ax ax b a ≠＝－＋＋，若f (x )在区间[]2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若1b <，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．15. 已知函数()20()f x ax bx c a b R c R >∈∈＝＋＋，，．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【解】(1)由已知10c a b c ＝，－＋＝，且=-12ba-，解得12a b ＝，＝．∴()21()f x x ＝＋．∴22(x 1),0,()(x 1),0,x F x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩∴()22()(222121)()]8[F F ＋－＝＋＋－－＋＝． (2)()2f x x bx ＝＋，原命题等价于211x bx ≤≤－＋在(]0,1上恒成立，即1b x x ≤-且1b x x≥--在(]0,1上恒成立．又1x x-的最小值为0，1x x --的最大值为－2.∴20b ≤≤－．故b 的取值范围是[]2,0－．16. 【福建长乐二中等五校2014届高三上期中联考数学（理）】已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =-，对任意x R ∈都有()1f x x ≥-，且11()()22f x f x -+=--．（1）求函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数a ，使函数12()log [()]x g x f a =在(,)-∞+∞上为减函数？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．。

二次函数与幂函数练习题

二次函数与幂函数练习题一、题点全面练1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，所以y ＝x 12.故选D. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除A 、C.又f (0)＝c ＜0，所以排除B ，故选D.3.二次函数f (x )的图象如图所示，则f (x －1)>0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(0,3)C ．(－1,2]D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 根据f (x )的图象可得f (x )>0的解集为{x |－1＜x ＜2}，而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位得到的，故f (x －1)>0的解集为(0,3)．故选B.4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选D ∵y ＝x 23(x >0)是增函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，∴b ＜a ＜c .5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4,2)B ．(－2,4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C 依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x ＜－4.6．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，b ＝f (ln π)，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选A 根据题意，m －1＝1，∴m ＝2，∴2n＝8， ∴n ＝3，∴f (x )＝x 3.∵f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12＜0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1＜ln π，∴c ＜a ＜b .7．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.答案：[0,4]8．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，且f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (a )＝(a －1)2＝4， ∴a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，∴a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．答案：{－3,3}9．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，a >0，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )图象的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，－x ＋2，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，∴－2≤b ≤0，故b 的取值范围是[－2,0]．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为直线x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p＜x 2，故p ＋1>0，则f (p ＋1)>0.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 2-3n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2,3]D ．[1,2]解析：选B 由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2，求得－2≤t ≤ 2.再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在区间[－5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)5．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a >0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a >0的解为x ≠a －2，显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ>0，即a ＜1或a >4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a >0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a －＋a ≥0，25－a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a >4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]．答案：(1,5](二)技法专练——活用快得分6．[更换主元法]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 原题可转化为关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4>0在[－1,1]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－x －＋x 2－4x ＋4>0，x －＋x 2－4x ＋4>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x ＜2，x >2或x ＜1⇒x ＜1或x >3.故选B.7．[分离参数法]方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析：选C 方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解转化为方程a ＝2－x2x在区间[1,5]上有解，即y ＝a 与y ＝2－x 2x 的图象有交点，又因为y ＝2－x 2x ＝2x－x 在[1,5]上是减函数，所以其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，故选C.(三)难点专练——适情自主选8．函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－e ，＋∞)B ．[－ln 2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x 2＋1≤2x ＜x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2＜32，当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立，∴1≤g (x )＜32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2，即实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选C.9．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f－f －1－－＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)。

2014届高考数学一轮复习检测《幂函数与二次函数》

幂函数与二次函数【选题明细表】1.(2012山东烟台模拟)幂函数y=f(x)的图象经过点,则f的值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设f(x)=xα,则4α=,α=-,即f(x)=,于是f==2.故选B.2.设abc<0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象不可能是( D )解析:由abc<0知,a、b、c的符号同负或两正一负,f(0)=c,①当c>0时,ab<0,对称轴x=->0,图象可能为选项B.②当c<0时,ab>0,对称轴x=-<0,图象可能为选项A、C,图象不可能为选项D.故选D.3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( A )(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)解析:∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)关于x=2对称,又开口向上.∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4),故选A.4.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( D )(A)[-3,0) (B)(-∞,-3](C)[-2,0] (D)[-3,0]解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,故a=0时满足题意.当a≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数,则有解得-3≤a<0.综上可知a的取值范围是[-3,0].故选D.5.(2013乐山市第一次调研考试)下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( B )(A)①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1(B)①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1(C)①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1(D)①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1解析:根据4个函数图象的特征,可对②④作出简单判断,分别为y=x2,y=x-1,排除选项C,D;比较选项A,B可得选项B正确.6.(2012惠州市高三调研)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( B )(A)f(x1)=f(x2)(B)f(x1)<f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析:函数的对称轴为x=-1,设x0=,由0<a<3得到-1<<,又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.二、填空题7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为.解析:依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,∴a=.∴f(x)=(x-2)2-1.答案:f(x)=(x-2)2-18.已知函数y=的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是.解析:当m=0时,y=,显然成立.当m≠0时,要使y∈[0,+∞),只要解得0<m≤1或m≥9.综上m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).答案:[0,1]∪[9,+∞)9.已知函数f(x)=,给出下列命题:①若x>1,则f(x)>1;②若0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若0<x1<x2,则x2f(x1)<x1f(x2);④若0<x1<x2,则<f.则所有正确命题的序号是.解析:对于①,f(x)=是增函数,f(1)=1,当x>1时,f(x)>1,①正确;对于②,>1,可举例(1,1),(4,2),故②错误;对于③,<,说明图象上两点x1,x2到原点连线的斜率越来越大,由图象可知,③错误;对于④,<f,根据图象可判断出④正确.答案:①④三、解答题10.(2012河南南阳高中月考)求二次函数f(x)=x2+2ax+3在区间[1,2]上的最小值.解:f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2,当-a>2,即a<-2时,函数在区间[1,2]上为减函数,故此时最小值为f(2)=4a+7;当1≤-a≤2,即-2≤a≤-1时,函数的最小值为f(-a)=-a2+3;当-a<1,即a>-1时,函数在区间[1,2]上为增函数,故此时最小值为f(1)=2a+4.综上可知,当a<-2时,最小值为4a+7;当-2≤a≤-1时,最小值为-a2+3;当a>-1时,最小值为2a+4.11.(2012开封模拟)已知函数f(x)=x m-且f(4)=.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.解:(1)∵f(4)=,∴4m-=,∴m=1.(2)由(1)知f(x)=x-,∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.又f(-x)=-x+=-=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下:设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0.所以f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.12.(2012湖南十二校一联)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0).(1)证明:当a<0时,无论b为何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;(2)在同一函数图象上取任意两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,若f(x)满足k=f'(x0),则称其为“K函数”.判断函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)是否为“K函数”?并证明你的结论.解:(1)假设g(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,则有g'(x)=2ax+b+=>0对于一切x>0恒成立,从而必有2a x2+bx+c>0对于一切x>0恒成立.又a<0,由二次函数的图象可知:2ax2+bx+c>0对于一切x>0恒成立是不可能的.因此当a<0时,无论b为何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数.(2)函数f(x)=ax2+bx+c是“K函数”,g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)不是“K函数”.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,k===a(x2+x1)+b=2ax0+b.又f'(x0)=2ax0+b,故k=f'(x0).故函数f(x)=ax2+bx+c是“K函数”.对于函数g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)(x>0),不妨设x2>x1>0,则k===2ax0+b+.又g'(x0)=2ax0+b+,若g(x)为“K函数”,则必满足k=g'(x0),即有2ax0+b+=2ax0+b+,也即=(c≠0),所以=.设t=,则0<t<1,ln t=. ①设s(t)=ln t-,则s'(t)=>0,所以s(t)在t∈(0,1)上为增函数,s(t)<s(1)=0,故ln t≠.②①与②矛盾,因此,函数g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)不是“K函数”.。

