产品销售预测的数学模型及应用
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( 0 ) MA （3853100
5349094 5618165 3507220 2869346 3034814 2649009 2284113 3045305 3235161 3372898 4294588 2927532 1762303 3420469 3780676 3730319 4649011 3459665 4178520 1977812 5400369 4145291 4319709 4094489 4272900）
3034814 3372898 3780676 1977812
YN =[5349094
2649009 4294588 3730319 5400369
5618165 3507220 3763738 2284113 3045305 1495710 2927532 1762303 2912535 4649011 3459665 6843754 4145291 4319709 4626432
x ( 0 ) {x ( 0 ) (ti ) | i 1,2,3 , n}
即
对 x ( 0 ) 做一次累加生成（记作 1-AGO)，即令
x (1) (ti ) x ( 0) (tk )
k 1
i
亦即
二、模型的假设与符号说明
（一） 合理假设 1. 不考虑消费者的需求动向及同业竞争动向带来的影响。 2. 忽略经济政策变动及消费者导向的影响。 3. 生产商的销售策略不变，市场、生产状况稳定。 4. 同一种产品不考虑其型号的不同带来的影响 。 （二）符号说明
(0) 做一次累加生成为 MA
(1) 可得 M A (t ) 的值如表 2 所示。
表2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同 3621727 7474827 12823921 18442086 21949306 25713044 28714772 31584118 34618932 37267941 39552054 42597359 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
表 4 利用等维灰色预测模型得到直柄钻预测值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3853100 9202194 14820359 18327579 22091317 25093045 27962391 30997205 33646214 35930327 38975632 40471342 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42865157 46100318 49473216 53767804 56695336 58457639 61370174 64448834 67869303 71649979 75380298 80029309 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 83488974 90332728 95470472 99648992 101626804 107027173 111172464 115492173 120118605 124234711 128329200 132602100
直柄钻预测值 44093069 46486884 49722045 53094943 57389531 60317063 62079366 64991901 68070561 71491030 75271706 79002025 序 求 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
表 5 利用等维灰色预测模型得到三种产品预测值
月份 第一月 第二月 第三月 第四月 直柄钻（
10^6)
锥柄钻（
10^5)
机用丝锥（
10^5)
4.2729 4.3606 4.5574 4.7922 4.9217 4.4644 5.0751 5.3056 5.4298 5.5331 5.6118 5.7300
第二步：一次拟合参数 建立如下 GM(1，1) 模型即微分方程：
表 1 符号说明
在上式微分方程中， a ( a, u )T ( B T B ) 1 B Y YN ，其中
x (0)
原始数据序列 一次累加序列 直柄钻原始销售数据序列 直柄钻一次累加销售数量序列 发展系数 灰色作用量
x (1)
( 0 )
3763738 1495710 2912535 6843754 4626432
时，MATLAB 程
得：a1=-0.0088，
我们对这组新数据 M A 建立新的 GM(1，1) 模型。 ( 0 ) 作一次累加生成： 首先对 M A
