大学物理 5.4 磁场的安培环路定理
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磁场的安培环路定理
电荷均匀分布
E
2 0r
E0
E
2 0r
E
r 2 0 R2
E 2 0r
电流均匀分布
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
(16)磁场的安培环路定理 （2）面对称
无限大载流导体薄板
I
已知：导线中电流强度 I
单位长度
位置移动
I1 I2
I4
I3
l
不变
? B dl 0 Ii 0 ( I2 I3 )
? 改变
?
不变
(16)磁场的安培环路定理
注意3
安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
当电流呈体分布时 B dl 0 S j dS
闭合路径包围的电流为电流
导线匝数n
解：分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba
.........
cd
(16)磁场的安培环路定理
计B算 d环l 流abBdl cos 0
c
b
Bdl
cos
2
cd Bdl cos 0
da
Bdl
cos
2
B ab B cd
2B ab
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0 (I 2
I3)
【总结】以上结果对任意 形状的闭合电流（伸向无 限远的电流）均成立.
安培环路定理
安培环路定理
I )=0
二、 环路定理的应用
1. 载流长直螺线管内的磁场
. . . . . . . . . . . . . a d b c B
∫ l B. dl = ∫abB . dl + ∫bc B . dl + ∫cd B . dl+ ∫daB . dl = ∫abB . dl + 0 + 0 + 0 = ∫abB dl cos 0
由几何关系得： 由几何关系得：
L
O
r dϕ = dl cos θ µoI B= 2 r π
.
I r dl
dϕ
P
r B
θ
r dl
∫ l B . dl = ∫l B cosθ
=
∫l B r dϕ
µoI µoI r dϕ = 2 π 2π r
=∫
∫0
2 π
d ϕ =µ o I
安培环路定理： 安培环路定理：磁感应强度矢量沿任意闭合 路径一周的线积分等于真空磁导率乘以穿过 穿过闭合 路径一周的线积分等于真空磁导率乘以穿过闭合 路径所包围面积的电流代数和 电流代数和。 路径所包围面积的电流代数和。
∫ l B . dl =µ Σ I
o
电流和回路绕行方向 构成右旋关系的取正值
电流 I 取负值 I
向 方 绕 行
I
向 行方
绕
I2
I1
I I
l2
I
l3
l1
(a) (a)
(b)
1
(b)
(c)
o
∫l B . dl = µ
∫l B . dl = 0
2
(I 1 I 2 )
(c)
∫l B . dl = µ
安培环路定理
安培环路定理安培环路定理的严格证明(缩略图)在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。
安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
目录按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。
安培环路定理应用如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示），这在下式中，按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则：安培环路定理的证明(严格证明,大图见参考资料的链接)编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明）以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。
安培环路定理应用在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。
取对称环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l，则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为式中积分是环路的周长。
于是上式可写成为从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。
取任意环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为直导线中心向线元的张角为，则有，所以有可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。
取任意环路不包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任安培环路定理应用意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
大学物理-磁场 安培环路定律
Φ BS cos BS
s
一般情况 Φ s BdS
dS2
B
S 2
dS1
1
B1
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
B2
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（故磁场是无源的）.
