大学物理—磁通量 磁场中的高斯定理
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大学物理-7-3 磁通量 磁场的高斯定理
B
磁通量：通过某一曲面 的磁感线数为通过此曲面 的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ B S B enS dΦ B dS
B dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
B dS1
1 B1
S
B2
2
dS2
dΦ1 B1 dS1 0 dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
S B d S 0
3a
2a 5a
l
Φ s BdS = 0
I
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
（故磁场是无源的.）
求磁通量(1)用磁通量的定义求(2)用高斯定理求
例1 如图载流长直导线的电流为
积的磁通量.
解 先求
,试I 求 通过矩形面 ，B对变磁场给出
B
后积B 分dΦ求0I
2π x
Φ
B // S
I
l
d1 d2
dΦ BdS 0I ldx
Φ
S
B
dS
2π x
0Il
2π
d2
d1
dx x
o
x Φ 0Il ln d2
2π d1
例2 一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均
匀地流有电流I，若作一个半径为 R= 5a，高为l
的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的 轴平行且相距3a（如图），则在圆柱侧面S上的 磁通量=？
第三节 磁场的高斯定理
一 磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感
强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强 度 B 的大小.
I
大学物理课件：16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
B2
dl2
r2
l
B2
dl2
0I
2π
d
B1
dl1
0I
2π
d
B dl 0I d d
l
2π L1
L2
0I
2π
0
第16章 稳恒磁场
8
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理
多电流情况
I1
I2
I3
B
B1
B2
B3
Bdl
l
0 (I 2
I3)
以上结果对任意形状
l
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
第16章 稳恒磁场
2
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
物理
enB
s s
B
磁通量：通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ B S B enS
B dS
dΦ B dS
B dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
第16章 稳恒磁场
•
•
O’
磁场磁力线：
••••••••••••••
R
为什么磁力 线画成均匀 的？
B
• • • • • • • • • • • • • •
R
A B1 B
D
B2C
作安培环路L ABCDA
B dl
L
0
L内
Ii
0
B dl L
AB
B1
dl
B dl
BC
CD B2 dl
3
大学
16-5 磁场的高斯定理和安培环路定理
2、磁场的高斯定理和安培环路定理
L
B dl o I i
L
S
B dS 0 j dS
S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
大学物理-7-5磁通量磁场的高斯定理
2π d1
第七章 恒定磁场
6
物理学
第五版
选择进入下一节：
本章目录
7-4 毕奥-萨伐尔定律 7-5 磁通量 磁场的高斯定理
7-6 安培环路定理
7-7 带电粒子在电场和磁场中的运动 7-8 载流导线在磁场中所受的力 7-9 磁场中的磁介质
第七章 恒定磁场
7
量必等于零（故磁场是无源的）.
第七章 恒定磁场
5
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
例 如图载流长直导线的电流为 I，试求
通过矩形面积的磁通量.
解 B 0I
B
2π x
dx
dΦBdS0I ldx
I
l
d1 d2
2πx
ΦSB dS20πIldd12dxx
ox
x Φ 0Il ln d2
磁通场过中的某磁点感处 线垂 数直 目等B 矢于量该的点单B 的位数面值积.上
第七章 恒定磁场
3
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
B
磁通量：通过
en
某曲面的磁感线数
s
s
B
B dS
B
匀强磁场中，通 过面曲面S的磁通量：
Φ B SB enS
ΦBcSo sBS
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
一 磁感线
切线方向—— 疏密程度——
B B的 的方 大向 小.；
I
I
I
第七章 恒定磁场
1
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
I
S
I
S
第七章 恒定磁场
6
物理学
第五版
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本章目录
7-4 毕奥-萨伐尔定律 7-5 磁通量 磁场的高斯定理
7-6 安培环路定理
7-7 带电粒子在电场和磁场中的运动 7-8 载流导线在磁场中所受的力 7-9 磁场中的磁介质
第七章 恒定磁场
7
量必等于零（故磁场是无源的）.
第七章 恒定磁场
5
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
例 如图载流长直导线的电流为 I，试求
通过矩形面积的磁通量.
