第五章频率特性法(5.4)——稳定判据

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自动控制原理第五章频率特性法

R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相

5.4 频率域稳定判据

e j ( 90)1 G(s) H (s) G1 ( jwn ) 1 (2wne )
A( s )
90, 即s=jwn G1 ( jwn ), ( s) G1 ( jwn ) ( 90) 1 , (90, 90) G ( jw ) 180, 90, 即s=jwn 1 n 1
Z P 2N

N N N
N + ：半Nyquist曲线自上向下穿越 GH 平面 (-, - 1)区间的次数。
N -- ：半Nyquist曲线自下向上穿越 GH 平面（-, - 1 ）区间的次数。
Z P 2( N N )
Z P 2( N N )
s 的选择考虑：使它包围整个 s 右半平面。
2.稳定判据和对数频率稳定判据
（1） S 平面上封闭路径s 的选择（2） S 平面上封闭路径s 在G(s)H(s) 平面上的映象（3） Nyquist Criterion （4） Nyquist Criterion 的几种等价表述
（1）S 平面上封闭路径s 的选择对封闭路径s 的要求：能包含整个S右半平面。也就是说，假如开环传递函数G(s)H(s) 具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径s 所包围。若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成：包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无穷大的右半园。 END
B( s) A( s) B( s ) F (s) 1 G(s) H (s) 1 A( s) A( s)

第五节 Nyquist稳定判据

闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
解绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。
已知 P 0
由图知 R ，则2
Z P R 0 (2) 2
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为 2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值改变时，在任一频率下将引起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-
45，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0）点，若传递系数K缩小一半，
即由5.2降为2.6时，曲线恰好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步缩小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线将不再包围（－1，j0）点，这时闭环系统则是稳定的了。
Nyquist轨迹及其映射为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。

54奈奎斯特稳定判据解析

这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个 s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射 F(s)对原点的包围次数 N，并将它和开环频率特性
Gk (jw)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线
CS包围整个 s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示。它可分为三部分：
j?1
Im S平面
?? ??
?
Re
??
Im
?
F(s)
? (s)
F(s)平面 Re
当S 平面上动点 s从s1经过某曲线 CS到达s2，映射到 F(s)平面上也将是一段
曲线CF ，该曲线完全由 F(s)表达式和 s平面上的曲线 CS决定。若只考虑动点 s
从s1到达s2相角的变化量，则有
?? F (s) ? ? F (s2 ) ? ? F (s1)
函数F(s)是复变量s的单值函数， s可以在整个 s平面上变化，对于其上的每一点，除有限 (n) 个极点外，函数 F(s)都有唯一的一个值与之对应。
s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系
F (s) ? K (s ? z1)(s ? z2 ) (s ? zm ) (s ? p1 )(s ? p2 ) (s ? pn )
N ? 0, CF顺时针包围原点N周；
N ? 0, CF不包围原点；
N ? 0, CF逆时针包围原点N周；
Z ? 1, P ? 0, N ? Z? P?1
Z ? 0,
P ? 1,
N ??1
Z ? 2, P ? 2, N?0
顺时针包围原一周；
逆时针包围原一周；

5.4奈圭斯特稳定判据

Saturday, June 13, 2020
18
Ⅰ部分：正虚轴， 0 ，Ⅱ部分为半径
为无穷大的右半圆 s R e j , R , ~ ；
Ⅲ部分负虚轴， 0，Ⅳ部分2为半2径为
无穷小的右半圆，s R' e j ' , R'
0, '
~
22
Ⅰ
0 0
Ⅳ
R
'
'e
j
这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西3, 2020
6
[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 s包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 s移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 f 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。
Saturday, June 13, 2020
14
[例5-7]设开环系统传递函数为：Gk 氏判据判断闭环系统的稳定性。
(s)
(s
1)(
52 s2
2s
5)
，试用奈
[解]：开环极点为-1，
-1 j2，都在s左半平面，所以Pk 0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏
图顺时针围绕 (-1,j2)
点2圈。所以闭环系统在
上面讨论的奈圭斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈圭斯特路径。
Saturday, June 13, 2020
-4
-2
0
2
4

第五章频率特性法 (4)