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
n
安培环路定理
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
B
dl
0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
应用 安培环路定理的应用举例
例1
求载流螺绕环内的磁场
解 （1）对称性分析：环内B 线为同心
B dl B 2r 0 I
B 0 I 1 2r r
I
r LR
r L
分布曲线
B
0 I 2R B r
B 1 r
o
R
r
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
解 如图，作安培环路
abcda，应用安培环路 定理
b
l B d l 2a B dl
大学电磁学课件5.4安培环路定理
例题1.长直圆柱形载流导线的磁场
I
R
r
Q B
解：设圆柱电流呈轴对 称分布，导线可看作是无限 长的，磁场对圆柱形轴线具 有对称性。
当 rR
R
B
r
B d l B2r
P
B
导线外的磁 场与长直载 流导线激发 的磁场相同！
B2r 0 I
0 I B 2 r
o
R
r
I
0 ( I1 I 2 I k )
B dl 0 I k
C k
安培环路定理：磁感强度沿任意闭合曲线的积分， 等于穿过该曲线内所有电流的代数和乘以μ0 ,与曲 线外电流无关。 B dl μ0 I
l ( l内 )
当回路绕行方向与电流方向符合右螺旋法则时， I > 0 ；反之，I < 0 。
B
在静电场中我们学习过 E dl 0 ,现在我们来求 l 稳恒磁场中磁感应强度B的环量 B dl ？。
l
一、安培环路定理：
若回路绕行方向相反，则： B dl B cos( ) d l
L L
L
I
d
r
P
dl
B cos dl L 2 I 0 d 0 I 0 2
B
Lห้องสมุดไป่ตู้
I
d
r
dl
P
(2) 闭合回路不包围电流：
r r B1 dl1 B1 cos 1dl1 B1r1d r r B2 dl2 B2 cos 2 dl 2 B2 r2 d
B2
B1
B1r1 B2 r2
磁场的高斯定理和安培环路定理课件
03
安培环路定理的介绍与推导
安培环路定理的基本概念
总结词
安培环路定理是描述磁场散布的重要定理之一，它指出磁场线总是闭合的，且穿过任意一个封闭曲面的磁通量为 零。
详细描述
安培环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了磁场线的性质和散布规律。根据安培环路定理，磁场线总是 闭合的，即磁场线不会中断或消失，而是形成一个完整的闭合曲线。此外，安培环路定理还指出，穿过任意一个 封闭曲面的磁通量为零，即磁场线不会从一个区域穿入另一个区域。
磁力线
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量，单位是特斯 拉或高斯。
描述磁场散布的几何图形，磁力线闭 合且不相交，磁力线的疏密程度表示 磁场强弱。
高斯定理的背景与定义
高斯定理的背景
磁场在空间中的散布具有闭合性 ，即穿过某一封闭曲面S的磁通量 等于零或无穷大。
高斯定理的定义
穿过任意封闭曲面S的磁通量等于 该封闭曲面所包围的净磁荷量。
04
高斯定理与安培环路定理的比较与联系
两者之间的类似之处
闭合曲面的磁场通量
高斯定理和安培环路定理都涉及到闭合曲面的磁场通量。在高斯定理中，磁场 通量是通过闭合曲面进入或离开某一区域的量，而在安培环路定理中，磁场通 量与电流和闭合曲面的关系是关键。
无源磁场
高斯定理适用于无源磁场，即没有电流源的磁场。同样地，安培环路定理也适 用于无源磁场的情况。
高斯定理的应用场景
01
02
03
磁场散布分析
通过高斯定理可以分析磁 场在空间中的散布情况， 确定磁力线的走向和强弱 。
磁荷检测
高斯定理可以用于检测磁 场中的磁荷散布，例如磁 铁、发电机和电动机中的 磁荷散布。
磁场屏蔽
有磁介质的安培环路定律(大学物理下)
(2)硬磁材料——作永久磁铁 钨钢，碳钢，铝镍钴合金
B
HC
HC H
矫顽力(Hc)大（>102A/m)，剩磁Br大 磁滞回线的面积大，损耗大。
还用于磁电式电表中的永磁铁。 耳机中的永久磁铁，永磁扬声器。
(3)矩磁材料——作存储元件
锰镁铁氧体，锂锰铁氧体
B
HC
H
HC
Br=BS ，Hc不大，磁滞回线是矩形。 用于记忆元件，当+脉冲产生H>HC使磁芯呈+B态， 则–脉冲产生H< – HC使磁芯呈– B态，可做为二进制 的两个态。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。