(特效提高)2014高考数学一轮精品复习 2.4 二次函数与幂函数题库理

2.4 二次函数与幂函数一、选择题 1.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )． x 1 12f (x )1 22 A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}解析由题表知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12. ∴(|x |)12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案 A2．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14B ．4 C.22D. 2 解析：设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22. 答案：C3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f (12)的值为( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13解析：设f (x )＝x α，则由f 4f 2＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13.答案：D4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )．A ．2 B.34C.23D ．0解析由x ≥0，y ≥0x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12 t ＝2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案 B5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是() A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (0)＜f (2)＜f (－2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c .∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c .∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)＜f (2)＜f (－2)．答案：C6．设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( )． A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2解析据y ＝x 13在R 上为增函数可得y 1＝0.413＜y 2＝0.513，又由指数函数y ＝0.5x 为减函数可得y 2＝0.513＜y 3＝0.514，故y 1＜y 2＜y 3. 答案 B7 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b 2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}解析设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D二、填空题8．对于函数y ＝x 2，y ＝都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值X 围是________．解析由已知条件当m ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0－12m≤－2时，函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m ≤14. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 10．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值X 围是________．解析：∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增，故m >0.答案：(0，＋∞)11．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值X 围是________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β. ∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 12．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值X 围是________．解析：设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0，f 1<0，f 2>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>0，3k －2<0，4k －1>0，解得12<k <23.答案：(12，23) 三、解答题13．已知二次函数f (x )的图像过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f (x )≥0的解集．解析：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，∴a ＝2.即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6.(2)f (x )＝2(x －1)2－8当x ∈[0,3]时，由二次函数图像知 f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0.(3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．14．已知函数f (x )＝2x －x m 且f (4)＝－72， (1)求m 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析：(1)f (4)＝24－4m ＝－72，∴4m ＝4. ∴m ＝1.故f (x )＝2x－x . (2)由(1)知，f (x )＝2·x －1－x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，又y ＝x －1，y ＝－x 均为减函数，故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f (x )均为减函数．∴f (x )的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．15．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)某某数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解析：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．16．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，某某数a 的取值X 围．解析不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x2，设g (x )＝2x －2x2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－2x －22x x4 ＝－2x 2＋4x x 4＝－2x x －2x4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12，由已知条件a >12，因此实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

幂函数、二次函数及函数图像类型题练习(带答案)

幂函数、二次函数及函数图像类型题一、幂函数的图像及性质首先我们要了解幂函数的概念，幂函数解析式a xy 的特点以及几种常见的幂函数图像，幂函数前的系数必须是,否则就不是幂函数。

特别是幂函数＝，＝，＝，＝12x，＝的图像，我们经常会遇到利用幂函数的图像及性质通过数形结合的方法来解决实际问题。

例题函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系是。

解析：在区间（，）上，幂函数的指数越大，图象越靠近轴；在区间（，∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离轴．在第一象限作出作直线（＜＜），可得直线与个函数图象交点纵坐标的大小关系，数形结合即能求出结果．结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线（＜＜），可得直线与个函数图象交点纵坐标的大小关系是＜＜，根据指数函数（＜＜）是单调减函数可得＞＞．故答案为：＞＞．二、二次函数的图像及性质．二次函数的开口与2x前的系数有关，系数是正的则开口向上，系数是负的则开口向下。

．二次函数的单调区间与对称轴有关，在对称轴的两侧，一侧递增，一侧递减。

．二次函数与轴的交点也可以看做是方程的根，我们可以利用韦达定理来研究两根的关系。

例题已知函数（）（＜＜），若＜，，则（）．（）＜（）．（）（）．（）＞（）．（）与（）的大小不能确定解析：函数（）（＜＜）为二次函数，开口向上，对称轴为，∴（）＜（），故选．三、幂函数与二次函数的解析式的判定有时题目会考查我们幂函数和二次函数的解析式的形式问题，我们首先要掌握幂函数和二次函数的定义，注意他们的定义域、值域等再来解决此类问题。