u1=3.0980e+006， 即 a ( 0.0088,3098000) 。 通 过 a ， 解 微分方程可得响应函数为：
三、模型的建立与求解
（一） GM（1，1）模型建立 为了能够对产品未来销售数量进行预测， 根据灰色系统理论， 利用灰色预测中的 GM(1，1) 模型，进行灰色预测。 我们将建立 GM(1，1) 模型的步骤描述如下。 第一步：累加生成 对原始数列中个时刻的数据依次累加，从而形成新的序列。 设原始数列为
2013年第9期下旬刊 （总第529期）
时 代 金 融
Times Finance
NO.9，2013 （CumulativetyNO.529）
产品销售预测的数学模型及应用
汪珊珊 李琳珊 程 翊 孟莹哲
（杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310000） 【摘要】企业产品销售量预测技术十分丰富，总体上可分为两类，定性方法和定量方法，本文在分析了各种产品销售量预测模型 的基础上，提出了采用灰色系统理论建模的建议，剖析了灰色系统预测模型的基本算法，应用实例验证了模型的有效性。通过建立的模 型，我们可以对产品未来的销售数量进行预测，模型的求解利用 MATLAB 程序求解。最后本文用改进的灰色模型即等维灰度预测模型 对产品销量进行了预测。 【关键词】灰色系统理论 等维灰度 预测模型 MATLAB 编程
1.5497 1.5834 1.6255 1.6870 1.7326 1.7590 1.8248 1.8724 1.9215 1.9690 2.0156 2.0428
6.3783 6.0760 6.1855 6.2309 6.3336 6.4033 6.5524 6.5942 6.6494 6.6695 6.6707 6.6447
一、问题的背景与研究意义
预测之于工作与生活其实无处不在，同人民群众的生活有着 密切的联系。不论是生活工作的安排还是企业计划的制定，甚至 是国家政策的订立都会根据客观存在的实际情况来做出决定，并 根据这些条件来指导其行为，尽力去实现这个目标，同时努力地 减少各种损失。在经济不断发展的今天，同时也伴随着市场竞争 性不断增强的这样一种情况下， 企业为了达到所预期的经济活动， 更加需要使用历史数据来进行判断和分析，并依据这些判断和分 析的结果来制定出未来的营销、生产计划。而这个过程就需要对 数据进行定量的分析之后做出预测，将预测结果作为制定这些计 划的有效依据。 预测是决策的重要凭据，也是决策的先决条件。预测利用对 历史的分析来掌握更丰富的未来信息。对任何事物来说，过去、 现在和未来是相互关联的，过去的存在对现状产生影响，而现状 如何又会对将来产生影响。掌握了这种发展规律，才能更好地进 行决策，使事物顺应预期的发展。 本文根据已有的销售数据，建立产品的销售量预测模型及产 品相互关联性分析模型，为企业制定最优的生产方案，促进企业 的良好发展。
MA (t 1) ( MA ( 0 ) (1)
(1)
3098000 0.0088 t 3098000 )e 0.0088 0.0088
通过 MATLAB 程序（见附录）可得：
(1) MA 的值如表 4 所示。
接下来 12 个月的预测销售量为（ 10^6)： 4.2729 4.3105 4.3485 4.3868 4.4254 4.4644 4.5037 4.5434 4.5834 4.6237 4.6645 4.7056 对于锥柄钻、机用丝锥这两种产品，我们同样用 GM(1，1) 模型求得各自的预测值，如表 3 所示。 表 3 三种产品的预测值 锥柄钻（ 10^5) 机用丝锥（ 10^5) 直柄钻（ 月份 10^6) 第一月 4.2729 1.5497 6.3783 第二月 第三月 第四月 第五月 第六月 第七月 第八月 第九月 第十月 第十一月 第十二月 4.3105 4.3485 4.3868 4.4254 4.4644 4.5037 4.5434 4.5834 4.6237 4.6645 4.7056 1.5638 1.5780 1.5924 1.6069 1.6215 1.6362 1.6511 1.6661 1.6812 1.6965 1.7119 6.4382 6.4987 6.5597 6.6213 6.6835 6.7463 6.8096 6.8736 6.9381 7.0033 7.0691
T
83651036 87110701 93954455 99092199 103270719 105248531 110648900 114794191 119113900 123740332 127856438 131950927Βιβλιοθήκη Baidu