所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。
”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力；
通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣；
通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
2r
O
B H 0r H
例2 一无限长载流圆柱体，通有电流I ，设电流 I
均匀分布在整个横截面上。柱体的相对磁导率μr， 柱外为真空。求：柱内外各区域的磁场强度和磁感
应强度。
I
解： r R
LH dl H 2r I
r2 R2 I
Ir
Ir
H 2R2 B 2R2
四、磁化强度
定义: 磁化强度
l
M
pm
V
A m1
Is
S
Is
Is
Is——沿轴线单位长度上的磁化电流（磁化面电流密度）
5安培环路定理(大学物理 - 磁场部分)
第五节
安培环路定理
一、定理表述
磁感应强度沿闭合回路的线积分， （ B 的环流），等于环路所包围的电流 代数和乘以 0。
L B dl 0 I
二、定理证明 特例：以无限长载流直导线为例。
§5.安培环路定理 / 一、表述。二、证明
长直导线周围的 B 线为一系列的同 心圆，选取路径方 向与 B 相同；
B 0nI
§5.安培环路定理 / 六、举例
例3：一环形载流 螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。
解：在管内作环路 半径为 r ， 环路内电流代数和为
I NI
§5.安培环路定理 / 六、举例
o R1 rR
2
L B dl 0 I
r < R 区域
§5.安培环路定理 / 六、举例
I
R
选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为： 2 r I 2 I r I 2 2 R R
Bdl cos 0 I
I
R
由于环路上各点 B 大小 相等，方向 B // dl 0 , cos 1
§5.安培环路定理 / 六、举例
B2r 0 NI
0 NI B 2r 当 r >> ( R2 – R1) 时
N n 2r
o R1 rR
2
为沿轴向线圈密度；
B 0nI 与直螺管的结论一致。
§5.安培环路定理 / 六、举例
例4：圆柱形载流导 体半径为 R ，通有 电流为 I ，电流在 导体横载面上均匀 分布，求圆柱体内、 外的磁感应强度的 分布。 解：1.圆柱体内部
解：理想密绕螺线 管，管内的磁场是 均匀的，管外的磁 场为 0 ；
安培环路定理
一、定理表述
磁感应强度沿闭合回路的线积分， （ B 的环流），等于环路所包围的电流 代数和乘以 0。
L B dl 0 I
二、定理证明 特例：以无限长载流直导线为例。
§5.安培环路定理 / 一、表述。二、证明
长直导线周围的 B 线为一系列的同 心圆，选取路径方 向与 B 相同；
B 0nI
§5.安培环路定理 / 六、举例
例3：一环形载流 螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。
解：在管内作环路 半径为 r ， 环路内电流代数和为
I NI
§5.安培环路定理 / 六、举例
o R1 rR
2
L B dl 0 I
r < R 区域
§5.安培环路定理 / 六、举例
I
R
选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为： 2 r I 2 I r I 2 2 R R
Bdl cos 0 I
I
R
由于环路上各点 B 大小 相等，方向 B // dl 0 , cos 1
§5.安培环路定理 / 六、举例
B2r 0 NI
0 NI B 2r 当 r >> ( R2 – R1) 时
N n 2r
o R1 rR
2
为沿轴向线圈密度；
B 0nI 与直螺管的结论一致。
§5.安培环路定理 / 六、举例
例4：圆柱形载流导 体半径为 R ，通有 电流为 I ，电流在 导体横载面上均匀 分布，求圆柱体内、 外的磁感应强度的 分布。 解：1.圆柱体内部
解：理想密绕螺线 管，管内的磁场是 均匀的，管外的磁 场为 0 ；
磁场的安培环路定理 及其应用
磁场的安培环路定理及其应用
， ，
，
，
例题讲解 8
设无限长载流直螺线管的缠绕密度（即单位长度上的线圈匝数）为 n，通有电流 I，求该螺线管内的
磁场。