ω=0 Re
根的实部为负，系统稳根的实部为负，相角增量为90 定，相角增量为 0 。
第四节用频率特性法分析系统稳定性
TS-1 因子的相角变化量为：因子的相角变化量为：
ω=0→∞
∆ ∠(jωT-1)
TS-1幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线
Im ∞
=90o-180o=-90o 根的实部为正，根的实部为正，系统不稳定，系统不稳定，相角增量为-90 增量为 0 。
第四节用频率特性法分析系统稳定性
例已知系统开环传递函数试判断闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。 K G(s)H(s)= S(TS-1) 奈氏曲线：奈氏曲线：系统开环频率特性为：解：系统开环频率特性为： ω=0+ 特殊点：特殊点： Im K G(jω)H(jω)= jω(jωT-1) 曲线顺时针方向 ω=0+ υ =1 点的，绕过 (-1, j0)φ(ω)=90o K A(ω)=∞ 点的， A(ω)= ω 1+(ωT)2 所以系统不稳定。 ω=∞ 所以系统不稳定。 ω= ∞ 0 Re ω=0 -1 o-tg-1 ωT φ(ω)=-90 A(ω)= 0 φ(ω)=180o -1
ω=0+ + ω=0
-1
Im Im ω=∞ ω=0 ω=∞ ω=0 Re -1 0 0 Re
曲线包围了(-1,j0)点，曲线包围了点曲线没有包围(-1,j0)点，点曲线没有包围系统不稳定。系统不稳定。系统是稳定的。系统是稳定的。
第四节用频率特性法分析系统稳定性
五、对数频率稳定判据
第四节用频率特性法分析系统稳定性
已知系统的奈氏曲线,试判断系统的例已知系统的奈氏曲线试判断系统的稳定性。稳定性。解：系统的系统的G(jω)H (jω)曲线如图曲线如图

第五章频率特性法

教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性

频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法。优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频率特性。
1 1 (T1 )
2

1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。当时间t→∞ 时, 暂态分量趋于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲线有单调衰减和谐两振种形式。

自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法

5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤：（1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节；（2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上；（3）绘制低频段渐近特性线；（4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当由 0 时0，开环奈奎斯特曲线逆时针方向包围( )点周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开环极点的个数。需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓由 0 0 ，指的是由 0 0 0 ，此时奈奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有个P开环极点，当从变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为（为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类；（5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处

频率稳定判据

第五章频率域方法频率稳定判据（1）频率稳定判据两种频率稳定判据：奈奎斯特（Nyquist）稳定判据和对数频率稳定判据。

奈奎斯特判据是利用系统的开环幅相特性曲线判断闭环系统稳定性的一种方法，而对数频率稳定判据是利用系统的开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性，两种方法本质上没有区别。

频率稳定判据是建立在幅角原理的基础上的，因此，下面先介绍有关幅角原理的内容。

设F(s)是复变量s 的单值函数，例如1212()()()=()()()()s z s z F s F s F s s p s p −−=∠−−1z 2z 1p 2p 0sjs 平面SΓ0F)(s F ∠jFΓF 平面设是s 平面上的一条封闭的轨线，且不经过F(s)的任何一个零点或极点。

对于上的任意一点，通过F(s)的映射，可以在F 平面上确定一个对应的点，称为的象，若沿顺时针移动一周，则对应的象在F 平面上形成一条封闭曲线。

S ΓF ΓS ΓS Γs F s s 12,z z 零点：12,p p 极点：1z 2z 1p 2p 0sjs 平面SΓ幅角原理若s 平面上的包围了F(s)的Z 个零点和P 个极点，则当点沿顺时针移动一周时，在F 平面上闭合曲线逆时针绕原点的圈数R 为P 和Z 之差，即R=P-Z若R<0，则表示顺时针方向绕原点的圈数。

S ΓS ΓF Γs 0F)(s F ∠jFΓF 平面12,z z 零点：12,p p 极点：（注意不能经过F(s)的任何一个零点和极点）S Γ)(s G )(s H 闭环121212()()()()=1()()()()()()M s N s G s s G s H s N s N s M s M s Φ=++11()()()M s G s N s =前向22()()()M s H s N s =反向开环1212()()()()()()M s M s G s H s N s N s =辅助函数121212()()()()()=1+()()()()N s N s M s M s F s G s H s N s N s +=辅助函数1122(),(),(),()M s N s M s N s 均为s 的实系数多项式开环特征多项式闭环特征多项式=)(s F F(s)的极点是开环的极点，F(s)的零点是闭环的极点。