例题已知函数（）（2m ）• ，求为何值时，（）是（）二次函数；（）幂函数．（）若（）是幂函数，则2m ， ∴21±-=m 。

幂函数与二次函数测试题目

幂函数与二次函数1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4C.22 D. 22．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3 4 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b 2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}6．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．9．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式________．1211．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．12.已知函数f (x )＝322--m m x (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3)1(m a -+<3)23(m a --的a 的范围．13.已知幂函数f (x )＝12)(-+m m x (m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．。

二次函数与幂函数(试题部分)

考法二
一元二次方程根的分布
3.已知一元二次方程 x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根 x1,x2,且 0<x1<2<x2<4,则 m 的值为(
A.-4
B.-5
答案
C.-6
D.-7
A
4.方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为(
A.(C.[-
23
5
23
5
答案
, + ∞)
答案
D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上
A
2.(2013 重庆,3,5 分)√(3-)( + 6)(-6≤a≤3)的最大值为(
A.9
答案
B.
9
2
C.3
D.
)
3√2
2
B
3 4 5
3.(2014 辽宁,16,5 分)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为
由|a|+|b|={
得|a|+|b|≤3.
|-|, < 0,
当 a=2,b=-1 时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为 2,即 M(2,-1)=2.
所以|a|+|b|的最大值为 3.
考点二
幂函数
5.(2014 浙江,7,5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图象可能是(
)
D.[2,4]
D
1
5.(2020 届广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限内的图象.已知 n 分别取±2,± 四个值,与

2-5第五节二次函数与幂函数练习题(2015年高考总复习)

第五节二次函数与幂函数时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．2解析由已知，得22＝2α，即2α＝2－12，∴α＝－12.∴f (x )＝x －12.∴f (4)＝4－12＝12.答案 C2．函数y ＝x13的图象是( )A. B.C. D.解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A 、D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C ，从而选B.答案 B3．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322解析(3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝－(a ＋32)2＋814，当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B4．(2014·陕西榆林期末)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52解析由b >0，排除图象①②；若a >0，则－b2a <0，排除图象④；由图象③得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1＝0，即a ＝－1.故选B.答案 B5．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0的图象如图．知f (x )在R 上为增函数．故f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案 C6．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a ≤0，而当a ≤0时结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件．故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2014·西城模拟)若二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (a )≤f (0)<f (1)，则实数a 的取值范围是________．解析由题意知，抛物线f (x )开口向下，对称轴为x ＝2，又f (0)＝f (4)，∴a ≤0或a ≥4.答案 (－∞，0]∪[4，＋∞)8．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4，0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．解析设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8. 答案 y ＝－x 2＋2x ＋89．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析设P (t ，1t )，其中t >0，P A 2＝(t －a )2＋(1t －a )2＝t 2＋1t 2－2a (t ＋1t )＋2a 2，即P A 2＝(t ＋1t )2－2a (t ＋1t )＋2a 2－2，令m ＝t ＋1t ≥2，所以P A 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2，当P A 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 2－2＝(22)2，解得a ＝－1或a ＝10.答案－1 10三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3， (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为[－214，15]． (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．解由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ×(－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12. ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (1)≤0.即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)，－f (x ) (x ＜0).求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1. 解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2(x ＞0)，－(x ＋1)2(x ＜0). ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.。

高考数学大一轮复习二次函数与幂函数精品试题理(含模拟试题)