穿过矩形回路 ABCDA 的线圈匝数为 n AB ，通过每匝线圈的电流为 I，所以穿过回路的电流总和为
nI AB ，于是由安培环路定理得 B AB 0nI AB 所以 B 0nI 可以看出：磁感应线 B 的大小与环形回路 AB 边在管内的位置无关，表明无限长载流直螺线管的磁
由于在圆柱体内电流密度是均匀的，即电流密度为
j
I R2
，
通过截面积 r2
的电流为
L内
Ii
jr 2
Ir 2 R2
于是有
B dl
L
2rB
0
L内
Ii
0
Ir 2 R2
可得 B
0 Ir
2R2
(r
R)
作出 B 的值随 r 的变化曲线，如图所示。
磁场的安培环路定理及其应用 1.2 安培环路定理的应用
2．长直载流螺线管的磁场
长直螺线管是常用的电气器件，一般都是密绕的。当通有电流时，螺线管内产生匀强磁场，而 在螺线管外部远离两端的磁场很弱，可以认为磁感应强度B的大小为零。
下面通过例题来说明长直载流螺线管内的磁场。
磁场的安培环路定理及其应用
， ，
，
，
例题讲解 8
设无限长载流直螺线管的缠绕密度（即单位长度上的线圈匝数）为 n，通有电流 I，求该螺线管内的
磁场。
过管内任意场点作如图所示矩形回路 ABCDA，在回路的 CD 段上以及 BC 和 DA 段的管外部分，均
有 B 0 ，在 BC 和 DA 段的管内部分，B 与 dl 相互垂直，即 B dl 0 ，回路的 AB 段上各点 B 的大小
磁场的高斯定理和安培环路定理
. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0
磁场的高斯定理和 安培环路定理.ppt
B d S B d S
S1
磁通量仅由 的共同边界线所决定
S2
能否找到一个矢量A，它沿L作 线积分等于通过S的通量？
A dl B dS (a)
L
S
数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对
于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的
分布也构成矢量场，简称矢势。
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
§3 §4 磁场的高斯定理和安培环路定理
第二章 恒磁场
例5 无限长圆柱电缆的磁场(两空心圆筒)
解 0 r R1, B d l 0 B 0
第二章 恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1）对称性分析 2） 选取回路
RR
rR
Bdl l
0I
L
2π rB 0I
B 0I
2π r
r B
0 r R
l
B
d
l
0
π π
r2 R2
I
2π rB 0r2 I
R2
B
0Ir
2π R2
I . dB
ABLCDLA
B dl
AB B dl，
BLC
B dl
CD
DLA
B dl， B dl
B dl
AB
CD
BLC
CLB
DLA
L
B dl B dl 0，即 B dl B dl
磁场的高斯定理和安培环路定律
0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的
磁场的安培环路定理ppt课件
对任意闭合回路L，由于：
P. 6 / 31 .
dl dl// dl
dl B
B dl B dl 0I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
I
L
dl dl
dl
dl//
L//
包围载流导线，则 B dl 0 。 L
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
L
L 2 r
I
| d l | cos rd
P. 3 / 31 .
L
I d r dl
B
B dl 0I | dl | cos 0o
L
L 2 r
0I 2 r
dl 0I
L
B
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
P. 13 / 31 .
☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。
☻ B dl 只与回路包围的电流有关，与L外的电流无 L 关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。源自 B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。
如图所示：
B dl L
0(I2 I3 2I4)