自动控制原理_第五章_第四讲_对数频率稳定判据

b n 1 2 2 (1 2 2 ) 2 1
c n
arctg
(4 4 1 2 2
2 4 4 1 2 2

1 2
ζ≈γ/100
% e
tS

100 %
7 tg
3 .5
n
c t S
(2)高阶系统频域指标与时域指标的关系 ① 谐振峰值 ② 超调量
0
ωc
1
Hale Waihona Puke 幅值裕度 h=1G(jωx)
G(jω)
∠G(jωc)
hdB 20lgG( jx )
相角裕度
γ =180o +∠G(jωc)
稳定裕度的定义续1
1. h
1 G ( j g ) H ( j g )
G(jωg)H(jωg)
j

其中，ωg为穿越频率。定义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。对数坐标下:
h>1即h（dB）>0 时系统是稳定的
其中： 1. h
1 G ( j g ) H ( j g )
2. 1800 G( j c )H ( j c )
结论：为了得到满意的性能：
γ：300~600
h：≥6dB
映射关系
极坐标图（Nyquist图）单位圆：A(w)=1 单位圆外：A(w)>1 单位圆内：A(w)<1 负实轴正实轴 G(jw)H(jw)穿过(- 1,∞)负实轴对数坐标图（bode图） 0 分贝线，L(w)=0 0分贝线以上，L(w)>0 0分贝线以下，L(w)<0 -180线 0度线在 L(w)>0 的范围内，穿过 -180 线

5-4 5-5 5-6 频率稳定判剧【12.18】

P/2圈。（P为开环传递函数位于s右半平面的极点）
（2）若开环系统稳定，即P=0时，系统的开环幅相特性 G(j)H(j)曲线不包围(-1，j0)，则闭环系统稳定。
绘制ΓGH：
例5－5
• 已知系统开环传递函数
1000 G(s) s 1s 2s 5
试应用奈氏判据判别闭环系统稳定性。
当s 沿Γs顺时针转一圈时，其映射曲线ΓF 绕F(s)平面的原点逆时针转R 圈，且R=P-Z 。规定：R>0 ——逆时针, R<0 ——顺时针
j
s
s zi
zi
s
j
A
F ( s )
F
B
F
z1
p1
z2
z i 1
s平面与F(s)的映射关系
在s右半平面内任作一条闭合曲线 Γs，Γs不经过F(s)的任何零、极点，且F(s)的零点zi在闭合曲线 Γs内。在闭合曲线 Γs上任选一点 A，使 s从 A点开始移动，绕 F(s)的零点 zi 顺时针沿着闭合曲线 Γs 转一周回到A点，相应的F(s)在F(s)平面上从B点出发再回到B点，也绘制了一条闭合曲线ΓF。当s随着Γs移动时，F(s)的相角变化为Δ∠F(s)，则有： F s s z1 s z2
由开环传递函数 G s ，可确定P 0，
2)根据奈氏判据判别闭环系统稳定性
即开环系统稳定，开环幅相曲线包围
1，j0点，所以闭环系统不稳定。
Z=P-2N=0-2(-1)=2, 不稳定
例5－6
• 已知系统开环传递函数
K G (s) s 1
试应用奈氏判据判别K=0.5和 K=2时的闭环系统稳定性。
试应用奈氏判据闭环系统稳定性。

自动控制原理-5.4奈氏判据

稳定性。
5.4.1 辅助函数F(s)
R(s)
+﹣
图示的控制系统中，G(s)
C(s) G(s)
和H(s)是两个多项式之比
H(s)
1
G(s) M1(s)
N 开环传递函数为：
1
(
s)
H(s) M2(s) N2(s)
Gk (s) G(s)H(s) 闭环传递函数为：

M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
（1）0型系统(开环没有串联积分 0 环节的系统)
s为包s围平虚面轴s 和整个右映半射平面。F(s)
正虚轴 j (:0)
F(j) ( : 0)
s
负虚轴 j (: 0)
F(j) ( : 0)
半径的半圆
( 1, j0)点
5
F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。 F(j)包围原点就是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。
R=2 z = p R = 2
kT1T2
T1 T2
1
∴ 闭环系统是不稳定的。
当 kT1T2 > 1 T1 T2
R=0
z = p R= 0
=0+
∴ 闭环系统是稳定的。
Im

0
Re
增补线
16
(3) 由奈氏判据判稳的实际方法
用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从
j 1
F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。 4
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个F(s)
的极点，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在F(s)
平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之