2015届高考数学大一轮复习二次函数与幂函数精品试题理（含2014模拟试题）1. (2014周宁、政和一中第四次联考，6) 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A. 3B. 2C. 1D.[解析] 1. ，顶点坐标为，，又成等比数列，.2.(2013重庆市高三九校一月联合诊断考试，7,5分)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①②③④B．①②③④C．①②③④D．①②③④[解析] 2.①中图象是上升的，且关于原点对称，所以该幂函数在定义域上是增函数，且是奇函数，在区间内的幂函数图象在直线的上方，所以大致对应函数；②中图象关于轴对称，是偶函数，所以大致对应函数；③中图象仅在第一象限，所以该幂函数的定义域是，所以大致对应函数；④中图象关于原点对称，并且与没有交点，所以该幂函数是奇函数，且定义域是，所以大致对应函数，故选B.3.(2013北京西城区高三三月模拟，7,5分) 已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）[解析] 3. , 由，得，即. 当，即时，函数在上单调递增，所以. 此式恒成立. 故；当，即时，函数在上的最小值为，所以，解得. 所以；综上，.4.(2013湖南长沙市高三三月模拟，8,5分) 使得函数的值域为的实数对有( ) 对.A．1 B．2 C．3 D．无数[解析] 4.，要使的值域为，①若不处于一个单调区间上，由于，所以. 令，得，解得. 故. 所以实数对满足题意；②若处于一个单调区间上，由于不是处于一个单调区间上，所以只有满足的实数对才满足要求. 由得，即，此方程是四次方程，最多有4个实数解，（i）显然满足的实数解一定满足；（ii）由于故. 故4个实数解都求出，没有其他解了. 所以处于同一个单调区间上的实数对只有满足题意；综上，实数对有，共2对.5.(2013年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，10,5分) 已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．[解析] 5.由零点原理可知，即解得.6.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，6,5分）在区间内任取两个数，则使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为( ) A. B. C. D.[解析] 6.要使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率，需满足，设，故需满足即两个数的整个取值空间表示的可行域如下图黑色与红色部分所示的正方形，在整个取值空间内，不等式组表示的可行域如下图黑色阴影部分所示，故由几何概型得，所求概率为.7.（2013重庆，6,5分）若a< b< c, 则函数f(x) =(x-a) (x-b) +(x-b) (x-c) +(x-c) (x-a) 的两个零点分别位于区间( )A. (a, b) 和(b, c) 内B. (-∞, a) 和(a, b) 内C. (b, c) 和(c, +∞) 内D. (-∞, a) 和(c, +∞) 内[解析] 7.易知f(a) =(a-b) (a-c), f(b) =(b-c) (b-a),f(c) =(c-a) (c-b). 又a< b< c, 则f(a) > 0, f(b) < 0, f(c) > 0, 又该函数是二次函数, 且开口向上, 可知两根分别在(a, b) 和(b, c) 内, 选A.8.（2013重庆，3,5分）(-6≤a≤3) 的最大值为( )A. 9B.C. 3D.[解析] 8.易知函数y=(3-a) (a+6) 的两个零点是3, -6, 对称轴为a=-, y=(3-a) (a+6) 的最大值为y==, 则的最大值为, 选B.9.（2013广东，2,5分）定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sin x中, 奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1[解析] 9.函数y=x3, y=2sin x为奇函数, y=2x为非奇非偶函数, y=x2+1为偶函数, 故奇函数的个数是2, 故选C.10.（2013江西，9,5分）过点(, 0) 引直线l与曲线y=相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取最大值时, 直线l的斜率等于( )A. B. - C. ± D. -[解析] 10.如图, 设直线AB的方程为x=my+(显然m< 0), A(x1, y1), B(x2, y2), P(, 0), 联立消去x得(1+m2) y2+2my+1=0, 由题意得Δ=8m2-4(1+m2) > 0, 所以m2> 1,由根与系数的关系得y1+y2=-, y1·y2=,∴S△AOB=S△POB-S△POA=·|OP|·|y2-y1|=·=·.令t=1+m2(t> 2),∴S△AOB=·=·,∴当=, 即t=4, m=-时, △AOB的面积取得最大值, 此时, 直线l的斜率为-, 故选B.11.（2013山东，12,5分）设正实数x, y, z满足x2-3xy+4y2-z=0. 则当取得最大值时, +-的最大值为( )A. 0B. 1C.D. 3[解析] 11.由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2,∴==.又x、y、z为正实数, ∴+≥4,当且仅当x=2y时取等号, 此时z=2y2.∴+-=+-=-+=-+1, 当=1, 即y=1时, 上式有最大值1, 故选B.12.（2013辽宁，11,5分）已知函数f(x) =x2-2(a+2) x+a2, g(x) =-x2+2(a-2) x-a2+8. 设H1(x) =max{f(x), g(x) }, H2(x) =min{f(x), g(x) }(max{p, q}表示p, q中的较大值, min{p, q}表示p, q中的较小值). 记H1(x) 的最小值为A, H2(x) 的最大值为B, 则A-B=( )A. 16B. -16C. a2-2a-16D. a2+2a-16[解析] 12.令f(x) =g(x), 即x2-2(a+2) x+a2=-x2+2(a-2) x-a2+8, 即x2-2ax+a2-4=0, 解得x=a+2或x=a-2.f(x) 与g(x) 的图象如图.由题意知H1(x) 的最小值是f(a+2),H2(x) 的最大值为g(a-2), 故A-B=f(a+2) -g(a-2)=(a+2) 2-2(a+2) 2+a2+(a-2) 2-2(a-2) (a-2) +a2-8=-16.13. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，14) 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________.[解析] 13.令，当时，不等式的解集为，则14. (2014北京东城高三第二学期教学检测，14) 设，若时均有，则______________.[解析] 14. 当时，显然不成立，所以。

高考数学总复习---《幂函数与二次函数》综合运用练习题(含答案解析)

高考数学总复习---《幂函数与二次函数》综合运用练习题（含答案解析）一、若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)A[不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.]二、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③B[因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．]三、已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈[－2，－12]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈[－2，－12]，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.]四、已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴为x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为[－214，15]． (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－13或－1.五、设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．(－94，－2][由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y ＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈[－94，－2]，故当m∈(－94，－2]时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像有两个交点．]六、是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．[解]f(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1；当0＜a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （－1）＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.七、选择题1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3A [∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件，故选A.]2．已知幂函数f (x )的图像过点(2，14)，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6A [设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图像过点(2，14)，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0.∴函数g(x)＝f(x)＋x24＝x－2＋x24＝1x2＋x24≥21x2·x24＝1，当且仅当x＝±2时，g(x)取得最小值1.]3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )A B C DC[若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( ) A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋b＝0A[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.] 5．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )A．x＜z＜y B．y＜x＜zC．y＜z＜x D．z＜y＜xA[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]八、填空题1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．(－∞，－6]∪[4，＋∞)[由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.]2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．f(x)＝－4x2－12x＋40[设f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程a(x＋32)2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝14－1a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.]3．已知函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a＞1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________．2 [令a x ＝t ，因为a ＞1，x ∈[－1，1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t)＝t 2＋3t －2，显然g (t)在[1a，a ]上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t)max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a ＞1，所以a 的最大值为2.]九、解答题1．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1，1]上的最大值．[解] 函数f (x )＝－(x －a2)2＋a 24的图像的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (1)当a ＜－2时，由图①可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)．(2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (a 2)＝a 24. (3)当a ＞2时，由图③可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (1)＝a －1.图① 图② 图③综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1），a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.2．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围．[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立，即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立．所以令g(x)＝x2－3x＋1＝(x－32)2－54，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．本课结束。

