零点的存在性定理PPT课件
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方程的根与函数的零点说课课件ppt
设计意图:为 “用二分法求方程的近似解”的学习做准 备.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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—— 说课过程 ——
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3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
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正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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—— 说课过程 ——
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零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
THANKS FOR WATCHING
扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
感谢您的观看
推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
零点(2020.8.11)课件2
解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f (x)－h(x). 在同一坐标系中画出y＝f (x)，y＝h(x)图象的示意图， 若g(x)存在2个零点，则y＝f (x)的图象与y＝h(x)的图象 有2个交点. 由图知－a≤1，∴a≥－1.
数形结合求解
（3）若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_(－__∞__，__4_).
3.函数f (x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
√ A.1 B.2
C.3
D.4
解析 令 f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝21x， 设 g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝21x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象， 可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，
则 t 的取值范围是2，130. 所以实数 a 的取值范围是2，130.
转化成有解、求值域
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0， g(x)＝f(x)＋x＋a. 若g(x)存在2个零
点，则a的取值范围是
ln x，x>0，
A.[－1,0)
√ B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
例 (1)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是
√ A.1
B.2
C.3 D.4
解析 (数形结合法) ∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的图象如图， ∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点. 即方程有2个解.
(2)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则
2
解析
若方程 log1 a 2x 2 x 有解，
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
函数的零点_优秀课件
的零点个数
基 础 知 识
梳
为( )
理
聚
焦
A．3
B．2
考 向
透
C．1
D．0
析
感
悟
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x＝－3(x＝1舍去)；
经 典
考
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2，所以函数有2个零点，故 题
课
时
选B.
规 范
训
答案：B
练
基
础
考向三 由函数零点的存在情况求参数值
考 题
课 时
规
范
训
练
【思维流程】
基
求导，及 k＝f′(1)．
础 知
识
梳
利用点斜式写切线方程．
理
聚
讨论两极值点的大小，当－(a＋2)≤0，确定 f(x)在[0，＋∞)
焦 考
向
上的单调性，从而判断 f(x)＝k 的根的情况．
透 析
感
当－(a＋2)＞0 时，f(x)在[0，＋∞)上先减后增．
悟 经
典
考
求 f(x)在[0，＋∞)上的最小值 f(－(a＋2))．
悟 经 典 考
题
() A.0，12
课
时
B.21，1
规 范 训 练
C．(1,2)
D．(2,3)
【审题视点】 (1)将方程的根转化为两个函数图象交点问题，
基
础
结合图象以及单调性进行求解．
知 识
梳
(2)根据区间(a，b)上的零点存在定理．f(a)f(b)＜0判定．
理
聚
焦
【解析】 (1)由题意知，x≠0，则原方
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
函数的零点公开课课件ppt
练一练
2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ） A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2 3、函数f(x)=x3-16x的零点为( ) A (0,0),(4,0) B 0,4 C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
2
x
y
0
3
2
1
1
2
5
4
3
函数的图象 与x轴的交点
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象 与 x 轴的交点
有两个相等的 实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
2 函数y=f(x)的图象如图所示:
f(a) · f(b) （＜或＞）0． 在区间 （a,b）内 （有或无）零点
f(c) · f(d) （＜或＞）0． 在区间 （c,d） 内 （有或无）零点
f(b) · f(c) （＜或＞）0． 在区间 （b,c） 内 （有或无）零点
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
o
y
x
C
1、对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a)×f(b)<0 (a,b∈R,且a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内（ ） A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定有无零点
2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ） A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2 3、函数f(x)=x3-16x的零点为( ) A (0,0),(4,0) B 0,4 C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
2
x
y
0
3
2
1
1
2
5
4
3
函数的图象 与x轴的交点
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象 与 x 轴的交点
有两个相等的 实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
2 函数y=f(x)的图象如图所示:
f(a) · f(b) （＜或＞）0． 在区间 （a,b）内 （有或无）零点
f(c) · f(d) （＜或＞）0． 在区间 （c,d） 内 （有或无）零点
f(b) · f(c) （＜或＞）0． 在区间 （b,c） 内 （有或无）零点
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o
y
x
C
1、对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a)×f(b)<0 (a,b∈R,且a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内（ ） A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定有无零点
《零点的存在性及其近似值的求法》PPT课件
栏目 导引
第三章 函 数
个相等的实根，即 x1＝x2＝－m2 ，此时函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在 (a，b，f(a) ＞0，f(b)＞0 时，方程 x2＋mx＋n＝0 在(a，b)上有两个不等实 根，即函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在(a，b)上有两个零点.