解 B 0I
B
2π x
dx
dΦBdS0I ldx
I
l
d1 d2
2πx
ΦSB dS20πIldd12dxx
ox
x Φ 0Il ln d2
磁通场过中的某磁点感处 线垂 数直 目等B 矢于量该的点单B 的位数面值积.上
第七章 恒定磁场
3
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
B
磁通量：通过
en
某曲面的磁感线数
s
s
B
B dS
B
匀强磁场中，通 过面曲面S的磁通量：
Φ B SB enS
ΦBcSo sBS
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
一 磁感线
切线方向—— 疏密程度——
B B的 的方 大向 小.；
I
I
I
第七章 恒定磁场
1
物理学
第五版
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
I
S
I
S
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
0 Idz sin B dB 4 r2
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
7-5 磁通量 磁场的高斯定律7-6 安培环路定理
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
= −µ0 I1 + I2） （
问
v 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 外电流有关？ ） v v v 2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ，是否回路 L上各处 B = 0？ ） L 内无电流穿过？ 是否回路 L 内无电流穿过？
3、说明 、
•符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I为正，否 符号规定：电流方向与 的环绕方向服从右手关系的 为正 为正， 符号规定 则为负。 则为负。 •安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立 •B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关，但路径上 仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关 合贡献。 合贡献。 •物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义
l MN
B ⋅ MN = µ 0 n MN I
B = µ 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
1)r > R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 I
l
R R
L
r
2π r 2 v v πr 2)0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
二、磁通量
1、磁通量定义： 、磁通量定义：
通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 定义为磁通量， 表示。 定义为磁通量，用Ф表示。 表示
I1 I1
L
I2 I 3 I1
= −µ0 I1 + I2） （
问
v 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 外电流有关？ ） v v v 2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ，是否回路 L上各处 B = 0？ ） L 内无电流穿过？ 是否回路 L 内无电流穿过？
3、说明 、
•符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I为正，否 符号规定：电流方向与 的环绕方向服从右手关系的 为正 为正， 符号规定 则为负。 则为负。 •安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立 •B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关，但路径上 仍是闭合路径内外电流的 的环流与电流分布有关 合贡献。 合贡献。 •物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。 物理意义
l MN
B ⋅ MN = µ 0 n MN I
B = µ 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
1)r > R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 I
l
R R
L
r
2π r 2 v v πr 2)0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
二、磁通量
1、磁通量定义： 、磁通量定义：