高考数学二次函数与幂函数专题复习卷

高考数学二次函数与幂函数专题复习卷一、单选题（共15题；共30分）1.函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是( )A. B. C. D.2.下列式子中成立的是（）A. log0.44<log0.46B. 1.013.4>1.013.5C. 3.50.3<3.40.3D. log76<log673.已知为奇函数，且当时，，若当时，恒成立，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 64.设，，，则下列正确的是（）A. B. C. D.5.幂函数f（x）=k·的图象过点，则k+ =（）A. B. 1 C. D. 26.幂函数的图象经过点，则（）A. 是偶函数，且在上单调递增B. 是偶函数，且在上单调递减C. 是奇函数，且在上单调递减D. 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增7.下列函数中，值域为,的是（）A. B. C. D.8.给出下列四个五个命题：①“ ”是“ ”的充要条件②对于命题，使得，则，均有；③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；④函数只有个零点；⑤ 使是幂函数，且在上单调递减.其中是真命题的个数为：（）A. B. C. D.9.平行四边形中，，，点在边上，则的最大值为( )A. B. C. 0 D. 210.已知函数f（x）＝（3m2﹣2m）x m是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A. B. ﹣1 C. 1 D. 或111.函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（）．A. B. C. D. 或12.若二次函数f（x）=（m﹣1）x2+2mx+1是偶函数，则f（x）在区间（﹣∞，0]上是（）A. 增函数B. 先增后减函数C. 减函数D. 先减后增函数13.已知函数，则f(x)=（）A. 在上单调递增B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递减14.设a=log0.22,b=log0.23,c=20.2,d=0.22，则这四个数的大小关系是（）A. a<b<c<dB. d<c<a<bC. b<a<c<dD. b<a<d<c15.幂函数的图象经过点，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5题；共6分）16.幂函数f（x）图象过（2，4），则幂函数f（x）=________．17.若函数f（x）=ax2+4x﹣3在[0，2]上有最大值f（2），则a的取值范围是________．18.若幂函数在上是减函数，则实数m的取值范围是________．19.已知幂函数的图象经过点，则函数________，若，则实数的取值范围是________．20.已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为________.三、解答题（共5题；共55分）21.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=ax2+bx+8（0＜a＜4），点A（2，0）在函数f（x）的图象上，且关于x的方程f（x）+1=0有两个相等的实根．（1）求函数f（x）解析式；（2）若x∈[t，t+2]（t＞0）时，函数f（x）有最小值1，求实数t的值．22.已知函数在区间上有1个零点；函数图象与轴交于不同的两点.若“ ”是假命题，“ ”是真命题，求实数的取值范围.23.已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．24.用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大值。

2014高考数学一轮汇总训练《二次函数与幂函数》理新人教A版

第五节二次函数与幂函数[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．二次函数的解析式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．二次函数的图象和性质上递减[探究] 1.ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)与ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？提示：(1)ax 2＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，其几何意义是抛物线恒在x 轴上方；(2)ax 2＋bx ＋c <0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，其几何意义是抛物线恒在x 轴下方．3．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 4．五种幂函数的图象5．五种幂函数的性质[探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？提示：幂函数y ＝x α，当x >0时，根据幂运算，幂函数y ＝x α>0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．3．函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下．[自测·牛刀小试]1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D 由图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B 选项；由图象过点(0,0)可排除C 选项．2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C ∵函数f (x )＝ax 2＋x ＋5在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－20a <0，即a >120.3．(教材习题改编)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)解析：选B 如图，由图象可知m 的取值范围[1,2]．4．(教材习题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C 1，C 2，C 3，C 4所对应的n 依次为2，12，－12，－2.5．(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ；②y ＝2x －1；③y ＝(x ＋2)2；④y ＝3x 2； ⑤y ＝1x.解析：y ＝3x 2＝x 23，y ＝1x ＝x －12故④⑤为幂函数．答案：④⑤[例1] 已知二次函数f (x )同时满足以下条件： (1)f (1＋x )＝f (1－x )； (2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根的立方和等于17. 求f (x )的解析式．[自主解答] 依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a <0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a.而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2) ＝23－3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15a ＝2－90a.即2－90a＝17，则a ＝－6.故f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.在本例条件下，若g (x )与f (x )的图象关于坐标原点对称，求g (x )的解析式．解：设p (x ，y )是函数g (x )图象上的任意一点，它关于原点对称的点p ′(－x ，－y )必在f (x )的图象上．则－y ＝－6(－x )2＋12(－x )＋9，即y ＝6x 2＋12x －9.故g (x )＝6x 2＋12x －9. ———————————————————二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)·(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.[例2] (2013·盐城模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． [自主解答] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1.又∵x ∈[－4,6]，∴函数f (x )在[－4,2]上为减函数，在[2,6]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (－4)＝(－4－2)2－1＝35，f (x )min ＝f (2)＝－1.(2)∵函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－a ，且f (x )在[－4,6]上是单调函数， ∴－a ≥6或－a ≤－4，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．——————————————————— 解决二次函数图象与性质时的注意点(1)分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．2抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.2．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.[例3] 已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)； ③f x 1x 1>f x 2x 2；④f x 1x 1<f x 2x 2. 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③[自主解答] 法一：依题意，设f (x )＝x α，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24，即⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812，所以α＝12，于是f (x )＝x 12. 由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f x 1x 1，f x 2x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f x 1x 1>f x 2x 2，所以③正确．法二：设f (x )＝x α，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24即⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.设g (x )＝xf (x )＝x 32，因为g (x )＝x 32在定义域内是增函数，当x 1<x 2时，必有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，所以②正确；设h (x )＝f x x即h (x )＝x 12-，因为h (x )＝x 12-在定义域内是减函数，所以当x 1<x 2时，f x 1x 1>f x 2x 2，所以③正确． [答案] D ———————————————————幂函数y ＝x α图象的特征(1)α的正负；α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．4．当0<x <1时，f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )1类最值——二次函数在给定区间上的最值二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得．对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解．2种思想——数形结合与分类讨论思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次不等式根的大小等．5种方法——二次函数对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(2)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．(3)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (x ＋2a )＝f (－x )，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．注意：(2)(3)中，f (a ＋x )＝f (a －x )与f (x ＋2a )＝f (－x )是等价的． (4)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴方程为x ＝－b2a.(5)利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y ＝f (x )对应方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论．[典例] (2013·青岛模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.[题后悟道]二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下： (1)当－b2a∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时，f (x )的最小值在对称轴处取得，其值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f (m )，f (n )中的较大者．(2)当－b2a∉[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若－b 2a <m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b2a ，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．[变式训练]1．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．而－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.2．(2013·玉林模拟)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解：f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2. 当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ，a 不存在．综上可知a ＝－1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．(2013·临沂模拟)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：选D ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．3．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )， ∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)<f (2)<f (－2)．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A ．－b2aB ．－b aC ．cD.4ac －b 24a解析：选C ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－b a. ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a ＋c ＝c .5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)＞0，f (p )＜0，故－1＜p ＜0，p ＋1＞0，所以f (p ＋1)＞0.6．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－235解析：选C 令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 5≥0.解得－235≤a ≤1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：98．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________．解析：由已知a >0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c >0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号， ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：29．已知函数y ＝mx 2＋m －3x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立．当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，只要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m －32－4×m ×1≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)，则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0，16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0， 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝－15，或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.11．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解：∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，∵f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围为[－2,0]1．已知函数f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1，g (x )＝x ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,3)B ．[3,9)C ．[1,9)D ．[0,9)解析：选D 据题意只需转化为当x ≤0时，ax 2－(3－a )x ＋1>0恒成立即可．结合f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1的图象，当a ＝0时验证知符合条件．当a ≠0时必有a >0，当x ＝3－a 2a ≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f (0)>0即可，解得0＜a ≤3；当x ＝3－a 2a <0时，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 2a >0即可，解得3<a <9，综上所述可得a 的取值范围是0≤a ＜9.2．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.3．已知f (x )＝x 2＋3x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式．解：如图所示，函数图象的对称轴为x ＝－32，(1)当t ＋1≤－32，即t ≤－52时，h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，即h (t )＝t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－52.(2)当t ≤－32<t ＋1，即－52＜t ≤－32时，h (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－294.(3)当t >－32时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5.综上可得，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋5t －1⎝⎛⎭⎪⎫t ≤－52，－294⎝ ⎛⎭⎪⎫－52<t ≤－32，t 2＋3t －5⎝ ⎛⎭⎪⎫t >－32.4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图；(3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，所以y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.又f(x)为偶函数，当x<－2，即－x>2时，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.故函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图：(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．。