栏目 导引
第三章 函 数
用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计 算得 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈____________， 第二次应计算____________. 答案：(0，0.5) f(0.25)
栏目 导引
第三章 函 数
判断函数零点个数或所在区间
栏目 导引
第三章 函 数
(2)由函数 f(x)＝x3＋x－5 可得 f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8 ＋2－5＝5＞0， 故有 f(1)f(2)＜0， 根据函数零点存在定理可得，函数 f(x)的零点所在区间为(1， 2)，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B
栏目 导引
第三章 函 数
栏目 导引
第三章 函 数
(2)f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得 a＝－x12＋2x＝－1x－12＋1. 若 f(x)在－12，12内有零点，则 f(x)＝0 在区间－12，12内有解， 当－12≤x<0 或 0<x≤12时，可得 a＝－x12＋2x≤0.所以实数 a 的取 值范围为(－∞，0]. 【答案】 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，0]
栏目 导引
第三章 函 数
2.用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上的图 像是连续不断的，且 f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度 ε，用二 分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|＜ε 的一般步骤如下： 第一步 检查|b－a|＜2ε 是否成立，如果成立，取 x1＝a＋2 b， 计算结束；如果不成立，转到第二步.
零点的存在性定理 ppt课件
f 2 f 2 < 0,但f x在-2,2上有三个
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
函数零点的应用PPT课件
断的，若函数 y f (x) 在区间 a,b有零点，那么必须有
f (a) f (b) 0 吗？
满足零点存在性定理的条件一定有零点，不满足这些条件 也不能说没有零点，如图，
y
0a
bx
f(a) f(b)0,函数 f(x)在区间 a,b） （上照样存在
.
5
函数零点个数的判定方法
1、直接求零点：令 f (x) 0 ，如果能求出解，则有几个
解:由题意得:f(2)<0
即 解得6: m+5<m0 5
6
.
13Biblioteka 问题4：若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 求实数a的取值范围．
解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，
即|4x－x2|＋a＝0有四个根，
即|4x－x2|＝－a有四个根．
令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.
解法（一）由于函数 f (x) 是 0,上连续函数，且 f (2) f (3) 0 ，满足零点存在性定理的条件，选 C。
8
【考点一】 零点所在区间
【问题 1】 函数 f(x)＝ log3 x x 3的零点所在的 区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解法（二）将函数零点转化成对应方程的根。
f (0) 2m 1 0,
m
1 2
.
∴
f f f
(1) 2 0, (1) 4m 2 (2) 6m 5
0, 0
m m
m
R, 1
2 5
6
,
.
5 m 1
6
2
12
变式：已知关于x的二次方程
x2+2mx+2m+1=0. 若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围.
f (a) f (b) 0 吗？
满足零点存在性定理的条件一定有零点，不满足这些条件 也不能说没有零点，如图，
y
0a
bx
f(a) f(b)0,函数 f(x)在区间 a,b） （上照样存在
.
5
函数零点个数的判定方法
1、直接求零点：令 f (x) 0 ，如果能求出解，则有几个
解:由题意得:f(2)<0
即 解得6: m+5<m0 5
6
.
13Biblioteka 问题4：若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点， 求实数a的取值范围．
解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，
即|4x－x2|＋a＝0有四个根，
即|4x－x2|＝－a有四个根．
令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.
解法（一）由于函数 f (x) 是 0,上连续函数，且 f (2) f (3) 0 ，满足零点存在性定理的条件，选 C。
8
【考点一】 零点所在区间
【问题 1】 函数 f(x)＝ log3 x x 3的零点所在的 区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解法（二）将函数零点转化成对应方程的根。
f (0) 2m 1 0,
m
1 2
.
∴
f f f
(1) 2 0, (1) 4m 2 (2) 6m 5
0, 0
m m
m
R, 1
2 5
6
,
.
5 m 1
6
2
12
变式：已知关于x的二次方程
x2+2mx+2m+1=0. 若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围.
新教材高中数学第三章零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修第一册ppt
m<x1<n <x2<p
只有一根在 (m，n)之间
图像
满足条件
f（m）>0， f（n）<0， f（p）>0 Δ＝0， m<－2ba<n，
或 f(m)· f(n)<0
【补偿训练】
4x2＋(m－2) x＋m－5＝0 的一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(0，2) 内，则
m 的取值范围是( )
A．53，5
当 3<k<4 时，直线 y＝k 与 g(x)的图像有 4 个交点．
利用函数的图像判断零点个数 (1)原理：函数的零点个数⇐ 方程的根的个数⇐ 移项拆分为两个函数，作图观察交点个 数． (2)关键：拆分成的两个函数应方便作图．
函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个不等零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，求实数 k 的 取值范围． 【解析】因为函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，所 以设 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图像如图．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数 y＝2x－1 的零点是12，0 .( × )
提示：函数 y＝2x－1 的零点是12 .