L
I1 I2 I3 I4
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
P. 6 / 31 .
dl dl// dl
dl B
B dl B dl 0I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
I
L
dl dl
dl
dl//
L//
包围载流导线，则 B dl 0 。 L
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
L
L 2 r
I
| d l | cos rd
P. 3 / 31 .
L
I d r dl
B
B dl 0I | dl | cos 0o
L
L 2 r
0I 2 r
dl 0I
L
B
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
P. 13 / 31 .
☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。
☻ B dl 只与回路包围的电流有关，与L外的电流无 L 关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。源自 B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。
如图所示：
B dl L
0(I2 I3 2I4)
L
I1 I2 I3 I4
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
安培环路定理在恒定电流的磁场中,磁感强度沿任何闭合路径的线积分
安培环路定理在恒定电流的磁场中，磁感强度沿任何闭合路径的线积分等于此路径所环绕的电流的代数和的μ0倍。
安培 载流导线在磁场中所受的作用力。
毕奥-萨伐尔定律实验指出，一个电流元Idl 产生的磁场为场强叠加原理 电场中某点的电场强度等于各个电荷单独在该点产生的电场强度的叠加(矢量和)。
磁场叠加原理 空间某一点的磁场(以磁感强度示)是各个磁场源(电流或运动电荷)各自在该点产生的磁场的叠加(矢量和)。
磁场能量密度单位磁场体积的能量。
磁场强度是讨论有磁介质时的磁场问题引入的辅助物理量，其定义是磁场强度的环路定理 沿磁场中任一闭合路径的磁场强度的环量(线积分)等于此闭合路径所环绕的传导电流的代数和。
磁畴 铁磁质中存在的自发磁化的小区域。
一个磁畴中的所有原子的磁矩(铁磁质中起主要作用的是电子的自旋磁矩)可以不靠外磁场而通过一种量子力学效应(交换耦合作用)取得一致方向。
磁化 在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象。
返回页首磁化电流(束缚电流) 磁介质磁化后，在磁介质体内和表面上出现的电流，它们分别称作体磁化电流和面磁化电流。
磁化强度 单位体积内分子磁矩的矢量和。
磁链 穿过一个线圈的各匝线圈的磁通量之和称作穿过整个线圈的磁链，又称"全磁通"。
磁屏蔽 闭合的铁磁质壳体可有效地减弱外界磁场对壳内空间的影响的作用称作磁屏蔽。
磁通连续原理(磁场的高斯定理)在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量总为零。
磁通量 通过某一面积的磁通量的概念由下式定义磁滞伸缩 铁磁质中磁化方向的改变会引起介质晶格间距的改变，从而使得铁磁质的长度和体积发生改变的现象。
磁滞损耗 铁磁质在交变磁场作用下反复磁化时的发热损耗。
它是磁畴反复变向时，由磁畴壁的摩擦引起的。
磁滞现象铁磁质工作在反复磁化时，B 的变化落后于H 的变化的现象。
D 的高斯定理通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。
其表示式是带电体在外电场中的电势能即该带电体和产生外电场的电荷间的相互作用能。
大学物理课件复习资料安培环路定理
判断下列图中结果
I1 I2 L 图1
I3
I I L 图2
I
r r 1） ∫ B⋅ dl = µo (I1 − I2 ) ） L r r 2） ∫ B⋅ dl = µo (− 2I + I ) = −µo I ） L r r 3） B⋅ dl = µo ( − 2I ) = −2µo I ） ∫
L
L 图3
l
I2 I3
r
r dl
如果环路内还有其它无限长直线电流 根据叠加原理， 根据叠加原理，可知
r r ∫ B ⋅ dl =μ0 ( I1 + I 2 − I3 )
l
3.回路不环绕电流 3.回路不环绕电流
r r ∫ B4 ⋅ dl
l
=
∫
l
µ0 I 4 cos θ 4 dl4 2π r4
I1
r
I4
=
∫
l
µ0 I 4 r4 dϕ 4 2π r4
3）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而有限电 ）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。 适用于闭合稳恒电流的磁场 如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。 流（如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。 4）安培环路定理说明磁场性质 —— ） 磁场是非保守场，是涡旋场。 磁场是非保守场，是涡旋场。 5）闭合回路包围电流的判断： ）闭合回路包围电流的判断： 以闭合回路为边界任意做一曲面， 以闭合回路为边界任意做一曲面，电流穿过 曲面就算包围。 曲面就算包围。
L
r
v B
v dB
I
.
dI
v B
v B 的方向与 I 成右螺旋 µ 0 Ir B= 2 0 < r < R, 2π R µ0I r > R, B= 2π r
4,安培环路定理 位移电流
l
0
若环路绕向反向
rdφ = dl cosθ
B ⋅ dl = ∫l Bdl cosθ ∫
l
= − ∫ Bdl sin α = − ∫l Brdφ = − µ I l 0
= ∫ Bdl cos π / 2 + α） （
l
.