二次函数与幂函数练习附答案

1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选C ．因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. 2．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋ab ，若不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤4}，则a ＋2b 的值为( )A ．－2B ．3C ．－3D ．2解析：选A ．依题意，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)，－1×4＝ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1，所以a ＋2b 的值为－2，故选A ．3．已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ，若对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，则f (－2)，f (4)，f (5)的大小关系为( )A ．f (5)>f (－2)>f (4)B ．f (4)>f (5)>f (－2)C ．f (4)>f (－2)>f (5)D ．f (－2)>f (4)>f (5)解析：选B ．因为对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，所以函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称，所以f (－2)＝f (10)，又函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象开口向下，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f (4)>f (5)>f (10)，即f (4)>f (5)>f (－2)．4．(2018·南昌一模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1，3]上的值域为( )A ． [0，12]B ．⎣⎡⎦⎤－14，12 C ．⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．⎣⎡⎦⎤34，12 解析：选B ．因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－12上为减函数，在⎝⎛⎦⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1，3]上的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12，故选B ． 5．(2018·衡阳模拟)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2，5)D ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)解析：选A ．令f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4, 则f (x )的最小值为4，若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意的实数x 恒成立，则a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A ．6．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x －12＝1x (x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)7．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)，所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋38．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.。

高考数学第一轮复习 24 幂函数与二次函数题组训练理(含14年优选题,解析)新人教A版

高考数学第一轮复习 24 幂函数与二次函数题组训练理（含14年优选题，解析）新人教A 版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题 1．幂函数的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是 ( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)．答案 C2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )． A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大．答案 D3．(2014·北京八十中模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．答案 C4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是 ( )． A ．5－a ＜5a ＜0.5a B ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a ＜5－a ＜0.5a解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a＜5－a .答案 B5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误．答案 D二、填空题6．(2014·上海中学一检)方程x 2－2ax ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是________．解析设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则f (1)＜0，解得a ＞52.答案 ⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 7．(2013·南昌检测)已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)，则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ， f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B.2．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值所组成的集合为 ( )．A ．[0,3]B ．[0,4]C ．[－1,3]D ．[1,4]解析由题意得，函数f (x )＝－2x 2＋4x 图象的对称轴为x ＝1，故当x ＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x 2＋4x ＝－6，可得x ＝－1或x ＝3，所以－1≤m ≤1,1≤n ≤3，所以0≤m ＋n ≤4.答案 B二、填空题 3．已知函数f (x )＝，给出下列四个命题：①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2＜f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________．解析对于①：∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f (x )x ＝xx ，则g ′(x )＝x2x －xx 2＝－x 2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f (x 2)x 2＜f (x 1)x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝在(0，＋∞)的图象，可知f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确．答案 ①④4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).。

高中幂函数与二次函数知识点+例题+练习含答案

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。

2015届高考数学大一轮复习二次函数与幂函数精品试题文(含2014模拟试题)

