(人教)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.2第2课时

•2.3双曲线
•2.3.2双曲线的简单几何性质•第二课时直线与双曲线的位置关系
自主学习新知突破
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•1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质 ,能解决与双曲线有关的综合问题.
•2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法 ,能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力.
入门答疑
•1.过双曲线的焦点与渐近线平行的直线与双曲线有几个交点？
•［提示］1个交点・
•2.类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系是怎样的？
•［提示］直线与双曲线相交、相切、相离・
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______ 直线与双曲线的位置关系及判定
直线：Ax+By+C—0,
、? V2
双曲线：^2 —^2=1(«>0, Z?>0),
两方程联立消去y,得mx2-}~nx-\-q=0.
弦长公式
设斜率为£的直线/与双曲线相交于A(x P力)，Pg，y2)
乃1伙工
0)・
❶思维启迪〕
正确理解直线与双曲线位置关系及判定
一般地，设直线/：y=kx~\~m（m0）①
2 2
双曲线C：》一話=1（°>0，Z?>0）②
把①代入②得（戻一«2Zr2）x2—2a2mkx—a2m2—cTb1=0.
h
⑴当b2—a2k2 = 0,即k=±-时，直线/与双曲线的渐近
CI
线平行，直线与双曲线C相交于一点.
A
(2)当庆一即ky^+r时，
/ = (— 2a2 mk)1—4(/?2—a11^)(—«2/n2—c^b2)・
/>0=直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
力=03直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲
线相切；
/von直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.
自主练习
1.直线y=mx+1与双曲线%2—y2= 1总有公共点，则m的取值范围是（）
A. m三型或mW—型
B.—型WmWpl且m工0
C.加WR D・—yfiWmWpl
2-已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F 的直线/与E相交于4, B两点,且的中点为N(-12,
一15),则E的方程为(
=1
解析：由于的中点为N(—12，-15),所以直线/
—15—0
的斜率k=T2_3 = l，所以直线/的方程为，=兀一3，由于
2 2
F(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为乂一宀-=l(0vx9), a
9—a
y=x-3
设4(兀1，X), Bg力)，联立<-y2>,2 _ ,化简得
a 9~a~
(9—2a)F+6ax+d2—18。

=0,因为AB 的中点为N(—12,
-9二Q=-24,解得a=4.故选B.
— 15),所以兀1+兀
2=
• 3.已知双曲线C：x2—y2=l f F是其右焦点 ,过F的直线/只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线伯勺斜率等于_____________________ ・
•解析：当直线/与双曲线的渐近线平行时, 与双曲线的右支有唯一交点,直线/的斜率为± 1.
•答案：±1
• 4.已知双曲线3x2-y2=3,直线/过右焦点巧，且倾
斜角为45°,与双曲线交于4, B两点，试问A, B 两点是否位于双曲线的同一支上 ?讎赚弓玄A啦的长/>=羽，c=2,
又直线/过点F2(2,0),且斜率£=tan45o=l,
・•・/的方程为歹=兀一2,
t \y=x—2,
4< 3X2— 2=3 消去y 并整理得2x2+4x—7 = 0.
设A（x lf刃），B（X2, y2）,
.. _ 7
•兀1・无2=—kVO,
A A, B两点分别位于双曲线的左、右两支上・
…7
Vxj+%2—~2, %1-%2— ~2?
•: \AB\ 1 +121%] —%21
= 辺・寸（兀[+兀2）2一4兀亿2二6・
合作探究课堂互动
直线与双曲线的位置关系
•例直线;y=fcx+l与双曲线3x2~y2= 1相交于A, B 两点，当£为何值时，A, B在双曲线的同一支上？当£为何值时，A, B分别在双曲线的两支上？
•思路点拨:直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解,也就是消元后获得的一元二次方程有两解.两交点在同一支上,则说明两个交点的横坐标同号,即一元二次方程有两个同号根,两交点分别在两支上,则说明两个交点的横坐标
异号,即一元
把y=kx~\~ 1 代入3x2—y2= 1,整理，
得（3—Z:2）%2—2kx—2 = 0.