I
r θ dφ
α
dl
3） 任意环路
B ⋅ dl = ∫l B ⋅ (dl // + dl ⊥ ) ∫
dB’ dB dI’
1)r < R
例4. 均匀通电直长圆柱体的磁场 均匀分布在整个横截面上。 设电流 I 均匀分布在整个横截面上。
I R dS n B
B ⋅ dl = ∫
∫ Bdl
µ0µ
I r
= B ∫ dl = B ⋅ 2πr
由安培环路定理
B ⋅ 2πr = µ 0 ∑ i I i
B 2π r = µ 0 ∑ i I i
∫ B ⋅ dl = µ
I
0
I
∴
∫ B ⋅ dl = − µ
0
2)环路为垂直于直导线面内任意闭合曲线 2)环路为垂直于直导线面内任意闭合曲线
B ⋅ dl = ∫l Bdl cosθ ∫l µ0 I µ0 I rdφ = =∫ ∫l dφ l 2π r 2π
B
.
I d φ r
θ dl
∫ B ⋅ dl = µ I
B⋅ dl = µ0 (Ic + Id ) ∫
l
定义：H 定义：
=
B
安培环路定理
µ0
l
称为磁场强度矢量
∫ H ⋅ dl = ∑ I
l内
c
+ Id
0
若环路绕向反向
rdφ = dl cosθ
B ⋅ dl = ∫l Bdl cosθ ∫
l
= − ∫ Bdl sin α = − ∫l Brdφ = − µ I l 0
= ∫ Bdl cos π / 2 + α） （
l
.
I
r θ dφ
α
dl
3） 任意环路
B ⋅ dl = ∫l B ⋅ (dl // + dl ⊥ ) ∫
dB’ dB dI’
1)r < R
例4. 均匀通电直长圆柱体的磁场 均匀分布在整个横截面上。 设电流 I 均匀分布在整个横截面上。
I R dS n B
B ⋅ dl = ∫
∫ Bdl
µ0µ
I r
= B ∫ dl = B ⋅ 2πr
由安培环路定理
B ⋅ 2πr = µ 0 ∑ i I i
B 2π r = µ 0 ∑ i I i
∫ B ⋅ dl = µ
I
0
I
∴
∫ B ⋅ dl = − µ
0
2)环路为垂直于直导线面内任意闭合曲线 2)环路为垂直于直导线面内任意闭合曲线
B ⋅ dl = ∫l Bdl cosθ ∫l µ0 I µ0 I rdφ = =∫ ∫l dφ l 2π r 2π
B
.
I d φ r
θ dl
∫ B ⋅ dl = µ I
B⋅ dl = µ0 (Ic + Id ) ∫
l
定义：H 定义：
=
B
安培环路定理
µ0
l
称为磁场强度矢量
∫ H ⋅ dl = ∑ I
l内
c
+ Id
大学物理 安培环路定理
2
例：如下图所示，边长为l的正三角形线圈中通有电流I， 则此线圈在A点（如图）产生的磁感强度为: （ B ）
0 I A、 4 3 l
0 I B、2 3 l
D、0
A I
0 I C、 2 l
2.圆弧形电流在圆心产生的磁场 已知: R、I，圆心角为θ，求在圆心O点的磁感 应强度.