精品题库试题文数1. (2012北京西城区第二次模拟，7,5分)某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S．则S 最小时，电梯所停的楼层是（）A.7层B.8层C.9层D.10层[解析] 1. 设电梯停靠在第层时，其余人的“不满意度”之和为，向上步行的有人，这人“不满意度”之和为；向下步行的有（人），这人“不满意度”之和为；所以==，由于，，所以，当时，S 取最小值，即最小时，电梯所停的楼层是9层.2.(2013吉林省普通中学一月期末，3,5分)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为A. 1,3B. -1,1C. -1,3D. -1,1,3 [解析] 2. 当时, 函数,定义域是,不是R,所以;当时, 函数,定义域R,且,是奇函数，所以符合题意；当时, 函数,定义域是,不是R,所以；当时, 函数,定义域R,且,是奇函数，所以符合题意.综上所得，，3.3.(2013浙江，7,5分). 已知a, b, c∈R, 函数f(x) =ax2+bx+c. 若f(0) =f(4) > f(1), 则( )A. a> 0,4a+b=0B. a< 0,4a+b=0C. a> 0,2a+b=0D. a< 0,2a+b=0[解析] 3.∵f(0) =f(4) > f(1), ∴c=16a+4b+c> a+b+c,∴16a+4b=0, 即4a+b=0,且15a+3b> 0, 即5a+b> 0,而5a+b=a+4a+b, ∴a> 0. 故选A4.(重庆市五区2014届高三第一次学生学业调研抽测) 函数的值域为．[解析] 4.设，则，所以，由二次函数的图象可知.5.（成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测）若是定义在R上的偶函数，则实数a＝＿＿＿[解析] 5.因为为偶函数，所以6.(2012北京东城二模, 13, 5分) 已知函数f(x) =,给出下列命题:①若x>1, 则f(x) >1;②若0<x1<x2, 则f(x2) -f(x1) >x2-x1;③若0<x1<x2, 则x2 f(x1) <x1 f(x2) ;④若0<x1<x2, 则<f.其中, 所有正确命题的序号是.[解析] 6.本题主要考查了幂函数的图象和性质. 对于①: ∵y=在(0, +∞)上为增函数, ∴当x>1时, f(x) >f(1) =1, ①正确; 对于②: 取x1=, x2=4, 此时f(x1) =, f(x2) =2, 但f(x2) -f(x1) <x2-x1, ②错误; 对于③: 构造函数g(x) ==, 则g'(x) ==-<0, 所以g(x) 在(0, +∞) 上为减函数, 当x2>x1>0时, 有<, 即x1f(x2) <x2f(x1) , ③错误; 对于④: f(x) =在(0, +∞) 上为上凸函数, 所以<f, ④正确.7.(2012山东, 15, 4分) 若函数f(x) =a x(a>0, a≠1) 在[-1, 2]上的最大值为4, 最小值为m, 且函数g(x) =(1-4m) 在[0, +∞) 上是增函数, 则a= .[解析] 7.g(x) =(1-4m) 在[0, +∞) 上是增函数, 应有1-4m>0, 即m<.当a>1时, f(x) =a x为增函数,由题意知⇒m=, 与m<矛盾.当0<a<1时, f(x) =a x为减函数,由题意知⇒m=, 满足m<.故a=.8.（2012哈尔滨高三三模, 13, 5分）已知M={x∈R|y=lg x}, N={y∈R|y=x2+1}, 集合M∩N=.[解析] 8.由已知得M=(0, +∞) , N=[1, +∞) , ∴M∩N=[1, +∞) .9. (2012北京东城区模拟，13,5分) 已知函数,给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中，所有正确命题的序号是_______.[解析] 9.由题可知函数在上为单调增函数，所以当时，故①正确；②中由可知，表示图像上任意两点连线的斜率，由图1可知②不正确。

高考数学复习专题三考点09《二次函数与幂函数》练习题(含答案)

