二元二次方程组的解法

二元二次方程的解法
：
次方程组的基本思想和方法
程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。

是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

方程组的解法
元法（即代入法）
二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
二次方程，求得一个未知数的值；
这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；
未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。

与系数的关系
二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。

当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。

掉一个解。

二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。

较常用的解法。

除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。

解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。

（2）要防止漏解和增解的错误。

方程组的解法
中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。

组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。

一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。

：
组
察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。

)得y=8-x (3)
，整理得x2-8x+12=0.
6.
)，得y1=6.
)，得y2=2.
的解是。

根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程，
两个根，解这个方程，得z1=2, z2=6.
组的解是。

一”型方程组中的两个方程，如果是以两数和与两数积的形式给出的，这样的方程组用根与系数的关系解是很方便的。

但要特别注意最后
x与2y的和,方程②是x与2y的积,
程z2-4z-21=0的两个根解此方程得:z1=-3,z2=7,
是
于特殊型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的关系来解.
型的二元二次方程组,也都可以通过变形用简便的特殊解法. 用代入法)
③
:
+4()2+x-x+27=0
.
得:y=1
代入④得:y=.
解为:
式分解法)
为(x-2y)2+(x-2y)-2=0 -2y-1)=0
或x-2y-1=0
为:
型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二则较为简便.
值时，方程组。

相等的实数解；
不相等的实数解；
数解。

入法消去未知数y，可得到关于x的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。

入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0 (3)
时，方程(3)有两个相等的实数根。

k=1。

，原方程组有两组相等的实数根。

时，方程(3)有两个不相等的实数根。

k<1且k≠0.
≠0时，原方程组有两组不等实根。

（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在此问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需两种情况讨
是一元二次方程，无解条件是，，
k>1。

)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. )两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根。

别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ。

组
二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程，再降次转化为一元一次方程解之。

本题用代入法消元。

= (3)
式(2)，得
)+()2-4x+3( 13x-35=0,
7)=0
.
),得y1=3,
代入(3)，得y2=-. ：。

组。

组是由两个二元二次方程组成的方程组，在(1)式的等号左边分解因式后将二元二次方程转化为一元二次方程。

分解因式，得 (x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0
+y-1)=0
或x+y-1=0.
两组方程组：
；（2）。

=0，得y=x，代入x2+y2=25,
x2=25, x2=16, x=±4, 即x1=4, x2=-4,
y=x，得y1=3, y2=-3.
=0，得y=1-x，代入x2+y2=25,
5,整理，得x2-x-12=0,
)=0,
3. 当x3=4时, y3=-3;当x4=-3时，y4=
4.
解为：;；
；。

组。

可化为，从而由根与系数的关系，知x, -y是方程z2-17z+30=0的两个根。

z1=2， z2=15。

，
解为。

组
程(2)，把(x-y)看成整体，那么它就是关于(x-y)的一元二次方程，因此可分解为，由此可得到两个二元一次方程x-y-3=0和x-y+1=0。

次方程分别和方程(1)组成两个“二·一”型的方程组：
方程组，就可得到原方程组的解。

x-y+1=0。

可化为两个方程组：
解方程组（1）和（2），分别得：
，
解为。

意不要将（1）式错误分解为（x+y）(x-y)=1,故而分解为（x-y）=1或者（x+y）=1,这样做是错的，因为当右边≠0时，可以分解出无穷多种解为x+y=2,x-y=等等。

组
)的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的。

方程(2)左边是完全平方式，右边是1，将其两边平方，也可以达到降次的目
,
x+y=0.
)2=1
x+2y=-1
为以下四个方程组：
组，得原方程组的四个解是：
同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也不要漏解。

组
组是“二·二”型方程组，因为方程(1)和(2)都不能分解为两个二元一次方程，所以需要寻找其它解法。

我们先考虑能否换元法。

因为。

所以，方程(1)可化为, 显然此方程组具备换元条件，可
，得，v（这种换元是解决问题的关键），则原方程组可化为：
，得：，
，
无解。

的解为。

=z,那么原方程组变为: 解关于z和x的方程组.
是原方程组的解.
解是。