第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据

于对数频率稳定判据是在 L( ) 0 的频率范围内依相
频曲线 ( ) 来确定穿越次数N。
二、对数频率稳定判据
开环传函在右半s平面上的极点数为P， 开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相 频曲线与 (2k 1) 线的正负穿越次数之差为N ：
N N N
向上 正穿越的次数 负穿越的次数 向下


ω=0+
Im υ=1 p=1
奈氏曲线：
ω=0 -1
ω=∞ 0 Re
系统不稳定！
5(s 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G(s) 2 s(s 2s a)
5 G( j0 ) 270 o as
j
奈氏判据判稳
a 0, 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a的取值范围。
ω=0
p=0 υ=1
(a)
ω=0+ ω=0+
p=0 υ=2
0
Re
(b)
Im
Im
ω=0+
-1
0
Re
p=0 υ=3
ω=0
-1
ω=∞ 0 Re
(c)
υ=1
p=1
(d)
例 已知系统开环传递函数试判断闭环系统的稳定性。
K G(s) H (s) s(Ts 1)
A( ) ( ) 90 解： 起点 0 () 180 A( ) 0 终点
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据

对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
c
0dB

180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2

270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o
90o
0
o
c 1
2

90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
j
-1 -0.5
0
-2
-1
0
Z=P-2N=1-0=1
1 Z=P-2N 1 2 0 2
系统不稳定
系统稳定
开环传递函数含有积分环节
开环幅相曲线 G( j ) H ( j ) 起始于无穷远处。 若 v 1 ，则起始于负虚轴无穷远处 若 v 2 ，则起始于负实轴无穷远处 如何衡量开环幅相曲线是否包围 (1, j 0) 呢？
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c

c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
起始或终止于(－1，j0)之左的负实轴。
1 N , N 0 2 1 N N N 2
当P=1时，系统稳定。
1 N 0, N 2 1 N N N 2
系统始终不稳定。
用奈氏判据判稳
1 G (s) Ts 2
j
2 G ( s) Ts 1
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
系统稳定
P 2N
z=0
N＋=0 N－=0 N=N＋-N－=0
Z P 2N
当P=0时，系统稳定。
半次穿越
开环幅相曲线G(jω)H(jω)：
从原开环幅相曲线的起点 0 ，逆时针补画半径

为无穷大的 v 90 圆弧，用虚线表示，再用奈氏判
据判稳。
只有起始于无穷远处时才需要补画！
例 系统的奈氏曲线如图,υ为积分环节的个数， p为 不稳定极点的个数，试判断闭环系统的稳定性。
解：
-1
Im
Im ω=0 ω=0 Re
ω=∞
0
-1
ω=0+
5.4 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定判据
利用开环幅相曲线和开环对数曲线 判断闭环系统的稳定性。
一、奈奎斯特稳定判据 二、对数频率稳定判据
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
G( j) H ( j)
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：

P 2N

从对数相频曲线的起点 0 ，向上补画一条 v 90 的虚线，再用对数频率稳定判据判稳。
对数判据例题1
50 G( 源自文库) H ( s) s( s 1)( s 2)