高考数学复习专题三考点09《二次函数与幂函数》练习题（含答案）1.若幂函数()f x 的图像经过点(4,2)A ，(8,)B m ，则m =( ) A.4B.2C.222.下列函数中，定义域是R 的是( ) A.2y x -=B.12y x =C.2y x =D.1y x -=3.已知点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则m n -=( ) A.19B.18C.8D.94.已知幂函数()a f x x =的图像过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(2)()g x x f x =-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( ) A.-1B.-2C.-3D.-45.设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使()f x x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α的值的个数是( ) A.1B.2C.3D.46.若0a b <<，则下列结论中正确的是( ) A.22a b <B.2ab b <C.1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.2b aa b+> 7.已知幂函数2()(22)a f x a a x =--⋅在区间(0,)+∞上是增函数，则a 的值为( ) A.3B.-1C.-3D.18.已知幂函数()y f x =的图象过点2⎛ ⎝⎭,则下列结论正确的是( ) A.()y f x =的定义域为[0,)+∞ B.()y f x =在其定义域上为减函数 C.()y f x =是偶函数 D.()y f x =是奇函数9.已知函数2()4f x x x m =-++，若[0,1]x ∃∈，()0f x =，则m 的取值范围是( ) A.[4,)-+∞B.[3,)-+∞C.[3,0]-D.[4,0]-10.已知函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-，若0x ∃∈R ，使()00f x <和()00g x <同时成立，则实数a 的取值范围为( )A.(7,)+∞B.(,2)(6,)-∞-+∞C.(,2)-∞-D.(,2)(7,)-∞-+∞11.函数2()1f x ax bx =++是偶函数，且定义域是[1,2]a a -，则a b +=____________. 12.已知幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________________.13.若函数221()(31)mm f x m m x -+=+⋅+是幂函数，且其图像过原点，则m =__________，且(2)f _____________(2)f -(填“>”“<”或“=”).14.当02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.15.设2()21f x x ax =-+，[0,2]x ∈，当3a =时，()f x 的最小值是__________，若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围为_____________.参考答案1.答案：B解析：因为函数()f x 为幂函数，所以设()f x x α=. 由函数()f x 的图像经过点(4,2)A ，得42α=，即12α=，所以()f x x =，故(8)82f m ===，故选B. 2.答案：C解析：函数2y x -=，1y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数12y x =的定义域为[0,)+∞，函数2y x =的定义域为R .故选C. 3.答案：A解析：由幂函数的定义可知，11m -=，2m ∴=，∴点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，28n ∴=，3n ∴=， 2139m n --∴==，故选A. 4.答案：C解析：由已知得122a =，解得1a =-，所以22()1x g x x x -==-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则min 1()32g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选C.5.答案：A 解析：()f x x α=为奇函数，1α∴=-，1，3.又()f x 在(0,)+∞上单调递减，1α∴=-.6.答案：D解析：本题考查不等式的性质、基本不等式、幂函数的单调性.对于A ，0a b <<，0a b ∴->->，22a b ∴>，故A 错误；对于B ，0a b <<，2ab b ∴>，故B 错误；对于C ，1012<<，a b <，1122a b⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，0a b <<，0a b ∴>，0b a>，22a b a b b a b a ∴+≥⋅=.a b ≠，2b a a b ∴+≠，2b aa b ∴+>，故D 正确.故选D.7.答案：A解析：由题意知2221a a --=，解得3a =或1a =-，又()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，所以3a =，故选A.8.答案：B解析：设幂函数()f x x α=.幂函数()y f x =的图象过点2⎛ ⎝⎭，22α∴=，12α∴=-， 12()f x xx-∴==()y f x ∴=的定义域为(0,)+∞，且在其定义域上是减函数，故选项A 错误，选项B 正确.函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C,D 错误.故选B. 9.答案：C解析：函数2()4f x x x m =-++的图象开口向下，对称轴方程为2x =，∴函数()f x 在区间[0,1]上单调递增，max ()(1)3f x f m ∴==+，min ()(0)f x f m ==，即函数()f x 的值域为[,3]m m +.由方程()0f x =有解，知0[,3]m m ∈+，因此0m ≤，且30m +≥，解得30m -≤≤.故选C. 10.答案：A解析：解法一（1）当0a =时，()0g x =，不存在0x ∈R ，使得()00g x <.（2）当0a <时，()2g x ax a =-在R 上单调递减，且其图象恒过点(2,0).当2x >时，()20g x ax a =-<.易知函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当2x >时，()70f x a >->，不存在0(2,)x ∈+∞，使得()00f x <.（3）当0a >时，()2g x ax a =-在R 上单调递增，且其图象恒过点(2,0).当2x <时，()20g x ax a =-<，则命题转化为不等式230x ax a -++<在(,2)-∞上有解. ①当22a<，即04a <<时，需满足23024a a f a ⎛⎫=-++< ⎪⎝⎭，无解；②当22a≥，即4a ≥时，需满足(2)70f a =-<，解得7a >. 综上可知，实数a 的取值范围是(7,)+∞.故选A. 解法二由2()3f x x ax a =-++，知(1)4f =.若存在0x ∈R ，使()0 0f x <，则对应方程的根的判别式24(3)0a a ∆=-+>，即2a <-或6a >.又()2g x ax a =-的图象恒过点(2,0)，故当6a >时，作出函数()f x 和()g x 的大致图象如图所示，当2a <-时，作出函数()f x 和()g x 的大致图象如图所示.由函数图象知，当6a >时，由()0g x <可知2x <，所以6,(2)0,a f >⎧⎨<⎩解得7a >；当2a <-时，由()0g x <可知2x >，此时函数2()3f x x ax a =-++的图象的对称轴方程为2a x =，且02a<，又函数()f x 的图象恒过点(1,4)，所以不存在0(2,)x ∈+∞，使得()00f x <成立.综上，实数a 的取值范围为(7,)+∞，故选A. 11.答案：13解析：因为2()1f x ax bx =++是偶函数，且定义域是[1,2]a a -，所以()(),120,f x f x a a -=⎧⎨-+=⎩即2211,310,ax bx ax bx a ⎧-+=++⎨-=⎩解得1,30,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以13a b +=.12.2解析：设()f x x α=，则2242αα==， 21α∴=，解得12α=. 因此，12()f x x =，从而12112222f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.答案：-3；>解析：因为函数221()(31)mm f x m m x -+=+⋅+是幂函数，所以2311m m ++=，解得0m =或-3.当0m =时，1()f x x -=，其图像不过原点，应舍去；当3m =-时，5()f x x =，其图像过原点.故3m =-.(2)32f =，(2)32f -=-，故(2)(2)f f >-. 14.答案：(,0)-∞解析：构造函数2()2(02)g x x x x =-+≤≤，根据二次函数的性质可知()[0,1]g x ∈, 22a x x <-+恒成立， min ()0a g x ∴<=,∴实数a 的取值范围为(,0)-∞.15.答案：-7；(,0]-∞解析：当3a =时，2()61f x x x =-+在2[]0,x ∈上单调递减， max ()(2)7f x f ∴==-.由函数的解析式知(0)1f =，若()f x 的最小值为1，则()f x 在[0,2]x ∈上单调递增，而2()21f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =， 0a ∴≤，即a 的取值范围是(,0]-∞.。

高考理科数学《二次函数与幂函数》练习题

2014-2015高考理科数学《二次函数与幂函数》练习题[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：二次函数的图象顶点在x 轴上，∴Δ＝0，可得t ＝－4. 答案：A2．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎨⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，gx －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. 故函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>(－1)2＋(－1)＋2＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)答案：D3．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，指数大的幂函数的函数值就大，则a >b . 综上所述，可知c <b <a . 答案：A4．(2014年惠州模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：设f (x )＝x a ，由其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：∵f (1＋x )＝f (－x )， ∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)<f (2)<f (－2)．答案：C6.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．答案：C 二、填空题7．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________．解析：由已知a >0，4ac －44a＝0， ∴ac ＝1，c >0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号． ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：28．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a <0时，y max ＝1－a . 根据已知条件：⎩⎨⎧a >1，a ＝2，或⎩⎨⎧0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎨⎧a <0，1－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1. 答案：2或－19．当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， ∴t ＝3⎝⎛⎭⎪⎫y －232＋23在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：34三、解答题10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.11．(2014年玉林模拟)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解析：f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2. 当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数， ∴⎩⎨⎧f －＝1＋3a ＝－2，f＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎨⎧ fa ＝a －a 2＝－2，f ＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a ≤1时，⎩⎨⎧fa ＝a －a 2＝－2，f－＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数， ∴⎩⎨⎧f －＝1＋3a ＝2，f＝1－a ，a 不存在．综上可知a ＝－1.12．(能力提升)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解析：∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]，a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5. [B 组因材施教·备选练习]1．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－＋4m 22mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m <0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m <－12或m >12(舍去)，故m <－12.答案：A2．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右侧)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A 、B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．因此h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C3．(2014年济南模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝f (1)＝0，且f (x )的最小值是－14.(1)求f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝ln x －2x ＋f (x )，若函数h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f (1)＝0，∴b ＝－a ， ∴f (x )＝ax 2－ax ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122－a 4，又f (x )的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x .(2)由(1)得h (x )＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x (x >0)， ∴h ′(x )＝1x＋2x －3＝x －x －x.易知函数h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.∴⎩⎨⎧m －1>12，m －1≤1，∴32<m ≤2.。