通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目， 定义为磁通量， 表示。 定义为磁通量，用Ф表示。 表示
磁场中高斯定理公式(一)
磁场中高斯定理公式(一)
磁场中高斯定理公式
什么是磁场中高斯定理公式？
磁场中的高斯定理是电磁学中一个重要的定理，它描述了一个闭合曲面所围成的空间中的磁场总通量与该曲面上的磁场分布的关系。
根据磁场中的高斯定理公式，我们可以计算磁场通过一个封闭曲面的总磁通量。
高斯定理公式
高斯定理公式可以表示为：
∮B⋅dA=ΦB
其中， - $ $ 是磁感应强度（磁场向量）， - $ $ 是封闭曲面上的面积微元（法向量）， - $ _B $ 是磁场通过封闭曲面的总磁通量。
根据高斯定理，磁场通过一个封闭曲面的总磁通量等于磁场在该曲面上的散度。
示例解释
假设有一个半径为 $ R $ 的均匀磁场源，产生的磁感应强度为$ B $。
我们希望计算这个磁场通过一个半径为 $ r $ 的封闭曲面的总磁通量。
根据高斯定理公式，我们有：
∮B⋅dA=ΦB
根据对称性，磁场 $ $ 与面积微元 $ $ 的夹角为 0，因此上式可以简化为：
B⋅A=ΦB
其中， - $ A $ 是封闭曲面的面积。
由于磁场源是均匀的，磁感应强度 $ B $ 在封闭曲面上的每个面积微元 $ $ 上的取值都相同，因此可以提出来进行简化：
B⋅∫dA=ΦB
由于封闭曲面是一个圆柱体的侧表面，面积为 $ A = 2r L $，其中 $ L $ 是圆柱体的高度。
将这个表达式代入上式，可得：
B⋅2πrL=ΦB
总磁通量 $ _B $ 等于磁感应强度 $ B $ 乘以面积 $ 2r L $，即：
ΦB=2πrLB
这样，我们就计算出了磁场通过一个半径为 $ r $ 的封闭曲面的总磁通量。
磁高斯定理
磁高斯定理
磁高斯定理是一个重要的物理学理论，由哥本哈根大学的挪威物理学家，诺贝尔物理学家奥古斯特·磁高斯于1839年提出。
这个定理指出，任何给定的磁场，都可以由一个合适的磁向量场，即磁通量密度场来定义。
它表明，磁场是由磁向量场产生的，而不是由电荷分布引起的。
磁高斯定理的定义如下：对于任意闭合面S和其上的磁向量f，它们之间具有以下关系：
∫f•dl= ∫B•nds
其中f是内积，B是磁场，dl是封闭曲线的方向投影，nds是闭合面的法向量。
该定理的主要推论是，磁场的总流量，即数学上的积分，可以由已知的电荷分布来求得，而不必求出磁场本身。
这是一个非常重要的理论，因为它简化了对磁场的描述，而不必计算它的实际分布情况。
磁高斯定理表明，磁场是通过电流密度来描述的，而不是由电荷分布来描述。
这一定理最初是由磁高斯发现的，但是帕森斯在1860年重新分析并求得了该定理的希腊符号形式。
磁高斯定理在物理学，工程和其他应用领域有着广泛的应用，可以用来求出磁场的磁向量分布。
通过这种分布，我们可以知道磁场的方向和强度，从而估算磁场的复杂性。
此外，磁高斯定理在电力系统的设计以及磁学感测器的设计中也有重要的应用。
磁场的高斯定理
§2.4 磁场的高斯定律
一 磁感线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 切线方向 的方向，曲线的疏密程度 疏密程度表示该点的磁感强度 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小 的大小.
I I I
磁通量(Magnetic flux)v • 磁通量
单位 1Wb = 1T × 1m
2
v B
S
I
v B
v B
由电流与磁场的关系可知电流元的磁力线都是 圆心在电流元轴线上的同心圆。 圆心在电流元轴线上的同心圆。磁力线是无头无尾 的闭合曲线。 的闭合曲线。 r v v dB⋅ dS = 0 dB 是电流元的磁场
∫∫
S
载流导线的磁场
r r r r B = dB1 + dB2 + L + dBn + L
µ0 I
x
s⊥
θ
s
v B
θ v B
v dS
v en
B
磁通量： 磁通量：通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量. 面的磁通量
v θ B
s
Φ = BS cosθ = BS⊥ v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS v v dΦ = B ⋅ dS dΦ = BdS cosθ v v Φ = ∫s B ⋅ dS
大学物理学》 《基础物理学》路果编著p345 《大学物理学》卢德馨编著线起始于正电荷，终止于负电荷。 电场线起始于正电荷，终止于负电荷。 磁感应线为无头无尾的闭合线。 磁感应线为无头无尾的闭合线。 原因： 原因：正、负电荷可单独存在，而磁单 负电荷可单独存在， 极子却不可单独存在 磁场是一种涡旋场
一 磁感线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 切线方向 的方向，曲线的疏密程度 疏密程度表示该点的磁感强度 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小 的大小.
I I I
磁通量(Magnetic flux)v • 磁通量
单位 1Wb = 1T × 1m
2
v B
S
I
v B
v B
