_混合策略纳什均衡(张克勇XXXX)

方法算一算混合策略的纳什均衡是多少？通过反应曲线,求
得混合策略的纳什均衡.
博弈方2
C
D
博
A
弈
方
1
B
2， 3 3， 1
5， 2 1， 5
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异
pC 2 pD 5 pC 3 pD 1
§扑克牌对色游戏
• AB玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张 扑克牌，约定如果出牌颜色一样，A输B赢， 如果出牌颜色不一样，则A赢B输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
红 A
黑
红 -1， 1 1， -1
B 黑
1， -1 -1， 1
例 扑克牌对色游戏
B
红
黑
A
红 黑
-1 , 1 1 , -1
1 , -1 -1 , 1
激励的悖论
• 小偷与守卫博弈
小偷
偷p 不偷1-p
守卫
睡q
小睡1-q
V，-D 0，S
-A，0 0，0
激励的悖论
• 用支付最大化值求出：
U1 Vpq Ap(1 q) p(Vq A Aq)
U1 '
Vq
A
Aq
0
q*
V
A
A
U2 Dpq S(1 p)q q( pD S Sp)
U2'
pD
国家2
战争
和平
-5， -5 -10， 8
8， -10 10， 10
战争与和平博弈
风险优势标准
若考虑到或者说是顾忌到其他博弈方可能发生错误的原因， 帕累托上策均衡并不一定是最优选择，还需要比较风险优势。 下面就是两个例子。
博弈方2
博 弈U 方 1D
L 9， 9 8， 0
R 0， 8 7， 7
风险上策均衡（D，R）
政府
不救济 （-1，1） （0，0）
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这 个博弈有没有纯策略的纳什均衡？
• 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针
对性的策略，使自己的支付增加。
求解混合策略纳什均衡
国家2
战争
和平
国 战争 家 1 和平
-5， -5 -10， 8
8， -10 10， 10
战争与和平博弈
帕累托优势标准
这个博弈中有两个纯策略
纳什均衡，（战争，战争）
和（和平，和平），显然 后者帕累托优于前者，所 以，（和平，和平）是本
国 战争 家 1 和平
博弈的一个按帕累托优势
标准筛选出来的纳什均衡。
猎人2
兔
0， 3 3， 3
猎鹿博弈
聚点均衡
• 聚点均衡是利用博弈设定以外的信息和依据选择 的均衡。文化、习惯、心理或者其他各种特征都 可能是聚点均衡的依据。
3,2 -1 , 1
-1 , 3 0,0
uL 1, 1 3 uL 0,
0.5
政府和流浪汉的博弈
• 如果政府救济的概率小于0.5； • 则流浪汉的最优选择是寻找工作； • 如果政府救济的概率大于0.5； • 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 • 如果政府救济的概率正好等于0.5； • 流浪汉的选择无差异。
五 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
(2 1) 3
uL 2 1 0
0.5
max uG [3 (1 )] (1 )( )
max uL [2 (1 )] 3(1 )
则 0.5, 0.2
解二: 支付等值法
• 政府选择救济策略
• 政府选择不救济策略
1
0
期望效用
期望效用
uG 1, 3 11 uG 0, 1 01
纳税人
逃税
不逃税
税收机关 检查 A-C+F,-A-F A-C, -A
不检查 0,0
A,-A
课后作业：以“监督博弈”为关键词在学术期刊网上查找文献， 浏览至少三篇论文并精读一篇，写下笔记。
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
时装 妻 子
足球
时装
丈夫
足球
2， 1
0， 0
0， 0
1， 3
夫妻之争
1q
激励的悖论
• 一小偷欲偷有守卫看守的仓库，若小偷去偷时 守卫睡觉（不负责），则小偷偷窃成功（令其 价值是V），若守卫没有睡觉（尽职尽责）， 则小偷会被抓住坐牢（设其效用为-A）；再假 设守卫睡觉而未被偷的效用为S，守卫睡觉而 被偷则被解雇，其效用为-D。写出得益矩阵， 并分析如果想减少小偷偷东西的现象发生,如何 做效果更好?