（三）模型分析小结 在许多情况下，GM(1，1) 模型可以通过对时间序列长度的不 同取舍得到不同的预测结果，但在数据变化大或系统明显受人为 控制或外部干扰时，套用 GM（1，1）模型进行长期预测所得到 的预测值误差过大。为了尽量减小未来的一些扰动因素对系统的 影响，使预测值更具有实际意义，精度更高，我们建立了模型二。 （四）等维灰度预测模型二的建立 对于一个系统来说，随着时间的推移，未来的一些扰动因素 将不断进入系统，从而对系统增加影响，因此 GM(1，1) 模型虽 可以进行长期预测，但真正有实际意义且精度较高的预测值仅仅 是最近的一两个数据，其他更远的数据仅反映一种趋势。由此可 见，没有必要用一个模型去预测未来的所有值。鉴于这种情况， 可先用已知数列建立 GM(1，1) 模型的一个预测值，然后把这个 预测值补充到已知序列中，同时去掉一个最老的数据。这样，用 预测灰数新陈代谢， 逐个预测， 依次递补， 直到完成预测目标为止。 利用这种方法，即可建立等维灰度预测模型。 （五）模型二的求解 运用以上建立的等维灰度递补预测模型，结合模型一中得出 的之后第一个月的预测值，我们先对直柄钻进行等维灰度递补预 测。先对直柄钻销售数据进行等维灰度递补处理，即将我们计算 出的之后第一个月的预测值补充到已知数列中，同时去掉已知数 列中第一个数据，可得一组与已知数据等维的新数据。这组新数 据为 3001728 2393815 3078660 5137744 4116106
（注：计算锥柄钻、机用丝锥的预测时的过程值略。）
Times Finance
313
拟合参数中的 B， YN ： B=[-653 -1201 -1657 -2021 -2359 -2653 -2948 -3232 -3479 -3745 -3972 -4167 -4448 -4779 -5162 -5523 -5758 -5991 -6291 -6616 -6976 -7352 -7770 -8176 -8691 -9290 -9756 -10064 -10433 -10910 -11333 -11781 -12218 -12628 -13047] T
(0) MA
(1) MA
a u
求出 a 后，解微分方程，可得响应函数为
312
Times
Finance
第三步：确定预测值 根据 x
(1)
与x (t 1)
(1)
(1)
(t ) 的关系可得预测函数为：
(1)
x
(0)
(t 1) x (t 1) x (t )
（二）模型的求解 运用以上建立的 GM(1，1) 模型，结合附录表 1 中三种产品 的销售量数据，先对直柄钻（记为 A）进行预测。通过 MATLAB 编程实现（程序见附录）：
5349094 5618165 3507220 2869346 3034814 2649009 2284113 3045305 3235161 3372898 4294588 2927532 1762303 3420469 3780676 3730319 4649011 3459665 4178520 1977812 5400369 4145291 4319709 4094489 4272900）
3034814 3372898 3780676 1977812
YN =[5349094
2649009 4294588 3730319 5400369
5618165 3507220 3763738 2284113 3045305 1495710 2927532 1762303 2912535 4649011 3459665 6843754 4145291 4319709 4626432
x ( 0 ) {x ( 0 ) (ti ) | i 1,2,3 , n}
即
对 x ( 0 ) 做一次累加生成（记作 1-AGO)，即令
x (1) (ti ) x ( 0) (tk )
k 1
i
亦即
二、模型的假设与符号说明
（一） 合理假设 1. 不考虑消费者的需求动向及同业竞争动向带来的影响。 2. 忽略经济政策变动及消费者导向的影响。 3. 生产商的销售策略不变，市场、生产状况稳定。 4. 同一种产品不考虑其型号的不同带来的影响 。 （二）符号说明
(0) 做一次累加生成为 MA
(1) 可得 M A (t ) 的值如表 2 所示。
表2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同 3621727 7474827 12823921 18442086 21949306 25713044 28714772 31584118 34618932 37267941 39552054 42597359 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