由电流与磁场的关系可知电流元的磁力线都是 圆心在电流元轴线上的同心圆。 圆心在电流元轴线上的同心圆。磁力线是无头无尾 的闭合曲线。 的闭合曲线。 r v v dB⋅ dS = 0 dB 是电流元的磁场
∫∫
S
载流导线的磁场
r r r r B = dB1 + dB2 + L + dBn + L
µ0 I
x
s⊥
θ
s
v B
θ v B
v dS
v en
B
磁通量： 磁通量：通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量. 面的磁通量
v θ B
s
Φ = BS cosθ = BS⊥ v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS v v dΦ = B ⋅ dS dΦ = BdS cosθ v v Φ = ∫s B ⋅ dS
大学物理学》 《基础物理学》路果编著p345 《大学物理学》卢德馨编著线起始于正电荷，终止于负电荷。 电场线起始于正电荷，终止于负电荷。 磁感应线为无头无尾的闭合线。 磁感应线为无头无尾的闭合线。 原因： 原因：正、负电荷可单独存在，而磁单 负电荷可单独存在， 极子却不可单独存在 磁场是一种涡旋场
大学物理 恒定磁场
P型---- 正电空穴 N型---- 负电粒子
26
测载流子电性 — 半导体类型
8.5 载流导线在磁场中受力
一、一段载流导线上的力——安培力 I 2 1个电子 受力 f qv B 1 N个电子受力 d F Nq v B 电流元 I d l B
N n d V nS d l
不对 q 做功。
v
q
B
v
B
F qE qv B
15
二、带电粒子在均匀磁场中运动
1）运动方向与磁场方向平行
Fm qv B
Fm qvBsinθ
θ 0 F 0
q
v
B
带电粒子作匀速直线运动
16
二、带电粒子在均匀磁场中运动
3）运动方向沿任意方向
v // v cos v v sin
mv sin 半径： R qB 2R 周期：T v
v
q
+
v
v// h
B
匀速圆周运动与匀速直线运动的合成 运动轨迹为螺旋线
2 m qB
2 m 螺距： h Tv // v cos qB
18
（3）地磁场内 的范艾仑辐射带
22
23
四、霍耳效应
现象：导体中通电流 I ，磁 场B 垂直于I ，在既垂直于 I ，又垂直于B 的方向出现 电势差 U 霍耳电压UH
B
h
V
+ v - - -q- - -
F
I
b
原因： 载流子q，漂移速度 v
Fm qv B
25
霍耳系数
1 RH ne
26
测载流子电性 — 半导体类型
8.5 载流导线在磁场中受力
一、一段载流导线上的力——安培力 I 2 1个电子 受力 f qv B 1 N个电子受力 d F Nq v B 电流元 I d l B
N n d V nS d l
不对 q 做功。
v
q
B
v
B
F qE qv B
15
二、带电粒子在均匀磁场中运动
1）运动方向与磁场方向平行
Fm qv B
Fm qvBsinθ
θ 0 F 0
q
v
B
带电粒子作匀速直线运动
16
二、带电粒子在均匀磁场中运动
3）运动方向沿任意方向
v // v cos v v sin
mv sin 半径： R qB 2R 周期：T v
v
q
+
v
v// h
B
匀速圆周运动与匀速直线运动的合成 运动轨迹为螺旋线
2 m qB
2 m 螺距： h Tv // v cos qB
18
（3）地磁场内 的范艾仑辐射带
22
23
四、霍耳效应
现象：导体中通电流 I ，磁 场B 垂直于I ，在既垂直于 I ，又垂直于B 的方向出现 电势差 U 霍耳电压UH
B
h
V
+ v - - -q- - -
F
I
b
原因： 载流子q，漂移速度 v
Fm qv B
25
霍耳系数
1 RH ne
大学物理-8第八讲运动电荷的磁场磁场的高斯定理与安培环路定理-精品文档
§19-4
匀速运动点电荷的磁场
电流的磁场实质上就是大量运动电荷产生的磁场的 总和，故由电流的磁场可反推出运动电荷的磁场。
ˆ Id l r I d l d B d B 4 r2
设Idl截面积为S，运动电荷体密 度为n，每个粒子带电量为q，以 相同速率v运动，则电流强度:
dl + +
+ ++ +
7
如果回路L'与L绕行方向刚好相反，则
L L
B d l B d l I
0
I
L
R
对闭合回路为任意形状的情况 1.电流在回路之内 若环路L与I成右手螺旋关系
L
B
L
B d l B c o s d l
L
I
B N
d
r
L
P.12
I
d r
R
1m
2R
I I 0 0 d r l n 2 B d SB d S 2 2 2 R 2 r 2
2 R
I I 0 0 l n 2 1 2 4 2
6
二、安培环路定理
静 电 场 ： E d l 0 , E 是 保 守 场 。
2
平面线圈的磁矩矢量
P n m IS
大小： P m IS 方向：与线圈电流成右旋关系 ◎当有N 匝线圈时
n
s
I
IS P N I S n P m N m
I
n
Pm
3
例：依波尔模型，氢原子中电子以速率v = 2.2106m/s 在半径为r = 0.5310-8cm的圆周上运动，求电子在轨 道中心所产生的磁感应强度及磁矩。
匀速运动点电荷的磁场
电流的磁场实质上就是大量运动电荷产生的磁场的 总和，故由电流的磁场可反推出运动电荷的磁场。
ˆ Id l r I d l d B d B 4 r2