设A（xj,刃），Bg乃），要使直线与双曲线有两个交点, 贝0需满足：土羽，且/ = 24—4/>0.
由力>0,解得一y[6<k<y[6,
所以当一且土书时，一元二次方程有两解，直线与双曲
线有两个交点.
2 若4，B在双
曲线的同一支上，须X I X2=^2_3＞0,
解得k＜~y]3或k＞书;
2 若4, B分
别在双曲线的两支上，须Xi%2=pZ^＜0^
解得—书＜k＜书.
所以，当一诟VPV-希或羽时，A, B两点在
同一支上；当一书＜k＜书时，A，E两点在双曲线的两支上.
I I解直线和双曲线的位置关系的题
目，一般先联立方程组,消去一个变量,转化成关于诫y的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系. 这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时,就转化成x或啲一元一次方程,只有一个解・这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项系数不为零时,利用根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系.
o变式训练)
•1.⑴如果直线y=kx~ 1与双曲线兀2—护=4有两个公共点，求加勺取值范围；
•(2)如果直线y=kx~ 1与双曲线兀2—护=4只有一个公共点，求加勺取值范围；
•(3)如果直线y=kx~ 1与双曲线兀2—护=4的右支有两个公共点，求加勺取值范围；
[1_&工 0 的
根 °h+0(l ~k 2)>0 • (4)如果直线y=kx~ 1与双曲线兀2—护=4的左 支有两个公共点，求袖勺取值范围；
• (5)如果直线y=kx~ 1与双曲线x 2~y 2=4两支 各有一个交点，求£的取值范围.
(1) 直线与双曲线有两个公共点0(*)式方程有两个不等
解析:
y = kx~ 1 x~y 2=4
得(1 —Z:2)X 2+2Z:X —5=0(*) 且 £H±1.
(2)此时等价于(*)式方程只有一解.
当\_卩=0即k=±\时,(*)式方程只有一解；当1—时，应满足 / =4^2+20(1—Z?)= o,解得k=±*,
故k的值为±1或土乎.
(3) 此时等价于(*)式方程有两个不等的正根O
W+20(l-^2)>0,
2k ° —r>。

，
-5 r>°'
(4) 此时等价于(*)式方程有两个不等的负根，同
(3)可得: QI 或 k<-l
Olvkv
即 k> 1 或-l<k<o 9
<k< —
(5)此时等价于(*)式方程有两个相异实根,
厭2 + 20（1—疋）＞0,
所以一lv衣1.
例囚M 已知过定点P(O,1)的直线I交双曲线X—1于
A, B两点.
•(1)若直线/的倾斜角为45°,求IABI；
题型二弦长与中点弦问题
•(2)若线段的中点为M,求点M的轨迹方程
•思路点拨:知道了倾斜角就知道了直线的斜率,因此,解答
•⑴可直接使用弦长公式;
•旦己左岀占I、i=n旦舌7717古FR会羽於土步鈕
4+lTTT
解析：（1）由题意知，直线Z的方程为y=x+l,联立
y=x+L
方程组＜ 2 y2消去y得3x2—2%—5=0.
兀_才=1
3（X2，丁2），
nl
2
丿』X1 + %2
兀1兀2 =
5
3-
②25）
\AB\ =V（1 +比2）［（兀］+%2）2 — Arg］
-4X
（1 +
12）
②25）
(2)方法一：设中点M的坐标为(JG y), 弦AB 立而点为9 yi)^ B(X2,丁2)(兀1工兀
2)，
%1+%
X ] + %2 = 2%、
Vi+y2 = 2y，
XVA, B两点在双曲线上,
11 1 - - 2也4 2也
2
1
2 2
••• 4（%i +%2）・（％1 —比）=tvi +y2）（y i ~yi）Vi—y2 4（*1+兀2）4X 2x 4x
____________________________________________ ■ _______________________________________________________________________________ ——■ ■ 一
羽―兀2 力+乃2y y
Ax 即k AB——•
y_ 1
乂TP, M两点在直线l上，•:kaB=kpM=%_0，
.\~=^ 即4x2—y2+y=0（j<—4 或y>l）y x
/.点M的轨迹方程为4x2—y2+y=0（j<—4或y>l）・
直线/的方程为y=kx+\,
Z*
y=kx-\-\,
由v 2 y2消去y 得(4—Z:2)%2—2kx—5—0.