表 4 利用等维灰色预测模型得到直柄钻预测值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3853100 9202194 14820359 18327579 22091317 25093045 27962391 30997205 33646214 35930327 38975632 40471342 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42865157 46100318 49473216 53767804 56695336 58457639 61370174 64448834 67869303 71649979 75380298 80029309 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 83488974 90332728 95470472 99648992 101626804 107027173 111172464 115492173 120118605 124234711 128329200 132602100
直柄钻预测值 44093069 46486884 49722045 53094943 57389531 60317063 62079366 64991901 68070561 71491030 75271706 79002025 序 求 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
表 5 利用等维灰色预测模型得到三种产品预测值
月份 第一月 第二月 第三月 第四月 直柄钻（
10^6)
锥柄钻（
10^5)
机用丝锥（
10^5)
4.2729 4.3606 4.5574 4.7922 4.9217 4.4644 5.0751 5.3056 5.4298 5.5331 5.6118 5.7300
第二步：一次拟合参数 建立如下 GM(1，1) 模型即微分方程：
表 1 符号说明
在上式微分方程中， a ( a, u )T ( B T B ) 1 B Y YN ，其中
x (0)
原始数据序列 一次累加序列 直柄钻原始销售数据序列 直柄钻一次累加销售数量序列 发展系数 灰色作用量
x (1)
( 0 )
3763738 1495710 2912535 6843754 4626432
时，MATLAB 程
得：a1=-0.0088，
我们对这组新数据 M A 建立新的 GM(1，1) 模型。 ( 0 ) 作一次累加生成： 首先对 M A
u1=3.0980e+006， 即 a ( 0.0088,3098000) 。 通 过 a ， 解 微分方程可得响应函数为：
三、模型的建立与求解
（一） GM（1，1）模型建立 为了能够对产品未来销售数量进行预测， 根据灰色系统理论， 利用灰色预测中的 GM(1，1) 模型，进行灰色预测。 我们将建立 GM(1，1) 模型的步骤描述如下。 第一步：累加生成 对原始数列中个时刻的数据依次累加，从而形成新的序列。 设原始数列为
2013年第9期下旬刊 （总第529期）
时 代 金 融
Times Finance
NO.9，2013 （CumulativetyNO.529）
产品销售预测的数学模型及应用
汪珊珊 李琳珊 程 翊 孟莹哲
（杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310000） 【摘要】企业产品销售量预测技术十分丰富，总体上可分为两类，定性方法和定量方法，本文在分析了各种产品销售量预测模型 的基础上，提出了采用灰色系统理论建模的建议，剖析了灰色系统预测模型的基本算法，应用实例验证了模型的有效性。通过建立的模 型，我们可以对产品未来的销售数量进行预测，模型的求解利用 MATLAB 程序求解。最后本文用改进的灰色模型即等维灰度预测模型 对产品销量进行了预测。 【关键词】灰色系统理论 等维灰度 预测模型 MATLAB 编程
1.5497 1.5834 1.6255 1.6870 1.7326 1.7590 1.8248 1.8724 1.9215 1.9690 2.0156 2.0428
6.3783 6.0760 6.1855 6.2309 6.3336 6.4033 6.5524 6.5942 6.6494 6.6695 6.6707 6.6447
一、问题的背景与研究意义
预测之于工作与生活其实无处不在，同人民群众的生活有着 密切的联系。不论是生活工作的安排还是企业计划的制定，甚至 是国家政策的订立都会根据客观存在的实际情况来做出决定，并 根据这些条件来指导其行为，尽力去实现这个目标，同时努力地 减少各种损失。在经济不断发展的今天，同时也伴随着市场竞争 性不断增强的这样一种情况下， 企业为了达到所预期的经济活动， 更加需要使用历史数据来进行判断和分析，并依据这些判断和分 析的结果来制定出未来的营销、生产计划。而这个过程就需要对 数据进行定量的分析之后做出预测，将预测结果作为制定这些计 划的有效依据。 预测是决策的重要凭据，也是决策的先决条件。预测利用对 历史的分析来掌握更丰富的未来信息。对任何事物来说，过去、 现在和未来是相互关联的，过去的存在对现状产生影响，而现状 如何又会对将来产生影响。掌握了这种发展规律，才能更好地进 行决策，使事物顺应预期的发展。 本文根据已有的销售数据，建立产品的销售量预测模型及产 品相互关联性分析模型，为企业制定最优的生产方案，促进企业 的良好发展。
