疲劳与断裂第七章弹塑性断裂力学简介1

b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order
o rp
x
to satisfy equilibrium.
9
为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少 承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将 使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。
设修正后的屈服区尺寸为R；
sy H
假定线弹性解答在屈服区外仍然
适用，BK平移至CD，为满足静
sys
B A
C
力平衡条件，修正后ABCD曲线
D
下的面积应与线弹性解HBK曲线 o rp
or at least provides a good approximation.
13
2. 考虑裂尖屈服后的应力强度因子
对于理想塑性材料，考虑裂纹 sy
尖端的屈服后，裂尖附近的应
H
力分布应为图中ACD曲线。
sys A B C
曲线CD与线弹性解BK相同。
r
D
假想裂纹尺寸由a增大到a+ rp,
r'
K
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
2
Linear elastic fracture mechanics predicts infinite stresses at the crack tip. In real materials, however, stress at the crack tip are finite because the crack tip radius must be finite. Inelastic material deformation, such as plasticity in metal , leads to further relaxation of the crack tip stress.
s而tra，in在s is极as限su情me况d t下o e，qu二al 维zer假o (设pla是ne正st确res的s a，nd
p或la者ne至str少ain提re供sp了ect一ive个ly)很. 好的近似。
In ge断ne裂ra力l, t学he中co的nd大it部ion分s 经ah典ead解o都f a将c问ra题ck减ar化e 为 n二ei维th的er。pl即an主e s应tre力ss或no主r应pla变n中e s至tra少in有, b一ut个ar被e 假设 t为hr零ee，-d分im别en为sio平na面l. 应Th力er或e a平re面, h应ow变ev。er, limiting cases where a two dimensional assumption is valid,
二者的相对误差为：
=
K1 - K1 K1
=
l
-1
对于平面应力情况，a=1；若(s/sys)=0.2，=1%； 若(s/sys)=0.5，=6%；当(s/sys)=0.8时，达15%。
对于平面应变情况，a3，二者相差要小一些。
可见， (s/sys)越大，裂尖塑性区尺寸越大， 线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。
第七章 弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端的小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。
则裂纹尖端的线弹性解恰好就 o o'
x
是曲线CD。
a rp rp
a+rp称为有效裂纹长度，用a+ rp代替a，由原来的 线弹性断裂力学结果可直接给出考虑Irwin塑性修
正的解答。即有： K1=s p (a + rp)
(7-5)
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考虑Irwin塑性修正后，裂尖应力强度因子K为：
K1=s p (a + rp)
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
解： 1)无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的K最大， 考虑小范围屈服，在发生断裂的临界状态有：
K1=1.1sQp ac = K1c ；
a
c=
Q 2K12c
1.21s 2p
Q 2= 1 + 1.47(0.5)1.64- 0.212(500 / 600 )2 = 1.32
20
故得到：
ac=
Q2K12c 1.21s 2p
a
T上h述e r简eg单ion分A析BH是以rep裂re纹se尖nt端s fo弹rc性es解th为at基w础ou的ld，be故 present in an elastic material but cannot be carried i并n t非he严el格as正tic确-p的las。tic屈m服at发er生ial后be，ca应us力e t必he需st重re分ss 布， c以an满no足t e平xc衡ee条d 件yie。ld. The plastic zone must increase in size in order to carry these forces.