设Idl截面积为S，运动电荷体密 度为n，每个粒子带电量为q，以 相同速率v运动，则电流强度:
dl + +
+ ++ +
7
如果回路L'与L绕行方向刚好相反，则
L L
B d l B d l I
0
I
L
R
对闭合回路为任意形状的情况 1.电流在回路之内 若环路L与I成右手螺旋关系
L
B
L
B d l B c o s d l
L
I
B N
d
r
L
P.12
I
d r
R
1m
2R
I I 0 0 d r l n 2 B d SB d S 2 2 2 R 2 r 2
2 R
I I 0 0 l n 2 1 2 4 2
6
二、安培环路定理
静 电 场 ： E d l 0 , E 是 保 守 场 。
2
平面线圈的磁矩矢量
P n m IS
大小： P m IS 方向：与线圈电流成右旋关系 ◎当有N 匝线圈时
n
s
I
IS P N I S n P m N m
I
n
Pm
3
例：依波尔模型，氢原子中电子以速率v = 2.2106m/s 在半径为r = 0.5310-8cm的圆周上运动，求电子在轨 道中心所产生的磁感应强度及磁矩。
磁场中的高斯定理
高斯定理表明，在通电导线周 围的磁场中，穿过任意一个闭 合曲面的磁通量等于电流的代 数和。
通过高斯定理，可以计算出通 电导线周围的磁场分布和特点， 例如磁场的方向和强度。
磁通量的计算实例
磁通量是指穿过某个面的磁场的强弱和方向的量。通过计算磁通量，可 以了解磁场的分布和特点。
计算磁通量需要使用高斯定理，通过积分来计算穿过某个面的磁通量。
磁场矢量场
高斯定理的应用使得我们可以方便地处理磁场矢量场问题。通过计算矢量场的散度，我们可以得到特定区域内磁 场的变化情况，从而更好地理解磁场的行为和性质。
磁场中的高斯定理的推导
高斯定理推导
高斯定理在磁场中的推导基于磁场的高斯定理和安培环路定律。通过引入磁通量密度和磁通量等概念 ，我们可以利用微积分的方法推导出高斯定理在磁场中的形式。
磁场与电场的关系
磁场和电场是相互联系的，变化的电 场会产生磁场，变化的磁场也会产生 电场。因此，磁场和电场可以相互转 化，形成电磁波。
磁场的方向
磁场的方向
在磁场中任意一点，磁场都有一个特定的方向，称为该点的磁场方向。磁场方 向可以通过放入该点的磁针的指向来确定，磁针的北极指向磁场方向。
磁场方向的确定
高斯定理表明，在磁场中，穿过任意一个闭合曲面的磁通量等于零，即磁场是无源 场。
在地球磁场中，由于地球内部的物理过程，产生了磁场分布。高斯定理可以用来分 析地球磁场的分布和特点，例如地磁场的极性和强度分布。
通电导线周围的磁场高斯定理分析
当导线中电流发生变化时，会 在导线周围产生磁场。高斯定 理可以用来分析这个磁场的分 布和特点。
磁场大小的测量
测量磁场大小的方法有多种，如高斯计、特斯拉计等。这些 仪器通过测量磁感应线的密度或磁通量来计算磁场的大小。 在地球表面，地磁场的大小约为0.5-0.6特斯拉。
13-2-磁场的高斯定理-安培环路定理
L1
电流在闭合回路内
n B dl 0 I i L i 1
电流在闭合回路外
——安培环路定理
路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所穿过 的各电流的代数和.
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合
二、安培环路定理
说明：
n B dl 0 I i i 1
解方程求出B的大小，指出B的方向。
二、安培环路定理
例2.无限大载流薄平板的磁场
d B1
j
d
dB
P
dB 2
d l1
O
c
d l2
结论：
B
1 2
0 j
a
L
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀 磁场，大小相等，但方向相反。
二、安培环路定理
例3.载流螺线环内的磁场 一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内 磁感应强度。
计2 有两半径分别为 R 和 2 R 的金属球壳同心放置
分析：（1） 内球壳接地，电势为零，但电量未必为零
（方法一：定义式求电势） 设内球壳带电为 q ，由高斯定理得
r
R
2R
q 4 r 2 0 r E q q0 40 r 2
2R R R
R r 2R r 2R
q
q q0 外球壳 (q q0 ) 无穷远
2R
C C1 C2 4 π 0 r 1 R 1 2R 4 π 0 2 R
24 π 0 R
L
（3）若 B d l 0 ，则回路内无电流穿过。
L
二、安培环路定理
磁场的高斯定理
L
L
B dl 0 I
i
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算；
§9.2
磁场的高斯定理与安培环路定理 一、磁场的高斯定理
1.磁力线 2.磁通量 3.磁场中的高斯定理
二、安培环路定理
定理证明及应用
§9.2
磁场的高斯定理
一、磁场的高斯定理
1.磁力线(磁感应线) 为形象的描绘磁场分布而引入 的一组有方向的空间曲线。
BA
BB
A
B
（1）规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁 感强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强 度 B 的大小.