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯 策略。也就是说，一个参与人选择不同策略的概 率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手 的支付决定的。
• 正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均 衡是一个难以令人满意的概念。
• 事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间 是无差异的，他的行为才难以预测，混合策略纳 什均衡才会存在。
则 政府的期望效用函数为：
uG 3 11 1 01
5 1
解一: 支付最大化
uG 3 11 1 01
5 1
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条 件为：
uG 5 1 0 0.2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混 合策略——流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8 的概率选择游闲。
解出PA=0.8,PB=0.2;PC=0.8,PD=0.2
策略
得益
博弈方1 （0.8，0.2） 2.6
博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
不同均衡概念的关系
占优均衡 DSE
重复剔除占优均衡 IEDE
纯战略纳什均衡 PNE
混合战略纳什均衡 MNE
监督博弈的纳税检查
• A 为应纳税款，C为检查成本， F是偷税罚款。 假定 C<A+F。不存在纯战略纳什均衡。请问： 如何才能降低纳税人逃税的可能性
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
uG 1, 4 1 uG 0,
0.2
• 解二: 支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意
味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的，
即：
流浪汉
找工作
游荡
政府 救济 不救济
0, 当 1/ 2
1
( *, r*) (1/ 2,1/ 5)
纳什均衡是：政府以1/2的概
1/2
率选择救助，流浪汉以1/5的
概率选择找工作。
0 1/5
1r
练习2：利用反应函数法找出情侣博弈的所有纳什均衡
丽娟 足球
大海 足球 2 , 1 芭蕾 0 , 0
芭蕾 0,0 1,2
p 1
2/3
0 1/3
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均，也就是
风险优势标准
从风险优势标准衡量，帕累托上策均衡（鹿，鹿）并是最优 选择，因为一旦对手方犯了错误，晕了头，选择了兔的策略 时，你的支付就会由5变成0！你会选择这么高风险的策略吗？ 而（兔，兔）的策略组合，当对手方犯了错误，晕了头，选 择了鹿的策略时，你的支付还是3，并没有损失！
猎 人
鹿
1兔
鹿
5， 5 3， 0
存在两个纯策略均衡
时装 妻 子
足球
时装
丈夫
足球
2， 1
0， 0
0， 0
1， 3
夫妻之争
还存在混合策略纳什均衡
丈夫 时 装C 足 球F
妻 时装C
子 足球F
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
妻子的混合策略 pw(C)1 pw(F ) 0 pw(C) 0 pw(F ) 3
丈夫的混合策略
夫妻之争 ph (C) 2 ph (F ) 0 ph (C) 0 ph (F ) 1
流浪汉
找工作
游荡
政府 救济 不救济
3,2 -1 , 1
-1 , 3 0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ；
则
u1 (5 1) ,u2 [1 2 ] 3
0, 当r 1/ 5
[0,1],当r 1/ 5
1, 当r 1/ 5
1, 当 1/ 2 r [0,1],当 1/ 2
夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡
策略
得益
博弈方1 （0.75，0.25） 0.67
博弈方2 （1/3，2/3） 0.75
§ 多重纳什均衡及其甄别
• 帕累托优势标准 • 风险优势标准 • 帕累托优势标准和风险优势标准 • 聚点均衡 • 相关均衡 • 抗共谋均衡
帕累托优势标准
• 看看这个博弈有几个纯策略纳什均衡?
• 在社会经济现象中,存在着许多激励的悖论的现象,如为了 减少考试作弊的现象,应加大对监考人员失职的处罚其效 果更好等等.
• 激励的悖论对我们制定政策和规章制度时带来了有益的思 考.
练习:混合策略的纳什均衡
下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡,如果没有采用混合
策略纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付等值法两种
S
Sp
0
p*
S
S
D
激励的悖论
• 用支付最大化值求出：
q* A VA
V11
A
当加大对小偷的处罚，守卫 偷懒的概率会增加 A q*
p*
S
S
D
1 1 D
S
当加大对守卫的处罚，小 偷偷东西的概率会减小 S p*
激励的悖论
• 从道理上讲,小偷偷东西是一种犯罪行为,而守恒不负责仅 是失职行为;从性质上讲,犯罪的性质比失职的性质严重得 多,理所当然应该加重对小偷的处罚,但从上面的分析可看 出,为了减少偷窃的现象,反而是加重对守卫处罚效果更好. 这就是激励的悖论!
假设A出红牌的概率为 p；B出红牌的概率为 q ；则
U ຫໍສະໝຸດ Baidu ( p, q) 2 p(1 2q) (2q 1)
因此A的最佳反应函数为
0, 当q 1/ 2 p [0,1],当q 1/ 2
1, 当q 1/ 2
p 1
0 1/2
1q
同理
U B ( p, q) 2q(2 p 1) (2 p 1)
1、假定政府采用混合策略：
G ,1 即政府以的概率选择救济，1 的概率选择不救济。
2、流浪汉的混合策略为：
L ,1 即流浪汉以的概率选择寻找工作，1 的概率选择游闲。
解一: 支付最大化
政府 救济 不救济
流浪汉
找工作
游荡
3,2 -1 , 1
-1 , 3 0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ；
第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡
一 博弈的基本概念及战略表述 二 占优战略均衡 三 重复剔除的占优均衡 四 纳什均衡 五 混合战略纳什均衡 六 纳什均衡存在性及相关讨论
五 混合策略纳什均衡
• 混合策略与期望支付 • 计算混合策略纳什均衡的三种方法 • 支付最大值法 • 支付等值法 • 反应函数法 • 多重纳什均衡及其甄别 • 混合博弈在现实经济中的运用案例
解一:支付最大化
政府 救济 不救济
流浪汉
找工作
游荡
3,2 -1 , 1
-1 , 3 0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ；
则流浪汉的期望效用函数为：
uL 2 11 1 3 01
(2 1) 3
解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为：
uL 2 11 1 3 01
因此B的最佳反应函数为
p
1
1, 当p 1/ 2
q [0,1],当p 1/ 2
1/2
0, 当p 1/ 2
0
1q
p 1
(P*, q*) (1/ 2,1/ 2)
1/2
纳什均衡是：A和B出红牌还
是出黑牌的概率都是1/2.
0
1/2 1 q
反应函数法
练习1：利用反应函数法找出政府与流浪汉博弈的纳什均衡
EUA p1X 1 p2 X 2 ... pnXn
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工
作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用救
济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不
到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付如图
所示：
流浪汉
寻找工作
游闲
救济 （3，2） （-1，3）