数学高考题型专题讲解44---立体几何中最值问题

数学高考题型专题讲解44

---立体几何中最值问题

一．方法综述

高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．

立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,

涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.

二．解题策略

类型一距离最值问题

【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）

A．B．1 C．D．2

【答案】B

【解析】

以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，

所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．

当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．

故选：B．

【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D.

【举一反三】

1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；

则，，底面CDEB，

结合图形中的数据，求得，

在中，由勾股定理得，

同理求得，

．故选：A．

2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大

此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球

设其半径为

由题可知

因此