L
B dl 0 I
i
课堂讨论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L
B d l
I1 I1
0 ( I1 I1 I1 I 2 )
I2 I 3
L
I1
（ ） 0 I1 I 2
问:（1）B是否与回路L外电流有关？
（2）若 B d l 0 ，是否回路L上各处B 0? L (3) B d l 0 , 是否回路L内无电流穿过？
切线方向——B 的方向 疏密程度——B 的大小
（2）磁力线的形状
4
5
太阳上存在“磁绳”
6
（3）磁力线的性质
1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远；
2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 3.闭合的磁力线和载流回路互套在一起； 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
L
B dl 0 I
i
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算；
§9.2
磁场的高斯定理与安培环路定理 一、磁场的高斯定理
1.磁力线 2.磁通量 3.磁场中的高斯定理
二、安培环路定理
定理证明及应用
§9.2
磁场的高斯定理
一、磁场的高斯定理
1.磁力线(磁感应线) 为形象的描绘磁场分布而引入 的一组有方向的空间曲线。
BA
BB
A
B
（1）规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁 感强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强 度 B 的大小.
L
B dl 0 I
i
课堂讨论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L
B d l
I1 I1
0 ( I1 I1 I1 I 2 )
I2 I 3
L
I1
（ ） 0 I1 I 2
问:（1）B是否与回路L外电流有关？
（2）若 B d l 0 ，是否回路L上各处B 0? L (3) B d l 0 , 是否回路L内无电流穿过？
切线方向——B 的方向 疏密程度——B 的大小
（2）磁力线的形状
4
5
太阳上存在“磁绳”
6
（3）磁力线的性质
1.磁力线为闭合曲线或两头伸向无穷远；
2.磁力线密处 B 大；磁力线疏处 B 小； 3.闭合的磁力线和载流回路互套在一起； 4.磁力线和电流满足右手螺旋法则。
磁场的“高斯定理” 磁矢势
∫∫ B ⋅ d S = ∫∫ B ⋅ d S − ∫∫ B ⋅ d S = 0
S S1 S2
⇒ ∫∫ B ⋅ d S = ∫∫ B ⋅ d S
S1 S2
磁通量仅由 的共同边界线所决定
可能找到一个矢量A，它沿L 可能找到一个矢量 ，它沿 作线积分等于通过S的通量 作线积分等于通过 的通量
∫ A ⋅ dl = ∫∫ B ⋅ dS
电流元的磁矢势 任意闭合回路的磁矢势 例题9 例题9 例题10 例题10 例题11 例题11 p112式（2.55) p112式 式（2.56)
取闭合环路L 取闭合环路
电流元的磁矢势
设磁矢势a与电流元平行 设磁矢势 与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范∇⋅ ∇⋅A=0 以任选，选库仑规范∇⋅ 的结果） 只有z分量 的结果）——a只有 分量 只有
r>R：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外 ：导线外部同例题 ， 点在导体表面， 点在导体表面 部任意点P与 点的矢势差为 部任意点 与Q点的矢势差为 µI
r = R, Az ( R) = − 4π
0
µ0 Il 0 µ 0 Ir 2l Φ B = l ∫ Bdr = rdr = − 2 ∫r r 2πR 4πR 2 µ0 Ir 2 [ Az (r ) − Az (0)] = Az (r ) = − ,r < R 2 4πR
∫ A ⋅ dl = ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl = ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl
L La Lb LC Ld
Q
Lb
Ld
= [ Az ( P ) − Az (Q)]l = l ∫
06磁场的高斯定理和安培环路定理
∫
∑
(4)安培环路定理说明磁场性质 磁场定理说明磁场性质 磁场是有旋场。
6
特例：以无限长载流直导线为例。 特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆， 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆，选 取路径方向与磁感应强度方向相同； 感应强度方向相同 取路径方向与磁感应强度方向相同； 左边= 左边
dB ' '
dl '
o dl ' '
点的总磁场方向平行于电流平面。 无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
13
. .. . .. . .. . .. . ..