MA (t 1) ( MA ( 0 ) (1)
(1)
3098000 0.0088 t 3098000 )e 0.0088 0.0088
通过 MATLAB 程序（见附录）可得：
(1) MA 的值如表 4 所示。
接下来 12 个月的预测销售量为（ 10^6)： 4.2729 4.3105 4.3485 4.3868 4.4254 4.4644 4.5037 4.5434 4.5834 4.6237 4.6645 4.7056 对于锥柄钻、机用丝锥这两种产品，我们同样用 GM(1，1) 模型求得各自的预测值，如表 3 所示。 表 3 三种产品的预测值 锥柄钻（ 10^5) 机用丝锥（ 10^5) 直柄钻（ 月份 10^6) 第一月 4.2729 1.5497 6.3783 第二月 第三月 第四月 第五月 第六月 第七月 第八月 第九月 第十月 第十一月 第十二月 4.3105 4.3485 4.3868 4.4254 4.4644 4.5037 4.5434 4.5834 4.6237 4.6645 4.7056 1.5638 1.5780 1.5924 1.6069 1.6215 1.6362 1.6511 1.6661 1.6812 1.6965 1.7119 6.4382 6.4987 6.5597 6.6213 6.6835 6.7463 6.8096 6.8736 6.9381 7.0033 7.0691
T
83651036 87110701 93954455 99092199 103270719 105248531 110648900 114794191 119113900 123740332 127856438 131950927Βιβλιοθήκη Baidu
（三）模型分析小结 在许多情况下，GM(1，1) 模型可以通过对时间序列长度的不 同取舍得到不同的预测结果，但在数据变化大或系统明显受人为 控制或外部干扰时，套用 GM（1，1）模型进行长期预测所得到 的预测值误差过大。为了尽量减小未来的一些扰动因素对系统的 影响，使预测值更具有实际意义，精度更高，我们建立了模型二。 （四）等维灰度预测模型二的建立 对于一个系统来说，随着时间的推移，未来的一些扰动因素 将不断进入系统，从而对系统增加影响，因此 GM(1，1) 模型虽 可以进行长期预测，但真正有实际意义且精度较高的预测值仅仅 是最近的一两个数据，其他更远的数据仅反映一种趋势。由此可 见，没有必要用一个模型去预测未来的所有值。鉴于这种情况， 可先用已知数列建立 GM(1，1) 模型的一个预测值，然后把这个 预测值补充到已知序列中，同时去掉一个最老的数据。这样，用 预测灰数新陈代谢， 逐个预测， 依次递补， 直到完成预测目标为止。 利用这种方法，即可建立等维灰度预测模型。 （五）模型二的求解 运用以上建立的等维灰度递补预测模型，结合模型一中得出 的之后第一个月的预测值，我们先对直柄钻进行等维灰度递补预 测。先对直柄钻销售数据进行等维灰度递补处理，即将我们计算 出的之后第一个月的预测值补充到已知数列中，同时去掉已知数 列中第一个数据，可得一组与已知数据等维的新数据。这组新数 据为 3001728 2393815 3078660 5137744 4116106
（注：计算锥柄钻、机用丝锥的预测时的过程值略。）
Times Finance
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拟合参数中的 B， YN ： B=[-653 -1201 -1657 -2021 -2359 -2653 -2948 -3232 -3479 -3745 -3972 -4167 -4448 -4779 -5162 -5523 -5758 -5991 -6291 -6616 -6976 -7352 -7770 -8176 -8691 -9290 -9756 -10064 -10433 -10910 -11333 -11781 -12218 -12628 -13047] T
(0) MA
(1) MA
a u
求出 a 后，解微分方程，可得响应函数为
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第三步：确定预测值 根据 x
(1)
与x (t 1)
(1)
(1)
(t ) 的关系可得预测函数为：
(1)
x
(0)
(t 1) x (t 1) x (t )
（二）模型的求解 运用以上建立的 GM(1，1) 模型，结合附录表 1 中三种产品 的销售量数据，先对直柄钻（记为 A）进行预测。通过 MATLAB 编程实现（程序见附录）：