解：任取电流元 Idl
19
L
B d l 0 I
7
如果闭合回路不包围载流导线
B dl B dl B dl
L L1 L2
Br d Br d
L1 L2
I
A
0 I 0 I
d d 2π
L1 L2
B
L
B d l B d l B d l 2 rB
L L
2 rB 0 I
0 I B (r R) 2 r
2）圆柱体内任一点Q
I B d l 2 rB 0 2 r 2 L R 0 Ir B (r R) 2 2 R
1
0 Idl r 毕奥—萨伐尔定律 dB 3 4π r 0 Idl r 磁感强度叠加原理： B dB r3 L 4π 载流直导线
PdB
a O
B=
2
0 I
4π a
cos 1 cos 2
若L a
1
r x
x
dx
0 I B= 2 a
c d a b 解： B d l B d l B d l B d l B d l L a b c d b b B d l =B dl Bab
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r
l
B
例2 载流长直螺线管磁场分布
如图，均匀密绕无限长直
螺线管通有电流为I，单位
长度匝数为n）
I
解：对称性分析—— 管内垂轴
b
Ba
平面上任意一点与 B轴平行
cd b c d a
(3)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
L
(4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任 意设想的一段载流导线不成立
2. 安培环路定理的应用
在静电场中，当带电体具有一定对称性时 可以利用高斯定理很方便的计算其电场分布。 在恒定磁场中，如果电流分布具有某种对称性， 也可以利用安培环路定理计算电流磁场的分布。
由 于 这 时 I 内 =0 ， 所 以 有 B=0 (在螺线环外)
l2
l1
可见，螺线环的磁场集中在
环内，环外无磁场。
对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电
流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容
易求得：管内： B onI
说明
(1)积分回路绕行方向与电流方向呈右螺旋
关系
满足右螺旋关系时 Ii 0 反之 Ii 0
I
1
I
I
3
2l
I I
l
l B dl o ( I1 I2 ) l B dl o ( 2I I) oI
(2)公式中的 B 是环路上的磁感应强度，使
空间所有电流共同激发的。
L
B
LB
dr
a
B
dr b
B
dr
L B d r Bab
c
B dr d B
0 nabI
dr
B 0 nI
有限长的螺线管当 L>>R ，在中部也
有此结果在端部 B 0 nI
2
对于管外任一点,过该点 作一与螺线环同轴的圆周l1 或l2为闭合路径，
B 0i / 2
重点和难点：
★ 磁场安培环路定理
★安培环路定理在典型载流体磁场计 算中的应用
无限长载流直导线 无限长载流圆柱体（面） 载流螺绕线管 无限大载流平面
例3 求载流螺线环的磁场分 布。设螺线环环上均匀密绕N 匝线圈,线圈中通有电流I,如 图所示。
解：由对称性知,与螺线环 共轴的圆周上各点磁感应强 度的大小相等,方向沿圆周为 切线方向。
由安培环路定理：
B o I内
2r
在环管内: B=
o NI 2 r
I
o
2r
R
P
r
L
I
r是场点到轴线的距离; I内是以r为 半径的圆面上流过电流的代数和。
设电流密度为
J
I
R 2
r
R
:
B1
0 Jr 2 2r
R
P
r
o Jr
2
oIr 2R2
I
L
r
R
:
B2
0 I 2r
所以：当P点位于载流圆柱体外时，圆柱体在该点激
发的磁感应强度，相当于电流全部集中在轴心时激 发的磁感应强度。
5.4 磁场的安培环路定理
1. 磁场的安培环路定理
以无限长载流直导线为例，
其在P店产生的磁感应强度：
B 0I
2r
对于包含电dl
B cosdl
L
L
0I
2r
rd
0I
若环路方向反向
LB
dl
L
0I
2r
rd
0I
I
L
r
P
I
管外： B=0
可见管内是匀强磁场, 而管外的磁场仍为零。
例4 求“无限大平板” 电流的磁场
解 面对称
Bb
Pa
c
d B'
i
B dl B dl B dl B dl B dl
ab
bc
cd
da
b
d
Ba dl Bc dl 2Bab 0abi
例1 设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在 横截面上是均匀分布的。求圆柱体内外的磁场
解 (1)由对称性可知，磁场方向为圆 周切线方向，满足右手螺旋关系。
选半径r的圆周为积分的闭合路径， 如图所示。由安培环路定理：
B dl B 2r o I内
l
B o I内
d
r
B
L r
dl
对于不包含电流的环路L
理论上可以证明：
LB dl 0
推广到任意情况
I L
B dl l
o
I内
——磁场的环路定理
表述为：在真空中，磁感应强度B沿任何闭合路径l的 线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流 强度的代数和的o倍。