(2)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 f(a)f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．( × )
提示：如 f(x)＝x2 在区间(－1，1)上有 f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路导引】令 f(x)＝0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断． 【解析】选 C.令 f(x)＝1x －x2＋1＝0， 得|1x |＝x2－1，则函数 f(x)的零点个数，
只有一根在 (m，n)之间
图像
满足条件
f（m）>0， f（n）<0， f（p）>0 Δ＝0， m<－2ba<n，
或 f(m)· f(n)<0
【补偿训练】
4x2＋(m－2) x＋m－5＝0 的一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(0，2) 内，则
m 的取值范围是( )
A．53，5
当 3<k<4 时，直线 y＝k 与 g(x)的图像有 4 个交点．
利用函数的图像判断零点个数 (1)原理：函数的零点个数⇐ 方程的根的个数⇐ 移项拆分为两个函数，作图观察交点个 数． (2)关键：拆分成的两个函数应方便作图．
函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个不等零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，求实数 k 的 取值范围． 【解析】因为函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，所 以设 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图像如图．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数 y＝2x－1 的零点是12，0 .( × )
提示：函数 y＝2x－1 的零点是12 .
(2)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 f(a)f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．( × )
提示：如 f(x)＝x2 在区间(－1，1)上有 f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路导引】令 f(x)＝0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断． 【解析】选 C.令 f(x)＝1x －x2＋1＝0， 得|1x |＝x2－1，则函数 f(x)的零点个数，
函数零点判定PPT课件
math
函数零点判定定理
2021
1
看一看
下面有两组简笔画，哪一组说明人一定过河了？
Hale Waihona Puke 第一组：第二组：2021
2
思考
将河流抽象成 x 轴，将前后的两个位置视为 A, B两点。请问A, B与 x 轴怎样的 位置时，A, B 间的一段连续不断的函数图像与 x 轴一定会有交点？
•A •B
2021
3
探索新知
2021
7
巩固练习
-2
-1
0
1
2
-109
-10
-1
8
107
2021
8
课堂小结
本节课回顾了零点的概念，意义与求法，以及零点存在判断。 同学们你们收获了多少？
课后作业
2021
9
y
A(a, f (a)) •
0
x
•B(b, f (b))
观察发现： f (a) f (b) 0 时才能保证 A、B 两点在 x 轴上下两侧.
2021
4
2021
5
2021
6
思考外延
问题3：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？
1
2
3
4
5
6
23
9
-7
11
-5
-12
判断函数是否存在零点，求零点所在大致区间？
函数零点判定定理
2021
1
看一看
下面有两组简笔画，哪一组说明人一定过河了？
Hale Waihona Puke 第一组：第二组：2021
2
思考
将河流抽象成 x 轴，将前后的两个位置视为 A, B两点。请问A, B与 x 轴怎样的 位置时，A, B 间的一段连续不断的函数图像与 x 轴一定会有交点？
•A •B
2021
3
探索新知
2021
7
巩固练习
-2
-1
0
1
2
-109
-10
-1
8
107
2021
8
课堂小结
本节课回顾了零点的概念，意义与求法，以及零点存在判断。 同学们你们收获了多少？
课后作业
2021
9
y
A(a, f (a)) •
0
x
•B(b, f (b))
观察发现： f (a) f (b) 0 时才能保证 A、B 两点在 x 轴上下两侧.
2021
4
2021
5
2021
6
思考外延
问题3：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？
1
2
3
4
5
6
23
9
-7
11
-5
-12
判断函数是否存在零点，求零点所在大致区间？
函数的零点PPT课件
函数的零点PPT课件
画出函数 y=x2-2x-3图像，指出x取哪 些y值时，y=0? y>0? y<0?
-1 o
3x
再求方程 x2-2x-3=0
的实数根，观察函数 与方程的联系？
我们把使二次函数 y=x2 -2x-3在y=0时的 (1) 实数（即二次方程x2-2x-3=0的实数根）
称为二次函数 y=x2-2x-3 的零点，就是 抛物线与 x 轴交点的横坐标.
△<0
方程无实根
y
o
x
f(x)=ax2+bx+c 两个零点 (a>0) 零点
一个零点
无零点
函数的零点
定义：一般地，我们把使函数y=f(x)的 值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。
y
02 4 x
（1）如图：函数y=f(x)的零点是____2_,_4.
（2）函数y=x（x2+4x+3）的零点是_-1_，__-_3_，. 0
间(a，b)上有零点.
y
y
a
o
bx
a ob x
思考：
若函数y＝f(x) 在[a，b ]上有f(a)·f(b)<0， 则函数在区间(a，b性定理：
若函数y＝f(x)在区间 〔a, b〕上的图象是 一条不间断的曲线，且f(a) ·f(b)<0，则函 数y=f(x)在区间(a，b)上有零点.