兀—才=1
设A(%i，yi), B(X29丁2)，
・・.4-Q O,
/ = (—2Q2—4X(—5)(4—Q)>0,
即一萨v k<\[5,
TM为4B的中点,
%i +%2k
=4ZZ P,
力+歹2 4 y— 2 —4—0 X.
由①②消去k得4x2-y2+y=0,
厂厂 4 4
T —\J5<k<\j5, A^zp<—4 或^ZZ^>1・•••点M的轨迹方程为4x2-/+y=0（j<-4或y>l）・
规律方法(1)弦长的求法
求直线与双曲线相交所得弦长,主要利用弦长公式,要注意方程的思想以及根与系数的关系的应用・
•⑵弦中点问题解决方法
•对于弦中点问题,通常使用点差法解决,以减/j\运算量/提高运算速度.
•另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化, 如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问菽解
规律方法(1)弦长的求法决•
册变式训练〕2
2.已知点Ml,2),过点N的直线交双曲线号=1于
. —A 1 ―>—A
A, B 两点，且ON=^OA + OB).
(1)求直线4B的方程;
(2)求IABL
解析：（1）由题意知直线AB 的斜率存在. 设直线 AB ： y = k(x —l)+2,代入/一,= 1,得 (2—A:2)%2一2£(2 — k)x 一(2 — k)2 — 2 = 0. (*) 令A(%1，力)，B(x»『2)，则兀1，兀2是方程(*)的两根,
•••2 —疋工0,且兀］+兀2 = 2k(2—k)
•••N是4B的中点, .Xj+%2 •• 2 —
/.k(2—k)=—P+2, k=\,
代入(*)得/=4-4XlX(-3)=16>0, ・••直线佔的方程为
y=x+l.
(2)将k= 1代入方程(*)得X2—2X~3=0,解得x= —1 或兀=3,
5TV=|(5A+6B),
・•・不妨设4(一1,0), 5(3,4). \AB\ = A/[3-(-1)]2+(4-0)2=4^/2.
题型三直线与双曲线的综合问题
例❸《已知点M(—2,0), N(2,0),动点P满足条件|PMI 一IPM=2边，记动点P的轨迹为
⑴求W的方程；
(2)若4, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求力.防
的最小值.
思路点拨：定义法求方程f讨论AB的斜率联立方程组|f|根与系数的关系表示岀怎•旋
-I利用函数知识求出最小值
⑴由IPMI — IPM=2边知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=yj2.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=^c2—a2=^2.
2 2
所以W的方程为，—葺=\（x三乜）・4分
(2)设4, B的坐标分别为(%i，yi),(烁丁2)・
AB丄JV车由时，X\ =x^y y\=—歹2・
从而OA*OB=X\X2~\~yiy2=—胃=2・ 6 分
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立，消去y得
(1 —A:2)%2—Ikmx—m2—2 = 0.
,, | 2km加2+2
【収X]十%2 =]—上2' %仏2= 上2_ ] ' 8 刀
所以OA-OB=XiX2^~yiy2=X\X2-\-(kx^m)(kx2-^fn)
=(1+ /：2)%1%2 + km(X\ +%2)+ 加2
(1 + Z:2)(m2+2)
+m2
+
2k2+2 4
10分=¥^?=2+戸・
又因为%1%2>0,所以Zr2-l>0,从而OA QB>2.
综上，当4B丄x轴时，鬲・亦取得最小值2.12分
此类题涉及到的知识点相对较多
、双曲线的相关知识以及定点问
题,求解时利用直线和双曲线的关系建立方
程组,通过根与系数的关系或向量的运算
求 解相头参变量的值.
:直线、
❹变式训练〕
兀2
3・设双曲线C： ^2—/=1(«>0)与直线A x+y=l相交于两个不同的点4, B.
(1)求实数a的取值范围；
f 5 f。