l
B
例2 载流长直螺线管磁场分布
如图，均匀密绕无限长直
螺线管通有电流为I，单位
长度匝数为n）
I
解：对称性分析—— 管内垂轴
b
Ba
平面上任意一点与 B轴平行
cd b c d a
(3)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
L
(4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任 意设想的一段载流导线不成立
2. 安培环路定理的应用
在静电场中，当带电体具有一定对称性时 可以利用高斯定理很方便的计算其电场分布。 在恒定磁场中，如果电流分布具有某种对称性， 也可以利用安培环路定理计算电流磁场的分布。
由 于 这 时 I 内 =0 ， 所 以 有 B=0 (在螺线环外)
l2
l1
可见，螺线环的磁场集中在
环内，环外无磁场。
对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电
流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容
易求得：管内： B onI
说明
(1)积分回路绕行方向与电流方向呈右螺旋
关系
满足右螺旋关系时 Ii 0 反之 Ii 0
I
1
I
I
3
2l
I I
l
l B dl o ( I1 I2 ) l B dl o ( 2I I) oI
(2)公式中的 B 是环路上的磁感应强度，使
空间所有电流共同激发的。
L
B
LB
dr
a
B
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B
dr
L B d r Bab
c
B dr d B
0 nabI
dr
B 0 nI
有限长的螺线管当 L>>R ，在中部也
有此结果在端部 B 0 nI
2
对于管外任一点,过该点 作一与螺线环同轴的圆周l1 或l2为闭合路径，
B 0i / 2
重点和难点：
★ 磁场安培环路定理
★安培环路定理在典型载流体磁场计 算中的应用
无限长载流直导线 无限长载流圆柱体（面） 载流螺绕线管 无限大载流平面
例3 求载流螺线环的磁场分 布。设螺线环环上均匀密绕N 匝线圈,线圈中通有电流I,如 图所示。
解：由对称性知,与螺线环 共轴的圆周上各点磁感应强 度的大小相等,方向沿圆周为 切线方向。
由安培环路定理：
B o I内
2r
在环管内: B=
o NI 2 r
I
o
2r
R
P
r
L
I
r是场点到轴线的距离; I内是以r为 半径的圆面上流过电流的代数和。
设电流密度为
J
I
R 2
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:
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R
P
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o Jr
2
oIr 2R2
I
L
r
R
:
B2
0 I 2r
所以：当P点位于载流圆柱体外时，圆柱体在该点激
发的磁感应强度，相当于电流全部集中在轴心时激 发的磁感应强度。
5.4 磁场的安培环路定理
1. 磁场的安培环路定理
以无限长载流直导线为例，
其在P店产生的磁感应强度：
B 0I
2r
对于包含电dl
B cosdl
L
L
0I
2r
rd
0I
若环路方向反向
LB
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L
0I
2r
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I
L
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P
I
管外： B=0
可见管内是匀强磁场, 而管外的磁场仍为零。
例4 求“无限大平板” 电流的磁场
解 面对称
Bb
Pa
c
d B'
i
B dl B dl B dl B dl B dl
ab
bc
cd
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b
d
Ba dl Bc dl 2Bab 0abi
例1 设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在 横截面上是均匀分布的。求圆柱体内外的磁场
解 (1)由对称性可知，磁场方向为圆 周切线方向，满足右手螺旋关系。
选半径r的圆周为积分的闭合路径， 如图所示。由安培环路定理：
B dl B 2r o I内
l
B o I内
d
r
B
L r
dl
对于不包含电流的环路L
理论上可以证明：
LB dl 0
推广到任意情况
I L
B dl l
o
I内
——磁场的环路定理
表述为：在真空中，磁感应强度B沿任何闭合路径l的 线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流 强度的代数和的o倍。