=
源自文库
1.32 502 1.21 5002 3.14
=
0.00347m
=
3.47mm
2) 断裂临界状态有： K1=1.1sQc p a = K1c
Q是sc Q 2= 1 + 1.47(0.1)1.64- 0.212( sc / 600 )2 的函数： =1.034- 0.212( sc / 600 )2
(7-5)
裂纹线上(=0)的应力sy为：
sy
H
s y = sys
r2rp；
sys A B C
r
D
sy=
K1
2p r’
= K1
r2rp；
r'
o o'
a rp rp
K x
2p (r -rp)
15
16
考虑塑性修正后有：
K1 =l K 1 ；
l
=[1+
1
2a
(ssys)2]1/2
l>1，故考虑塑性修正后应力强度因子增大。
对于一些高强度材料； 对于处于平面应变状态(厚度大)的构件； 对于断裂时的应力远小于屈服应力的情况；
小范围屈服条件通常是满足的。
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Plasticity correcting can extend LEFM beyond it’s normal validity limits. One must remember, however, that Irwin correction are only rough approximate of elastic-plastic behavior. When nonlinear material behavior becomes significant, one should discard stress intensity and adopt a crack tip parameter (such as the crack tip opening displacement, CTOD) that takes the material behavior into account.
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
3
7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力
sx、sy和剪应力xy的线弹性解为：s
sx=s 2arcos2[1- sin2sin32] sy=s 2arcos2 [1+sin2sin32] (5-1)
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Mo一st 般of 地the说cl，ass裂ica纹l s前olu的tio条n i件n f既rac不tu是re 平面 m应ec力ha，ni也cs r不ed是uc平e th面e 应pro变bl，em而to是tw三o d维im的en。sio然ns.
That is at least one of the principal stresses or
(平面应力) (7-3)
(平面应变)
式中，sys为材料的屈服应力，为泊松比。 对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂
尖塑性区比平面应力时小得多。
7
当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。
虚线为弹性解，r0，sy。
sy H
由于sy>sys，裂尖处材料屈服，
塑性区尺寸为rp。
y
sy xy
dy
sx
r
dx
2a
x
xy=s 2arsin2 cos2 cos32
s
当r0时，s ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
4
线s弹x=s 2裂arc尖os附2[1近- sin2一sin点32]
性断 裂sy力=s
2任 的arcs一oxs、点2 [s1处+ysin2的力sin应状32]
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3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
K1=
Mfs p
E(k)
a
前表面修正系数通常取为Mf=1.1； E(k)是第二类完全椭圆积分。
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1s 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1=
p(a + rp)
E(k)
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状
态，故由(7-4)式知：
rp=
4
1
2p
(sKy1s
)2
18
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例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
1) s=500MPa时的临界裂纹深ac。 (设a/c=0.5) 2) a/c=0.1，a=5mm时的临界断裂应力sc；
K x
下的面积相等。
aR
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下
的面积等于曲线HB下的面积即可。
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于是得到：
sy
H
rp
R s ys
= 0
s
y (x)dx
sys
BC A
D
注意到式中：sy=K1 / 2p r ,
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 s ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
学
xy=s
2axry，sin2
cos 2
co态s3 2
计 算 主 应 力
s
屈 服 准
裂 端纹 屈y 尖 服dsyy
xy sx
(5区-1)域2a的r
dx
x
则 形状与
尺寸
s
这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。
在裂纹线上(=0)，注意到 K = s pa ，有；
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
将断裂判据式二边平方， 再将Q2代入，得： 1.21sc2 p a = K12c [1.034- 0.212( sc / sys )2]
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即有：
sc2
=
1.21p
1.034 K12c a+0.212(K1c/sys)2
=12622.8
sc = 112.4 MPa
讨论：若不考虑屈服，有：
K1=
M f sc p
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
R为：
R=
1 p
(
K1 s ys
)
2
=2rp
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依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为：
R=2
rp
=
1 ap
(sKy1s
)2
a = 1 2 2
(平面应力) (平面应变)
(7-4)
上式指出：
裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比；
平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
E(k)
a
则：
s
2 c
=
1.034 K12c
1.21p a
=
1.034
1.21p
250 0.005
=13600
sc = 116.6 MPa
不考虑屈服，将给出偏危险的预测。
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一般地说，只要裂尖塑性区尺寸rp与裂纹尺寸a相比 是很小的(a/rp=20-50)，即可认为满足小范围屈服条 件，线弹性断裂力学就可以得到有效的应用。