注意： 存在性：即至少存在一个但并不一定 唯一，若函数单调时，零点唯一；
y
0a
bx
（1）
y
0a
（2）
bx
例3：试证明函数f(x)=x3+x2+1 在区间
（-2，-1）上有零点. 证明： 因为：f(-2)=-3＜0
画出函数 y=x2-2x-3图像，指出x取哪 些y值时，y=0? y>0? y<0?
-1 o
3x
再求方程 x2-2x-3=0
的实数根，观察函数 与方程的联系？
我们把使二次函数 y=x2 -2x-3在y=0时的 (1) 实数（即二次方程x2-2x-3=0的实数根）
称为二次函数 y=x2-2x-3 的零点，就是 抛物线与 x 轴交点的横坐标.
△<0
方程无实根
y
o
x
f(x)=ax2+bx+c 两个零点 (a>0) 零点
一个零点
无零点
函数的零点
定义：一般地，我们把使函数y=f(x)的 值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。
y
02 4 x
（1）如图：函数y=f(x)的零点是____2_,_4.
（2）函数y=x（x2+4x+3）的零点是_-1_，__-_3_，. 0
间(a，b)上有零点.
y
y
a
o
bx
a ob x
思考：
若函数y＝f(x) 在[a，b ]上有f(a)·f(b)<0， 则函数在区间(a，b性定理：
若函数y＝f(x)在区间 〔a, b〕上的图象是 一条不间断的曲线，且f(a) ·f(b)<0，则函 数y=f(x)在区间(a，b)上有零点.
注意： 存在性：即至少存在一个但并不一定 唯一，若函数单调时，零点唯一；
y
0a
bx
（1）
y
0a
（2）
bx
例3：试证明函数f(x)=x3+x2+1 在区间
（-2，-1）上有零点. 证明： 因为：f(-2)=-3＜0
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< 0,即 2 18-8a < 0, 解 得 a > 9
4
所
以
a的
取ห้องสมุดไป่ตู้
值
范
围
是
a?a
9
4
错因分析：对函数零点存在定理理解不够
错误认为定理反向也成立。
连续函数f x在闭区间a,b上，若满足
f a gf b < 0, 则 在 区 间 a, b 内 至 少 有 一 个
零点，反之不一定成立。
正解：对至少有一个零点分类讨论，当函数在
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 D =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a<b<c,所以f a>0, f b<0, f c>0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
1 8 8 a 0 .解 得 2 < a 9 . 4
综 上 所 述 ， a的 取 值 范 围 是 a½a 2 .
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
曲线。
2由f agf b<0,就可判断函数y f x在区间 a,b内至少有一个零点。
零点的存在性定理习题课
一、课题导入 上节课学习了函数零点的概念及其判定， 那么针对一般函数的零点问题又如何判
断？
二、学习目标
1 能够叙述零点的存在性定理
2 能够正确运用存在性定理判断函数 零点问题
三、预习指导
如果 函数yf x在区间a,b上的图像是连__续_不__断
的一条曲线，并且有_f__a_g_f _b__<0_，那么，函数
1函 数 f x x 1 的 零 点 个 数 是
x A.0 B.1 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a < b < c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
©利 用 上 述 结 论 只 能 判 断 函 数 yfx在 区 间 a,b上 零 点 的 存 在 性 ， 但 不 能 确 定 其 零 点
的 个 数 。
六 当堂清学
一 基础题
1函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
七 布置作业
红对勾课时作业23
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
该区间只有一个零点时，可得f 0gf 4 < 0或
D =4a2 8 0
即218-8a < 0或a2 2解得a > 9 或a 2
4
当函数在该区间内有两个不同零点时，
必 须 满 足 D > 0,0 < - -2a < 4, f 0 0,
2
f 4 0 .即 4 a 2 4 2 > 0, 0 < a < 4, 2 0
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
yf x在区间a,b内有_零_点__，即存在ca,b
,使得_f_c___0_,这个c就是方程f x0的根
四、引导探究
探究一 深刻理解存在性定理
若函数yfx满足在区间ab上到图像是
连续不断的一条曲线，并且有fagfb<0, 那么，函数yfx在a,b内的零点唯一吗？
不一定，如f x=x3 x在区间-2,2上有
f 2gf 2 < 0,但f x在-2,2上有三个
零点-1,0,1.
若函数yfx满足在区间a,b上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有fagfb>0 是不是说函数yfx在a,b内没有零点？
yfx在 a,b内 也 可 能 有 零 点 ， 如 fxx21
在 区 间 -2,2上 有 f2f2>0,但 在 -2， 2内
有 两 个 零 点 -1,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
错 解 ： 因 函 数 f x x2 2ax 2在 区 间
0, 4上 至 少 有 一 个 零 点 ， 所 以 f 0 gf 4