a
b
B
B外 = 0
d
d a c d
c
∫ B ⋅ dl = ∫
b
a
B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
b
c
∵ B ⊥ d l , cosθ = 0
B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0,
b
∫
c
b
B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = 0,
∫ dl
B ⊥ dl , cosθ = 0
∫ B⋅ dl = 0
L
8
例1：长直密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度 ： 线圈密度 为 n，求管内一点的磁感应强度 。 ，求管内一点的磁感应强度 解：理想密绕螺线管，管内的磁 理想密绕螺线管， 场是均匀的， 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； 作闭合环路 abcda,环路内的 环路内的 电流代数和为： 电流代数和为：∑ I = nabI
7.3 磁场中的高斯定理
�
)
B
dS
θ
dS
B
3. 闭合曲面 (1) 面元 n 方向的规定: 方向的规定: 向外为正, 向外为正,向内为负 (2) 磁通量
dS1 dS2
n2
m = ∫ B dS
S
n1
穿出,穿入闭合面磁场线条数之差 穿出,穿入闭合面磁场线条数之差 磁场
三,磁场的高斯定理
磁场线都是闭合曲线,穿出, 磁场线都是闭合曲线,穿出,穿入闭合面磁场线条数相等
m = ∫ B dS = 0
S
—— 磁场是无源场(涡旋场) 磁场是无源场(涡旋场) 线为平行直线的空间中, 例 证明在 磁场线 线为平行直线的空间中,同一根磁场线 上各 点的磁感应强度值相等. 点的磁感应强度值相等. 解 m = ∫ B dS
S
a
= BaS + BbS = 0 Ba = Bb
S
b
7.3 磁场的高斯定理
一,磁场线(磁感应线 磁感应线
1. 规定 (1) 磁场线切线方向为磁感应强度 B的方向 (2) 垂直
磁力线) 磁力线)
B的单位面积上穿过的磁场线条数为磁感 应强度 B 的大小
dN B= dS ⊥
2. 磁场线的特征 (1) 无头无尾的闭合曲线 (2) 磁场线不相交
通过磁场中某一曲面的磁力线数. 表示;单位:韦伯Wb 二,磁通量 (通过磁场中某一曲面的磁力线数. 用Φm表示;单位:韦伯Wb 2. 曲面 1. 面元 dm = B dS m = ∫ B dS
磁场的高斯定理
R
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例2 无限长载流圆柱体的 磁场 L 解 （1）对称性分析 ） （2） r > R ） v v µ0 I ∫l B ⋅ d l = µ 0 I B = 2π r v v π r2 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR µ0 Ir B= 2 2π R
y
v dF θ
v B
I
v Idl
P
v 解 取一段电流元 Idl v v v dF = Idl × B
o
L
x
dFx = −dF sin θ = − BIdl sin θ
dFy = dF cos θ = BIdl cos θ
Fx = ∫ d Fx = BI ∫ d y = 0
0
0
y
Fy = ∫ dFy = BI ∫ dx = BIl
v v ∫ B⋅dl = µ0(−I1 − I2)
L
= −µ0 I1 + I2） （
I1
I1
L
I2 I 3
v 问（1） 是否与回路 L ） B
外电流有关？ 外电流有关？
I1
v v （2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ,是否回路 L 上各处 ） 是否回路 L v 内无电流穿过？ B = 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
s⊥
θ
s
v B
θ
v en
v B
磁通量： 磁通量：通过 某曲面的磁感线数 匀强磁场下， 匀强磁场下，面 S的磁通量为： 的磁通量为： 的磁通量为 v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥ 一般情况 v v Φ = ∫s B ⋅ dS
大学物理之磁通量磁场的高斯定理
en
s
s
B
B dS
s
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
B
磁通量：通过
某曲面的磁感线数
匀强磁场下，面
S的磁通量为：
B
Φ
B
S
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
enS
Φ BS cos BS
一般情况
Φ s BdS
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
dS2
B
S2
通过矩形面积的磁通量.