5·4 Bode稳定判据

– 若开环相频特性达到-1800时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值大于1,则闭环系统不稳定。
• 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0
• 由图5. 4. 1(b）可见，在0-ω c范围内，对数相频特性正、负穿越次数之差为0，那么在P=0时，系统稳定。
• 系统实际为一条件稳定系统。
图5.4.1
• 1点处为负穿越一次，2点处为正穿越一次。
图5.4.2为半次穿越的情况
• 分析图5.4.1(a)可知，正穿越一次，对应于 Nyquist轨迹逆时针包围 (-1,j0)点一圈，负穿越一次，对应于Nyquist轨迹顺时针包围(-1,j0)点一圈
• 开环Nyquist轨迹逆时针包围(-1,j0)点的次数就等于正穿越和负穿越的次数之差
频特性曲线，以便明确哪些环节是造成不稳定性的主要因素，从而对其中参数进行合理选择或校正； • (4)在调整开环增益K时，只需将Bode图中的对数幅频特性上下平移即可，因此很容易看出为相对稳定性
相对稳定性——稳定裕量
Im
G0 ( j g )
幅值裕量相角裕量 Im
• 描述1
– 若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即ω c< ω g，则闭环系统稳定；
–
若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即ω c> ω 则闭环系统不稳定；
g，
– 若ω c=ω g，则闭环系统临界稳定。
• 描述2
– 若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于ω c时，其对数相频特性还在-1800线以上，即相位还不足-1800，则闭环系统稳定；
kg
c
•
-1 g•
Re g • -1
Re

5.4.1nyquist图稳定判据及其相对稳定性

第五章线性系统的频域分析法5.4 线性系统稳定性分析对数幅相图——Nichols图纵坐标为20lg|G(jω)| ，单位为dB，线性分度。

横坐标为∠G(jω)，单位为度, 线性分度。

Nichols图的绘制过程：先绘制出Bode图，再由其绘制Nichols图。

多用于控制系统校正。

)1)(10(100)(++=s s s s G )1)(11.0(100)(++=s s s s G 例：已知系统开环传递函数为解:(1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。

5.4 Nyquist稳定判据和相对稳定性稳定判据：代数判据—Routh判据判断工程实用的图解法判据—Nyquist稳定性判据和Bode图稳定性判据判别系统的稳定性，实际上就是判别系统在S平面右半平面有否闭环极点。

幅角定理设F(S)是复变量S的单值连续解析函数（除S平面上的有限个奇点外）。

S平面上的某一封闭曲线D的内部包含了F(S)的P个极点和Z个零点（包含重根点），且曲线D不通过F(S)任何一个零点和极点。

当S按顺时针方向沿封闭曲线D连续的变化一周时，曲线F(S)在复平面上也按顺时针方向包围原点N=Z-P圈此处定义N为顺时针圈数，即顺时针圈数为正数，逆时针圈数为负数，总圈数为顺时针圈数与逆时针圈数的代数和。

由于系统闭环稳定性与S 平面右半平面中的闭环特征根的数量有关。

故如果选取a)s 平面封闭曲线D 为顺时针包含整个S 平面右半平面的曲线b)F(S)选为F(S)=1+G(s)H(s)()()11()B s F s G(s)H(s)A s =+=+F (s )的极点为开环系统的极点，F (s )的零点为闭环极点则有：有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）假设S平面右半平面包含了F(S)的P个极点和Z个零点，即封闭曲线D包围了F(S)在S右半平面的P个极点和Z个零点根据幅角定理，系统稳定⇒F(S)在S右半平面的零点数Z=0⇒F(S)顺时针包围原点的次数满足N=Z-P=-P。

奈奎斯特稳定判据

由此推论，若s平面上的闭合曲线以顺时针方向包围
的z个零点，则在
平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。
如果s平面上的闭合曲线按顺时针方向围绕着
的一个极点
旋转一
周，则向量
的相角变化了
。由式（5－42）可知，
的相角
变化了
。这表示
平面上的映射曲线按逆时针方向围绕其坐标原点
一周。由此推广到一般，若s平面上的闭合曲线按顺时针方向围绕着
（1）首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则P为多少？
（2）作出奈氏曲线曲线，然后以实轴为对称轴，画出氏曲线。
。具体作图时可先画出从0到
的一段
从0到
的另一段曲线，从而得到完整的奈
（3）计算奈氏曲线
对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。
（4）根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之，，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面
11.01.2011
控制理论
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把上述和了。
部分在GH平面上的映射曲线和
的奈氏曲线在
处相连接，就组成了一条封闭曲线。此时，又可应用奈奎斯特稳定判据
例5－6 试判别该系统的稳定性。
反馈控制系统开环传函数为
试判别该系统的稳定性。
解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏
的具体形状，而是它是否包围
平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，
因为它与系统的稳定性有着密切的关系。
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线