解
B
B 0I
2π x
I
l
d1 d2
dΦ BdS 0I ldx
2π x
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
o
x Φ 0Il ln d2
2π d1
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
一 磁感线
切线方向—— 疏密程度——
B B
的方向； 的大小.
I
I
I
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
I
S
I
S
N
N
7-5 磁通量 磁场的高斯定理
二 磁通量 磁场的高斯定理
S B
B ΔN ΔS
磁通场过中的某磁点感处 线垂 数直 目等B矢于量该的点单B的位数面值积.上
dS1
1
B1
B2
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
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Φ= 2π ln d1
S
磁场高斯定理
v v ∫S B ⋅d S = 0
物理意义： 物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必 等于零（故磁场是无源的 无源的） 等于零（故磁场是无源的）.
补例： 补例： 如图载流长直导线的电流为I ，试求 通过矩形面积的磁通量. 通过矩形面积的磁通量 µ0 I 解 B= v B 2π x dx µ0I dΦ = BdS = ld x 2π x l I v v µ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = d1 ∫d1 d2 2π x o x µ 0 Il d 2 x
11.3 磁通量 磁场的高斯定理
一、磁场线(磁感应线 磁场线 磁感应线
1. 规定
磁力线） 磁力线）
v (1) 磁场线切线方向为磁感应强度 B的方向 v (2) 垂直 B的单位面积上穿过的磁场线条数为磁感 v 应强度 B 的大小
dN dΦm B= = dS ⊥ dS⊥
2. 磁场线的性质 (1) 无头无尾的闭合曲线 (2) 磁场线不相交
I
I
I
I S S N I N
二、磁通量
v en
v B
磁通量定义： 磁通量定义：通过某 曲面的磁感线条数。 曲面的磁感线条数。 1.匀强磁场中：通过面 匀强磁场中：通过面 匀强磁场中 曲面S的磁通量 曲面S的磁通量
s⊥
θ
s
v B
θ
v B
v dS
v θ B
v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥
2.一般情况： 一般情况： 一般情况
s
v v Φ = ∫s B ⋅ dSΒιβλιοθήκη dS2v BS2 θ
v dS1
θ1
v B1
v v dΦ1 = B1 ⋅ dS1 > 0
3. 闭合曲面： 闭合曲面：
v B2
v v dΦ2 = B2 ⋅ dS2 < 0
∫ B cos θ d S = 0
S
磁场高斯定理
v v ∫S B ⋅d S = 0
物理意义： 物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必 等于零（故磁场是无源的 无源的） 等于零（故磁场是无源的）.
补例： 补例： 如图载流长直导线的电流为I ，试求 通过矩形面积的磁通量. 通过矩形面积的磁通量 µ0 I 解 B= v B 2π x dx µ0I dΦ = BdS = ld x 2π x l I v v µ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = d1 ∫d1 d2 2π x o x µ 0 Il d 2 x
11.3 磁通量 磁场的高斯定理
一、磁场线(磁感应线 磁场线 磁感应线
1. 规定
磁力线） 磁力线）
v (1) 磁场线切线方向为磁感应强度 B的方向 v (2) 垂直 B的单位面积上穿过的磁场线条数为磁感 v 应强度 B 的大小
dN dΦm B= = dS ⊥ dS⊥
2. 磁场线的性质 (1) 无头无尾的闭合曲线 (2) 磁场线不相交
I
I
I
I S S N I N
二、磁通量
v en
v B
磁通量定义： 磁通量定义：通过某 曲面的磁感线条数。 曲面的磁感线条数。 1.匀强磁场中：通过面 匀强磁场中：通过面 匀强磁场中 曲面S的磁通量 曲面S的磁通量
s⊥
θ
s
v B
θ
v B
v dS
v θ B
v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥
2.一般情况： 一般情况： 一般情况
s
v v Φ = ∫s B ⋅ dSΒιβλιοθήκη dS2v BS2 θ
v dS1
θ1
v B1
v v dΦ1 = B1 ⋅ dS1 > 0
3. 闭合曲面： 闭合曲面：
v B2
v v dΦ2 = B2 ⋅ dS2 < 0
∫ B cos θ d S = 0